精品解析：辽宁省名校联盟2025-2026学年高二下学期3月联考数学试题

高二数学试卷 本试卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在某项测量中，测量结果服从正态分布，则（ ） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.4 D. 0.5 2. 经过点，且与直线平行的直线方程为（ ） A. B. C D. 3. 统计学中，常用的显著性水平以及对应的分位数如下表所示． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 在检验与是否有关的过程中，根据已知数据计算得，则（ ） A. 在犯错误的概率不超过1的前提下，可以认为与有关 B. 在犯错误的概率不超过的前提下，可以认为与有关 C. 有的把握认为与有关 D. 有的把握认为与有关 4. 如图，在直三棱柱中，，且为的中点，，则的长为（ ） A. B. C. D. 5 5. 如图，在六个区域中种植4种不同植物，同一区域只种植1种植物，相邻两区域所种植物不同，则不同的种植方案种数为（ ） A. 48 B. 96 C. 120 D. 192 6. 已知曲线，则下列结论错误的是（ ） A. 曲线关于直线对称 B. 曲线关于原点中心对称 C. 曲线的长度为 D. 曲线有两条对称轴 7. 某种细胞如果不能分裂则死亡，并且一个细胞死亡的概率为，分裂为两个细胞的概率为．现有两个这样的细胞，则两次分裂后还有细胞存活的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 已知直线，椭圆，点在上，过点作平行于交于点，过点作平行于交于点，若长为定值，则离心率（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在空间直角坐标系中，为坐标原点，若点，则下列叙述正确的有（ ） A. 点关于轴的对称点是 B. 点关于平面的对称点是 C. 点关于轴的对称点是 D. 点关于原点的对称点是 10. 随机变量服从参数为的二项分布，即，其概率分布可用下图直观地表示，则（ ） A B. C. D. 11. 已知集合，且，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 抛物线的准线方程为______. 13. 若．则___________．（用数字作答） 14. 从正2025边形的顶点中任取若干个，使之能作为正边形的顶点，则的不同选法共有___________种． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，为线段的中点． （1）求平面与平面夹角的正弦值； （2）线段上否存在一点，使得？若存在，请求出；若不存在，请说明理由． 16. 袋中有除颜色外均相同的6个红球，7个黑球，若从中任取3个． （1）求恰有1个红球概率； （2）设3个球中，黑球的个数为，求的分布列及数学期望； （3）当3个球均为一种颜色时，求这种颜色为黑色的概率． 17. 设直线与椭圆相交于两个不同的点，与轴相交于点，为坐标原点． （1）证明：； （2）若，求面积取得最大值时的椭圆方程． 18. 已知与及与的成对数据如下表，且关于的回归直线方程为． 0.1 0.4 0.9 1.6 2.5 3.6 4.9 1 4 6 8 9 10 1 4 9 16 25 36 49 0 4 7 9 11 12 13 （1）求关于的回归直线方程； （2）由散点图发现可以用函数模型拟合与的关系，请建立关于的回归方程（的值精确到0.01）； （3）又得到一组新数据，根据这对数据残差的绝对值的大小判断（1）（2）两个方程哪个拟合效果更好． 参考数据：． 参考公式：对于一组数据，其回归直线方程为，其中． 19. 已知抛物线的顶点和双曲线的中心为坐标原点，该抛物线与双曲线在轴上有共同的焦点，且都经过点． （1）求抛物线和双曲线的标准方程； （2）动直线过点，交抛物线于两点，记以线段为直径的圆为圆，求证：存在垂直于轴的直线被圆截得的弦长为定值，并求出直线的方程； （3）设为双曲线的左顶点，为第一象限内双曲线上的任意一点，是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学试卷 本试卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在某项测量中，测量结果服从正态分布，则（ ） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.4 D. 0.5 【答案】D 【解析】 【详解】服从正态分布，所以由正态分布的对称性知． 2. 经过点，且与直线平行直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】设与直线平行的直线方程为， 因为点在直线上， 所以，解得， 所以所求直线方程为． 3. 统计学中，常用的显著性水平以及对应的分位数如下表所示． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 在检验与是否有关的过程中，根据已知数据计算得，则（ ） A. 在犯错误的概率不超过1的前提下，可以认为与有关 B. 在犯错误的概率不超过的前提下，可以认为与有关 C. 有的把握认为与有关 D. 有把握认为与有关 【答案】C 【解析】 【分析】根据独立性检验的应用判断选项. 【详解】因为，所以， 所以在犯错误的概率不超过的前提下， 可以认为与有关或有的把握认为与有关． 4. 如图，在直三棱柱中，，且为的中点，，则的长为（ ） A. B. C. D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】建立适当空间直角坐标系，求出点、的坐标即可由两点间距离公式计算求解. 【详解】以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则由题意可知， 又因为是的中点，所以的坐标为， 点满足，所以的坐标为， 从而． 5. 如图，在六个区域中种植4种不同植物，同一区域只种植1种植物，相邻两区域所种植物不同，则不同的种植方案种数为（ ） A. 48 B. 96 C. 120 D. 192 【答案】C 【解析】 【详解】先分组，再种植，共有5种分组方式，同组种植一种植物， 则不同的种植方案种数为． 6. 已知曲线，则下列结论错误的是（ ） A. 曲线关于直线对称 B. 曲线关于原点中心对称 C. 曲线的长度为 D. 曲线有两条对称轴 【答案】C 【解析】 【分析】先求出变量的取值范围，再结合曲线方程结构分析化简得到曲线的轨迹，数形结合即可计算求解. 【详解】由已知，解得， 若，则等式一定不成立， 若，等式两边平方化简得，即， 故曲线如图所示，则曲线关于直线和都对称，即曲线有两条对称轴， 且关于原点中心对称，曲线的长度为， 所以选项ABD正确，选项C错误. 7. 某种细胞如果不能分裂则死亡，并且一个细胞死亡的概率为，分裂为两个细胞的概率为．现有两个这样的细胞，则两次分裂后还有细胞存活的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用独立事件概率乘积公式计算，再结合对立事件概率公式计算求解. 【详解】一个细胞的谱系经过两轮演化后仍存活的概率为， 因此两个细胞经过两轮演化后还有细胞存活的概率是． 8. 已知直线，椭圆，点在上，过点作平行于交于点，过点作平行于交于点，若的长为定值，则离心率（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别求出为上顶点和右顶点时的长，再由的长为定值即可计算求解. 【详解】当为上顶点时，， 联立，解得，所以； 当为右顶点时， 联立，解得，所以，， 因为的长为定值，所以即， 所以离心率． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在空间直角坐标系中，为坐标原点，若点，则下列叙述正确的有（ ） A. 点关于轴的对称点是 B. 点关于平面的对称点是 C. 点关于轴的对称点是 D. 点关于原点的对称点是 【答案】ABD 【解析】 【详解】由空间直角坐标系对称性知：点关于轴的对称点是， 点关于平面的对称点是， 点关于轴的对称点是， 点关于原点的对称点是. 所以选项ABD正确，选项C错误. 10. 随机变量服从参数为的二项分布，即，其概率分布可用下图直观地表示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据二项分布的定义，概率及方差公式计算判断各个选项. 【详解】由概率分布直观图可知可以取0，1，2，3，4，所以，故A项错误； 又，所以，故B项正确； 又，所以，故C项错误； ，故D项正确． 11. 已知集合，且，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据两圆位置关系列式判断A，应用数量积公式计算判断B，应用公共弦判断C，两圆联立计算判断D. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 作图如下，设． 对于A项，两圆相交，有，即，A项错误； 对于B项，，， ，B项正确； 对于C项，将两个圆的方程作差，可得所在直线的方程为， 根据点在该直线上，可得，C项正确； 对于D项，线段与线段互相平分，于是， 则两式相加得， 由C项及圆的方程得，即，D项正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 抛物线的准线方程为______. 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：抛物线的标准方程是，所以准线方程是 考点：抛物线方程 13. 若．则___________．（用数字作答） 【答案】4960 【解析】 【分析】先求出的展开式的通项公式，进而得到的代数式，再结合组合数运算性质即可计算得解. 【详解】因为的展开式的通项公式为， 所以由题可得． 14. 从正2025边形的顶点中任取若干个，使之能作为正边形的顶点，则的不同选法共有___________种． 【答案】14 【解析】 【分析】先由题意求出正边形的一定是2025的因数，再结合2025的因数个数即可求解. 【详解】正2025边形的顶点共有2025个，它们是正2025边形外接圆的等分点， 由题意可知正边形的顶点是正2025边形的顶点，且正边形的顶点也是上述圆的等分点， 正2025边形的相邻顶点所在劣弧所对应的圆心角为， 正n边形的相邻顶点所在劣弧所对应的圆心角为， 因为正边形的顶点是正2025边形的顶点，所以（k为正整数）， 所以，所以正边形的一定是2025的因数，且不小于3， 而，因数有个， 不能是1，所以满足题意的有14个． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，为线段的中点． （1）求平面与平面夹角的正弦值； （2）线段上是否存在一点，使得？若存在，请求出；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在，2 【解析】 【分析】（1）建立适当空间直角坐标系，分别求出平面与平面的一个法向量，再由面面角的向量法公式求出面面角余弦值即可求解两平面的夹角； （2）先假设存在满足题意的点，，利用即可求解. 【小问1详解】 由平面且四边形为矩形可得两两垂直， 以为坐标原点，直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，令得，则， 因为平面，所以平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为，则， 所以，， 所以， 所以平面与平面夹角的正弦值为． 【小问2详解】 假设存在满足题意的点， 因为在线段上，有，即， 所以，则， 因为，所以， 解得， 即存在满足题意的点． 16. 袋中有除颜色外均相同的6个红球，7个黑球，若从中任取3个． （1）求恰有1个红球的概率； （2）设3个球中，黑球的个数为，求的分布列及数学期望； （3）当3个球均为一种颜色时，求这种颜色为黑色的概率． 【答案】（1） （2）分布列见解析， （3） 【解析】 【分析】（1）由古典概型结合组合数计算即可求解； （2）依题意求出随机变量的所有可能取值并求出每个取值相应的概率即可求分布列，再由数学期望公式即可计算求解数学期望； （3）先求出从袋中任取3个球为一种颜色的事件的概率、从袋中任取3个球都为黑色的事件的概率，再由条件概率定义即可计算求解. 【小问1详解】 设从袋中任取3个球恰有1个红球为事件， 则； 【小问2详解】 的可能取值为0，1，2，3， ， ， 的分布列为 0 1 2 3 ． 【小问3详解】 设从袋中任取3个球为一种颜色为事件，则， 设从袋中任取3个球都为黑色为事件，则， 则所求概率． 17. 设直线与椭圆相交于两个不同的点，与轴相交于点，为坐标原点． （1）证明：； （2）若，求面积取得最大值时的椭圆方程． 【答案】（1）证明见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）联立直线和椭圆，由直线和椭圆交于两点得到，整理后可得证明； （2）设，将分成上下两个部分表示为，联立直线和椭圆，结合韦达定理用含的式子表示出面积，进而求其最值. 【小问1详解】 证明：联立直线与椭圆方程 消得， ，即， 所以． 【小问2详解】 解：，设， 因为，所以，可以得到 由（1）知，则， ， 当且仅当时等号成立，此时，则， 所以面积取得最大值时的椭圆方程为． 18. 已知与及与的成对数据如下表，且关于的回归直线方程为． 0.1 0.4 0.9 1.6 2.5 3.6 4.9 1 4 6 8 9 10 1 4 9 16 25 36 49 0 4 7 9 11 12 13 （1）求关于的回归直线方程； （2）由散点图发现可以用函数模型拟合与的关系，请建立关于的回归方程（的值精确到0.01）； （3）又得到一组新数据，根据这对数据残差的绝对值的大小判断（1）（2）两个方程哪个拟合效果更好． 参考数据：． 参考公式：对于一组数据，其回归直线方程为，其中． 【答案】（1） （2） （3）（2）中方程的拟合效果更好． 【解析】 【分析】（1）由表中数据得出，，代入已知回归方程可得； （2）令，利用已知数据求得回归方程，即得； （3）把代入两个回归方程求得模拟值，计算残差后比较可得 【小问1详解】 由表中数据得，则，， 又关于的回归直线方程为，则， 即关于的回归直线方程为． 【小问2详解】 若用函数模型拟合与的关系，则令，此时， 则，即， 又，所以关于的回归方程为． 【小问3详解】 （1）中关于的回归直线方程为， 所以当时，，残差为， （2）中关于的回归方程为，所以当时，， 残差为， 因为，所以（2）中方程的拟合效果更好． 19. 已知抛物线的顶点和双曲线的中心为坐标原点，该抛物线与双曲线在轴上有共同的焦点，且都经过点． （1）求抛物线和双曲线的标准方程； （2）动直线过点，交抛物线于两点，记以线段为直径的圆为圆，求证：存在垂直于轴的直线被圆截得的弦长为定值，并求出直线的方程； （3）设为双曲线左顶点，为第一象限内双曲线上的任意一点，是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2）证明见解析， （3）存在， 【解析】 【分析】(1)先设抛物线方程，代入点求出，得到抛物线方程与焦点；再利用双曲线与抛物线共焦点得到，通过双曲线定义或代入点求出，从而得到双曲线方程； (2)设，写出以为直径的圆的圆心与半径，设直线，利用勾股定理表示弦长平方，消去后令系数为，求出，得到弦长为定值； (3)先通过特殊点推测，再利用正切二倍角公式，代入双曲线方程化简，证明，从而得到. 【小问1详解】 设抛物线的方程为， 将点代入抛物线方程，得，所以抛物线的方程为； 设双曲线的标准方程为， 因为抛物线的焦点坐标为，双曲线与抛物线在轴上有共同的焦点， 则双曲线的右焦点坐标为，则另一个焦点坐标，故， 又在双曲线上， 根据双曲线的定义知， 所以， 故双曲线的标准方程为． 【小问2详解】 由题意得的中点为，设的方程为， 以线段为直径的圆交于两点，的中点为，则； 设，则，且， 则， 因为为直角三角形，且， 所以， 所以， 显然当时，， 所以弦长为定值， 故存在垂直于轴的直线（即直线），被圆截得的弦长为定值，直线的方程为． 【小问3详解】 已知双曲线方程为，其左顶点为，右焦点为，设 为第一象限内双曲线上任意一点（），满足，即； 当轴时，，代入双曲线方程：，此时点的坐标为； ，，故等腰直角三角形，，，因此，推测； 由点的坐标关系，可得：，， 当时，，，为锐角， 当时，，，为钝角， ，将代入，得， 将代入分母化简：， 因此：，故， 因为在第一象限，所以，故， 当时，，，两角同属正切函数的单调递增区间， 当 时：由，可知，故 ，由渐近线斜率约束，可知， 综上，，与同属正切函数的单调递增区间， 在正切函数的同一单调区间内，若，则必有，因此：， 故存在常数，使得对第一象限内双曲线上任意一点恒成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $