精品解析：辽宁沈阳市回民中学2025-2026学年高二下学期期初考试数学试题

沈阳市回民中学2024级高二下学期期初考试 数学 出题人：高二数学组 审题人：高二数学组 试卷满分：150分 时间：120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知直线与垂直，则实数的值为（ ） A. B. C. 1 D. -2 2. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 3. 已知数列满足，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 5 4. 甲、乙、丙等5人站成一排，其中甲、乙不相邻且甲、丙相邻的排法有（ ） A. 24种 B. 36种 C. 42种 D. 48种 5. 已知某批矿物晶体中含有大量水分子，且经过测量发现其中轻水分子、重水分子、超重水分子的比例为6：3：1.现利用仪器从一块矿物晶体中分离出3个水分子，用频率估计概率，则至少分离出2个轻水分子的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知等比数列的前项和为，且满足，则数列的前10项和为（ ） A. B. C. D. 7. 某农科所在甲、乙、丙三个地块培育同一种苗，甲地块培育的一等种苗占比95%，乙地块培育的一等种苗占比80%，丙地块培育的一等种苗占比70%，甲、乙、丙培育的种苗数分别占总数的40%、30%、30%，将三个地块培育的种苗混放在一起. 从这批种苗中随机抽取一株，它是一等种苗的概率为（ ） A B. C. D. 8. 双曲线的左顶点为，右焦点，过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支交于点，若，且，则双曲线的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 3 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知随机变量，若，则（ ） A. B. C. D. 10. 记圆：，圆：，则（ ） A. B. 若坐标原点在圆上，则点在圆上 C. 若圆与圆内切，则 D. 当时，圆与圆的相交弦方程为 11. 已知抛物线的焦点，，为抛物线上的两个动点，为线段的中点，，则（ ） A. B. 若，则点到准线的距离为4 C. 的最小值为4 D. 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设等差数列的前项和为.若，则______. 13. 某多功能体育场馆决定承包举办马术、击剑、游泳、跑步四项比赛.应主办方要求，马术比赛和跑步比赛不相邻，游泳比赛不在第一场也不在最后一场，则不同的比赛方式共有______种. 14. 椭圆具有特殊的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.对于椭圆，其左、右焦点分别是，，P为椭圆C上任意一点，面积的最大值为，椭圆C在点P处的切线为l，过点P且与l垂直的直线与椭圆的长轴交于点M（M与O不重合），且，若，则________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的展开式中第3项与第项的二项式系数之和为30. （1）求的值； （2）记，从中任取两个相乘，求积为负数的概率. 16. 某地区从高一年级的物理测试中随机抽取了100名学生的物理成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图． （1）估计该地区本次物理测试的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）； （2）该地区某学校建议此次物理测试成绩在本地区前60%的学生选科报物理方向，试估计报物理方向的学生本次成绩不低于多少分？（结果保留整数） （3）从成绩位于区间和的答卷中，采用分层抽样随机抽取7份，再从这7份中随机抽取3份，设成绩在的答卷份数为随机变量X，求X的分布列及数学期望． 17. 如图，在四棱锥中，底面，底面是直角梯形，，，，点是棱上的动点，且． （1）若，证明：平面； （2）若与平面所成角的正弦值为，求的值． 18. 随着全国新能源汽车推广力度的加大，新能源汽车消费迎来了前所未有的新机遇． （1）为了更好了解乡村居民对新能源汽车接受程度，某乡村汽车协会依据年龄采用分层随机抽样的方式，从40岁以下和40岁及以上两个年龄层中各抽取80名村民进行调查，并对他们选择新能源汽车，还是选择传统汽车进行意向调查，得到了以下统计数据： 选择新能源汽车 选择传统汽车 总计 40岁以下 56 80 40岁及以上 36 80 总计 160 完成列联表，并判断是否有的把握认为选择新能源汽车与年龄有关； （2）为了了解某一地区新能源汽车的销售情况，某机构根据统计数据，用最小二乘法得到该地区新能源汽车销售量（单位：万台）关于年份的线性回归方程，且销售量的方差为，年份的方差为．求与间的样本相关系数，并据此判断该地区新能源汽车销售量与年份的线性相关性强弱． 附：（i）在线性回归方程中，； （ii）样本相关系数，若，则可判断与线性相关性较强； （iii），其中． 参考数据： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3841 6.635 7.879 10828 19. 《文心雕龙》有语：“造化赋形，支体必双，神理为用，事不孤立，”意指自然界的事物都是成双成对的．已知动点P到定点的距离和它到定直线的距离的比值是常数（且）设点P的轨迹为曲线H，若某条直线上存在这样的点P，则称该直线为“齐备直线”． （1）若，求曲线H方程； （2）若“齐备直线”与曲线H相交于A、B两点，点M为曲线H上不同于A、B的一点，且直线，的斜率分别为，，判断是否存在，使得取得最小值，说明理由； （3）若，与曲线H有公共点N的“齐备直线”与曲线H的两条渐近线分别交于点S、T，且N为线段的中点，求证：直线与曲线H有且仅有一个公共点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 沈阳市回民中学2024级高二下学期期初考试 数学 出题人：高二数学组 审题人：高二数学组 试卷满分：150分 时间：120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知直线与垂直，则实数的值为（ ） A. B. C. 1 D. -2 【答案】B 【解析】 【详解】根据两直线垂直系数的关系，即可求得答案． 【分析】因为直线与垂直， 所以，即，解得． 2. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量的数量积运算、向量模长计算、投影向量的定义与公式计算可得. 【详解】在上的投影向量为 . 故选：C 3. 已知数列满足，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】由数列递推关系得到数列是周期为3的周期数列，即可求解． 【详解】由， 则， 所以， 所以数列是周期为3的周期数列， 对做除法得：，即除以3余1， 因此. 4. 甲、乙、丙等5人站成一排，其中甲、乙不相邻且甲、丙相邻的排法有（ ） A. 24种 B. 36种 C. 42种 D. 48种 【答案】B 【解析】 【分析】先使用捆绑法求出甲、丙相邻的所有排法，再利用排除法，减去其中甲、乙也相邻的排法，即可得解. 【详解】将甲、丙进行捆绑，形成一个“大元素”，再将这个“大元素”与其他3个人进行排序，共有种排法． 接下来考虑甲与乙、丙都相邻的情形， 需将甲、乙、丙进行捆绑，且甲位于中间， 然后将这个“大元素”与其他2个人进行排序，此时共有种排法． 综上，共有种不同的排法． 故选：B. 5. 已知某批矿物晶体中含有大量水分子，且经过测量发现其中轻水分子、重水分子、超重水分子比例为6：3：1.现利用仪器从一块矿物晶体中分离出3个水分子，用频率估计概率，则至少分离出2个轻水分子的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二项分布的概率公式计算，注意至少分离出2个轻水分子含有分离出2个轻水分子和分离出3个轻水分子两种情况 【详解】设事件“至少分离出2个轻水分子”， 由题意知分离出1个轻水分子的概率为， 分离出1个非轻水分子的概率为， 所以， 故至少分离出2个轻水分子的概率为． 故选：D. 6. 已知等比数列的前项和为，且满足，则数列的前10项和为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据求出首项和公比，利用等比数列求和公式可得答案. 【详解】因为，所以当时，有， 两式相减：，即； 当时，， 因为为等比数列，所以，代入可得， 数列是首项为 3、公比为 3 的等比数列， 所以前 10 项和为. 故选：D 7. 某农科所在甲、乙、丙三个地块培育同一种苗，甲地块培育的一等种苗占比95%，乙地块培育的一等种苗占比80%，丙地块培育的一等种苗占比70%，甲、乙、丙培育的种苗数分别占总数的40%、30%、30%，将三个地块培育的种苗混放在一起. 从这批种苗中随机抽取一株，它是一等种苗的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别计算从甲、乙、丙每块地中抽取到一等种苗的概率，再利用全概率公式计算最终结果. 【详解】记事件表示“随机抽取一株是一等种苗”， 事件表示“抽取的种苗来自甲地块”， 事件表示“抽取的种苗来自乙地块”， 事件表示“抽取的种苗来自丙地块”， 则，，， ，，， 由全概率公式 ， 因此从这批种苗中随机抽取一株，它是一等种苗的概率为. 故选：D 8. 双曲线的左顶点为，右焦点，过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支交于点，若，且，则双曲线的离心率为（ ） A B. 2 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】利用直角三角形边角关系求得，，然后利用双曲线第二定义求得，解方程可得，，即可得解. 【详解】过作垂直x轴于点P，作垂直双曲线的准线于点Q，如图： 由题意，所以， 所以，，所以， 又，所以，所以， 所以，即，又，所以，化简得，所以，所以. 故选：B 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知随机变量，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据正态分布的定义和正态曲线的性质，利用均值与方差的计算性质逐一判断各选项即得. 【详解】因为随机变量，所以，故A正确； ，故B正确； 因为随机变量，所以， 则，故C错误； 又，故D错误. 故选：AB. 10. 记圆：，圆：，则（ ） A. B. 若坐标原点在圆上，则点在圆上 C. 若圆与圆内切，则 D. 当时，圆与圆的相交弦方程为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，先得到，，由两点间距离公式可得A正确；B选项，代入原点坐标，求出，得到圆的方程，从而得到点在圆上；C选项，根据圆心距和两圆半径的关系得到方程，求出；D选项，两圆相减可得相交弦方程. 【详解】A选项，圆的圆心为，圆的圆心为， 则，A正确； B选项，若坐标原点在圆上，则，故， 故圆的方程为， 将代入可得，故点在圆上，B正确； C选项，圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为， 由A知，， 若圆与圆内切，则，解得，C错误； D选项，时，圆：，圆：， 两圆相减得，D正确. 故选：ABD 11. 已知抛物线的焦点，，为抛物线上的两个动点，为线段的中点，，则（ ） A. B. 若，则点到准线的距离为4 C. 的最小值为4 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，根据焦点求出；对于B ，C，由抛物线的定义可判断；对于D延长交准线于点，由抛物线的定义得出为的中位线，设，再利用相似关系即可求出. 【详解】对于A，因为抛物线的焦点，所以，得，故A正确； 对于B ，分别过点作准线的垂线，垂足为， 则由抛物线的定义可知， 因为为线段中点，所以点到准线的距离为，故B错误； 对于C，因为， 则当三点共线时，有最小值，故C正确； 延长交准线于点，由以及抛物线定义可知，， 则为的中位线， 设，则，， 由相似关系可知，，则，得，故，故D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设等差数列的前项和为.若，则______. 【答案】 【解析】 【分析】由等差数列前n项和公式及等差数列的性质求. 【详解】. 故答案为： 13. 某多功能体育场馆决定承包举办马术、击剑、游泳、跑步四项比赛.应主办方要求，马术比赛和跑步比赛不相邻，游泳比赛不在第一场也不在最后一场，则不同的比赛方式共有______种. 【答案】 【解析】 【分析】对游泳比赛的安排进行分类讨论，接下来依次安排马术比赛或跑步比赛，结合分步乘法和分类加法计数原理可得结果. 【详解】对游泳比赛的安排进行分类讨论： ①若游泳比赛安排在第二场，为保证马术、跑步不相邻， 则第一场安排马术比赛或跑步比赛，剩余两项比赛的安排无限制， 此时不同的安排方法种数为种； ②若游泳比赛安排在第三场，为保证马术、跑步不相邻， 则第四场安排马术比赛或跑步比赛，剩余两项比赛的安排无限制， 此时不同的安排方法种数为种. 综上所述，不同的安排方法种数为. 故答案为：. 14. 椭圆具有特殊的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.对于椭圆，其左、右焦点分别是，，P为椭圆C上任意一点，面积的最大值为，椭圆C在点P处的切线为l，过点P且与l垂直的直线与椭圆的长轴交于点M（M与O不重合），且，若，则________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据给定条件，求出椭圆方程，再利用三角形面积公式及椭圆定义，结合余弦定理列式求解. 【详解】由椭圆，得椭圆的短半轴长，设该椭圆半焦距为， 由面积的最大值为，得，，即椭圆的方程为， 由椭圆的光学性质得过点与垂直的直线为的角平分线，而， 则，令， 则，而，， 于是，且， 由，得， 整理得，解得或， 当时，，点与点重合，不符合题意， 所以，. 故答案为：3 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的展开式中第3项与第项的二项式系数之和为30. （1）求的值； （2）记，从中任取两个相乘，求积为负数的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意，可得，根据组合数的求法，列式计算，即可得答案. （2）由（1）得，进而可得的通项公式，即可求出，分析可得当时，，当时，，根据古典概型概率公式，列式计算，即可得答案. 【小问1详解】 第3项与第项的二项式系数之和为， 即，解得或， 又，所以. 【小问2详解】 由（1）得，则的通项公式为， 所以， 所以当时，，当时，， 所以从中任取两个相乘，积为负数的概率为. 16. 某地区从高一年级的物理测试中随机抽取了100名学生的物理成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图． （1）估计该地区本次物理测试的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）； （2）该地区某学校建议此次物理测试成绩在本地区前60%的学生选科报物理方向，试估计报物理方向的学生本次成绩不低于多少分？（结果保留整数） （3）从成绩位于区间和的答卷中，采用分层抽样随机抽取7份，再从这7份中随机抽取3份，设成绩在的答卷份数为随机变量X，求X的分布列及数学期望． 【答案】（1）74分 （2）72分 （3）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）将每个矩形底边中点值与各矩形面积相乘，再将所得数据相加即可得出结果； （2）根据频率分布直方图估计数据的第40百分位数即可； （3）利用分层抽样原理，求得、两区间内分别抽取了多少份，再结合超几何分布即可求解． 【小问1详解】 由题意，解得， 则平均分 ，所以该地区本次物理测试的平均分为74分． 【小问2详解】 成绩在的频率为0.1， 在的频率为0.25，在的频率为0.3， 因为，， 所以选报物理方向的最低分x在内，则，解得，所以估计报物理方向的学生本次成绩不低于72分． 【小问3详解】 由题可知，成绩在区间的频数为， 成绩在区间的频数为， 利用分层抽样，从中抽取7份，成绩在的频数为， 成绩在的频数为， 再从这7份答卷中随机抽取3份，X的所有可能取值为0，1，2， ，， ， 故X的分布列为： X 0 1 2 P 所以X的数学期望为：． 17. 如图，在四棱锥中，底面，底面是直角梯形，，，，点是棱上的动点，且． （1）若，证明：平面； （2）若与平面所成角的正弦值为，求的值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行线等分线段定理，结合线面平行的判定定理进行证明即可； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可. 【小问1详解】 如图连接交于点，连接 因为且， 所以， 因为，所以， 所以，所以 ， 又因为平面，平面, 所以平面 【小问2详解】 如图建立空间直角坐标系，则,， 则,， 因为，所以， 所以， 设平面的一个法向量， 则 ，即，令，得， 所以，解得或（舍） 所以的值为. 18. 随着全国新能源汽车推广力度的加大，新能源汽车消费迎来了前所未有的新机遇． （1）为了更好了解乡村居民对新能源汽车的接受程度，某乡村汽车协会依据年龄采用分层随机抽样的方式，从40岁以下和40岁及以上两个年龄层中各抽取80名村民进行调查，并对他们选择新能源汽车，还是选择传统汽车进行意向调查，得到了以下统计数据： 选择新能源汽车 选择传统汽车 总计 40岁以下 56 80 40岁及以上 36 80 总计 160 完成列联表，并判断是否有的把握认为选择新能源汽车与年龄有关； （2）为了了解某一地区新能源汽车的销售情况，某机构根据统计数据，用最小二乘法得到该地区新能源汽车销售量（单位：万台）关于年份的线性回归方程，且销售量的方差为，年份的方差为．求与间的样本相关系数，并据此判断该地区新能源汽车销售量与年份的线性相关性强弱． 附：（i）在线性回归方程中，； （ii）样本相关系数，若，则可判断与线性相关性较强； （iii），其中． 参考数据： 01 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）表格见解析，没有的把握认为选择新能源汽车与年龄有关； （2）0.84，与线性相关性较强． 【解析】 【分析】（1）根据题中数据补全列联表即可：再由表中数据以及公式进行计算求解即可； （2）根据样本相关系数公式计算可得答案. 【小问1详解】 补全列联表如下： 选择新能源汽车 选择传统汽车 总计 40岁以下 56 24 80 40岁及以上 44 36 80 总计 100 60 160 提出零假设为：选择新能源汽车与年龄无关． 则， 故认为选择新能源汽车与年龄无关； 【小问2详解】 因为， 所以，又， 所以，故与线性相关性较强． 19. 《文心雕龙》有语：“造化赋形，支体必双，神理为用，事不孤立，”意指自然界的事物都是成双成对的．已知动点P到定点的距离和它到定直线的距离的比值是常数（且）设点P的轨迹为曲线H，若某条直线上存在这样的点P，则称该直线为“齐备直线”． （1）若，求曲线H的方程； （2）若“齐备直线”与曲线H相交于A、B两点，点M为曲线H上不同于A、B的一点，且直线，的斜率分别为，，判断是否存在，使得取得最小值，说明理由； （3）若，与曲线H有公共点N的“齐备直线”与曲线H的两条渐近线分别交于点S、T，且N为线段的中点，求证：直线与曲线H有且仅有一个公共点． 【答案】（1） （2）存在，理由见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）当时，定直线，比值为，计算可得曲线H的方程； （2）求得曲线H的方程，进而联立方程组求得，利用基本不等式可求得最小值； （3）当时，曲线，设，与渐近线方程联立方程组，求得的坐标，进而求得的坐标，代入曲线的方程，进而计算可得结论. 【小问1详解】 当时，定直线，比值为． 设，由已知得， 两边平方，整理得，即为曲线H的方程． 【小问2详解】 设，由已知，得， 整理得，，即为曲线H的方程． 设，， 则，， ． 则 当且仅当，即时，等号成立． 所以存在使得取得最小值4． 【小问3详解】 由（2）知，当时，曲线，它是焦点在x轴上的双曲线，其渐近线方程为，不妨设S在渐近线上，如图， 设，因为直线与双曲线的两条渐近线分别交于点S，T，所以． 由，解得，即， 同理得，所以 代入双曲线方程，得， 整理得，即 解得（舍）或 当时，由，消去y得， 此时，，故方程有两个相等的解． 故直线与曲线H有且仅有一个公共点N． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $