精品解析：吉林通化市辉南县第六中学等校2026届高三下学期3月质量检测数学试题

高三数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4．本卷命题范围：高考范围. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数，则（ ） A. B. C. 5 D. 2. 已知点，且，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 已知集合，则＝（ ） A. B. C. D. 4. 若，则＝（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆台的上、下底面半径分别为，，半径为2的球与圆台的上、下底面及母线均相切，圆台的侧面积为，则圆台的表面积为（ ） A. B. C. D. 6. 某款新能源汽车2025年的产量为5000辆，从2026年开始每年不断扩大生产规模，计划到2030年此款汽车年产量达到10000辆，那么2025～2030年的年平均增长率大约为（ ） （） A. 115% B. 15% C. 30% D. 60% 7. 在中，，，，为边上一点，且平分，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，，若，使得成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知圆与圆，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则两圆外离 B. 若两圆相交，则 C. 若，则两圆的公共弦所在直线方程为 D. 若，则直线为两圆的公切线 10. 如图，在四棱锥 中，四边形为矩形， 平面，，，分别是，，的中点，则（ ） A. 平面 B. 平面 C. 平面平面 D. 平面平面 11. 已知定义域为的奇函数 满足，，使得，为函数 的导函数且的定义域为，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知随机变量，且，那么___________． 13. 已知椭圆C： （a＞b＞0）的左、右焦点分别为，P是C上一点，且，，则C的离心率为_______． 14. 若对恒成立，则_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. BMI指数是体重指数，当18.5≤BMI≤23.9时，体重正常，某健美机构随机抽取顾客的BMI数据进行统计，得到如下2×2列联表： BMI数据 合计 正常范围 不正常范围 男顾客 75 15 90 女顾客 30 20 50 合计 105 35 140 （1）依据小概率值（＝0.005的独立性检验，能否推断出男、女顾客的BMI是否存在差异？ （2）该机构统计出上述男顾客平均体重为70kg，女顾客的平均体重为56kg，试估计该机构全体顾客的平均体重． 公式：，其中n＝a＋b＋c＋d． 0.1 0.05 0.01 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 16. 已知等差数列的前n项和为，且，． （1）求数列的通项公式； （2）数列满足，求数列的前n项和． 17. 如图，在正四棱柱中，． （1）求点到直线的距离； （2）求二面角的正弦值． 18. 已知，，动点M满足，设M的轨迹为曲线C． （1）求曲线C的方程； （2）设直线与曲线C有两个交点A，B，求k的取值范围； （3）设直线与曲线C交于P，Q两点，求证：为定值． 19. 设函数 ． （1）若，求的图象在处的切线方程； （2）若 在 上恒成立，求a的取值范围； （3）当 时，若满足 ，求证： ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4．本卷命题范围：高考范围. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数，则（ ） A. B. C. 5 D. 【答案】D 【解析】 【详解】，所以 2. 已知点，且，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题意可得， 所以， 所以点的坐标为. 3. 已知集合，则＝（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出集合中不等式的解集，然后利用补集，交集的定义计算即可. 【详解】因为集合， 则， 即. 4. 若，则＝（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为，所以，所以，因为， 所以，解得. 又，所以，. 所以. 5. 已知圆台的上、下底面半径分别为，，半径为2的球与圆台的上、下底面及母线均相切，圆台的侧面积为，则圆台的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设内切球的半径为，设圆台上、下底面圆心分别为，则圆台内切球的球心一定在的中点处，利用圆台的侧面积公式计算得 ，求得，结合圆台表面积计算公式计算即可. 【详解】如图，设内切球的半径为， 设圆台上、下底面圆心分别为，则圆台内切球的球心一定在的中点处， 设球与母线切于点，所以，所以， 所以与全等，所以，同理， 圆台的母线长， 又，所以，解得 ， 又，所以， 所以， ，圆台的表面积为． 6. 某款新能源汽车2025年的产量为5000辆，从2026年开始每年不断扩大生产规模，计划到2030年此款汽车年产量达到10000辆，那么2025～2030年的年平均增长率大约为（ ） （） A. 115% B. 15% C. 30% D. 60% 【答案】B 【解析】 【分析】设2025～2030年的年平均增长率为 ，根据题意列出方程，然后根据对数的运算计算即可. 【详解】设2025～2030年的年平均增长率为 ，根据题意可得 ，化简得， 方程两边取对数得，又， 所以. 故 所以，即2025～2030年的年平均增长率大约为 . 7. 在中，，，，为边上一点，且平分，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据三角形角平分线的性质确定的长度，再利用余弦定理求 和的长. 【详解】如图： 因为平分，所以，又，所以. 在中，根据余弦定理，可得， 在中，根据余弦定理，， 所以. 8. 已知函数，，若，使得成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】问题转化为：在上的最大值不大于在上的最大值，然后根据导数及二次函数的性质求最值即得. 【详解】由题意，在上的最大值不大于在上的最大值. 对：因为，所以， 由 ， 所以函数在上单调递增， 又，所以在上单调递增，所以在上的最大值为. 对：当时，，因为，故满足题意； 当时，因为的对称轴为，所以在上单调递增，所以在上的最大值为， 由 .所以； 当时，在上单调递减，所以在上的最大值为， 由 ，结合得. 综上可知，实数的取值范围为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知圆与圆，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则两圆外离 B. 若两圆相交，则 C. 若，则两圆的公共弦所在直线方程为 D. 若，则直线为两圆的公切线 【答案】BD 【解析】 【分析】根据圆与圆位置关系计算可判断AB；根据两圆公共弦所在直线方程求法计算可判断C；根据直线与圆的位置关系计算可判断D. 【详解】由圆，得圆心，半径， 由圆，得圆心，半径． 对于A，若，，两圆外切，故A错误； 对于B，由两圆相交，得， 即，解得 ，故B正确； 对于C，若，则， 此时，所以两圆相交， 因为两圆方程作差得， 所以两圆的公共弦所在直线方程为，故C错误； 对于D，若，则到直线的距离， 到直线的距离， 所以直线为两圆的公切线，故D正确． 10. 如图，在四棱锥 中，四边形为矩形， 平面，，，分别是，，的中点，则（ ） A. 平面 B. 平面 C. 平面平面 D. 平面平面 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用线面平行的判定定理证明 平面 ，判断A的真假；假设平面 ，可得，根据未必成立，可得假设错误，进而判断B时错误的；利用面面平行的判定定理证明平面平面 ，判断C的真假；利用面面垂直的判定定理证明平面平面 ，判断D的真假. 【详解】对A：因为 分别为，的中点，所以， 又 平面 ， 平面 ，所以 平面 .故A正确； 对B：假设平面 成立，因为平面 ，所以，因为四边形为矩形，所以未必成立，所以假设错误.故B错误； 对C：因为分别为，的中点，所以， 又平面 ， 平面 ，所以 平面 . 因为， 平面 ，且，所以平面 平面 .故C正确； 对D：因为 平面，平面，所以； 又因为四边形为矩形，所以， 因为，平面 ，且 ，所以平面 ， 又平面 ，所以平面 平面 ，故D正确. 11. 已知定义域为的奇函数 满足，，使得，为函数 的导函数且的定义域为，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A：赋值并结合奇函数性质可得答案；对于B：反证法可判断；对于C：利用复合函数的求导法则对等式两边求导可得答案；对于D：先证明周期性，利用周期可得答案. 【详解】令，代入到中， 得：，即：， 令，得， 而 是定义域为的奇函数，所以， 所以，故A正确； 假设成立，又因为， 所以，所以 为偶函数， 又已知 是定义域为的奇函数， 所以对，， 与，使得矛盾，故B错误； ， 两边求导数，得， 即，故C正确； 因为 是定义域为的奇函数， 所以， 两边求导得：， 又， 所以， ， 在中令，得，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知随机变量，且，那么___________． 【答案】0.3## 【解析】 【分析】直接根据正态分布的对称性即可得结果. 【详解】由，得． 13. 已知椭圆C： （a＞b＞0）的左、右焦点分别为，P是C上一点，且，，则C的离心率为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据椭圆的定义、勾股定理和离心率公式计算即可. 【详解】根据椭圆的定义得，平方得， 化简得①， 因为，所以，所以②， ①-②得，即， 又，得到，，代入②得，得到. 所以椭圆的离心率为. 14. 若对恒成立，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】对于的正负进行讨论求解即可． 【详解】因为，所以， 当时，， 由，得， 当时，，所以， 所以当，即时，， 当时，，所以， 所以当，即时，， 由，得， 故． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. BMI指数是体重指数，当18.5≤BMI≤23.9时，体重正常，某健美机构随机抽取顾客的BMI数据进行统计，得到如下2×2列联表： BMI数据 合计 正常范围 不正常范围 男顾客 75 15 90 女顾客 30 20 50 合计 105 35 140 （1）依据小概率值（＝0.005的独立性检验，能否推断出男、女顾客的BMI是否存在差异？ （2）该机构统计出上述男顾客平均体重为70kg，女顾客的平均体重为56kg，试估计该机构全体顾客的平均体重． 公式：，其中n＝a＋b＋c＋d． 0.1 0.05 0.01 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 【答案】（1）能推断出男、女顾客的BMI存在差异 （2）65kg 【解析】 【分析】（1）根据列联表数据，利用公式计算的值，再与临界值比较，即可得出结论. （2）利用样本中男女顾客的比例作为全体顾客中男女比例的估计值，通过加权平均计算全体顾客的平均体重. 【小问1详解】 零假设为：男、女顾客的BMI不存在差异， . 因为，所以依据小概率值的独立性检验， 能够推断出男、女顾客的BMI存在差异. 【小问2详解】 由题意，样本中男顾客占，女顾客占. 估计该机构全体顾客的平均体重为kg. 16. 已知等差数列的前n项和为，且，． （1）求数列的通项公式； （2）数列满足，求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据已知条件可得出关于、的方程组即可由等差数列的通项公式求解； （2）求出数列的通项公式，利用错位相减法可求得的表达式. 【小问1详解】 设的公差为d，则由题有， 、，所以． 【小问2详解】 由（1）得，， 所以， 所以， 两式相减得， 即， 解得． 17. 如图，在正四棱柱中，． （1）求点到直线的距离； （2）求二面角的正弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，写出关键点坐标，根据点到直线距离向量法计算求解； （2）根据面面角向量法计算求解. 【小问1详解】 以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示空间直角坐标系， 则， 由，得， 所以， 所以点到直线的距离为； 【小问2详解】 ， 设平面 的一个法向量为， 则，取，则， 所以平面 的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， 则，取，则， 所以平面的一个法向量为， 设二面角的平面角为 ， 则， 因为 ，所以， 即二面角的正弦值为. 18. 已知，，动点M满足，设M的轨迹为曲线C． （1）求曲线C的方程； （2）设直线与曲线C有两个交点A，B，求k的取值范围； （3）设直线与曲线C交于P，Q两点，求证：为定值． 【答案】（1）； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）根据双曲线的定义以及双曲线的标准方程，可得答案； （2）联立直线与双曲线方程，写出韦达定理，结合判别式计算，可得答案； （3）联立直线与双曲线方程，写出韦达定理，应用弦长公式代入计算化简求解. 【小问1详解】 设，为定值，所以点的轨迹是以为焦点的双曲线的右支， 设双曲线方程为：，， 所以，曲线的轨迹方程是； 【小问2详解】 设， 由，消去得， 则. 整理得， 解得. 【小问3详解】 设， 由，消去 得，， 则. ， 所以， 19. 设函数 ． （1）若，求的图象在处的切线方程； （2）若 在 上恒成立，求a的取值范围； （3）当 时，若满足 ，求证： ． 【答案】（1） （2） （3）证明：当 时， ， 所以在 上单调递增，又 ， 所以 时， 时， . 若 ，则 ，不合题意； 若，则 ，不合题意，所以. 设 ，则 . 所以 在 上单调递增，因为 ，所以 . 因为 ，所以 . 又 ，所以 ，即 . 又在 上单调递增，所以，即 . 所以 ，即 . 【解析】 【分析】（1）对函数求导，求出切线斜率和切点坐标，进而求得切线方程. （2）对函数求导，判断单调性求出最小值，分 两种情况讨论不等式恒成立时的范围. （3）对函数求导，判断单调性，设 ，求导判断单调性，进而证明结论. 【小问1详解】 时， ，对函数求导得. 所以 . 所以的图象在处的切线方程为 ，即 . 【小问2详解】 由 得. 因为 在 上单调递增，所以 . 若 ，则 在 上恒成立，所以在 上单调递增， 又 ，所以 在 上恒成立， 若 ，令 得或，且 . 当 时， ，单调递减， 所以 ，与 在 上恒成立矛盾， 综上所述，的取值范围是 . 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $