第2章二元一次方程组单元综合测试卷 2025-2026学年浙教版七年级数学下册

第2章二元一次方程组单元综合测试卷 一.单选题(每题3分.共计30分) 1．关于x，y的方程是二元一次方程，则a的值是 （   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程的定义，解题的关键是熟练掌握二元一次方程必须符合以下三个条件：（1）方程中含有且只含有2个未知数；（2）含未知数项的最高次数为1；（3）方程是整式方程．利用二元一次方程的定义即可求解． 【详解】解：∵关于x，y的方程是二元一次方程， ∴， 解得：， 故选C． 2．已知二元一次方程的一个解是，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程的解，代数式求值，掌握二元一次方程的解的定义是解题的关键． 先将代入得到，再整体代入求解即可． 【详解】解：∵二元一次方程的一个解是， ∴， ∴， 故选：D． 3．在方程组，，，，中．是二元一次方程组的有（   ） A．2个 B．3个 C．1个 D．5个 【答案】A 【分析】本题主要考查二元一次方程组的定义，根据二元一次方程组的定义，需满足：①含有两个未知数；②每个方程均为一次方程；③方程组由两个方程组成． 【详解】解：，是二元一次方程组， 方程含分式，未知数出现在分母中，次数为，不是一次方程， 中，方程含第三个未知数，导致方程组含三个未知数，不符合条件， ，方程中，项次数为2，不是一次方程， 符合条件的有第一个和第三个方程组，共2个， 故选：A． 4．表1为二元一次方程的部分解，表2为二元一次方程的部分解，则方程组的解为 （   ） 表1 x 1 2 y 1 表2 x 0 1 2 y 0 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，掌握二元一次方程组的解的定义是解题的关键．根据二元一次方程组的解的定义，从表格中找到答案即可． 【详解】解：由表格可知，，是二元一次方程的解，，是二元一次方程的解， 关于，的二元一次方程组的解为． 故选：C． 5．二元一次方程组 的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查加减消元法解方程组，利用加减消元法解方程组即可． 【详解】解：， ，得， 解得， 把代入①，得， 解得， 所以方程组的解是． 故选：C． 6．已知单项式与是同类项，则，的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同类项的定义，的指数和的指数分别相等，列出方程组求解． 【详解】解：单项式与是同类项， , 解得： 故选：C． 【点睛】本题主要考查了同类项定义以及二元一次方程组解法，解决本题的关键是熟练掌握这些知识点． 7．如图，个大小、形状完全相同的小长方形，组成了一个周长为的大长方形，若设小长方形的长为，宽为，则可列方程组为（   ） A． B． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，熟练根据图形列出相关代数式，并得到等量关系是解题的关键．设小长方形的长为，宽为，则大长方形的长为，或，则；大长方形的宽为，则大长方形的周长为，即可得． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为， 则大长方形的长为，或， 则； 大长方形的宽为， 则大长方形的周长为， 综上所述，可列方程组， 故选：A． 8．学校计划租用若干辆汽车运送七年级学生和带队教师外出进行博物馆参观活动．按照不浪费座位的原则，如果选用型客车，一辆车可乘坐人，那么有人没有车坐；如果选用型客车，一辆车可乘坐人，那么有一辆车只坐了人，并且还空出一辆车．设计划租用辆车，共有学生和带队教师人．则根据题意列方程组为　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查列二元一次方程组；根据型客车情况，总人数等于座位数加无座人数；根据型客车情况，空出一辆车，实际使用车辆数减一，且一辆车只坐人，其余坐满，列出方程． 【详解】解：设计划租用辆车，共有学生和带队教师人， 选用型客车时，一辆车坐人，有人无座， 总人数，即． 选用型客车时，空出一辆车，实际使用车辆为辆， 其中一辆只坐人，其余辆车坐满人， 总人数． 因此，方程组为， 故选：B． 9．在等式中，当时，；当时，；当时，，则的值为（   ） A．1 B．4 C．9 D．16 【答案】D 【分析】本题主要考查三元一次方程组，把当时，；当时，；当时，代入中，解出的值即可求出结果． 【详解】解：根据题意：， 解得：， ∴， 故选：D． 10．方程组的解为，则被遮盖的前后两个数分别为（    ） A．1、2 B．1、5 C．5、1 D．2、4 【答案】C 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解．将代入方程，即可求得被遮盖的的数值；将方程组的解代入，即可求得该处被遮盖的数值． 【详解】解：将代入方程，得 ． 解得：． 所以，方程组的解为． 将代入，得 ． 所以，被遮盖的前后两个数分别为5、1． 故选：C． 二.填空题(每题3分.共计18分) 11．若方程组的解是，则方程组的解是_________． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解及换元法的应用，解题的关键是观察两个方程组的结构特征，通过换元将新方程组转化为已知解的方程组，进而求出新方程组的解． 观察到新方程组中和，与已知方程组和结构完全相同，仅将替换为、替换为；因此可令、，结合已知方程组的解、，分别列方程求解和． 【详解】解：观察两个方程组的结构，令，，则新方程组 可转化为已知方程组． ∵已知方程组的解为， ∴，解得； ，解得． 故新方程组的解为， 故答案为：． 12．定义新运算：对于任意实数、约定关于的一种运算如下：．例如：．若，且，则的值是___________． 【答案】 【分析】已知等式利用题中的新定义化简得到方程组，两方程相加即可求出所求． 【详解】解：根据题中的新定义化简得：， 得：， 则． 故答案为：． 【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法，弄清题中的新定义是解本题的关键． 13．甲乙两人同时解方程组时，甲正确解得，乙因抄错而解得，则的值是______，的值是______． 【答案】 4 5 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解的定义是解题的关键．由题意得，和都是方程的解，分别代入得到关于的方程组，再解方程组即可求出的值． 【详解】解：将和分别代入，得， 解得：， 的值是4，的值是5． 故答案为：4；5． 14．已知关于的方程组与有相同的解，则的值为________． 【答案】 【分析】将与组成方程组，解之可得到x、y的值，然后把x、y的值代入另外两个方程，即可得到结论． 【详解】解：由题意可将与组成方程组， 解得：， 把代入得：①， 把代入得：②， ①与②组成方程组得， 解得， ∴． 故答案为：． 15．从甲地到乙地的路有一段平路与一段上坡路．如果骑自行车保持平路每小时行15km，上坡每小时行10km，下坡每小时行18km，那么从甲地到乙地需29min，从乙地到甲地需25min．从甲地到乙地的路程是________km． 【答案】6.5 【分析】设单程在平路上用的时间是，依据题意，从甲地到乙地的上坡路程与从乙地到甲地的下坡路程相等，可得出等量关系，进而列出方程，从而解出方程并得出结论． 【详解】解：设单程在平路上用的时间是，则从甲地到乙地在上坡路上用的时间是，从乙地到甲地在下坡路上用的时间是． 根据题意，得， 解得， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，正确的运算是解题的关键． 16．青岛啤酒节上，某店里有甲、乙、丙三个啤酒桶，三个桶中各装有一些啤酒，先将甲桶中的啤酒倒入乙桶中，再将乙桶中现有啤酒的倒入丙桶，最后将丙桶中现有啤酒的倒回甲桶，这时三个桶中都有啤酒，则甲桶原有( )啤酒，乙桶原有( )啤酒，丙桶原有( )啤酒． 【答案】 【分析】本题考查了三元一次方程组的应用，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 通过设未知数列方程组求解． 【详解】解：设甲、乙、丙三桶原有啤酒分别为A、B、C升， 第一步：将甲桶中的啤酒的倒入乙桶， 甲桶的啤酒剩， 乙有， 第二步：将乙桶中的啤酒的倒入丙桶， 乙桶中的啤酒剩， 丙桶中的啤酒有， 第三步：将丙桶中的啤酒的倒回甲桶， 丙桶中的啤酒剩， 甲桶中的啤酒有， 最终三桶均为24L， 由乙桶中的啤酒的最终量：， 解得：， 由丙桶中的啤酒的最终量：， 代入， 得， 解得：， 由甲桶中的啤酒的最终量：， 代入和， 得， 解得：， 代入，得， 故甲桶原有啤酒，乙桶原有啤酒，丙桶原有啤酒， 故答案为：30，20，22． 三.解答题(每题9分.共计72分) 17．已知，其中都是常数，且，请你探究：是否存在一个二元一次方程，其解分别为与，若存在，请你写出这个二元一次方程；若不存在，请你说明理由． 【答案】存在，这个二元一次方程为 【分析】本题考查二元一次方程解的定义，理解方程解的意义是解题的关键．观察和，可得它们的结构是相同的，再结合方程解的定义即可完成解答． 【详解】解：和中字母系数相同，常数项也相同， 两个等式可以统一表示为， 这个二元一次方程为． 18．已知是关于，的方程组的解，则的值． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的解和解二元一次方程组．把方程组的解代入方程组可得到关于a、b的方程组，解方程组可求出，，再整体代入计算即可． 【详解】解：把代入， 得， ②①得，即， ②①得，即， 所以． 19．已知是二元一次方程组的解，求的值． 【答案】3 【分析】本题考查了解二元一次方程组、二元一次方程组的解，熟练掌握方程组的解法是解题关键．先将代入方程组可得，则可得，再利用方程②减去方程①求解即可得． 【详解】解：∵是二元一次方程组的解， ∴， 整理得：， 由②①得：， 所以的值为3． 20．解二元一次方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用代入消元法求解即可； （2）方程组整理后，利用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解：， 将①代入②得：， 解得， 将代入①得：， 所以方程组的解为； （2）解：， 方程组整理为， 由①②得：， 解得， 将代入①得：， 解得， 所以方程组的解为． 21．如图，这是一架天平，天平左盘放有一个物体，质量为克，右盘放有一些砝码，每个砝码的质量为15克，当右盘放有2个相同的砝码时，天平处于平衡状态． (1)若，求天平处于平衡状态时x的值； (2)若一个二元一次方程的解m，n都是正整数，我们把m，n称为该方程的正整数解，如：方程的正整数解为，求天平处于平衡状态下的x，y的正整数值； (3)期中考试后，老师计划购买笔记本和圆珠笔给表现优秀的同学作为奖品，笔记本和圆珠笔的单价均为正整数．若购买5本笔记本，8支圆珠笔，共需要120元，求该方程的所有正整数解． 【答案】(1) (2) (3)每本笔记本为元，每支圆珠笔为元；或每本笔记本为元，每支圆珠笔为元 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，理解题意，正确列出二元一次方程是解此题的关键． （1）由题意可得，代入计算即可得解； （2）通过题意得，整理可得，结合、为正整数，求解即可； （3）设每本笔记本为a元，每支圆珠笔为b元，通过题意得，整理可得，结合a和b都是正整数，求解即可． 【详解】（1）解：当天平平衡时，则：， 即：， 当时，得：， 解得：； （2）解：通过题意，得：， 整理可得：， ∵、为正整数， ∴， ∴天平处于平衡状态下的x，y的正整数值是． （3）解：设每本笔记本为a元，每支圆珠笔为b元， 通过题意，得：， 整理可得：， ∵a和b都是正整数， ∴或， 故每本笔记本为元，每支圆珠笔为元；或每本笔记本为元，每支圆珠笔为元． 22．若关于，的两个方程组与有相同的解，求，的值． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是二元一次方程组的解法以及方程组同解问题，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．先对第一个方程组进行消元，用第一个方程减第二个方程消去，得到，再代入第一个方程求出，得到第一个方程组的解；然后将这个解代入第二个方程组，得到关于的新方程组，求解这个新方程组即可得到答案． 【详解】解：解方程组 ①②，得， 把代入①，得， 整理得：， ∴该方程组的解为 代入方程组， 得， 整理得：， 解得． 23．已知的立方根是，的算术平方根是4，c是正数且算术平方根等于本身． (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，， (2) 【分析】此题考查立方根的意义、算术平方根的意义、平方根的意义、解二元一次方程组等知识点，读懂题意，掌握解答顺序，正确计算是解答本题的关键． （1）利用立方根的意义、算术平方根的意义求出a，b，c的值； （2）将a，b，c的值代入代数式求出值后，进一步求得平方根即可． 【详解】（1）∵的立方根是，的算术平方根是4， ∴， 解得： ∵c是正数且算术平方根等于本身 ∴； （2）∵，， ∴ ∴的平方根为． 24．一工厂有名工人，要完成套产品的生产任务，每套产品由4个A型零件和3个B型零件配套组成，每个工人每天能加工6个A型零件或者3个B型零件．现将工人分成两组，每组分别加工一种零件，并要求每天加工的零件正好配套． (1)工厂每天应安排多少名工人生产A型零件？每天能生产多少套产品？ (2)现在工厂要在天内完成套产品的生产，决定补充一些新工人，这些新工人只能独立进行A型零件的加工，且每名新工人每天只能加工4个A型零件．请问至少需要补充多少名新工人才能在规定期限完成生产任务？ 【答案】(1)工厂每天应安排24名工人生产A型零件，工厂每天能生产36套产品 (2)至少需要补充60名新工人才能在规定期限完成生产任务 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，二元一次方程组的实际应用，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）工厂每天安排名工人生产A型零件，则工厂每天安排名工人生产B型零件，根据“每套产品由4个A型零件和3个B型零件配套组成”列方程求解即可； （2）设需要补充m名新工人才能在规定期限完成生产任务，安排n名熟练工人生产A型零件，则安排名熟练工人生产B型零件，根据题意，可得关于m、n的方程组，求解即可． 【详解】（1）解：设工厂每天安排名工人生产A型零件，则工厂每天安排名工人生产B型零件， 由题意得：， 解得， （套） 所以，工厂每天应安排24名工人生产A型零件，每天能生产36套产品． （2）解：设需要补充m名新工人才能在规定期限完成生产任务，安排n名熟练工人生产A型零件，则安排名熟练工人生产B型零件， 由题意得， 解得， 所以，至少需要补充60名新工人才能在规定期限完成生产任务． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $第2章二元一次方程组单元综合测试卷 一.单选题（每题3分共计30分） 1.关于，y的方程5r-3=7 二元一次方程，则a的值是() A.0 B.1 C.2 D.3 x=3 2.已知二元一次方程ax+y=-1的一个解是y=-2,则3a-2b-2024的值为() A.-2022 B.-2023 C.-2024 D.-2025 1,1 一十一 =1 x=1 x=2 3.在方程组 了x x+y=5 y=1 y=1 (x+y=1’ 3y-x=1’ y=7+z' x+2y=3中.是二元-次方程 组的有() A.2个 B.3个 C.1个 D.5个 4.表1为二元一次方程+by=C的部分解，表2为二元一次方程，x+by=C的部分 ax+by=c 解，则方程组a2x+by=c2的解为（) 表1 -1 2 -1 -2 表2 0 2 -2 -1 0 x=2 x=-1 x=1 x=3 A. y=-2 B.y=1 c.y=-1 D.y=1 3x-2y=8 5.二元一次方程组2x+y=10的解是() 试卷第1页，共3页 x=-1 X=2 rxs4 X=2 A. y=-3 B.y=4 C.y=2 D.'y=1 6.已知单项式3少与5) 是同类项，则m,”的值是() m=2 m=--2 m=2 m=-2 A.n=-1 B.n=-1 C.n=1 D.n=1 7.如图，9个大小、形状完全相同的小长方形，组成了一个周长为46的大长方形ABCD ，若设小长方形的长为x,宽为)，则可列方程组为() A D B 2x=7y 2x=7y A. 2(7y+x+y)=46 B.7y+x+y=46 2x=7y 7x=2y B.C.2(7y+x+x=46 D.7y+x+y=46 8.学校计划租用若干辆汽车运送七年级学生和带队教师外出进行博物馆参观活动.按照不 浪费座位的原则，如果选用A型客车，一辆车可乘坐45人，那么有35人没有车坐；如果 选用B型客车，一辆车可乘坐60人，那么有一辆车只坐了35人，并且还空出一辆车.设计 划租用辆车，共有学生和带队教师人.则根据题意列方程组为 [45x-35=y 45x=y-35 A. 60(x-2)=y-35 B.60(x-2)+35=y 45x+35=y 45x=y+35 C.60(x-1)+35=y D.y-60(x-2)=35 9.在等式=+x+C中，当=0时，=2：当x=-1时，y=0:当=2时，=12 试卷第2页，共3页 ,则a+br 的值为() A.1 B.4 C.9 D.16 2x+y=■ [x=2 10.方程组x+y=3的解为y=■，则被遮盖的前后两个数分别为() A.1、2 B.1、5 C.5、1 D.2、4 二.填空题（每题3分共计18分） [2a-3b=m a=3 2(x-2)-3(y+1=m 11.若方程组3a+5b=n的解是b=-4,则方程组3(x-2)+5(y+1)=n的解是 12.定义新运算：对于任意实数a、b约定关于⑧的一种运算如下：a⑧b=2a十b.例 如：（-3列®2=2×-3列+2=4.若8-列=5，且2y②x=7,则x+y的值是 ax+by=2 x=3 13.甲乙两人同时解方程组cx-7y=8时，甲正确解得y=-2,乙因抄错c而解得 x=-2 y=2,则a的值是 ,b的值是 x+y=5 2x-y=1 14.已知关于x,y的方程组4ax+5by=-22与ax-by-8=0有相同的解，则a+b的值为 15.从甲地到乙地的路有一段平路与一段上坡路.如果骑自行车保持平路每小时行15k, 上坡每小时行10km,下坡每小时行18km,那么从甲地到乙地需29min,从乙地到甲地需 25min.从甲地到乙地的路程是km. 16.青岛啤酒节上，某店里有甲、乙、丙三个啤酒桶，三个桶中各装有一些啤酒，先将甲 桶中的？啤酒倒入乙桶中，再将乙桶中现有啤酒的倒入丙桶，最后将丙桶中现有啤酒的 试卷第3页，共3页 1 倒回甲桶，这时三个桶中都有24L啤酒，则甲桶原有()L啤酒，乙桶原有()L啤 酒，丙桶原有( )L啤酒. 三解答题（每题9分共计72分） 17.已知3m-4n=5,3s-4t=5,其中m,n,s,t都是常数，且m≠s,请你探究：是否存在一 x=m x=s 个二元一次方程，其解分别为y=n与y=t,若存在，请你写出这个二元一次方程；若 不存在，请你说明理由. x=-2 ax+by=1 18.已知y=1是关于x,y的方程组bx+ay=7的解，则(a+b)a-b)的值. [x=2 ax-by=2 19.己知y=1是二元一次方程组3ax+2by=10的解，求a+2b的值. 20.解二元一次方程组： y=3x-2 (1)3x+y=8 [x-3y=5 x+3+y-1=2 ②)3+4 5x+4y) 21.如图，这是一架天平，天平左盘放有一个物体，质量为 克，右盘放有一些砝 码，每个砝码的质量为15克，当右盘放有2个相同的砝码时，天平处于平衡状态 2345g (I)若y=3,求天平处于平衡状态时x的值： (2)若一个二元一次方程的解m,n都是正整数，我们把m,n称为该方程的正整数解，如： 试卷第4页，共3页 m=1 方程m+n=2的正整数解为n=1,求天平处于平衡状态下的x,y的正整数值； (3)期中考试后，老师计划购买笔记本和圆珠笔给表现优秀的同学作为奖品，笔记本和圆珠 笔的单价均为正整数.若购买5本笔记本，8支圆珠笔，共需要120元，求该方程的所有正 整数解， 2x-y=b3x-2y=b+1 22.若关于x,y的两个方程组x-y=a与3y-5x=a-8有相同的解，求a,b的值. 23.已知-5a+3的立方根是-3,3a+b-1的算术平方根是4，c是正数且算术平方根等于 本身. (1)求a,b,c的值： (2)求4a-2b-c的平方根. 24.一工厂有60名工人，要完成1200套产品的生产任务，每套产品由4个A型零件和3个 B型零件配套组成，每个工人每天能加工6个A型零件或者3个B型零件.现将工人分成 两组，每组分别加工一种零件，并要求每天加工的零件正好配套， ()工厂每天应安排多少名工人生产A型零件？每天能生产多少套产品？ (2)现在工厂要在20天内完成1200套产品的生产，决定补充一些新工人，这些新工人只能 独立进行A型零件的加工，且每名新工人每天只能加工4个A型零件.请问至少需要补充 多少名新工人才能在规定期限完成生产任务？ 试卷第5页，共3页