精品解析：山东省东营市2025-2026学年高三下学期第一次诊断性测试数学试题

高三年级第一次诊断性测试 数学试题 本试卷共4页 满分150分 考试时间120分钟 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 设集合 ，则集合（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先解一元二次不等式得出集合A，再解对数不等式得出集合，最后计算交集即可. 【详解】集合 ， ， 则集合. 故选：A. 2. 在平面直角坐标系中，直线与函数的图象的交点个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 0或1 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】由函数的概念，结合函数定义域的范围即可判断. 【详解】由函数的定义可知，对定义域内的任意一个，只有唯一的与之对应， 若在函数定义域内，则直线与函数的图象的交点个数为1， 若不在函数定义域内，则直线与函数的图象的交点个数为0， 所以函数的图象与直线的交点个数为0或1. 3. 在复平面内，把复数对应的向量绕原点沿顺时针方向旋转，则旋转后的向量对应的复数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】法一：根据复数与复平面内向量的关系，结合三角函数关系计算即可得；法二：借助复数的三角形式及其乘法的几何意义计算即可得. 【详解】法一：复数对应的向量为，则， 向量与轴正半轴夹角为， 设该向量绕原点沿顺时针方向旋转后所得向量坐标为， 则，， 即所得向量坐标为，故旋转后的向量对应的复数为； 法二：复数对应的向量绕原点沿顺时针方向旋转后的向量对应的复数为： . 4. 已知等差数列的前n项和为 ，且满足 则 （ ） A. 30 B. 60 C. 90 D. 120 【答案】D 【解析】 【分析】先应用等差数列项的性质计算得出，再结合等差数列求和公式计算求解. 【详解】因为是等差数列，且 ， 又 ，所以，解得， 则 . 5. 在2025年10月19日举行的黄河口马拉松比赛活动中，甲、乙、丙、丁四位志愿者被派往A、B、C三个服务站，若每个服务站至少派一位志愿者，且每位志愿者只能被派往一个服务站，则在甲被派去B服务站的条件下，甲、乙被派去同一个服务站的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出甲被安排到服务站的方法数，再求出甲，乙被派去同一个服务站的方法数，然后求其概率即可. 【详解】先求甲被派去服务站的方法数； 第一种情况：甲一个人去服务站，则有种； 第二种情况：甲和其中一人去服务站，则有种； 故甲被派去服务站的方法数共种； 再求甲乙被派去同一个服务站的方法数：有种； 故概率为. 6. 已知随机变量，且， 则当时， 的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用正态分布的对称性，再利用基本不等式“1”的妙用即可得解. 【详解】根据题意，随机变量，且，则有，解得.由，即， 所以，当且仅当，即时取等号. 7. 如图所示，四边形ABCD 为正方形，将△ACD 绕AC旋转得到三棱锥，且三棱锥D—ABC的体积为 ， 则三棱锥D-ABC 外接球的半径R为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】正方形的边长为a，由题意，求出各个长度，代入体积公式，可求得a值，分析可得AC中点O为外接球球心，即可求得答案. 【详解】设正方形的边长为a，则， 取中点O，连接，则， 因为将围绕旋转得到三棱锥， 所以D到平面ABC的距离， 则三棱锥的体积， 解得， 因为与均为直角三角形，且AC为斜边，O为AC中点， 所以O为三棱锥外接球的球心， 所以三棱锥外接球的半径. 8. 点 P 在以为焦点的椭圆 上，若 ，且 ，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由同角三角函数关系式及两角差的正弦公式，求得各角的正弦值，根据正弦定理及比例的性质即可求得，即椭圆的离心率. 【详解】中，若 则，所以. 因为 ，所以； 因为所以， 因为，所以. 由，得. 所以. 由正弦定理，得， 设椭圆的焦距为，则椭圆的离心率. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分，每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 一组样本数据， 其平均数、方差、第一四分位数、极差分别记为，由这组数据得到一组新样本数据，其中 ，其平均数、方差、第一四分位数、极差分别记为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】不妨设，再利用平均数定义、方差性质、百分位数定义与极差定义逐项计算并判断即可. 【详解】不妨设，则； 对A：，故A正确； 对B：由方差性质可得，故B错误； 对C：若为整数，则， ； 若不为整数，则，其中表示不大于的最大整数， ，故C正确； 对D：，，故D错误. 10. 已知曲线，点在曲线上，则下列结论正确的是（ ） A. 曲线有4条对称轴 B. 的最小值是 C. 曲线围成的图形面积为 D. 的最大值是1 【答案】ACD 【解析】 【分析】当时，化简方程为，结合曲线的对称性，画出曲线的图象，结合图象，可得判定A正确，把表示曲线上的点到直线的距离的倍，可判定B错误；结合圆的面积公式和正方形的面积公式，可判定以C正确；设表示点与点确定的直线的斜率，结合图象，利用点到直线的距离公式，列出方程，可得判定D正确. 【详解】当时，原方程化为，即， 所以曲线是以圆心为，半径为的圆在第一象限的部分， 又由图象关于轴，轴对称，所以曲线，如图所示.， 对于A中，由图象可得，该曲线关于轴，轴，和对称， 所以该曲线有4条对称轴，所以A正确， 对于B中，由表示曲线上的点到直线的距离的倍， 结合图象得，当是时，距离最小值为， 所以最小值为，所以B错误； 对于C中，曲线围成的图形由四个直径为的半圆和一个边长为的正方形组成， 所以面积为，所以C正确； 对于D中，设表示点与点确定的直线的斜率， 设该直线方程为，结合图象，当，即， 则圆心为，半径为的圆在第四象限的部分与直线相切时， 该切线的斜率是的最大值，由，可得，解得或（舍），则的最大值为1，所以D正确. 故选：ACD. 11. 已知数列满足，则下列结论正确的是（ ） A. 数列为递增数列 B. ， C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用归纳法结合数列单调性的定义判断A，利用数列的单调性和判断B，构造函数并结合导数判断C，D即可. 【详解】对于A，由题意得当时，，满足，成立， 假设当时，，当时，由已知得， 可得，因为，所以， 令，可得，且， 则在上单调递增，得到，故， 综上可得，对于任意，， 因为，所以， 可得数列为递增数列，故A正确， 对于B，因为，且数列为递增数列， 所以，，故B正确， 对于C，欲证，则证， 即证，故证即可， 令，则， 令，则， 则在上单调递减，且，得到，即， 故在上单调递增，而，可得， 则，即，故C正确， 对于D，欲证，则证， 即证，故证即可， 令，则， 令，则，可得在上单调递减， 且，，则， 由零点存在性定理得存在作为零点，即零点， 令，，令，， 则在上单调递增，在上单调递减， 而，，则， 此时不满足，故D错误. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 已知正方形的边长为，为的中点，则__________． 【答案】2 【解析】 【详解】·=(+)·(-) =-·+·-·=22-×22=2. 13. 写出一个满足下列条件的函数解析式_______.①；②，且. 有 ；③且 有 ；④. 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】抓住第四个条件对应的函数解析式运算特征，分析学过的基本初等函数模型中，幂函数能与之对应，随即可解. 【详解】条件①对应的是偶函数；条件②对应的为函数在上单调递减； 条件③为琴生不等式，对应的是函数的凸凹性：函数在上为下凸函数；条件④对应函数解析式的运算特征， 在所学过的函数模型中，一次函数与幂函数符合，结合①②③，不符合； 在中，取为负偶数即可. 14. 甲、乙、丙三人每人制作两张卡片，将卡片放在同一个盒子中，每人不放回地随机抽取两张，设至少取回一张自己的卡片的人数为X，则_______. 【答案】 【解析】 【分析】用字母表示出甲、乙、丙的卡片，计算出相应样本空间与总样本空间求出概率即可. 【详解】设甲制作的卡片为；乙制作的卡片为；丙制作的卡片为. 代表三人只有一人至少取回一张自己的卡片， 有种情况；不妨设是甲至少取回一张自己的卡片； 当甲只取回一张自己的卡片时，有种； 例如：甲取到的卡片为，此时丙不能取， 只能取，即甲取回一张自己的卡片时，样本数为； 当甲取回两张自己的卡片时，此时乙与丙只能相互交换， 即有种；而总样本空间为甲、乙、丙三人各自任取两张卡片，即， 所以; 代表三人有两人至少取回一张自己的卡片， 即有一个人没有取回自己的卡片，有种情况； 不妨设是丙没有取回自己的卡片，则丙要在四张中取两个， 显然丙不能取或，所以丙有种取法， 例如：丙取的是，则甲留下，只能在中取一个，即种，剩下两张给乙， 即共有种，所以. 所以. 四、解答题：本大题共5小题，共计77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的角A，B，C所对的边分别是a，b，c， 向量 （1）若 求A； （2）若 求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）通过向量平行转化为边角关系，再用正弦定理和三角恒等变换求解即可. （2）通过向量垂直得到边的关系，结合余弦定理和面积公式求解即可. 【小问1详解】 因为所以①. 又由正弦定理，即，代入①式， 可得，整理得， 又，所以，解得. 【小问2详解】 因为，所以， 即，又，所以. 因为，由余弦定理可得， 即，解得或（舍去）. 故. 16. 如图，在三棱锥中，平面⊥平面，， 分别为棱上的点. （1）若∥，∥，证明:∥； （2）若分别为棱 的中点，在棱上是否存在点G，使得平面与平面所成角为?若存在，求 的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）若∥ ，平面， 平面，所以∥平面； 若∥，平面，平面，所以∥平面. 因为平面，所以平面∥平面. 又平面平面，平面平面， 所以∥. （2）存在, 或 【解析】 【分析】（1）先由面面平行的判定定理证明平面∥平面，再由面面平行的性质定理证明∥； （2）由面面垂直的性质定理证明 平面，建立空间直角坐标系，设棱上是否存在点G，使得平面与平面所成角为，且 ，由面面角的向量求法列出关于的方程，求解可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，所以，所以.  因为平面 ⊥平面，平面 平面 ，平面 ，所以 平面. 过作 ，垂足为，则. 所以. 如图所示，以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系. 则. 所以. 设：在棱上是否存在点G，使得平面与平面所成角为，且 ， 则，所以. 设平面的法向量为， 则. 令，则. 所以平面的法向量为. 由 平面，知平面的一个法向量为. 所以， 即，化简得，解得或. 故在棱上存在点G，使得平面与平面所成角为，此时 或. 17. 已知函数 （1）当时， 求函数在处的切线方程； （2）若函数在处取得极值， (i)求的值； (ii)已知 ，若在上恒成立， 求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）当时，，，求出，代入到直线的点斜式方程计算即可. （2）(i)函数在处取得极值，则，由得， ，则，计算即可. (ii) 由在恒成立，利用分离常数法得：，令，得，则，时，，得是最小值点，计算即可. 【小问1详解】 当时，， ， ， ， 函数在处的切线方程为， 化简得：. 【小问2详解】 (i)函数在处取得极值， ， ， ， ， ， ， ， 令，解得：或， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 函数在处取得极小值， 函数在处取得极值时 (ii) 由(i)得， ，且，在恒成立， ，即， ，整理得：， 即， 令， ， ， ， 化简得： ， 令，则， 时，， 在单调递增， ， 当时，， 解得：， 当，，单调递减， 当，，单调递增， 是极小值点，也是最小值点， ， ， 实数的取值范围是. 18. 在第十五届全国运动会乒乓球女子团体金牌赛中，山东队拼尽全力、不屈不挠，最终战胜河北队，夺得冠军.为了弘扬国球精神，提升竞技水平，某学校举行“校园杯”趣味乒乓球比赛，甲乙两名同学进行“单打对决”，规则如下：比赛采用五局三胜制，为增加比赛悬念，每局比赛不设固定分数上限，实行“净胜两分制”，即从0比0开局，率先净胜对手2分的一方赢得该局.经赛前技术分析，在每一个回合(即从发球开始到一方得分结束的完整对抗过程)中，甲得分的概率为，乙得分的概率为.假设各回合结果相互独立，无无效回合，且各局胜负互不影响. （1）在某一局比赛中，求经过2回合结果为平局的概率和经过4回合结果为平局的概率； （2）在某一局比赛中，记“经过个回合甲获胜”为事件，分别求及在该局比赛中甲获胜的概率； （3）比赛结束时，双方共进行了局比赛，求的分布列. (附:当时，). 【答案】（1）； （2）；；；； （3） 3 4 5 【解析】 【分析】（1）利用独立重复试验的性质结合独立事件概率公式求解即可. （2）结合题意求出对应概率，再求出，最后得到甲获胜的概率即可. （3）结合题意求出对应情况的概率，最后列出分布列即可. 【小问1详解】 由题意得甲得分的概率为，乙得分的概率为， 则，. 【小问2详解】 由题意得，， ，， 当为奇数时，， 当为偶数时，， 则甲获胜的概率为 ， 当时，，则甲获胜的概率为. 【小问3详解】 由已知得甲获胜的概率为，且的取值为， 而， ， . 可得分布列如下， 3 4 5 19. 已知双曲线的左，右焦点分别为，双曲线上任意一点到两条渐近线的距离的乘积为. （1）求双曲线的标准方程； （2）直线经过点，且与双曲线的右支交于两点，设的内心为点，求证：点在定直线上； （3）从双曲线的一个焦点处出发的光线照射到双曲线上，经反射后光线的反向延长线会经过双曲线的另一个焦点，他们就好像是从另一个焦点射出的一样，双曲线的这一光学性质被广泛应用，如图，由发出的光线经双曲线上一点反射后，反射光线的反向延长线经过点，连接交双曲线于点，点也是一个反射点，连接交双曲线于点，则点也是一个反射点，再连接，交双曲线于点，则点也是一个反射点，……，各反射点连线得到折线，设第n个反射点为()，求证：数列为等比数列. 【答案】（1） （2） 由题意得的斜率一定存在，且直线经过点， 设直线方程为，如图，作出符合题意的图形， 设的角分线的方向向量为，， 则，， 且，即， 因为在双曲线上，所以，化简得， 则， 同理可得，则， 整理可得， 因为，， 所以化简得，而，则， 解得，可得的角分线的斜率为， 则的角分线的方程为，化简得， 结合内心的性质得点在定直线上. （3） 如图，作出符合题意的图形， 因为， 所以， ， 则，由角分线定理得， 可得，整理可得， 同理可得，两式联立可得， 由题意得，则，可得， 则数列为以为首项，为公比的等比数列. 【解析】 【分析】（1）利用点到直线的距离公式并结合题意建立方程组，求解基本量，最后得到双曲线方程即可. （2）作出符合题意的图形，结合题意与角分线的性质求解出角平分线的斜率，得到角平分线的方程，最后结合内心的性质确定即可. （3）结合题意并利用角平分线定理得到递推式，最后结合等比数列的定义证明即可. 【小问1详解】 由题意得双曲线的左，右焦点分别为， 则，可得，且双曲线的渐近线方程为， 设到两条渐近线的距离分别为，， 由点到直线的距离公式得，， 则，而到两条渐近线的距离的乘积为， 可得，化简得， 解得（另一根舍去），则双曲线的方程为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三年级第一次诊断性测试 数学试题 本试卷共4页 满分150分 考试时间120分钟 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 设集合 ，则集合（ ） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，直线与函数的图象的交点个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 0或1 D. 无法确定 3. 在复平面内，把复数对应的向量绕原点沿顺时针方向旋转，则旋转后的向量对应的复数为（ ） A. B. C. D. 4. 已知等差数列的前n项和为 ，且满足 则 （ ） A. 30 B. 60 C. 90 D. 120 5. 在2025年10月19日举行的黄河口马拉松比赛活动中，甲、乙、丙、丁四位志愿者被派往A、B、C三个服务站，若每个服务站至少派一位志愿者，且每位志愿者只能被派往一个服务站，则在甲被派去B服务站的条件下，甲、乙被派去同一个服务站的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知随机变量，且， 则当时， 的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 如图所示，四边形ABCD 为正方形，将△ACD 绕AC旋转得到三棱锥，且三棱锥D—ABC的体积为 ， 则三棱锥D-ABC 外接球的半径R为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 8. 点 P 在以为焦点的椭圆 上，若 ，且 ，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分，每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 一组样本数据， 其平均数、方差、第一四分位数、极差分别记为，由这组数据得到一组新样本数据，其中 ，其平均数、方差、第一四分位数、极差分别记为，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知曲线，点在曲线上，则下列结论正确的是（ ） A. 曲线有4条对称轴 B. 的最小值是 C. 曲线围成的图形面积为 D. 的最大值是1 11. 已知数列满足，则下列结论正确的是（ ） A. 数列为递增数列 B. ， C. D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 已知正方形的边长为，为的中点，则__________． 13. 写出一个满足下列条件的函数解析式_______.①；②，且. 有 ；③且 有 ；④. 14. 甲、乙、丙三人每人制作两张卡片，将卡片放在同一个盒子中，每人不放回地随机抽取两张，设至少取回一张自己的卡片的人数为X，则_______. 四、解答题：本大题共5小题，共计77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的角A，B，C所对的边分别是a，b，c， 向量 （1）若 求A； （2）若 求的面积. 16. 如图，在三棱锥中，平面⊥平面，， 分别为棱上的点. （1）若∥，∥，证明:∥； （2）若分别为棱 的中点，在棱上是否存在点G，使得平面与平面所成角为?若存在，求 的值；若不存在，请说明理由. 17. 已知函数 （1）当时， 求函数在处的切线方程； （2）若函数在处取得极值， (i)求的值； (ii)已知 ，若在上恒成立， 求实数的取值范围. 18. 在第十五届全国运动会乒乓球女子团体金牌赛中，山东队拼尽全力、不屈不挠，最终战胜河北队，夺得冠军.为了弘扬国球精神，提升竞技水平，某学校举行“校园杯”趣味乒乓球比赛，甲乙两名同学进行“单打对决”，规则如下：比赛采用五局三胜制，为增加比赛悬念，每局比赛不设固定分数上限，实行“净胜两分制”，即从0比0开局，率先净胜对手2分的一方赢得该局.经赛前技术分析，在每一个回合(即从发球开始到一方得分结束的完整对抗过程)中，甲得分的概率为，乙得分的概率为.假设各回合结果相互独立，无无效回合，且各局胜负互不影响. （1）在某一局比赛中，求经过2回合结果为平局的概率和经过4回合结果为平局的概率； （2）在某一局比赛中，记“经过个回合甲获胜”为事件，分别求及在该局比赛中甲获胜的概率； （3）比赛结束时，双方共进行了局比赛，求的分布列. (附:当时，). 19. 已知双曲线的左，右焦点分别为，双曲线上任意一点到两条渐近线的距离的乘积为. （1）求双曲线的标准方程； （2）直线经过点，且与双曲线的右支交于两点，设的内心为点，求证：点在定直线上； （3）从双曲线的一个焦点处出发的光线照射到双曲线上，经反射后光线的反向延长线会经过双曲线的另一个焦点，他们就好像是从另一个焦点射出的一样，双曲线的这一光学性质被广泛应用，如图，由发出的光线经双曲线上一点反射后，反射光线的反向延长线经过点，连接交双曲线于点，点也是一个反射点，连接交双曲线于点，则点也是一个反射点，再连接，交双曲线于点，则点也是一个反射点，……，各反射点连线得到折线，设第n个反射点为()，求证：数列为等比数列. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $