精品解析：安徽滁州市定远县育才学校2025-2026学年九年级下学期阶段学情自测数学试题

定远育才学校2025-2026学年九年级（下）开学考试 数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列图案中，是中心对称图形的是（ ） A. 江西航空 B. 重庆航空 C. 海南航空 D. 中国东方航空 2. 若，则下列结论正确是（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系内有一点，射线与轴正半轴的夹角为，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 类比学习是一种很重要学习方法，小明在课堂上类比一次函数学习的过程，画二次函数和二次函数的图象时，列出如下表格，已知二次函数的图象平移后可以得到二次函数的图象，则平移方式为（ ） ．．． 0 1 2 3 ．．． ．．． 1 3 1 ．．． ．．． 3 5 3 ．．． A. 先向左平移1个单位，再向上平移2个单位 B. 先向右平移1个单位，再向上平移2个单位 C. 先向左平移1个单位，再向下平移2个单位 D. 先向右平移1个单位，再向下平移2个单位 5. 若，，是二次函数图象上的点，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，是的内切圆，分别切，，于点，，，是上一点，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，点在上，且，连接交点，则下列选项正确的是（ ） A. B. 若，则 C. D 若，则 8. 如图，在中，，分别以直角三角形的三边为直径作三个半圆，再以斜边为边作正方形，若阴影部分的面积关系满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，是的中线．若，则的长为（　　） A. 10 B. 15 C. 18 D. 20 10. 如图，抛物线与轴交于，两点，交轴于点，直线经过，两点．点为直线上一点，且横坐标为，将线段沿轴上下平移，当线段与抛物线有唯一交点时，设平移后点对应点纵坐标为，则的取值范围为（ ）． A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 二、填空题：本题共4小题，共20分． 11. 已知一个直角三角形的两直角边之和为，则这个直角三角形面积最大为_____． 12. 如图是一个一面靠墙，另一面用篱笆围成的半圆形花园，这个花园的直径是4，在这个花园内以为圆心，为半径画弧交半圆于点，沿着弧围篱笆再围成一个小型花园，一共需要篱笆_____．（结果保留） 13. 如图，点A在反比例函数（k为常数，）的图象上，轴于点B，连接．若的面积小于3，则k的值可能是______________ ．（只写一个） 14. 如图，在中，点，点分别是，上的点，，且， （1）则的值为_____； （2）若，则四边形面积的最大值为_____， 三、解答题：本题共9小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 计算： 16. 如图，已知反比例函数和一次函数的图象相交于点，两点，O为坐标原点，连接，． （1）求与的解析式； （2）当时，请结合图象直接写出自变量x的取值范围； （3）求的面积； （4）设直线与的交点横坐标分别为，，与直线的交点横坐标为，若，直接写出b的取值范围． 17. 如图，在的正方形网格图中，每个小正方形边长均为1，原点和的顶点均为格点． （1）以点为位似中心，在网格图中作，使与位似，且位似比为； （2）画出绕着按逆时针方向旋转后的，并写出的坐标． 18. 2025年10月27日，“飞向北京·飞向太空”全国青少年航空航天模型教育竞赛活动（无人机项目）总决赛在山东省青岛市隆重开幕．为推广航空科普教育，某校航模社团在校内建设了模拟训练场，设置、、、四个标志性定位点，．现以为观测点，位于的北偏西位于的北偏东位于的正北方向．与之间的直线距离米，求与之间的直线距离是多少米（结果精确到米）． （参考数据：） 19. 已知抛物线． （1）求证：不论为何值，抛物线与轴都有两个交点； （2）若该抛物线的对称轴为，当时，求的取值范围． 20. 如图，在菱形中，，E为的中点，F是上一点，G 为上一点，且，交于点H． （1）求的长； （2）求的值． 21. 如图，是直径，，垂足为， （1）若，求的半径； （2）若的角平分线交于点，交于点，求证：． 22. 如图1，在中，，，点是边上一动点，连接，过点作，垂足为，交于点，连接， （1）若，求的长； （2）如图2，连接，若点是的中点，求证：； （3）如图3，当的长度最小时，求的值． 23. 如图1，已知抛物线经过和两点，直线交x轴于点A，交y轴于点B． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）若点D是抛物线上的一动点，且在直线l的下方和y轴右侧，过点D作轴交直线l于点C，以为直径作，当与y轴相切时，求点D的坐标； （3）如图2，在（2）的条件下，把向上平移，使圆心落在x轴上，得到，过点作轴，交直线l于点F，连接，问在上是否存在一点P，使的面积最大？若存在，求出面积的最大值，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 定远育才学校2025-2026学年九年级（下）开学考试 数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列图案中，是中心对称图形的是（ ） A. 江西航空 B. 重庆航空 C. 海南航空 D. 中国东方航空 【答案】B 【解析】 【分析】中心对称图形绕一个点旋转后，能和原来的图形互相重合． 【详解】A、不是中心对称图形； B、是中心对称图形； C、不是中心对称图形； D、不是中心对称图形． 故选：B． 2. 若，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了比例．熟练掌握比例的性质是解题的关键． 根据比例的性质，逐项判断，即可求解． 【详解】解：∵ ， ∴， ∴A、，故本选项错误，不符合题意； B、，故本选项错误，不符合题意； C、，故本选项正确，符合题意； D、，故本选项错误，不符合题意； 故选C 3. 在平面直角坐标系内有一点，射线与轴正半轴的夹角为，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理求两点距离，正弦和余弦的定义；根据点的坐标，根据勾股定理计算的长度，再利用直角三角形中三角函数的定义求解． 【详解】解：如图，过点作轴于点， ∵ ∴ ∴， ∴， 故选：B． 4. 类比学习是一种很重要的学习方法，小明在课堂上类比一次函数学习的过程，画二次函数和二次函数的图象时，列出如下表格，已知二次函数的图象平移后可以得到二次函数的图象，则平移方式为（ ） ．．． 0 1 2 3 ．．． ．．． 1 3 1 ．．． ．．． 3 5 3 ．．． A. 先向左平移1个单位，再向上平移2个单位 B. 先向右平移1个单位，再向上平移2个单位 C. 先向左平移1个单位，再向下平移2个单位 D. 先向右平移1个单位，再向下平移2个单位 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的性质，二次函数的平移，解题的关键是掌握以上知识点． 通过表格数据确定和顶点坐标，从而得出平移方式为向左平移1个单位，再向上平移2个单位． 【详解】解：∵的图象数据中，当和时，， ∴对称轴为直线，顶点坐标为； 的图象数据中，当和时，， ∴对称轴为直线，顶点坐标为， ∴顶点坐标平移到顶点坐标，横向从1到0向左平移1单位，纵向从3到5向上平移2单位． ∴平移方式为先向左平移1个单位，再向上平移2个单位． 故选：A． 5. 若，，是二次函数图象上的点，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，利用函数增减性比较函数值大小是解题关键． 可先求出二次函数的对称轴，根据开口方向判断函数的增减规律，再通过比较各点到对称轴的距离大小来确定函数值的关系． 【详解】解：∵二次函数的解析式为， ∴，， ∴对称轴为， ∵， ∴抛物线开口向下，在对称轴处取得最大值，且点到对称轴的距离越近，函数值越大， ∵点在对称轴上， ∴最大， ∵点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为， ∴， ∴． 故选：． 6. 如图，是的内切圆，分别切，，于点，，，是上一点，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查切线的性质和圆内接四边形的性质．分别连接，，根据四边形内角和求出的度数，再利用圆周角定理求得即可． 【详解】解：连接，，如图， ∵是的内切圆，分别切，，于点，，， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴， 故选：D． 7. 如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，点在上，且，连接交点，则下列选项正确的是（ ） A. B. 若，则 C. D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题．证明，可以判定选项A，C错误，若，则，显然，推出选项B 错误，证明选项D正确即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故选项A错误，不符合题意； ∴，故选项C错误，不符合题意； 若，即， ∵， ∴， ∴， 显然，故选项B错误，不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴，故选项D正确，符合题意． 故选：D． 8. 如图，在中，，分别以直角三角形的三边为直径作三个半圆，再以斜边为边作正方形，若阴影部分的面积关系满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查勾股定理与几何综合，数形结合，由直角三角形边长表示出是解决问题的关键． 在中，设，则由勾股定理可得，根据阴影部分的面积关系满足，由圆的面积公式、直角三角形面积公式表示出与，从而得到，由完全平方公式恒等变形即可得到，即可得到答案． 【详解】解：在中，设， ， 由勾股定理可得，则， 则 ， ， ， ，即， 则， ， 则，即， ， 故选：A． 9. 如图，在中，，是的中线．若，则的长为（　　） A. 10 B. 15 C. 18 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】先由的正切值求出长，再由中点求出的长，最后由勾股定理即可求出的长． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴． 10. 如图，抛物线与轴交于，两点，交轴于点，直线经过，两点．点为直线上一点，且横坐标为，将线段沿轴上下平移，当线段与抛物线有唯一交点时，设平移后点对应点的纵坐标为，则的取值范围为（ ）． A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查函数与坐标轴交点求解，图形的平移规律，线段与抛物线的位置关系，根据一元二次方程根的情况求解一元二次方程的系数． 首先得到直线和抛物线与坐标轴的交点坐标，根据点的坐标和线段的平移规律，分线段向上和向下两种情况讨论，得到线段与抛物线有唯一交点时点对应点的纵坐标的取值范围． 【详解】解：∵点为直线上一点，且横坐标为， ∴点的纵坐标， ∴点的坐标为， ∵直线和抛物线与轴和轴均交于，两点， ∴解方程，得：， 此时，， ∴点的坐标为，点的坐标为， 当线段沿轴向上平移时， 当时，抛物线， ∴当线段交抛物线于点时， ∴此时点的坐标由平移到，相当于向上平移了个单位长度， ∴此时点的坐标为点向上平移个单位长度，即此时点的坐标为， ∴当点对应点的纵坐标的取值范围为时，线段与抛物线有唯一交点， 当线段沿轴向下平移时，设线段所在直线的表达式为， ∵当抛物线和直线有唯一交点时， ∴列方程为，即有唯一解时， 此时，解得：， ∴此时线段所在直线的表达式为， ∴此时线段与轴交点坐标为，即， ∴当的取值范围为或时，线段与抛物线有唯一交点． 故选：． 二、填空题：本题共4小题，共20分． 11. 已知一个直角三角形的两直角边之和为，则这个直角三角形面积最大为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的应用，掌握配方法求二次函数的最值是解题的关键． 根据题意，设一条直角边为，则另一条直角边为，根据三角形的面积公式得到面积的函数关系，故可求解； 【详解】解：设一条直角边为，则另一条直角边为， 根据三角形的面积公式得到面积s=， ∴当x=5时，三角形的面积最大为． 故答案为：． 12. 如图是一个一面靠墙，另一面用篱笆围成的半圆形花园，这个花园的直径是4，在这个花园内以为圆心，为半径画弧交半圆于点，沿着弧围篱笆再围成一个小型花园，一共需要篱笆_____．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查弧长公式，找准圆心角和半径是解题关键． 先在扇形中，计算，再在半圆中，计算，最后计算总共需要的篱笆长． 【详解】解：由题意得，直径， 半径， 以为圆心，为半径画弧交半圆于点， ， 是等边三角形，， 在扇形中，， 在半圆中，， ， 故答案为：． 13. 如图，点A在反比例函数（k为常数，）的图象上，轴于点B，连接．若的面积小于3，则k的值可能是______________ ．（只写一个） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据过反比例函数图象上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即，再结合图象位置的分布即可解答． 【详解】解：∵的面积小于3， ∴，即， ∵反比例函数图象在第二象限， ∴， ∴， ∴， 则k的值可能是（答案不唯一）． 14. 如图，在中，点，点分别是，上的点，，且， （1）则的值为_____； （2）若，则四边形面积的最大值为_____， 【答案】 ①. ４ ②. 【解析】 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例定理，点的轨迹等知识，正确运用相关知识是解答本题的关键． （1）过点D作交于点，得得，由得，设，则，求出，由得； （2）根据题意得点在以点为圆心，6为半径的圆上，定长，当时，的面积最大，为；再分别求出的面积和的面积即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， 过点D作交于点，如图， ∴， ∴， ∴, 设，则， ∴， ∵, ∴； （2）根据题意得点在以点为圆心，6为半径的圆上，定长，当时，的面积最大，为； ∵， ∴的面积； ∵， ∴的面积； ∵， ∴的面积， ∴四边形面积的最大值为； 故答案为：4；． 三、解答题：本题共9小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15 计算： 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查锐角三角函数，根据特殊角的锐角三角函数值计算即可． 【详解】原式 16. 如图，已知反比例函数和一次函数的图象相交于点，两点，O为坐标原点，连接，． （1）求与的解析式； （2）当时，请结合图象直接写出自变量x的取值范围； （3）求的面积； （4）设直线与的交点横坐标分别为，，与直线的交点横坐标为，若，直接写出b的取值范围． 【答案】（1）； （2）或 （3） （4） 【解析】 【分析】（1）根据反比例函数性质得到，求出值，得到点，坐标，再利用待定系数法求解，即可解题； （2）根据图象交点坐标直接得出自变量x的取值范围即可； （3）利用一次函数性质求出其与轴交点坐标，再结合利用割补法求三角形面积，即可解题； （4）根据题意得到即与的交点在之间，求出当过时，当过时b的临界值，即可得到b的取值范围． 【小问1详解】 解：反比例函数和一次函数的图象相交于点，两点， ， 解得， 点，， ， 反比例函数解析式为； 又，解得， 一次函数解析式为； 【小问2详解】 解：由图象可知，当时，自变量x的取值范围是或； 【小问3详解】 解：， 当时，，解得， 的面积； 【小问4详解】 解：直线与的交点横坐标分别为，，与直线的交点横坐标为，若， 即与的交点在之间， 当过时，．解得， 当过时，．解得， b的取值范围为． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，根据交点情况求不等式解集，待定系数法求函数解析式，三角形的面积，数形结合是解题的关键． 17. 如图，在的正方形网格图中，每个小正方形边长均为1，原点和的顶点均为格点． （1）以点为位似中心，在网格图中作，使与位似，且位似比为； （2）画出绕着按逆时针方向旋转后的，并写出的坐标． 【答案】（1）作图见解析 （2）作图见解析，的坐标为． 【解析】 【分析】本题考查位似变换、旋转变换，熟练掌握位似的性质、旋转的性质是解答本题的关键． （1）根据位似的性质作图即可； （2）根据旋转的性质作图，即可得出答案． 【小问1详解】 解：如图所示，为所求： 【小问2详解】 解：如图所示，为所求： 由图得的坐标为． 18. 2025年10月27日，“飞向北京·飞向太空”全国青少年航空航天模型教育竞赛活动（无人机项目）总决赛在山东省青岛市隆重开幕．为推广航空科普教育，某校航模社团在校内建设了模拟训练场，设置、、、四个标志性定位点，．现以为观测点，位于的北偏西位于的北偏东位于的正北方向．与之间的直线距离米，求与之间的直线距离是多少米（结果精确到米）． （参考数据：） 【答案】与之间的直线距离是米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，关键是辅助线的作法；连接，过点作于点，先求出，设米，然后在直角三角形中利用正切求出，最后在直角三角形中利用的正弦求出即可． 【详解】解：连接，过点作于点， ∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设米，则， ∵， ∴， 解得：， ∵， ∴， 答：与之间的直线距离是米． 19. 已知抛物线． （1）求证：不论为何值，抛物线与轴都有两个交点； （2）若该抛物线的对称轴为，当时，求的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查二次函数与轴，轴的交点，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）令，则，再证明即可； （2）先确定抛物线的解析式，再结合函数图像开口方向，得到最值即可得解； 【小问1详解】 证明：当时，得：， ∵ ， ∴方程总有两个不相等的实数根， 即不论取何值，该抛物线与轴总有两个公共点； 【小问2详解】 解：抛物线的对称轴为，解得， ， 时，取得最大值，最大值为； ， 时，取得最小值，最小值为； 综上，． 20. 如图，在菱形中，，E为的中点，F是上一点，G 为上一点，且，交于点H． （1）求的长； （2）求的值． 【答案】（1） （2）4 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质， （1）先证明为等边三角形，进而证明，列出比例式即可求出的长； （2）求出的面积比，进而求出的长，再证明，求出的面积比，进而得到的值即可． 【小问1详解】 解：∵菱形中，， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵E为中点， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴． 21. 如图，是的直径，，垂足为， （1）若，求的半径； （2）若的角平分线交于点，交于点，求证：． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；半圆 (或直径)所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径，也考查了勾股定理和等腰三角形的判定． （1）连接，如图，设的半径为，则，在中利用勾股定理得到，然后解方程即可； （2）连接，如图，先根据圆周角定理得到，再根据角平分线的定义得到，所以，然后证明，从而得到． 【小问1详解】 解：如图，连接， 设的半径为，则， 在中，， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：如图，连接， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 22. 如图1，在中，，，点是边上一动点，连接，过点作，垂足为，交于点，连接， （1）若，求的长； （2）如图2，连接，若点是的中点，求证：； （3）如图3，当的长度最小时，求的值． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）证明，推出，即可求解； （2）分别过点作的垂线，垂足分别为，设，求出，，证明是等腰直角三角形，求出，，，进而求出，，，证明，得到，再求出，，，推出，即可证明结论； （3）取中点，连接，易证点在以点为圆心，为直径的圆弧上运动，则当三点共线时，，此时，的长度有最小值，设，则，此时，的最小值为，如图，分别过点作的垂线，垂足分别为，证明是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，则，再证明，求出，，，证明，求出，进而求出，，即可解答． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：如图，分别过点作的垂线，垂足分别为，设， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵点是中点， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图，取中点，连接， ∵，即， ∴点在以点为圆心，为直径的圆弧上运动， ∵，即， ∴当三点共线时，，此时，的长度有最小值， 设，则， ∵， ∴，， 此时，的最小值为，如图，分别过点作的垂线，垂足分别为， ∵点是的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 同理得，是等腰直角三角形，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了点到圆上的距离问题，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，二次根式的运用，准确作出辅助线，构造相似三角形是解题关键． 23. 如图1，已知抛物线经过和两点，直线交x轴于点A，交y轴于点B． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）若点D是抛物线上的一动点，且在直线l的下方和y轴右侧，过点D作轴交直线l于点C，以为直径作，当与y轴相切时，求点D的坐标； （3）如图2，在（2）的条件下，把向上平移，使圆心落在x轴上，得到，过点作轴，交直线l于点F，连接，问在上是否存在一点P，使的面积最大？若存在，求出面积的最大值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，最大值为 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）设，则，根据与y轴相切圆的直径等于点D横坐标的2倍列方程求解即可； （3）先求出，，，过点作，交直线于点G，交于点，连接，则此时的面积最大．证明求出，然后根据求解即可． 【小问1详解】 解：把和代入，得 ， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：设， ∵轴， ∴， ∴． ∵与y轴相切， ∴， 解得，（舍去）， ∴； 小问3详解】 解：∵， ∴， ∵以为直径作，， ∴， ∵把向上平移，使圆心落在x轴上，得到， ∴， ∵过点作轴， ∴，当时，， ∴， ∴， ∴． 如图2，过点作，交直线于点G，交于点，连接，则此时的面积最大． ∵，与y轴相切， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即面积的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $