精品解析：陕西省西安市爱知中学2025--2026学年下学期九年级阶段学情自测考数学试卷

初三第六次学情检测数学学科试题 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 计算：的结果等于（ ） A. B. 5 C. D. 1 2. 如图，将图中的平面图形绕直线旋转一周，得到的立体图形是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，一块一个含角直角三角尺的一个顶点落在直尺的一边上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，过点作交于点，过点作于点，若平分，则图中度数为的角共有（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 6. 把直线向右平移2个单位长度可以得到直线，则下列各点在直线上的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，是的直径，点，在上，且点是弧的中点，连接交于点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 若抛物线与轴交于点，对称轴为直线，则下列结论正确的是（ ） A. B. 抛物线与直线无交点 C. 的最小值为 D. 若与在抛物线上，则 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 满足整数的值可以是_____．（写出一个即可） 10. 当等于1，2，3时，由白色小正方形和黑色小正方形组成的图形分别如图所示，按此规律进行下去，则当时，图形中白色小正方形和黑色小正方形的个数总和为_____． 11. 某商品进价120元，售价是180元，由于销售情况不好，商店决定打折出售，但要保证的利润，则该店应打_____折出售． 12. 如图，在菱形中，点是边的中点，交的延长线于点．若，，则菱形的面积是_____． 13. 点都在反比例函数的图象上，若，则的值为_____． 14. 如图，在中，的长为定值，，点在射线上运动，连接，过点三点的圆交于点，当的最小值为时，则的长为_____． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 计算： 16. 解不等式组，并将解集表示在同一数轴上． 17. 化简： 18. 如图，、表示两条相交的公路，A、B为公路边上的两个村庄，现要在区域内建一个超市P，要求超市到A、B两个村庄的距离相等，且．请利用尺规作图确定超市的位置．（保留作图痕迹，不写作法） 19. 如图，在矩形中，点在上，点在上，且，连接，过B作于点G，过D作于点H，求证：． 20. 数学活动课上，小明所在的兴趣小组设置了一个跨学科的游戏活动：如图，他们把生活中的这几种现象的图片制成五张除正面内容不同外，其余都相同的卡片，其中卡片A，C，E属于物理变化，B，D属于化学变化．小明将这些卡片背面朝上洗匀，然后放置在桌面上． （1）若组员小红从这随机抽取一张卡片，则她抽到“冰雪融化”的概率是 ； （2）若小明从中五张卡片中随机抽取两张卡片，请你用列表或画树状图的方法，求出小明抽到的卡片内容都是化学变化的概率． 21. 无人机社团的开设为学生提供了接触前沿科技的平台，有效培养了学生的空间思维、动手实践能力．小明发现学校的无人机社团正在小广场上训练，当他站在教学楼上的点处利用测倾仪测得无人机（点）的仰角为，小亮站在操场上的点处利用测倾仪测得无人机（点）的仰角为，经测量得知小亮的眼睛到地面的距离为米（米），点B到教学楼底部点D的距离为50米（米），小明询问老师得知教学楼上的点C距离地面米（米），所有点都在同一平面内，，，请问此时无人机的飞行高度为多少米？（参考数据：，，，，，） 22. 小明在学习完生物学中的《细菌》一节课后得知：“冰箱里低温的环境让细菌长不动，繁殖慢，代谢停”，但是妈妈告诉他，冰箱里的低温环境只能延缓食物变质的速度，食物在冰箱中放置若干天后一样会变质不能食用，小明想进一步了解食物在冰箱中的情况，于是他在家中做了一个实验：小明将新鲜的蔬菜置于冰箱冷藏室的环境中，逐天统计蔬菜上的菌落总数，得到的数据记录如下： 实验天数/天 1 2 3 4 … 菌落总数： 20 25 30 35 … （1）如图，建立平面直角坐标系，横轴表示试验天数（天），纵轴表示菌落总数，将整理好的数据在平面直角坐标系中描点、连线．观察上述各点的分布规律，请判断菌落总数是试验天数的 函数（一次、反比例、二次） （2）求出菌落总数与试验天数之间的函数关系式； （3）小明查阅资料发现，当蔬菜上的菌落总数达到时就不能食用，请通过计算说明第几天后冰箱里的蔬菜变质了． 23. “冰雪为卷，和谐为轴”2026年2月6日，第25届冬奥会在意大利米兰隆重召开，恰逢丙午马年春节，同学们利用春节假期时间，观看了多场冬奥会比赛，为中国选手加油鼓劲，为了传递奥运精神，某校安排七年级同学制作题为“筑梦冰雪，相约冬奥”的小报，学校开学后将收集到的“冬奥小报”进行打分评比，并随机抽取了部分学生的“冬奥小报”评比成绩进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息： ①该校七年级部分学生“冬奥小报”评比成绩的频数分布表和扇形统计图： 组别 分组（分） 频数 A 5 B C 12 D 15 E 8 ②C组的数据为70，71，72，72，72，74，75，76，76，77，77，79． 根据以上信息，解答下列问题： （1）共抽取了 名七年级学生，其中的值为 ． （2）在扇形统计图中，A组所在扇形圆心角度数是 ；随机抽取的这部分学生成绩的中位数是 分． （3）该校要对成绩在E组的学生进行奖励，按成绩从高到低设一、二等奖，并且一、二等奖的人数比例为，请估计该校3000名学生中获得一等奖的学生人数． 24. 如图，在中，点为边上一点，以为圆心，为半径作交于点，与相切于点，连接平分． （1）求证：； （2）若，求的半径． 25. 陕北窑洞是陕北地区重要的文化符号和居住方式，具有冬暖夏凉、经济省工的特点．如图1所示的窑洞，其下部近似为矩形DOCB，上部近似为一条抛物线，小明以O为原点，OD所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，小明的爸爸在原有窑洞的左侧修建了一口新的窑洞如图2所示，小明发现两口窑洞关于轴对称，且两口窑洞的最高点、与点恰好构成了一个等腰直角三角形，经测量得知米，米． （1）根据以上条件求出抛物线与表达式． （2）值此新春佳节，小明爸爸计划在两口窑洞上挂上象征着“吉祥如意”的红灯笼，俗话说：“悬挂灯笼的线越长越好，寓意着幸福生活长长久久”，如图3，小明的爸爸在抛物线上选择一个点，过点作于点，在抛物线上取了点关于轴的对称点和关于轴的对称点，爸爸计划在线段上悬挂红灯笼，爸爸问小明，选取的点坐标为多少时，悬挂红灯笼的绳子最长（即的值最大）． 26. 【问题发现】 （1）如图1，在正方形中，，以为直径作，点为上任意一点，则点到距离最小值为 ． 【问题探究】 （2）如图2，在正方形中，点E是中点，连接，过点D作于点F，连接，求证：． 【问题解决】 （3）如图，四边形是一块城市规划用地，区政府计划利用这块地修建一座市民休闲公园，已知，，米，，为了给公园中的绿植供水，规划部门在公园地下铺设了三条供水管道，铺设方案为：在上任取一点P，连接、，并在上取一点，以修建供水管道，管道铺设时要求，为了方便用水，在处安装灌溉喷头．春暖花开，规划部门打算在公园内划定一个三角形空地种植郁金香供市民欣赏，考虑到取水便捷性，计划在内种植郁金香，其余区域铺设草地，经了解郁金香的种植费用是每平米100元，求种植郁金香的最小费用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三第六次学情检测数学学科试题 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 计算：的结果等于（ ） A. B. 5 C. D. 1 【答案】C 【解析】 【详解】 ． 2. 如图，将图中平面图形绕直线旋转一周，得到的立体图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：由题意得，该图形旋转后上部分得到几何体是一个圆柱，下部分得到的几何体是一个圆锥， ∴四个选项中，只有A选项符合题意． 3. 如图，一块一个含角直角三角尺的一个顶点落在直尺的一边上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查平行线的性质，关键是根据平行线的性质得出，．根据平行线的性质和直角的定义解答即可． 【详解】解：如图，作，则， ∴，， ∵， ∴， 故选B． 4. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、，原运算错误； B、，原运算错误； C、，原运算错误； D、，原运算正确. 5. 如图，在中，，过点作交于点，过点作于点，若平分，则图中度数为的角共有（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行线的判定与性质、角平分线的定义以及三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 综上，图中度数为的角共有5个． 6. 把直线向右平移2个单位长度可以得到直线，则下列各点在直线上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据平移规则得到直线的解析式，再代入选项验证即可． 【详解】解：∵把直线向右平移2个单位长度可以得到直线， ∴的表达式为， A．将代入， ∴点不在直线上，故A不符合题意； B．将代入， ∴点在直线上，故B符合题意； C．将代入， ∴点不在直线上，故C不符合题意； D．将代入， ∴点不在直线上，故D不符合题意． 7. 如图，是的直径，点，在上，且点是弧的中点，连接交于点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆周角定理得到，，再由点是弧的中点，可得到，然后根据三角形外角性质计算的度数． 【详解】解：是的直径， ， ∵点是弧的中点， ∴弧弧， ， ， ． 8. 若抛物线与轴交于点，对称轴为直线，则下列结论正确是（ ） A. B. 抛物线与直线无交点 C. 的最小值为 D. 若与在抛物线上，则 【答案】C 【解析】 【分析】利用已知条件得到系数关系后，逐一判断选项即可． 【详解】解：∵抛物线对称轴为直线， ∴由对称轴公式得 ，可得，故选项A错误； ∵抛物线与轴交于，对称轴为直线， ∴抛物线与轴另一交点为， 设抛物线解析式为，整理得， 可得，， 联立与，代入，得， 整理得， 判别式， ∵， ∴，方程有两个不相等的实数根，即抛物线与直线有两个交点，故选项B错误； ∵，抛物线开口向上， ∴函数在对称轴处取得最小值， 将代入，得， ∴的最小值为，故选项C正确； ∵抛物线开口向上，点到对称轴的距离越大，对应的函数值越大， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， ∴，故选项D错误． 【点睛】本题需熟练掌握二次函数的图象与性质，二次函数与直线的交点问题，二次函数的最值． 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 满足的整数的值可以是_____．（写出一个即可） 【答案】0（答案不唯一） 【解析】 【分析】先估算出无理数的大致取值范围，再找出落在给定范围内的整数，任选一个作答即可． 【详解】解：∵，，且， ∴． ∵，且为整数， ∴满足条件的整数为，，，，． 10. 当等于1，2，3时，由白色小正方形和黑色小正方形组成的图形分别如图所示，按此规律进行下去，则当时，图形中白色小正方形和黑色小正方形的个数总和为_____． 【答案】140 【解析】 【分析】观察图形的变化先得到前几个图形中白色小正方形和黑色小正方形的个数，进而可得结果． 【详解】解：观察图形的变化可知： 第1个图形中，白色小正方形1个，黑色小正方形（个）， 第2个图形中，白色小正方形个，黑色小正方形（个）， 第3个图形中，白色小正方形个，黑色小正方形（个）， ⋯， 所以第10个图形中，白色小正方形个，黑色小正方形（个）， 所以第10个图形中白色小正方形和黑色小正方形的个数总和为（个）． 11. 某商品进价120元，售价是180元，由于销售情况不好，商店决定打折出售，但要保证的利润，则该店应打_____折出售． 【答案】8##八 【解析】 【分析】设该店应打折出售，根据利润等于售价减进价，利润等于进价乘以利润率，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设该店应打折出售，由题意，得， 解得； 答：该店应打折出售 ． 12. 如图，在菱形中，点是边的中点，交的延长线于点．若，，则菱形的面积是_____． 【答案】 【解析】 【分析】过C作延长线于M，证明，结合求得，设，，由菱形的性质表示出，，根据勾股定理列方程计算即可． 【详解】解：过C作延长线于M， ∵菱形， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴设，， ∵点E是边的中点， ∴， ∵菱形， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴菱形的面积是． 13. 点都在反比例函数的图象上，若，则的值为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】因为都在反比例函数的图象上，可知，把已知代入可求得的值，再通分后代入求解即可． 【详解】解：∵点都在反比例函数的图象上， ， ， 且， ， ∴． 14. 如图，在中，的长为定值，，点在射线上运动，连接，过点三点的圆交于点，当的最小值为时，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】要求的长，需要搞清楚是怎么取到的最小值，当、的长为定值时，由定弦对定角模型可知点在以为弦的上运动，作出图形，从而得到当三点共线时，有最小值，设的半径为，则，在中，由勾股定理列方程求出，最后在等腰中，由勾股定理即可求出的长． 【详解】解：连接，如图所示： ， ， ∵， ， ， ∵、的长为定值，则由定弦对定角模型可知点在以为弦的上运动，如图所示： 由圆外一定点与圆周上动点连线长度变化情况可知，当三点共线时，即运动到图中位置时，有最小值，为，表示为， ∵在中，， ， ， ， ， ， 设的半径为，则 在中，，， 则由勾股定理可得， 解得， ， 在等腰中，，，则． 【点睛】掌握定弦对定角模型得到辅助圆、圆外一定点与圆周上动点连线长度变化情况是解决问题最重要的内容． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 计算： 【答案】 【解析】 【详解】解：原式 ． 16. 解不等式组，并将解集表示在同一数轴上． 【答案】数轴表示见解析， 【解析】 【详解】解：， ∴解不等式①，得， ∴解不等式②，得， ∴不等式组的解集为， 把解集在数轴上表示出来，如图所示： 17. 化简： 【答案】 【解析】 【分析】先把括号内的式子通分相减，再把除法变成乘法后约分化简即可． 【详解】解： ． 18. 如图，、表示两条相交的公路，A、B为公路边上的两个村庄，现要在区域内建一个超市P，要求超市到A、B两个村庄的距离相等，且．请利用尺规作图确定超市的位置．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【解析】 【分析】连接，作的垂直平分线，作，交于点，则点即为所作． 【详解】解：如图，点即为超市的位置． 19. 如图，在矩形中，点在上，点在上，且，连接，过B作于点G，过D作于点H，求证：． 【答案】见详解 【解析】 【分析】证明，即可证出． 【详解】证明：在矩形中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 20. 数学活动课上，小明所在的兴趣小组设置了一个跨学科的游戏活动：如图，他们把生活中的这几种现象的图片制成五张除正面内容不同外，其余都相同的卡片，其中卡片A，C，E属于物理变化，B，D属于化学变化．小明将这些卡片背面朝上洗匀，然后放置在桌面上． （1）若组员小红从这随机抽取一张卡片，则她抽到“冰雪融化”的概率是 ； （2）若小明从中五张卡片中随机抽取两张卡片，请你用列表或画树状图的方法，求出小明抽到的卡片内容都是化学变化的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由简单概率公式直接代值计算即可； （2）由列表法得到所有等可能的结果、满足题意的结果，代入简单概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：她抽到“冰雪融化”的概率是； 【小问2详解】 解：列表如下： A B C D E A — AB AC AD AE B BA — BC BD BE C CA CB — CD CE D DA DB DC — DE E EA EB EC ED — 由表可知，共有种等可能的结果，其中小明抽到的卡片内容都是化学变化的有种， 小明抽到的卡片内容都是化学变化的概率． 21. 无人机社团的开设为学生提供了接触前沿科技的平台，有效培养了学生的空间思维、动手实践能力．小明发现学校的无人机社团正在小广场上训练，当他站在教学楼上的点处利用测倾仪测得无人机（点）的仰角为，小亮站在操场上的点处利用测倾仪测得无人机（点）的仰角为，经测量得知小亮的眼睛到地面的距离为米（米），点B到教学楼底部点D的距离为50米（米），小明询问老师得知教学楼上的点C距离地面米（米），所有点都在同一平面内，，，请问此时无人机的飞行高度为多少米？（参考数据：，，，，，） 【答案】米 【解析】 【分析】过点E作于点H，过点A，C分别作，则米，米，，设米，在中， 可得米，从而得到米，在中， 米，可得米，可求出x的值，即可． 【详解】解：如图，过点E作于点H，过点A，C分别作，则米，米，， 设米， 在中，， 米， ∴米， ∴米， 在中，， ∴米， ∴米， ∴， 解得：， ∴米， 即无人机的飞行高度为米． 22. 小明在学习完生物学中的《细菌》一节课后得知：“冰箱里低温的环境让细菌长不动，繁殖慢，代谢停”，但是妈妈告诉他，冰箱里的低温环境只能延缓食物变质的速度，食物在冰箱中放置若干天后一样会变质不能食用，小明想进一步了解食物在冰箱中的情况，于是他在家中做了一个实验：小明将新鲜的蔬菜置于冰箱冷藏室的环境中，逐天统计蔬菜上的菌落总数，得到的数据记录如下： 实验天数/天 1 2 3 4 … 菌落总数： 20 25 30 35 … （1）如图，建立平面直角坐标系，横轴表示试验天数（天），纵轴表示菌落总数，将整理好的数据在平面直角坐标系中描点、连线．观察上述各点的分布规律，请判断菌落总数是试验天数的 函数（一次、反比例、二次） （2）求出菌落总数与试验天数之间的函数关系式； （3）小明查阅资料发现，当蔬菜上的菌落总数达到时就不能食用，请通过计算说明第几天后冰箱里的蔬菜变质了． 【答案】（1）一次 （2） （3）第7天 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，画一次函数图象，正确理解题意是解题的关键． （1）根据表格中的数据描点，连线画出函数图象即可； （2）根据（1）所求可得该函数为一次函数，利用待定系数法求解即可； （3）求出函数值为50时自变量的值即可得到答案． 【小问1详解】 解：如图所示： 【小问2详解】 解：由函数图象可知，该函数符合一次函数的特点， 设， 则， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：在中，当时，， ∵， ∴y随x增大而增大， ∵蔬菜上的菌落总数达到时就不能食用， ∴， ∴， ∴， 答：第7天冰箱里的蔬菜变质了． 23. “冰雪为卷，和谐为轴”2026年2月6日，第25届冬奥会在意大利米兰隆重召开，恰逢丙午马年春节，同学们利用春节假期时间，观看了多场冬奥会比赛，为中国选手加油鼓劲，为了传递奥运精神，某校安排七年级同学制作题为“筑梦冰雪，相约冬奥”的小报，学校开学后将收集到的“冬奥小报”进行打分评比，并随机抽取了部分学生的“冬奥小报”评比成绩进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息： ①该校七年级部分学生“冬奥小报”评比成绩的频数分布表和扇形统计图： 组别 分组（分） 频数 A 5 B C 12 D 15 E 8 ②C组的数据为70，71，72，72，72，74，75，76，76，77，77，79． 根据以上信息，解答下列问题： （1）共抽取了 名七年级学生，其中的值为 ． （2）在扇形统计图中，A组所在扇形的圆心角度数是 ；随机抽取的这部分学生成绩的中位数是 分． （3）该校要对成绩在E组的学生进行奖励，按成绩从高到低设一、二等奖，并且一、二等奖的人数比例为，请估计该校3000名学生中获得一等奖的学生人数． 【答案】（1）50；10 （2）；77 （3）96人 【解析】 【分析】（1）利用D组的学生人数除以D组的学生人数所占的百分比求得抽取的学生总人数，再用抽取的学生总人数减去其它组的人数即可求得a的值； （2）利用360度乘以A组的学生人数所占的百分比，即可求得对应的圆心角；根据中位数的定义，可确定中位数为成绩从小到大排列的第25和26的成绩的平均数，然后根据各组人数和C组的数据即可求得中位数； （3）先利用样本估计总体在E组的学生人数，再根据一、二等奖的人数比例计算即可． 【小问1详解】 解：抽取学生总人数（人）； a的值为； 【小问2详解】 解：A组所在扇形的圆心角度数为； ∵抽取的学生总人数为50人，即中位数为成绩从小到大排列的第25和26的成绩的平均数， ∴这部分学生成绩的中位数是（分）； 【小问3详解】 解：该校3000名学生中成绩在E组的学生人数为（人）， 则获得一等奖的学生人数为（人）． 答：估计该校3000名学生中获得一等奖的学生人数为96人． 24. 如图，在中，点为边上一点，以为圆心，为半径作交于点，与相切于点，连接平分． （1）求证：； （2）若，求的半径． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，由切线性质得，利用角平分线性质结合等边对等角得，即可证明； （2）连接，由是直径，得，证明，得出，利用，得出，求出，，即可求出，即可求解． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ∵与相切于点E， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， 即； 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得，， ∴， ∴， 的半径为． 25. 陕北窑洞是陕北地区重要的文化符号和居住方式，具有冬暖夏凉、经济省工的特点．如图1所示的窑洞，其下部近似为矩形DOCB，上部近似为一条抛物线，小明以O为原点，OD所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，小明的爸爸在原有窑洞的左侧修建了一口新的窑洞如图2所示，小明发现两口窑洞关于轴对称，且两口窑洞的最高点、与点恰好构成了一个等腰直角三角形，经测量得知米，米． （1）根据以上条件求出抛物线与的表达式． （2）值此新春佳节，小明的爸爸计划在两口窑洞上挂上象征着“吉祥如意”的红灯笼，俗话说：“悬挂灯笼的线越长越好，寓意着幸福生活长长久久”，如图3，小明的爸爸在抛物线上选择一个点，过点作于点，在抛物线上取了点关于轴的对称点和关于轴的对称点，爸爸计划在线段上悬挂红灯笼，爸爸问小明，选取的点坐标为多少时，悬挂红灯笼的绳子最长（即的值最大）． 【答案】（1）抛物线的解析式为；抛物线的解析式为 （2） 【解析】 【分析】（1）分别求出，，再运用待定系数法求出抛物线与的表达式． （2）设点的坐标为，由对称性得，分别求出，，，得到，由二次函数的性质可得结论． 【小问1详解】 解：如图， ∵米，米， ∴抛物线对称轴为直线，点， ∵是等腰直角三角形，轴， ∴，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 设抛物线的解析式为， 把点代入上式得， ∴抛物线的解析式为； ∵抛物线和关于轴对称， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：由（1）得抛物线的解析式为；抛物线的解析式为， 设点的坐标为， ∵点是点关于轴的对称点， ∴， ∴，，， ∴ ∵， ∴函数图象开口向下， ∵， ∴当时，有最大值，此时． 26. 【问题发现】 （1）如图1，在正方形中，，以为直径作，点为上任意一点，则点到距离最小值为 ． 【问题探究】 （2）如图2，在正方形中，点E是的中点，连接，过点D作于点F，连接，求证：． 【问题解决】 （3）如图，四边形是一块城市规划用地，区政府计划利用这块地修建一座市民休闲公园，已知，，米，，为了给公园中的绿植供水，规划部门在公园地下铺设了三条供水管道，铺设方案为：在上任取一点P，连接、，并在上取一点，以修建供水管道，管道铺设时要求，为了方便用水，在处安装灌溉喷头．春暖花开，规划部门打算在公园内划定一个三角形空地种植郁金香供市民欣赏，考虑到取水便捷性，计划在内种植郁金香，其余区域铺设草地，经了解郁金香的种植费用是每平米100元，求种植郁金香的最小费用． 【答案】（1）2；（2）见解析；（3）种植郁金香的最小费用为元 【解析】 【分析】（1）由，得到点到距离最小值； （2）证明，得到，即，由，可推出，即可得到； （3）证明，推出，由，得到，再由，得到，求得，推出点在上运动，据此求解即可． 【详解】解：（1）作于，作于，连接，， ∵正方形， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵以为直径作， ∴， ∵， ∴点到距离最小值为； （2）∵正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）连接，作的外接圆，连接，，，，在优弧上取点，连接，，作于， 要求种植郁金香的最小费用，就是求的最小值， ∵，而米，是定值， ∴就是求的最小值， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵米， ∴四边形是菱形， ∴， ∵， ∴，，和都是等边三角形， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点在上运动， ∵四边形内接于， ∴， ∴， ∵，， ∴，是线段的垂直平分线， ∴，， 在中，米， ∴米，米， ∴米， ∵， ∴当共线时，有最小值， ∴的最小值， ∴的最小值平方米， ∴种植郁金香的最小费用为（元）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $