第8章 整式乘法 单元测试卷 2025-2026学年苏科版七年级数学下册

第8章 整式乘法 单元测试卷 2025-2026学年苏科版七年级数学下册 一．选择题（共6小题） 1．下列运算正确的是（　　） A．a3⋅a2＝a6 B．ab2÷ab＝b C．（m﹣n）2＝m2﹣n2 D．（﹣3x3y）2＝9x9y2 2．如图，把一个边长为a的正方形相邻两边增加b得到一个新的大正方形，则通过新的大正方形的面积表示可以得到等式（　　） A．2（a+b）＝2a+2b B．（a+b）2＝a2+2ab+b2 C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2 3．如图，长方形ABCD的周长是12cm，分别以AB，AD为边向外作正方形ABEF和正方形ADGH．当长方形ABCD的面积为9cm2时，正方形ABEF和正方形ADGH的面积之和为（　　） A．18cm2 B．17cm2 C．16cm2 D．15cm2 4．若实数m满足（m﹣2025）2+（2026﹣m）2＝2027，则（m﹣2025）（2026﹣m）＝（　　） A．2026 B．1013 C．﹣2026 D．﹣1013 5．要使（x+2）（x2﹣ax﹣1）的展开式中x2项系数为1，则a的值为（　　） A．﹣1 B．2 C．0 D．1 6．现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知点H为AE的中点，连接DH、FH，将乙纸片放到甲的内部得到图2，已知甲、乙两个正方形边长之和为8，图2的阴影部分面积为6，则图1的阴影部分面积为（　　） A．3 B．19 C．21 D．28 二．填空题（共10小题） 7．若（m﹣2）（m﹣n）中不含m的一次项，则n＝　 　 ． 8．若a+b＝2，a﹣b＝5，则a2﹣b2＝　 　 ． 9．如图，两个正方形的面积分别为4，，阴影部分的面积分别为a，b（a＞b），则2a（b﹣1）﹣b（2a﹣2）的值为　 　 ． 10．若x满足（30﹣x）（x﹣10）＝160，则（30﹣x）2+（x﹣10）2的值为　 　 ． 11．某数学兴趣小组在学习了“平方差公式”后，构造了如图所示的四种图形，想用“等面积法”来验证“平方差公式”，以下四种方法中能够验证“平方差公式”的有　 　 （填图中的序号）． 12．定义：a※b＝a（b+1），例如2※3＝2×（3+1）＝2×4＝8．若（x+2）※（x+4）＝ax2+bx+c，则a+c的值为　 　 ． 13．有若干张边长如图所示的长方形卡片，如果要拼一个长为（2a+3b），宽为（a+b）的矩形，则需要3类卡片共　 　 张． 14．（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）＝　 　 ． 15．将4个数a，b，c，d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义＝ad﹣bc，上述记号就叫做2阶行列式，若＝6，则x＝　 　 ． 16．我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项和（a+b）n的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．根据“杨辉三角”请计算（a+2b）20的展开式中第二项的系数为 　 　 ． 三．解答题（共7小题） 17．计算： （1）（a+3）（a﹣2）； （2）（2x﹣5）2． 18．已知（x3+mx+n）（x2﹣3x+4）的展开式中不含x3和x2项． （1）求m，n的值； （2）求（m+n）（m2﹣mn+n2）的值． 19．已知x+y＝1，xy＝﹣12，求下列代数式的值： （1）x2+y2； （2）x﹣y． 20．【数学思想】数形结合是解决数学问题的重要思想方法，通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式． 观察图1，用等式表示图中大正方形面积的运算：　 　 ． 【类比探究】观察如图①，用等式表示图中阴影部分的面积和：　 　 ． 【尝试应用】（1）根据图①所得的等式，若a+b＝4，ab＝3，则a2+b2＝　 　 ． （2）若x满足（9﹣x）（x﹣4）＝3，求（9﹣x）2+（x﹣4）2的值． 【拓展延伸】如图②，某学校有一块四边形空地ABCD，AC⊥BD于点E，AE＝DE，BE＝CE，该校计划在△ADE和△BCE区域内种花，在△ABE和△CDE的区域内种草．经测量AC＝7，种花区域的面积和为，则种草区域的面积和为　 　 ． 21．如图，有一块长为（3a+2）米、宽为（a﹣1）米的长方形花园（阴影部分），因需增加绿化面积，工作人员计划将上下左右各向外拓宽1米，改造成一个大长方形花园．请用含a的代数式表示扩建后的大长方形花园的面积（结果化为最简）． 22．如图1是一个长为2a、宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形． （1）观察图2．请你直接写出下列三个式子：（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的关系　 　 ； （2）若x、y均为实数，且x+y＝4，xy＝﹣5，求x﹣y的值 （3）如图3，S1、S2分别表示两个正方形的面积，且A、B、C三点在一条直线上，若图中两个正方形的周长之和为32，S△BCD+S△ACF＝12，求S1+S2的值． 23．有两类正方形A，B，其边长分别为a，b．现将B放在A的内部得图1，将A，B并列放置后构造新的正方形得图2．若图1和图2中阴影部分的面积分别为1和12，求： （1）正方形A，B的面积之和为　 　 ． （2）小明想要拼一个两边长分别为（2a+b）和（a+3b）的长方形（不重不漏），除用去若干个正方形A，B外，还需要以a，b为边的长方形　 　 个． （3）三个正方形A和两个正方形B如图3摆放，求阴影部分的面积． 参考答案与试题解析 一．选择题（共6小题） 题号 1 2 3 4 5 6 答案 B B A D D B 1．下列运算正确的是（　　） A．a3⋅a2＝a6 B．ab2÷ab＝b C．（m﹣n）2＝m2﹣n2 D．（﹣3x3y）2＝9x9y2 【解答】解：A．a3⋅a2＝a5≠a6，故此选项不符合题意； B．ab2÷ab＝b，正确，故此选项符合题意； C．（m﹣n）2＝m2﹣2mn+n2≠m2﹣n2，故此选项不符合题意； D．（﹣3x3y）2＝9x6y2≠9x9y2，故此选项不符合题意． 故选：B． 2．如图，把一个边长为a的正方形相邻两边增加b得到一个新的大正方形，则通过新的大正方形的面积表示可以得到等式（　　） A．2（a+b）＝2a+2b B．（a+b）2＝a2+2ab+b2 C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2 【解答】解：∵大正方形的面积：（a+b）2或a2+2ab+b2， ∴（a+b）2＝a2+2ab+b2． 故选：B． 3．如图，长方形ABCD的周长是12cm，分别以AB，AD为边向外作正方形ABEF和正方形ADGH．当长方形ABCD的面积为9cm2时，正方形ABEF和正方形ADGH的面积之和为（　　） A．18cm2 B．17cm2 C．16cm2 D．15cm2 【解答】解：设AB＝x，AD＝y， ∵长方形ABCD的周长是12cm，长方形ABCD的面积为9cm2， ∴x+y＝6，xy＝9， ∴x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝36﹣18＝18（cm2）， 即正方形ABEF和正方形ADGH的面积之和为18cm2， 故选：A． 4．若实数m满足（m﹣2025）2+（2026﹣m）2＝2027，则（m﹣2025）（2026﹣m）＝（　　） A．2026 B．1013 C．﹣2026 D．﹣1013 【解答】解：设a＝m﹣2025，b＝2026﹣m， ∵a+b＝（m﹣2025）+（2026﹣m）＝1， 又∵a2+b2＝2027，且由完全平方公式得（a+b）2＝a2+2ab+b2， ∴1＝2027+2ab， 解得2ab＝1﹣2027＝﹣2026， ∴ab＝﹣1013， 即（m﹣2025）（2026﹣m）＝﹣1013， 故选：D． 5．要使（x+2）（x2﹣ax﹣1）的展开式中x2项系数为1，则a的值为（　　） A．﹣1 B．2 C．0 D．1 【解答】解：原式＝x3﹣ax2+2x2﹣x﹣2ax﹣2＝x3+（2﹣a）x2﹣（1+2a）x﹣2， ∵展开式中x2项系数为1， ∴2﹣a＝1， 解得：a＝1． 故选：D． 6．现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知点H为AE的中点，连接DH、FH，将乙纸片放到甲的内部得到图2，已知甲、乙两个正方形边长之和为8，图2的阴影部分面积为6，则图1的阴影部分面积为（　　） A．3 B．19 C．21 D．28 【解答】解：设甲正方形边长为x，乙正方形边长为y，则AD＝x，EF＝y，AE＝x+y＝8， ∴（x+y）2＝64， ∴x2+y2+2xy＝64， ∵点H为AE的中点， ∴AH＝EH＝4， ∵图2的阴影部分面积＝（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy＝6， ∴（x+y）2+（x﹣y）2＝64+6， ∴x2+y2＝35， ∴图1的阴影部分面积＝x2+y2﹣×4•x﹣×4•y ＝x2+y2﹣2（x+y） ＝35﹣2×8 ＝19， 故选：B． 二．填空题（共10小题） 7．若（m﹣2）（m﹣n）中不含m的一次项，则n＝　﹣2　 ． 【解答】解：∵多项式（m﹣2）（m﹣n）＝m2+（﹣n﹣2）m+2n不含m的一次项， ∴﹣n﹣2＝0， 解得n＝﹣2． 故答案为：﹣2． 8．若a+b＝2，a﹣b＝5，则a2﹣b2＝　10　 ． 【解答】解：∵a+b＝2，a﹣b＝5， ∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝2×5＝10， 故答案为：10． 9．如图，两个正方形的面积分别为4，，阴影部分的面积分别为a，b（a＞b），则2a（b﹣1）﹣b（2a﹣2）的值为　　 ． 【解答】解：设两个正方形的重合部分面积是m， 则a＝4﹣m，b＝﹣m， ∴2a（b﹣1）﹣b（2a﹣2） ＝2ab﹣2a﹣2ab+2b ＝2（b﹣a） ＝2[（4﹣m）﹣（﹣m）] ＝2（4﹣m﹣+m） ＝2× ＝， 故答案为：． 10．若x满足（30﹣x）（x﹣10）＝160，则（30﹣x）2+（x﹣10）2的值为　80　 ． 【解答】解：设a＝30﹣x，b＝x﹣10， ∴a+b＝（30﹣x）+（x﹣10）＝30﹣x+x﹣10＝20， 由条件可知ab＝160， ∴（30﹣x）2+（x﹣10）2 ＝a2+b2 ＝（a+b）2﹣2ab ＝202﹣2×160 ＝400﹣320 ＝80． 故答案为：80． 11．某数学兴趣小组在学习了“平方差公式”后，构造了如图所示的四种图形，想用“等面积法”来验证“平方差公式”，以下四种方法中能够验证“平方差公式”的有　①②③　 （填图中的序号）． 【解答】解：根据平方差公式和图示逐项分析判断如下： 图①中，左图阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即（a2﹣b2），拼成的右图是底为（a+b），高为（a﹣b）的平行四边形，面积为（a+b）（a﹣b）， ∴（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，图①可以验证平方差公式； 图②中，左图阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即（a2﹣b2），拼成的右图是长为（a+b），宽为（a﹣b）的长方形，面积为（a+b）（a﹣b），∴（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，图②可以验证平方差公式； 图③中，左图阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即（a2﹣b2），拼成的右图是底为（a+b），高为（a﹣b）的平行四边形，面积为（a+b）（a﹣b）， ∴（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，图③可以验证平方差公式； 图④中，（a+b）2﹣（a﹣b）2，拼成的右图是长为2a，宽为2b的长方形，面积为4ab， ∴（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab，图④不能验证平方差公式； 故答案为：①②③． 12．定义：a※b＝a（b+1），例如2※3＝2×（3+1）＝2×4＝8．若（x+2）※（x+4）＝ax2+bx+c，则a+c的值为　11　 ． 【解答】解：（x+2）※（x+4） ＝（x+2）（x+4+1） ＝（x+2）（x+5） ＝x2+5x+2x+10 ＝x2+7x+10， ∵（x+2）※（x+4）＝ax2+bx+c， ∴x2+7x+10＝ax2+bx+c， ∴a＝1，b＝7，c＝10， ∴a+c＝1+10＝11， 故答案为：11． 13．有若干张边长如图所示的长方形卡片，如果要拼一个长为（2a+3b），宽为（a+b）的矩形，则需要3类卡片共　10　 张． 【解答】解：（2a+3b）（a+b） ＝2a•a+2a•b+3b•a+3b•b ＝2a2+5ab+3b2， ∴需要3类卡片各需2张，5张，3张， ∴需要3类卡片共10张， 故答案为：10． 14．（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）＝　　 ． 【解答】解：（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣） ＝（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）...（1﹣）（1+） ＝×××××...×× ＝ ＝． 故答案为：． 15．将4个数a，b，c，d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义＝ad﹣bc，上述记号就叫做2阶行列式，若＝6，则x＝　4　 ． 【解答】解：定义＝ad﹣bc， 可得（x﹣1）（x+1）﹣（x﹣1）2＝6， 解得：x＝4， 故答案为：4 16．我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项和（a+b）n的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．根据“杨辉三角”请计算（a+2b）20的展开式中第二项的系数为 　40　 ． 【解答】解：根据“杨辉三角”，可知， （a+2b）0的第二项系数为0×2， （a+2b）1的第二项系数为1×2， （a+2b）2的第二项系数为2×2， （a+2b）3的第二项系数为3×2， …… （a+2b）20的第二项系数为20×2＝40， 故答案为：40． 三．解答题（共7小题） 17．计算： （1）（a+3）（a﹣2）； （2）（2x﹣5）2． 【解答】解：（1）（a+3）（a﹣2） ＝a2+3a﹣2a﹣6 ＝a2+a﹣6； （2）（2x﹣5）2 ＝（2x）2﹣2•（2x）•5+52 ＝4x2﹣20x+25． 18．已知（x3+mx+n）（x2﹣3x+4）的展开式中不含x3和x2项． （1）求m，n的值； （2）求（m+n）（m2﹣mn+n2）的值． 【解答】解：（1）（x3+mx+n）•（x2﹣3x+4） ＝x5﹣3x4+4x3+mx3﹣3mx2+4mx+nx2﹣3nx+4n ＝x5﹣3x4+（4+m）x3+（n﹣3m）x2+（4m﹣3n）x+4n， ∵展开式中不含x3和x2项， ∴4+m＝0，n﹣3m＝0， ∴m＝﹣4，n＝﹣12； （2）（m+n）（m2﹣mn+n2） ＝m3﹣m2n+mn2+m2n﹣mn2+n3 ＝m3+n3， 由（1）得m＝﹣4，n＝﹣12， 所以原式＝（﹣4）3+（﹣12）3＝﹣64+（﹣1728）＝﹣1792． 19．已知x+y＝1，xy＝﹣12，求下列代数式的值： （1）x2+y2； （2）x﹣y． 【解答】解：（1）∵x+y＝1，xy＝﹣12， ∴x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝1﹣2×（﹣12）＝1+24＝25， 则x2+y2＝25； （2）由（1）知，x2+y2＝25， ∵（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy， ∴（x﹣y）2＝25﹣2×（﹣12）＝49， ∴x﹣y＝±7． 20．【数学思想】数形结合是解决数学问题的重要思想方法，通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式． 观察图1，用等式表示图中大正方形面积的运算：　（a+b）2＝a2+2ab+b2 ． 【类比探究】观察如图①，用等式表示图中阴影部分的面积和：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab ． 【尝试应用】（1）根据图①所得的等式，若a+b＝4，ab＝3，则a2+b2＝　10　 ． （2）若x满足（9﹣x）（x﹣4）＝3，求（9﹣x）2+（x﹣4）2的值． 【拓展延伸】如图②，某学校有一块四边形空地ABCD，AC⊥BD于点E，AE＝DE，BE＝CE，该校计划在△ADE和△BCE区域内种花，在△ABE和△CDE的区域内种草．经测量AC＝7，种花区域的面积和为，则种草区域的面积和为　12　 ． 【解答】【数学思想】解：图1是边长为a+b的正方形，它包含一个边长为a的大正方形、一个边长为b的小正方形、两个长为a宽为b的长方形； ∴用等式表示图中图形的面积的运算为：（a+b）2＝a2+2ab+b2； 故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2； 【类比探究】解：如图①： ∵（a+b）2＝a2+2ab+b2， ∴两个正方形的面积和为：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab， 故答案为：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab； 【尝试应用】（1）解：将a+b＝4，ab＝3代入a2+b2＝（a+b）2﹣2ab得： a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝42﹣2×3＝16﹣6＝10； 故答案为：10； （2）解：设a＝9﹣x，b＝x﹣4， ∴a+b＝9﹣x+x﹣4＝5，ab＝（9﹣x）（x﹣4）＝3， ∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×3＝25﹣6＝19， ∴（9﹣x）2+（x﹣4）2＝19； 【拓展延伸】解：如图②：设AE＝DE＝a，BE＝CE＝b， ∵AC＝7， ∴AE+EC＝a+b＝AC＝7， ∵种花区域的面积＝S△ADE+S△BCE， ∴， 即：a2+b2＝25， ∵种草区域的面积＝， （a+b）2＝a2+2ab+b2， ∴＝， 故答案为：12． 21．如图，有一块长为（3a+2）米、宽为（a﹣1）米的长方形花园（阴影部分），因需增加绿化面积，工作人员计划将上下左右各向外拓宽1米，改造成一个大长方形花园．请用含a的代数式表示扩建后的大长方形花园的面积（结果化为最简）． 【解答】解：由题意得：（3a+2+2）（a﹣1+2） ＝（3a+4）（a+1） ＝3a2+3a+4a+4 ＝3a2+7a+4， ∴扩建后的大长方形花园的面积为（3a2+7a+4）米2． 22．如图1是一个长为2a、宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形． （1）观察图2．请你直接写出下列三个式子：（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的关系　（a+b）2＝4ab+（a﹣b）2 ； （2）若x、y均为实数，且x+y＝4，xy＝﹣5，求x﹣y的值 （3）如图3，S1、S2分别表示两个正方形的面积，且A、B、C三点在一条直线上，若图中两个正方形的周长之和为32，S△BCD+S△ACF＝12，求S1+S2的值． 【解答】解：（1）根据题意可知，大正方形面积＝四个矩形的面积+中间小正方形的面积， 即（a+b）2＝4ab+（a﹣b）2． 故答案为：（a+b）2＝4ab+（a﹣b）2； （2）∵x+y＝4，xy＝﹣5， ∴（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2＝x2+2xy+y2﹣4xy＝（x+y）2﹣4xy＝16+20＝36， ∴x﹣y＝±6； （3）根据题意，设小正方形边长为a，大正方形边长为b， 则， ∴a+b＝8， ∴． 23．有两类正方形A，B，其边长分别为a，b．现将B放在A的内部得图1，将A，B并列放置后构造新的正方形得图2．若图1和图2中阴影部分的面积分别为1和12，求： （1）正方形A，B的面积之和为　13　 ． （2）小明想要拼一个两边长分别为（2a+b）和（a+3b）的长方形（不重不漏），除用去若干个正方形A，B外，还需要以a，b为边的长方形　7　 个． （3）三个正方形A和两个正方形B如图3摆放，求阴影部分的面积． 【解答】解：（1）设正方形A，B的边长分别为a，b（a＞b）， 由图1得（a﹣b）2＝1，由图2得（a+b）2﹣a2﹣b2＝12， 得ab＝6，a2+b2＝13， 故答案为：13； （2）（2a+b）（a+3b） ＝2a2+6ab+ab+3b2 ＝2a2+7ab+3b2， ∴需要以a，b为边的长方形7个， 故答案为：7； （3）∵ab＝6，a2+b2＝13， ∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝1+24＝25， ∵a+b＞0， ∴a+b＝5， ∵（a﹣b）2＝1， ∴a﹣b＝1， ∴图3的阴影部分面积S＝（2a+b）2﹣3a2﹣2b2 ＝a2﹣b2+4ab ＝（a+b）（a﹣b）+4ab ＝5+24 ＝29． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $