第7章 幂的运算 章节测试卷2025-2026学年苏科版数学七年级下册

第7章 幂的运算 章节测试卷2025-2026学年苏科版数学七年级下册 一．选择题（共6小题） 1．计算2m+2m+2m+2m＝4n，则m与n的关系是（　　） A．4m＝n B．2m＝n C．m+2＝n D．m+2＝2n 2．下列各式计算正确的是（　　） A．a3•a2＝a6 B．（a3）4＝a7 C．a6÷a2＝a4 D．（2a2b）3＝2a6b3 3．已知3x﹣4y＝2（x、y均为正整数），则27x÷92y的值为（　　） A．6 B．8 C．9 D．27 4．若a、b是正整数，且满足3a+3a+⋯3a+3a＝3b×3b×⋯3b×3b（左右都是9个），则a与b的关系正确的是（　　） A．a+2＝9b B．2a＝9b C．a+2＝b9 D．2a＝9+b 5．计算的结果是（　　） A． B． C． D． 6．定义：如果ax＝N（a＞0，a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记做x＝logaN．例如：因为72＝49，所以log749＝2；因为53＝125，所以log5125＝3．则下列说法正确的个数为（　　） ①log61＝0； ②log323＝3log32； ③若log2（3﹣a）＝log827，则a＝0； ④log2xy＝log2x+log2y（x＞0，y＞0）． A．4 B．3 C．2 D．1 二．填空题（共10小题） 7．已知x+3y﹣3＝0，则3x•27y＝　 　 ． 8．若，27n＝3m+5，则m﹣n的值为　 　 ． 9．若10m＝2，10n＝3，则103m﹣n＝　 　 ． 10．若2x＝a，2y＝b，x，y均为正整数，则2x+y﹣1＝　 　 ．（用含a，b的代数式表示） 11．若m，n是正整数，且满足5m+5m+5m+5m+5m＝5n×5n×5n×5n×5n，则正整数m与n的等量关系为　 　 ． 12．信息存储设备常用B、KB、MB、GB、TB等作为存储单位，其中1KB＝210B，1MB＝210KB，则1MB＝　 　 B． 13．计算： ①（3a2b）2＝　 　 ； ②已知xa＝3，xb＝6，则x2a+b＝　 　 ． 14．阅读理解 十进制记数采用10个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，“逢十进一”；德国数学家莱布尼茨发明了二进制，记数只采用两个数码：0，1，“逢二进一”，他认为世界上最早的二进制记数法就是中国的八卦八卦是中国古代道家论述万物变化的经典著作《周易》中的8种基本图形，由符号“—”和“﹣﹣”组成（如图），分别表示1和0．探究下面关于八卦与二进制关系的表，则（﹣a）b＝ 　 　 ． 卦名 乾 坤 震 巽 坎 离 兑 象征 天 地 雷 风 水 火 泽 符号 对应的二进位制数 111 000 011 101 110 转换成十进位制数 7 0 a 3 b 5 6 15．有一个棱长10cm的正方体，在某种物质的作用下，棱长以每秒扩大为原来的102倍的速度膨胀，则3秒后该正方体的体积是 　 　 立方厘米． 16．我们知道，同底数幂的乘法法则为：am•an＝am+n（其中a≠0，m，n为正整数），类似地我们规定关于任意正整数m，n的一种新运算：h（m+n）＝h（m）•h（n），请根据这种新运算填空： （1）若h（1）＝，则h（2）＝　 　 ； （2）若h（1）＝k（k≠0），那么h（n）•h（2017）＝　 　 （用含n和k的代数式表示，其中n为正整数） 三．解答题（共8小题） 17．计算：a+2a+3a+4a+a•a2•a3•a4+（a2）5． 18．若am＝an（a＞0，且a≠1，m，n是正有理数），则m＝n．利用该结论解决下面的问题： （1）如果32x＝38，求x的值； （2）如果2x+2x+1＝48，求x的值． 19．由乘方的定义可知：an＝a×a×a×⋯×a（n个a相乘）．观察下列算式回答问题： 22×32＝（2×2）×（3×3）＝4×9＝36＝（2×3）2 23×33＝（2×2×2）×（3×3×3）＝8×27＝216＝（2×3）3 25×35＝（2×2×2×2×2）×（3×3×3×3×3）＝32×243＝7776＝（2×3）5 （1）52×62＝　 　 ；（写出结果） （2）m2×n2＝　 　 ； （3）计算的值． 20．将幂的运算逆向思维可以得到am+n＝am•an，amn＝（am）n，anbn＝（ab）n，am﹣n＝am÷an，在解题过程中，根据算式的特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． （1）填空：＝　 　 ； （2）已知3m＝a，3n＝b，求32m﹣3n的值；（用含a，b的式子表示） （3）已知2×8x×64＝24，求x的值． 21．某同学在比较355，533的大小时，发现55，33都是11的倍数，于是他将这三个数都转化为指数为11的幂，然后通过比较底数的方法比较了这三个数的大小． 解：因为355＝（35）11＝24311，533＝（53）11＝12511， 所以533＜355． 请根据上述解题思路完成下题： 若a＝2505，b＝3404，试比较a，b的大小． 22．【定义新知】 如果a，b，c是整数，且ac＝b，那么我们规定一种记号（a，b）＝c，例如42＝16，那么记作（4，16）＝2． 【尝试应用】 （1）（2，8）＝ 　 　 ； 【拓展提升】 （2）若k、m、n、p均为整数，且（k，9）＝m，（k，27）＝n，（k，243）＝p，求证：m+n＝p． 23．阅读下列材料： 若a3＝2，b5＝3，则a，b的大小关系是a　 　 b（填“＜”或“＞”）． 解：因为a15＝（a3）5＝25＝32，b15＝（b5）3＝33＝27，32＞27，所以a15＞b15， 所以a＞b． 解答下列问题： （1）上述求解过程中，逆用了哪一条幂的运算性质 　 　 A．同底数幂的乘法 B．同底数幂的除法 C．幂的乘方 D．积的乘方 （2）已知x7＝2，y9＝3，试比较x与y的大小． 24．【概念学习】 我们规定a，b两数之间的一种运算，记作[a，b]，如果ac＝b，那么[a，b]＝c；例如32＝9，记作[3，9]＝2． 【初步探究】 （1）根据以上规定直接写出结果：[5，125]＝ 　 　 ；[﹣2，16]＝ 　 　 ； 【深入思考】 对于同底数的幂的乘除法运算，我们有am•an＝am+n，am÷an＝am﹣n，例如32×35＝32+5＝37，36÷32＝36﹣2＝34．（2）小颖发现[4，2]+[4，3]＝[4，6]也成立，并证明如下： 设[4，2]＝x，[4，3]＝y，则4x＝2，4y＝3， 因为4x×4y＝4x+y＝6，所以[4，6]＝x+y， 所以[4，2]+[4，3]＝x+y＝[4，6]， 仿照以上证明，计算[2025，4]+[2025，6]＝[2025，　 　 ]，写出计算过程； （3）猜想[5，18]﹣[5，3]＝[5，　 　 ]，并说明理由． 参考答案与试题解析 一．选择题（共6小题） 题号 1 2 3 4 5 6 答案 D C C A B A 1．计算2m+2m+2m+2m＝4n，则m与n的关系是（　　） A．4m＝n B．2m＝n C．m+2＝n D．m+2＝2n 【解答】解：将等式左边的加法运算转化为乘法运算可知：4×2m＝22×2m＝2m+2，4n＝（22）n＝22n， ∵2m+2m+2m+2m＝4n， ∴2m+2＝22n， ∴m+2＝2n， 故选：D． 2．下列各式计算正确的是（　　） A．a3•a2＝a6 B．（a3）4＝a7 C．a6÷a2＝a4 D．（2a2b）3＝2a6b3 【解答】解：根据同底数幂的乘除法、幂的乘方、积的乘方的运算法则逐项分析判断如下： a3•a2＝a3+2＝a5≠a6，故A选项错误，不符合题意； （a3）4＝a3×4＝a12≠a7，故B选项错误，不符合题意； a6÷a2＝a6﹣2＝a4，故C选项正确，符合题意； （2a2b）3＝23a2×3b3＝8a6b3≠2a6b3，故D选项错误，不符合题意； 故选：C． 3．已知3x﹣4y＝2（x、y均为正整数），则27x÷92y的值为（　　） A．6 B．8 C．9 D．27 【解答】解：∵3x﹣4y＝2（x、y均为正整数）， ∴27x÷92y ＝（33）x÷（32）2y ＝33x÷34y ＝33x﹣4y ＝32 ＝9， 故选：C． 4．若a、b是正整数，且满足3a+3a+⋯3a+3a＝3b×3b×⋯3b×3b（左右都是9个），则a与b的关系正确的是（　　） A．a+2＝9b B．2a＝9b C．a+2＝b9 D．2a＝9+b 【解答】解：∵3a+3a+⋯3a+3a＝3b×3b×⋯3b×3b（左右都是9个）， ∴9×3a＝（3b）9， ∴32×3a＝39b， ∴32+a＝39b， ∴a+2＝9b， 故选：A． 5．计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：原式＝ ＝ ＝ ＝ ＝． 故选：B． 6．定义：如果ax＝N（a＞0，a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记做x＝logaN．例如：因为72＝49，所以log749＝2；因为53＝125，所以log5125＝3．则下列说法正确的个数为（　　） ①log61＝0； ②log323＝3log32； ③若log2（3﹣a）＝log827，则a＝0； ④log2xy＝log2x+log2y（x＞0，y＞0）． A．4 B．3 C．2 D．1 【解答】解：∵60＝1， ∴log61＝0，说法①符合题意； 由于dm•dn＝dm+n，设M＝dm，N＝dn， 则m＝logdM，n＝logdN， 于是logd（MN）＝m+n＝logdM+logdN，说法④符合题意； 则log323＝log3（2×2×2）＝log32+log32+log32＝3log32，说法②符合题意； 设p＝logab，则ap＝b， 两边同时取以c为底的对数， ，则plogca＝logcb， 所以即， 则＝log23， ∵log2（3﹣a）＝log827＝log23， ∴a＝0，说法③符合题意； 故选：A． 二．填空题（共10小题） 7．已知x+3y﹣3＝0，则3x•27y＝　27　 ． 【解答】解：∵x+3y﹣3＝0， ∴x+3y＝3， ∴3x•27y， ＝3x×33y， ＝3x+3y， ＝33， ＝27． 故答案为：27． 8．若，27n＝3m+5，则m﹣n的值为　﹣3　 ． 【解答】解：将等式两边的底数化为相同的数可得： ，4＝22， ∴（2﹣1）m＝（22）n，即2﹣m＝22n， ∴﹣m＝2n，即m＝﹣2n； ∴（33）n＝3m+5，即33n＝3m+5， ∴3n＝m+5； 解，得， 则m﹣n＝﹣2﹣1＝﹣3； 故答案为：﹣3． 9．若10m＝2，10n＝3，则103m﹣n＝　　 ． 【解答】解：∵10m＝2，10n＝3， ∴103m﹣n＝103m÷10n＝（10m）3÷10n＝23÷3＝， 故答案为：． 10．若2x＝a，2y＝b，x，y均为正整数，则2x+y﹣1＝　　 ．（用含a，b的代数式表示） 【解答】解：∵2x＝a，2y＝b， ∴2x+y﹣1＝2x×2y÷2＝， 故答案为：． 11．若m，n是正整数，且满足5m+5m+5m+5m+5m＝5n×5n×5n×5n×5n，则正整数m与n的等量关系为m+1＝5n ． 【解答】解：∵5m+5m+5m+5m+5m＝5n×5n×5n×5n×5n， ∴5×5m＝（5n）5， ∴5m+1＝55n， ∴m+1＝5n， 故答案为：m+1＝5n． 12．信息存储设备常用B、KB、MB、GB、TB等作为存储单位，其中1KB＝210B，1MB＝210KB，则1MB＝　220 B． 【解答】解：由条件可知1MB＝210×210B＝210+10B＝220B． 故答案为：220． 13．计算： ①（3a2b）2＝　9a4b2 ； ②已知xa＝3，xb＝6，则x2a+b＝　54　 ． 【解答】解：①（3a2b）2＝9a4b2， 故答案为：9a4b2； ②∵xa＝3，xb＝6， ∴x2a+b＝x2a•xb ＝（xa）2•xb ＝32×6 ＝9×6 ＝54． 14．阅读理解 十进制记数采用10个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，“逢十进一”；德国数学家莱布尼茨发明了二进制，记数只采用两个数码：0，1，“逢二进一”，他认为世界上最早的二进制记数法就是中国的八卦八卦是中国古代道家论述万物变化的经典著作《周易》中的8种基本图形，由符号“—”和“﹣﹣”组成（如图），分别表示1和0．探究下面关于八卦与二进制关系的表，则（﹣a）b＝ 　16　 ． 卦名 乾 坤 震 巽 坎 离 兑 象征 天 地 雷 风 水 火 泽 符号 对应的二进位制数 111 000 011 101 110 转换成十进位制数 7 0 a 3 b 5 6 【解答】解：∵符号“—”和“一一”，分别表示1和0， 从表中“风”表示的二进制数为011和风所对应的符号可知，读的时候是由下向上读的， ∴a所对应的二进制数为100，转换为十进制数为1×22+0×21+0×20＝4， b所对应的二进制数为010转换为十进制数为0×22+1×21+0×20＝2， ∴（﹣a）b＝（﹣4）2＝16， 故答案为：16． 15．有一个棱长10cm的正方体，在某种物质的作用下，棱长以每秒扩大为原来的102倍的速度膨胀，则3秒后该正方体的体积是 　1021 立方厘米． 【解答】解：由题意可得，3秒后该正方体的棱长为：10×102×102×102＝107（cm）， 故3秒后该正方体的体积是：（107）3＝1021（cm3）， 故答案为：1021． 16．我们知道，同底数幂的乘法法则为：am•an＝am+n（其中a≠0，m，n为正整数），类似地我们规定关于任意正整数m，n的一种新运算：h（m+n）＝h（m）•h（n），请根据这种新运算填空： （1）若h（1）＝，则h（2）＝　　 ； （2）若h（1）＝k（k≠0），那么h（n）•h（2017）＝kn+2017 （用含n和k的代数式表示，其中n为正整数） 【解答】解：（1）∵h（1）＝，h（m+n）＝h（m）•h（n）， ∴h（2）＝h（1+1）＝×＝； （2）∵h（1）＝k（k≠0）， ∴h（2）＝h（1）•h（1）＝k2， h（3）＝h（2）•h（1）＝k3， h（4）＝h（3）•h（1）＝k4， …… h（n）＝h（n﹣1）•h（1）＝kn， ∴h（n）•h（2017）＝kn•k2017＝kn+2017． 故答案为：；kn+2017． 三．解答题（共8小题） 17．计算：a+2a+3a+4a+a•a2•a3•a4+（a2）5． 【解答】解：原式＝a+2a+3a+4a+a10+a10 ＝10a+2a10． 18．若am＝an（a＞0，且a≠1，m，n是正有理数），则m＝n．利用该结论解决下面的问题： （1）如果32x＝38，求x的值； （2）如果2x+2x+1＝48，求x的值． 【解答】解：（1）∵32x＝38， ∴2x＝8， 解得：x＝4； （2）∵2x+2x+1＝48， ∴2x+2•2x＝48， 3•2x＝48， 2x＝48÷3， 2x＝16， 2x＝24， 解得：x＝4． 19．由乘方的定义可知：an＝a×a×a×⋯×a（n个a相乘）．观察下列算式回答问题： 22×32＝（2×2）×（3×3）＝4×9＝36＝（2×3）2 23×33＝（2×2×2）×（3×3×3）＝8×27＝216＝（2×3）3 25×35＝（2×2×2×2×2）×（3×3×3×3×3）＝32×243＝7776＝（2×3）5 （1）52×62＝　900　 ；（写出结果） （2）m2×n2＝　（mn）2 ； （3）计算的值． 【解答】解：（1）根据乘方的定义以及规律求解可得： 52×62＝（5×5）×（6×6）＝25×36＝（5×6）2＝900， 故答案为：900； （2）根据乘方的定义以及规律求解可得： m2×n2＝（mn）2， 故答案为：（mn）2； （3）原式＝ ＝12025 ＝1． 20．将幂的运算逆向思维可以得到am+n＝am•an，amn＝（am）n，anbn＝（ab）n，am﹣n＝am÷an，在解题过程中，根据算式的特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． （1）填空：＝　1　 ； （2）已知3m＝a，3n＝b，求32m﹣3n的值；（用含a，b的式子表示） （3）已知2×8x×64＝24，求x的值． 【解答】解：（1） ＝ ＝（﹣1）2026 ＝1， 故答案为：1； （2）∵3m＝a，3n＝b， ∴32m﹣3n＝32m÷33n＝（3m）2÷（3n）3＝； （3）∵2×8x×64＝24， ∴2×（23）x×26＝24， ∴2×23x×26＝24， ∴23x+7＝24， ∴3x+7＝4， 解得x＝﹣1． 21．某同学在比较355，533的大小时，发现55，33都是11的倍数，于是他将这三个数都转化为指数为11的幂，然后通过比较底数的方法比较了这三个数的大小． 解：因为355＝（35）11＝24311，533＝（53）11＝12511， 所以533＜355． 请根据上述解题思路完成下题： 若a＝2505，b＝3404，试比较a，b的大小． 【解答】解：∵a＝2505＝（25）101＝32101，b＝3404＝（34）101＝81101， ∴32101＜81101， ∴a＜b． 22．【定义新知】 如果a，b，c是整数，且ac＝b，那么我们规定一种记号（a，b）＝c，例如42＝16，那么记作（4，16）＝2． 【尝试应用】 （1）（2，8）＝ 　3　 ； 【拓展提升】 （2）若k、m、n、p均为整数，且（k，9）＝m，（k，27）＝n，（k，243）＝p，求证：m+n＝p． 【解答】解：（1）∵23＝8， ∴（2，8）＝3， 故答案为：3； （2）∵（k，9）＝m，（k，27）＝n，（k，243）＝p， ∴km＝9，kn＝27，kp＝243， ∴km•kn＝9×27＝243， ∴km•kn＝kp，即km+n＝kp， ∴m+n＝p． 23．阅读下列材料： 若a3＝2，b5＝3，则a，b的大小关系是a　＞　 b（填“＜”或“＞”）． 解：因为a15＝（a3）5＝25＝32，b15＝（b5）3＝33＝27，32＞27，所以a15＞b15， 所以a＞b． 解答下列问题： （1）上述求解过程中，逆用了哪一条幂的运算性质 C A．同底数幂的乘法 B．同底数幂的除法 C．幂的乘方 D．积的乘方 （2）已知x7＝2，y9＝3，试比较x与y的大小． 【解答】解：∵a15＝（a3）5＝25＝32，b15＝（b5）3＝33＝27，32＞27，所以a15＞b15， 所以a＞b，故答案为：＞； （1）上述求解过程中，逆用了幂的乘方，故选C； （2）∵x63＝（x7）9＝29＝512，y63＝（y9）7＝37＝2187，2187＞512， ∴x63＜y63， ∴x＜y． 24．【概念学习】 我们规定a，b两数之间的一种运算，记作[a，b]，如果ac＝b，那么[a，b]＝c；例如32＝9，记作[3，9]＝2． 【初步探究】 （1）根据以上规定直接写出结果：[5，125]＝ 　3　 ；[﹣2，16]＝ 　4　 ； 【深入思考】 对于同底数的幂的乘除法运算，我们有am•an＝am+n，am÷an＝am﹣n，例如32×35＝32+5＝37，36÷32＝36﹣2＝34．（2）小颖发现[4，2]+[4，3]＝[4，6]也成立，并证明如下： 设[4，2]＝x，[4，3]＝y，则4x＝2，4y＝3， 因为4x×4y＝4x+y＝6，所以[4，6]＝x+y， 所以[4，2]+[4，3]＝x+y＝[4，6]， 仿照以上证明，计算[2025，4]+[2025，6]＝[2025，　24　 ]，写出计算过程； （3）猜想[5，18]﹣[5，3]＝[5，　6　 ]，并说明理由． 【解答】解：（1）∵53＝125，（﹣2）4＝16， 又∵如果ac＝b，那么[a，b]＝c， ∴[5，125]＝3，[﹣2，16]＝4； 故答案为3，4； （2）设[2025，4]＝x，[2025，6]＝y， 则2025x＝4，2025y＝6， ∵2025x×2025y＝2025x+y＝4×6＝24， 又∵如果ac＝b，那么[a，b]＝c， ∴[2025，24]＝x+y， ∴[2025，4]+[2025，6]＝x+y＝[2025，24]； 故答案为：24； （3）[5，18]﹣[5，3]＝[5，6]，理由如下： 设[5，18]＝x，[5，3]＝y，则5x＝18，5y＝3， ∵5x÷5y＝5x﹣y＝6， 又∵如果ac＝b，那么[a，b]＝c， ∴[5，6]＝x﹣y， ∴[5，18]﹣[5，3]＝x﹣y＝[5，6]． 故答案为：6． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $