精品解析：河南濮阳市范县第一初级中学2024--2025学年下学期八年级 收心数学测试题

范县第一初级中学八年级下学期开学收心数学测试题 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列式子中，一定是二次根式是（ ） A. B. C. D. 2. 若二次根式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 下列根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 4. 计算的结果是（ ） A. B. 2 C. 3 D. 4 5. 以下列各组数据作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（ ） A. 1，， B. ，， C. 1，2，3 D. 3，4，7 6. 计算的结果是（ ）． A. 60 B. 15 C. 6 D. 35 7. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 勾股数，又名毕达哥拉斯三元数，是指能够成为直角三角形三条边长的三个正整数．下列各组数中是勾股数的是（ ） A 0.3，0.4，0.5 B. 2，3，5 C. D. 5，12，13 9. 在△ABC中，AB＝，BC＝，AC＝，则（　　） A. ∠A＝90° B. ∠B＝90° C. ∠C＝90° D. ∠A＝∠B 10. 若直角三角形的三边长分别为3，4，x，则x的值为（ ） A. 5 B. 5或 C. D. 2 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 化简的结果为______． 12. 写出一个能与合并的最简二次根式：____________． 13. 计算的结果是______． 14. 中，三边分别为a，b，c，斜边，则的值为______． 15. 如图，把一根长绳打上等距离13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩将长绳钉成一个三角形，其中长为5个结间距的边所对的角便是直角．依据是______________________________________． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16 计算： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 17. 已知，，求． 18. 已知=，求代数式的值. 19. 用尺规在数轴上作出表示点． 20. 如图，根据所给条件分别求两个直角三角形中未知边的长． （1） （2） 21. 小球从离地面为h（单位：m）的高处自由下落，落到地面所用的时间为t（单位：s）．经过实验，发现h与成正比例关系，而且当时，．试用h表示t，并分别求当和时，小球落地所用的时间． 22. 我国古代数学著作《九章算术》中有一个问题，原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．（丈、尺是长度单位，1丈=10尺）．意思是有一个水池，水面是一个边长为1丈的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？ 23. 我国魏晋时期的数学家赵爽在为天文学著作《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角三角形拼成如图所示的正方形，并用它证明了勾股定理，这个图被称为“弦图”．它体现了中国古代的数学成就，是我国古代数学的骄傲．正因为此，这个图案被选为2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽．请你利用“弦图”证明勾股定理． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 范县第一初级中学八年级下学期开学收心数学测试题 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列式子中，一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式的定义判断，二次根式需满足两个条件：根指数为2，且被开方数为非负数，逐一验证选项即可． 【详解】解：A选项：的根指数为2，被开方数，满足二次根式定义，一定是二次根式； B选项：的被开方数，式子无意义，不是二次根式； C选项：的根指数为3，不是二次根式； D选项：当时，无意义，不一定是二次根式． 2. 若二次根式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：根据二次根式的意义，可知其被开方数为非负数， 因此可得x-2≥0，即x≥2 故选D 3. 下列根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义即可求解，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】解：A. ，不是最简二次根式，不符合题意， B. ，不是最简二次根式，不符合题意， C. ，是最简二次根式，符合题意， D. ，不是最简二次根式，不符合题意， 故选C 【点睛】本题考查最简二次根式的定义，掌握最简二次根式的定义是解题的关键． 4. 计算的结果是（ ） A. B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】二次根式的乘法：把被开方数相乘，根指数不变，根据运算法则直接进行运算即可. 【详解】解： 故选B 【点睛】本题考查的是二次根式的乘法，掌握“二次根式的乘法运算法则”是解本题的关键. 5. 以下列各组数据作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（ ） A. 1，， B. ，， C. 1，2，3 D. 3，4，7 【答案】A 【解析】 【分析】将各组数据中较小两边的平方和与最大边的平方比较，相等即可构成直角三角形． 【详解】解：A．，可得，能构成直角三角形； B．，，不能构成直角三角形； C．，不满足三角形两边之和大于第三边的性质，所以不能构成三角形，更不能构成直角三角形； D．，不满足三角形两边之和大于第三边的性质，所以不能构成三角形，更不能构成直角三角形． 6. 计算的结果是（ ）． A. 60 B. 15 C. 6 D. 35 【答案】A 【解析】 【详解】解：原式= =60．故选A． 7. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解： A、与不是同类二次根式，不能合并，A错误； B、与不是同类二次根式，不能合并，B错误； C、，计算正确，C正确； D、与不是同类二次根式，不能合并，D错误． 8. 勾股数，又名毕达哥拉斯三元数，是指能够成为直角三角形三条边长的三个正整数．下列各组数中是勾股数的是（ ） A. 0.3，0.4，0.5 B. 2，3，5 C. D. 5，12，13 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股数，掌握勾股数的定义是解题关键．根据勾股数的定义：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数．再逐项判断即可． 【详解】解：A．，，，三个数均为小数，不是正整数，不符合勾股数定义． B．，不满足勾股定理． C．，不满足勾股定理． D．，满足勾股定理且均为正整数． 故选：D． 9. 在△ABC中，AB＝，BC＝，AC＝，则（　　） A. ∠A＝90° B. ∠B＝90° C. ∠C＝90° D. ∠A＝∠B 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵在△ABC中，AB=，BC=，AC=， ∴ ∴∠A=90° 故选A. 10. 若直角三角形的三边长分别为3，4，x，则x的值为（ ） A. 5 B. 5或 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】由于未明确x是直角边还是斜边，需分其为直角边和斜边两种情况，分别按照勾股定理求解即可． 【详解】解：∵题目未说明x是直角边还是斜边， ∴分两种情况讨论： ①当x为斜边长，根据勾股定理得 ∵三角形边长为正数， ∴； ②当长为4的边为斜边，x为直角边长，根据勾股定理得 ∵三角形边长为正数， ∴． 综上，x的值为5或． 【点睛】灵活运用分类讨论思想是解题的关键． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 化简的结果为______． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 12. 写出一个能与合并的最简二次根式：____________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了同类二次根式的定义，正确理解其概念是解题的关键． 同类二次根式的定义：把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式；根据定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴能与其合并的最简二次根式可以是． 故答案：（答案不唯一） ． 13. 计算的结果是______． 【答案】 【解析】 【分析】先把二次根式化简，即可进行减法． 【详解】解：原式 故答案为： 【点睛】本题考查了二次根式的减法运算，先化简再进行合并二次根式是解决此类问题的关键． 14. 中，三边分别为a，b，c，斜边，则的值为______． 【答案】8 【解析】 【分析】利用勾股定理求出的值，再代入所求代数式计算即可得到结果． 【详解】解：为直角三角形，斜边， 由勾股定理得，， 所以． 15. 如图，把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩将长绳钉成一个三角形，其中长为5个结间距的边所对的角便是直角．依据是______________________________________． 【答案】如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形是直角三角形 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，掌握若三角形三边长满足，则该三角形是直角三角形是解题的关键． 先以结间距为单位确定三角形的三边长，再计算三边的平方，验证两个较短边的平方和是否等于最长边的平方，从而确定对应的判定依据． 【详解】解：设每个结间距的长度为，则三角形的三边长分别为 、、, ∵， ∴该三角形的三边长满足较短两边的平方和等于最长边的平方， ∴长为个结间距的边所对的角是直角，依据是如果三角形的三边长满足，那么这个三角形是直角三角形． 故答案为：如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形是直角三角形． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 【答案】（1） （2） （3） （4） （5） （6） 【解析】 【分析】根据二次根式的性质和相关运算法则，结合乘法公式求解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：； 小问3详解】 解：； 【小问4详解】 解：； 【小问5详解】 解：； 【小问6详解】 解：． 17. 已知，，求． 【答案】 【解析】 【分析】此题是关于x、y的对称式的求值，一般情况下是先用基本对称式x+y及xy表示出来，然后代入x+y及xy的值进行计算． 【详解】解：∵，， ∴ ∴原式 【点睛】解答此类完全对称式的求值问题，关键是表示出基本对称式的值． 18. 已知=，求代数式的值. 【答案】 【解析】 【分析】把x的值代入多项式进行计算即可． 【详解】当=时，=== 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，掌握完全平方公式是解题的关键． 19. 用尺规在数轴上作出表示的点． 【答案】见解析 【解析】 【分析】过点作垂线，再作，两直角边长分别为，进而得到斜边长为，再以为圆心，的长为半径画弧与数轴的交点就是表示的点． 【详解】 【点睛】本题主要考查作图，掌握尺规作图的技巧是解题的关键． 20. 如图，根据所给条件分别求两个直角三角形中未知边的长． （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】根据勾股定理进行求解即可． 【小问1详解】 解：在中，根据勾股定理， ， ∴． 【小问2详解】 解：在中，根据勾股定理，得 ， 则， ∴． 21. 小球从离地面为h（单位：m）的高处自由下落，落到地面所用的时间为t（单位：s）．经过实验，发现h与成正比例关系，而且当时，．试用h表示t，并分别求当和时，小球落地所用的时间． 【答案】函数的解析式为h=5t2；h=10时，t=；h=25时t=． 【解析】 【分析】根据待定系数法，可得函数解析式，根据自变量的值，可得函数值． 【详解】解：设h=kt2，由h=20时，t=2，得 20=22k，解得k=5． 函数的解析式为h=5t2， 当h=10时，t2=2，解得t=； 当h=25时，t2=5，解得t=． 【点睛】本题考查了函数关系式，利用了待定系数法求解析式． 22. 我国古代数学著作《九章算术》中有一个问题，原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．（丈、尺是长度单位，1丈=10尺）．意思是有一个水池，水面是一个边长为1丈的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？ 【答案】水深12尺，芦苇的长度是13尺 【解析】 【分析】找到题中的直角三角形，设水深为尺，根据勾股定理解答． 【详解】解：设水深尺，芦苇尺，1丈=10尺， 由勾股定理：， 解得：， ∴， 答：水深12尺，芦苇的长度是13尺． 【点睛】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键． 23. 我国魏晋时期数学家赵爽在为天文学著作《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角三角形拼成如图所示的正方形，并用它证明了勾股定理，这个图被称为“弦图”．它体现了中国古代的数学成就，是我国古代数学的骄傲．正因为此，这个图案被选为2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽．请你利用“弦图”证明勾股定理． 【答案】见解析 【解析】 【分析】利用两种方法表示出大正方形面积，再由面积相等即可求解． 【详解】证明：根据题意可知：边长为c的大正方形的面积4个全等的直角三角形的面积边长为的小正方形的面积， 即：，整理得，． 所以直角三角形的斜边的平方等于两个直角边的平方和． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $