精品解析：重庆市渝北区实验中学2026年九年级数学春季开学收心练习

数学学科开学收心练习 一、选择题： 1. 下列四个数中，最小的数是（ ） A. 0 B. 5 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查的是比较有理数的大小，掌握比较有理数的大小的方法是解题的关键． 根据正数大于零，零大于负数，两个负数绝对值大的反而小判断即可． 【详解】解：∵， ∴最小的数是， 故选：C． 2. 下列四幅图片中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查中心对称图形，掌握中心对称图形的概念是解题的关键． 根据中心对称图形是绕某一点旋转后能与自身完全重合的图形，对选项逐一进行判断即可． 【详解】解：对于A：旋转后不能与自身完全重合，∴不符合题意； 对于B：旋转后不能与自身完全重合，∴不符合题意； 对于C：旋转后不能与自身完全重合，∴不符合题意； 对于D：旋转后能与自身完全重合，∴符合题意； 故选：D． 3. 如图，在中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，依此解答即可． 【详解】解：∵在中，， ∴． 故选：C． 4. 反比例函数的图象一定经过的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键； 根据反比例函数的性质，函数图象上需满足，其中，逐一判断即可． 【详解】解：∵反比例函数为， ∴， A、，所以，点在函数图象上，故本选项符合题意； B、，所以，点不在函数图象上，故本选项不符合题意； C、，所以，点不在函数图象上，故本选项不符合题意； D、，所以，点不在函数图象上，故本选项不符合题意； 故选：A． 5. 为了验证光是沿直线传播的这一性质，大约二千四百年前我国杰出的科学家墨翟和他的学生做了世界上第一个小孔成倒像的实验，解释了小孔成倒像的原理．如图是小孔成像原理的示意图，长的蜡烛在暗盒中所成的像的长是，则像到小孔的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意易证，然后利用相似三角形的高的比等于相似比求解即可． 【详解】解：设像到小孔的距离为， 由题意可知，，到点的距离为，，， ∴， ∴，即， ∴． 6. 如图，苯是组成结构最简单的芳香烃，可以合成一系列衍生物．如图是小洛用木棍摆成的苯及其衍生物的结构式，第1个图形需要9根木棍，第2个图形需要16根木棍，第3个图形需要23根木棍…按此规律，第10个图形需要的木棍的根数是（ ） A. 54 B. 65 C. 70 D. 72 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查图形的变化规律，解答的关键是总结出图形变化规律．通过观察可知：每增加一个苯环，相应的木棍增加7根据此可求解． 【详解】解：∵第1个图形中木棍的根数为， 第2个图形中木棍的根数为， 第3个图形中木棍的根数为， 第4个图形中木棍的根数为， …… ∴第n个图形中木棍的根数为， ∴第10个图形需要的木棍的根数是， 故答案为：72， 故选：D ． 7. 如图，将边长均为的正方形和正六边形拼在一起，以公共顶点为圆心，边长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】正方形边长，正六边形的边长，圆的半径三者相等，，，则，再根据扇形面积的计算即可求解． 【详解】解：如图所示， ∵，， ∴， ∴． 8. 在一幅长、宽的年画四周外围都镶上一条宽度相同的金色纸边，制成一幅挂画，如果要求年画的面积占整个挂画面积的，则金色纸边的宽度是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，根据题意，正确列出方程是解题关键．设金色纸边宽度为，则挂画的长和宽分别为和，根据年画面积占挂画面积列方程求解，即可得答案． 【详解】解：设金色纸边宽度为， ∵一幅长、宽的年画四周外围都镶上一条宽度相同的金色纸边，制成一幅挂画， ∴年画面积为，挂画面积为， ∵年画面积占挂画面积， ∴， 整理得：， 解得：，（舍去）， ∴金色纸边宽度为． 故选：B． 9. 如图，、分别是正方形纸片边、上的两点，连接，并将纸片沿着折叠，点、恰好重合于点．点是线段上一点，连接，且．若，则线段的长为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正方形的性质和折叠的性质，得到三点共线，设，则，，利用勾股定理建立方程，求得，从而求得，然后易证，可得为等腰直角三角形，进而求得，接着过点M作于点，利用，结合勾股定理，求得，进而求得． 【详解】解：∵四边形是正方形，， ∴，， ∴， ∵沿着折叠，点、恰好重合于点， ∴，，， ，，， ∴， ∴三点共线， 设，则，， ∵，即， 解得， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 过点M作于点， 则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，解直角三角形，等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点，利用勾股定理建立方程是解题的关键． 10. 已知整式，其中，为正整数，均为自然数，下列说法中正确的有（ ） ①若，则； ②当时，若不等式有且只有1个正整数解，则满足条件的整式不唯一； ③若，，则满足条件的三次三项式共有27个． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】A 【解析】 【分析】①根据为正整数，可得不等式，即，再结合，，，均为自然数，即可得到结论；②当时，确定整式M的形式，再结合不等式的情况判断整式是否唯一；③根据三次三项式的条件，确定各项系数的取值，然后计算满足条件的整式个数即可． 【详解】解：①， ， 为正整数， ， ， ， 又，，，都为自然数， ，，，中至少有一个为0， ，故①错误； ②当时，整式，不等式，即， 因为不等式有且只有1个正整数解，且为正整数，为自然数， 当时，，即，要使不等式有且只有1个正整数解，则， 解得， 又因为为自然数， 所以，此时整式， 当时，不等式没有正整数解， 所以满足条件的整式唯一，故②错误； ③是三次三项式， ， 整式，且，， 是三次三项式，且为正整数， ，，中有且只有1个为0， 当时，此时，且，，中恰有一个为0，另两个为正整数； 分情况讨论（如时，的正整数解有6组），则共有个， 当时，同理，满足条件的组合共有9个， 当时，同理，满足条件的组合共有3个， 所以满足条件 和  的三次三项式共有（个）， 故③错误． 二、填空题 11. 有三张完全一样的卡片，其正面分别写有数字1，2，3．将其背面朝上并洗匀，从中随机抽取一张，记下卡片上的数字后放回洗匀，再从中随机抽取一张，则两次抽到的卡片数字均为3的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】列出表格，两次抽到的卡片数字均为3的结果数除以总结果数，即可求解． 【详解】解：列表如下： 第二次 第一次 1 2 3 1 1，1 2，1 3，1 2 1，2 2，2 3，2 3 1，3 2，3 3，3 共有9种等可能结果，其中两次抽到的卡片数字均为3的结果是1种， ∴两次抽到的卡片数字均为3的概率是． 12. 如图，，的直角顶点在直线上，若，则的度数是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质、平角的定义等知识点，熟记性质并准确识图是解题的关键．如图，根据平角的性质可得即可求得，再由平行线的性质可得即可求解． 【详解】解：如图， 由题意，得， ∵，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 13. 若为正整数，且满足，则________． 【答案】6 【解析】 【分析】找出与38相邻的两个完全平方数，确定的取值范围，进而得到符合条件的正整数． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵为正整数，且满足， ∴． 14. 若实数x，y满足，则的值为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的非负性、代数式求值、负整数次幂等知识点，掌握二次根式的非负性是解题的关键． 由二次根式的非负性可求得 x 的值；再代入求得 y的值，然后代入求值即可． 【详解】解：∵，且 ， ∴，即， 将代入，得，解得：． ∴． 故答案为：． 15. 如图，平行四边形的顶点A，B，C在上，点A为弧的中点，交于点E，连接并延长交的延长线于点F，连接，若的直径为10，，则______，______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】连接，连接并延长，交于点H，作，垂足为M．证明是垂直平分线，得到，根据勾股定理求出，，再根据勾股定理即可求出．根据圆内接四边形和平行四边形证明，，得到，．设，根据勾股定理得，求出．证明四边形为矩形，得到，．．即可求出． 【详解】解：如图，连接，连接并延长，交于点H，作，垂足为M． ∵点A为弧的中点， ∴， ∴， ∵， ∴点都在垂直平分线上， ∴是垂直平分线， ∴． ∵的直径为10， ∴， ∴在中，， ∴， ∴在中，． ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴，， ∴，， ∴，， 设， 在中，根据勾股定理得， 即， ∴． ∵，， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴． ∴在中，． 【点睛】本题为与圆有关综合题，考查了垂径定理，圆内接四边形性质，勾股定理，平行四边形的性质，矩形的性质与判定，等腰三角形的判定等知识，综合性强，难度较大，根据题意正确添加辅助线是解题关键． 16. 一个四位自然数（其中a，b，c，d为整数，且，，，），若满足，则称这个四位数为“十二和数”．例如：四位数3579，因，所以3579是“十二和数”．已知某个“十二和数”的十位数字为5，百位数字比千位数字小2，则这个“十二和数”是______；一个“十二和数”，将其千位数字与个位数字调换位置，百位数字与十位数字调换位置，得到一个新数N，记．若与均为整数，则满足条件的M的最大值与最小值的差为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查整式的加减运算的应用． 根据已知条件得到十位数字为5和百位数字比千位数字小2，结合“十二和数”的定义作答即可；根据题意得到，根据“十二和数”的定义可知，，即，，进而得到，求出，由题意可知与均为整数，即为11的倍数且为4的倍数，进而分别找出M的最大值与最小值，相减即可． 【详解】解：∵十位数字为5， ∴， ∵百位数字比千位数字小2， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即这个“十二和数”是； ∵将其千位数字与个位数字调换位置，百位数字与十位数字调换位置，得到一个新数N， ∴， ∴ ， 由“十二和数”的定义可知，， ∴ ， ， ∴ ， ∵与均为整数， ∴与均为整数， 即为11的倍数且为4的倍数， ∵3与4无公因数， ∴为4的倍数， ∵， M取最大值：当时，不存在b使得为11的倍数且为4的倍数， 当时， ∵为11的倍数， ∴，此时，是4的倍数； ∴，， ∴最大值； M取最小值： ∵，，， ∴， 当时，不存在b使得为11的倍数且为4的倍数， 当时，不存在b使得为11的倍数且为4的倍数， 当时， ∵为11的倍数， ∴，此时，是4的倍数； ∴，， ∴最小值； 则满足条件的M的最大值与最小值的差为． 故答案为：，． 三、解答题： 17. 解不等式组：，并写出所有整数解． 解：解不等式①得__________， 解不等式②得__________， 在同一条数轴上表示不等式①②的解集： 所以，原不等式组的解集为__________， 所以，原不等式组的整数解为__________． 【答案】，，数轴表示见解析，，、、0． 【解析】 【分析】本题主要考查了解不等式、解不等式组、不等式组的整数解、在数轴上表示一元一次不等式组的解集等知识点，正确求得不等式组的解集是解决本题的关键． 先分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集并在数轴上表示出来，然后写出整数解即可解答． 【详解】解：①， ， ， ， ； ②， ， ， ； 在同一条数轴上表示不等式①②的解集如下： ∴原不等式组的解集为， ∴原不等式组的整数解为，，0． 18. 学习了三角形中位线定理后，小华进行了拓展性研究，他发现过三角形一边的中点且平行于另一边的直线必过三角形第三边的中点，以下是他的探究过程，请完成其中的作图和推理填空： 如图，在中，点E是边的中点，交边于点F． （1）尺规作图：过点C在右侧作交的延长线于点D．（保留作图痕迹，不写作法） （2）求证：． 证明：∵， ∴①______． ∵， ∴四边形是②______． ∴③______． ∵点E是边的中点， ∴． ∴④______． 在和中 ∴． ∴． 【答案】（1）见解析 （2）①；②平行四边形；③；④． 【解析】 【分析】此题考查了尺规作一个角等于已知角，平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据尺规作一个角等于已知角的方法求解即可； （2）证明出四边形是平行四边形，得到，等量代换得到，然后证明出，即可得到． 【小问1详解】 解：如图所示： 【小问2详解】 证明：∵， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形． ∴． ∵点E是边的中点， ∴． ∴． 在和中 ∴． ∴． 四、解答题： 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，实数的运算，根据分式的运算法则，单项式乘以多项式和完全平方公式的法则进行计算，再根据实数的运算法则求出的值，然后代入化简后的式子中，进行计算即可． 【详解】解：原式 ； ∵， ∴原式． 20. 泡泡玛特公司为了更好把握消费者心理，对旗下大热IP：“星星人”和“拉布布”开展了受欢迎程度的调查．该公司随机采访20名顾客，让他们分别给“拉布布”和“星星人”打分（百分制），分数越高代表越喜欢，并对得到的分数进行整理、描述和分析（得分用表示，共分成四组：，，，），下面给出了部分信息： “星星人”得分是：82，86，87，88，89，90，91，92，93，93，93，94，94，94，94，94，95，96，97，98． “拉布布”得分在C组中的数据是：91，92，94，94，94，94． “星星人”和“拉布布”得分统计表 平均数 中位数 众数 星星人 92 93 a 拉布布 92 b 97 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：__________，__________，__________； （2）根据以上数据，你认为消费者更喜欢“星星人”还是“拉布布”？请说明理由（一条理由即可）； （3）据调查，对“拉布布”打分不低于95分的顾客中有的人会购买“拉布布”，若本周末泡泡玛特某门店人流量会达到1000人，货源充足的情况下会有多少人购买“拉布布”？ 【答案】（1），，； （2）消费者更喜欢“拉布布”， “拉布布”的得分中，中位数和众数均大于“星星人”的得分的中位数和众数， ∴消费者更喜欢 “拉布布”； （3）300 【解析】 【分析】本题主要考查调查与统计，掌握中位数，众数，样本估算总体数量的计算是关键． （1）根据众数，中位数，样本百分比的计算方法求解即可； （2）根据中位数、众数作决策即可； （3）根据样本百分比估算总体数量即可． 【小问1详解】 解：“星星人”的得分中，94分出现次数最多， ∴， “拉布布”A组的人数：（人）， B组的人数：（人）， C组的人数：6人， D组的人数：（人）， ∴中位数是第10，11人的得分的平均数，即， ∴，即， 故答案为：，，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：在人流量会达到1000人中，对“拉布布”打分不低于95分的顾客有（人）， 有的人会购买“拉布布”， ∴购买“拉布布”的人数为（人）． 21. 列方程（组）解下列问题： 旗袍上的盘扣远不止是实用的纽扣，更是“以小见大”的东方美学典范．某手工作坊制作如图所示的“花扣”和“一字扣”两种盘扣．已知制作一对“花扣”的时间比制作一对“一字扣”的时间多65分钟，制作2对“花扣”和6对“一字扣”共用250分钟． （1）求制作一对“花扣”和一对“一字扣”各需多少分钟； （2）因工作坊升级了工艺品质，制作每对“花扣”增加的时间是每对“一字扣”增加时间的4倍，50个小时制作的“花扣”对数是30个小时制作的“一字扣”对数的，求升级后制作一对“一字扣”需多少分钟． 【答案】（1）制作一对“花扣”需要80分钟，则制作一对“一字扣”需15分钟 （2）升级后制作一对“一字扣”需20分钟 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，分式方程的应用等知识． （1）设制作一对“花扣”需要x分钟，根据制作2对“花扣”和6对“一字扣”共用250分钟列出方程，解方程即可求解； （2）设升级后制作一对“一字扣”需增加y分钟，根据50个小时制作的“花扣”对数是30个小时制作的“一字扣”对数的列分式方程，解分式方程即可求解． 【小问1详解】 解：设制作一对“花扣”需要x分钟，则制作一对“一字扣”需分钟． 由题意得， 解得， ． 答：制作一对“花扣”需要80分钟，则制作一对“一字扣”需15分钟； 【小问2详解】 解：设升级后制作一对“一字扣”需增加y分钟， 由题意得， 整理得， 去分母得， 解得， 经检验是原分式方程的解， ∴分钟． 答：升级后制作一对“一字扣”需20分钟． 22. 如图，在矩形中，，连接．点为中点，连接．动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿运动．同时，动点以每秒个单位长度的速度从点出发，沿运动．当点到达点时，P、Q两点同时停止运动．连接，设点的运动时间为秒的面积为的面积为的面积为． （1）请直接写出关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出的图像，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图像，请直接写出当时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 【答案】（1），． （2）函数图像见解析，的性质：当时，随 x 增大而增大；当 时，随 x 增大而减小（不唯一合理即可）． （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例综合、矩形的性质、画函数图像、函数与不等式等知识点，掌握数形结合以及分类讨论思想是解题的关键． （1）分点 P 在 上和点 P 在上两种情况，分别根据矩形的性质以及三角形的面积公式可求出的函数解析式，同时根据等高三角形的面积之比为底之比求得的函数解析式； （2）直接运用描点、连线的方法画出的图像，再根据函数图像写出函数的性质即可； （3）的x的取值范围，即的函数图像在上方对应x的取值范围，据此根据函数图像写出x的取值范围即可． 【小问1详解】 解：① 当点 P 在 上时，即，，， ∵在矩形ABCD中，， ∴，，， ∵点为中点， ∴， ∴， ∴的面积 ， ∵边与边上的高相等， 的面积为的面积为． ∴，即； ② 当点 P 在上时，即，，， ∴的面积 ， ∵边与边上的高相等， 的面积为的面积为． ∴，即； 综上，，． 【小问2详解】 解：画出的图像如图所示． 的性质：当时，随 x 增大而增大；当 时，随 x 增大而减小． 【小问3详解】 解：当时，通过图像分析，x的取值范围近似为：． 23. “渝超”足球联赛赛季正如火如荼进行中．如图，A，B，C，D在同一平面内．在某次进攻回合中，球员乙在处发任意球，球员甲、丙、丁分别位于处、处、处接球．已知位于的北偏东方向，且位于的北偏东方向40米处，位于的北偏西方向上，位于的正东方向，且位于的南偏东方向上．（参考数据：） （1）求的长度（结果保留根号）； （2）当丙在处接到乙传球后立即沿方向跑动，同时甲从处沿方向朝球员丁跑动．在甲与丁相遇前某时刻，丙将球传给了甲，此时甲与丙刚好相距30米，若甲速度为丙速度的3倍，请问此时球员丙离开处多少米（结果保留小数点后一位）？ 【答案】（1）米 （2）球员丙离开处米 【解析】 【分析】（1）根据题意，，，，米，过点作于点，则，再根据含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质即可求解； （2）根据题意是等边三角形，点分别表示丙，甲，设秒时甲与丙刚好相距30米，设丙的速度为，则甲的速度为，根据含30度角的直角三角形的性质得到，则，，，在中，由勾股定理得，代入计算即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示， 根据题意，，，，米， ∴，， ∴， 在中，， 过点作于点，则， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴（米），（米）， ∴（米）； 【小问2详解】 解：如图所示，，， ∴，即是等边三角形， ∴米， 根据题意，点分别表示丙，甲，设秒时甲与丙刚好相距30米，设丙的速度为，则甲的速度为， ∴，，则，， 过点作于点， ∵， ∴，则，， ∴， 在中，， ∴， 整理得，， ∴， 解得，，， 当时，米，米， 当时，米，米，不符合题意，舍去； ∴球员丙离开处米． 【点睛】本题主要考查方位角，含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，勾股定理等知识的综合，掌握以上知识，数形结合分析是关键． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴是直线． （1）求抛物线的表达式； （2）点E是直线上方抛物线上一动点，过点E作x轴垂线，交与x轴分别为点F与点G，点P，Q为抛物线对称轴上的动点（点P在点Q的上方），且，连接，．当取得最大值时，求点E的坐标及周长的最小值； （3）在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线向右平移2个单位，向上平移3个单位得到，点H为点E的对应点，点M为上的一动点，若，请直接写出所有符合条件的点M的坐标，并写出求解点M的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】（1） （2）， （3）点M的坐标为或，过程见详解 【解析】 【分析】（1）先利用对称轴与点B的坐标求得点A的坐标，再利用待定系数法即可求解二次函数解析式； （2）先求出直线的解析式，再设，则，，表示出的表达式，此时表达式为开口向下的二次函数，化为顶点式后即可得出点E的横坐标，代入二次函数解析式即可求得点E的坐标，将点E往下平移3个单位得到，则，且，连接，得平行四边形，则，作关于对称轴直线的对称点，即为坐标原点，则，当E，Q，共线时取等，即可求得周长的最小值； （3）先根据平移情况求出新抛物线解析式和点E平移后的点H坐标，作轴，延长于点N，根据题意可得出点在上，求出的解析式后联立新抛物线解析式即可求得的坐标；作关于对称的直线，交于点，设，得出，利用导角得出，再过作交于点K，延长交x轴于点F，求得，设，，从而求得，进而得出，求得点F的坐标，设直线的解析式为，求出解析式联立新抛物线解析式即可求得的坐标． 【小问1详解】 解：∵抛物线的对称轴为，A，为抛物线与x轴的交点， ∴， ∴， ∴， 将、代入， 得：， 解得，， ∴． 【小问2详解】 解：∵点C是抛物线与y轴交点， ∴当时，， ∴， 设直线解析式为， 将，代入得：，解得， ∴直线， 设，则，， ∴ ， ∵， ∴抛物线开口向下有最大值， ∴在中，当时，有最大值，此时， 如图，将点E往下平移3个单位得到，则，且， 连接， 则平行四边形， ∴， 作关于对称轴直线的对称点，即为坐标原点，则， ∴ ，当E，Q，共线时取等， 即，周长最小值为． 【小问3详解】 解：由二次函数的平移可得新抛物线解析式为：， ∵点H对应点E平移的坐标， ∴， 如图，作轴，延长至点N，交抛物线于点， ∴， 过点H作交于点G， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，即， 设直线的解析式为， 得：，解得， ∴直线的解析式为：， 联立得：， 解得（舍去），， ∴； 作关于对称的直线，交于点，延长交x轴于点F， 设， ∴， ∵轴，，， ∴，， ∴， 过作交于点K， ∴， ∴， 设，， ∴， ∵轴， ∴， 在中，， ∴，解得， ∴， 设直线的解析式为， 将点C，F代入得：，解得， ∴直线的解析式为， 联立得：， 解得（舍去），， ∴， 综上所述，点M的坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值问题，二次函数线段周长综合题，二次函数的平移，解直角三角形等知识点． 25. 在中，，点在边上． （1）如图1，，点在线段的延长线上，连接和，过点作于点，若，，，求的长； （2）如图2，，点在线段的延长线上，连接和．点在线段上，连接，是线段的中点，为线段延长线上一点，连接，，，若，，请用等式表示线段和的数量关系，并证明； （3）如图3，，，，点是直线上的一个动点，将线段绕点逆时针旋转到线段，连接，当取得最小值时，连接．为直线上一动点，将沿直线翻折至与在同一平面内的，当取得最小值时，请直接写出的面积． 【答案】（1） （2），证明过程见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）易得为等腰直角三角形，得到，“三线合一”，得到，，进而推出平分，得到，再根据线段的和差关系进行求解即可； （2）延长使得，连接，，先证明，得出是等边三角形，再利用三角形外角的定义及角的和差关系得出，证明出，从而得到是等边三角形，根据解直角三角形和等腰三角形“三线合一”的性质即可得证结论； （3）先确定出点的运动轨迹，得出取得最小值的情况，即时，再根据沿直线翻折至与在同一平面内的得出点的运动轨迹，当，，三点共线时，有最小值，即的长，从而得到的最小值，过点作，利用相似三角形的判定与性质，勾股定理及等腰直角三角形的性质求得相关线段的值，随即得出最终结果． 【小问1详解】 解：∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴，，， ∵， ∴， ∴平分， ∵，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：， 理由：如图2，延长使得，连接，， ∵点为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∵为的中点， ∴， 在中，， ∴，即； 【小问3详解】 解：∵，， ∴为等腰直角三角形， ∵为上一动点，绕点逆时针旋转得， 如图3，过点作，将绕点逆时针旋转得，与交点， ∴为等腰直角三角形， ∴，， 当点与重合时，将绕点逆时针旋转得，连接，与交点，与交点， ∵，，， ∴，即为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴与的夹角恒为，与的夹角恒为， ∴点的轨迹为定直线， 当时，的值最小，连接， ∵，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， 在中，， ∵为直线上的动点，沿翻折得， ∴点的轨迹是以为圆心，为半径的圆上， 当，，三点共线时，有最小值，即的长， ∴， 在中，， ∴， 过点作， ∴， ∵， ∴， ∴，即，解得， ∴，即． 【点睛】掌握等腰三角形“三线合一”的性质、确定出点的运动轨迹，得出时，取得最小值、由翻折的性质得出点的运动轨迹，由运动轨迹得出当，，三点共线时，，取得有最小值，即的长，再根据相似三角形的判定与性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学学科开学收心练习 一、选择题： 1. 下列四个数中，最小的数是（ ） A. 0 B. 5 C. D. 2. 下列四幅图片中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 反比例函数的图象一定经过的点是（ ） A. B. C. D. 5. 为了验证光是沿直线传播的这一性质，大约二千四百年前我国杰出的科学家墨翟和他的学生做了世界上第一个小孔成倒像的实验，解释了小孔成倒像的原理．如图是小孔成像原理的示意图，长的蜡烛在暗盒中所成的像的长是，则像到小孔的距离为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，苯是组成结构最简单的芳香烃，可以合成一系列衍生物．如图是小洛用木棍摆成的苯及其衍生物的结构式，第1个图形需要9根木棍，第2个图形需要16根木棍，第3个图形需要23根木棍…按此规律，第10个图形需要的木棍的根数是（ ） A. 54 B. 65 C. 70 D. 72 7. 如图，将边长均为的正方形和正六边形拼在一起，以公共顶点为圆心，边长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 在一幅长、宽的年画四周外围都镶上一条宽度相同的金色纸边，制成一幅挂画，如果要求年画的面积占整个挂画面积的，则金色纸边的宽度是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，、分别是正方形纸片边、上的两点，连接，并将纸片沿着折叠，点、恰好重合于点．点是线段上一点，连接，且．若，则线段的长为（ ） A. B. 2 C. D. 10. 已知整式，其中，为正整数，均为自然数，下列说法中正确的有（ ） ①若，则； ②当时，若不等式有且只有1个正整数解，则满足条件的整式不唯一； ③若，，则满足条件的三次三项式共有27个． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 二、填空题 11. 有三张完全一样的卡片，其正面分别写有数字1，2，3．将其背面朝上并洗匀，从中随机抽取一张，记下卡片上的数字后放回洗匀，再从中随机抽取一张，则两次抽到的卡片数字均为3的概率是________． 12. 如图，，的直角顶点在直线上，若，则的度数是_____． 13. 若为正整数，且满足，则________． 14. 若实数x，y满足，则的值为__________． 15. 如图，平行四边形的顶点A，B，C在上，点A为弧的中点，交于点E，连接并延长交的延长线于点F，连接，若的直径为10，，则______，______． 16. 一个四位自然数（其中a，b，c，d为整数，且，，，），若满足，则称这个四位数为“十二和数”．例如：四位数3579，因，所以3579是“十二和数”．已知某个“十二和数”的十位数字为5，百位数字比千位数字小2，则这个“十二和数”是______；一个“十二和数”，将其千位数字与个位数字调换位置，百位数字与十位数字调换位置，得到一个新数N，记．若与均为整数，则满足条件的M的最大值与最小值的差为______． 三、解答题： 17. 解不等式组：，并写出所有整数解． 解：解不等式①得__________， 解不等式②得__________， 在同一条数轴上表示不等式①②的解集： 所以，原不等式组的解集为__________， 所以，原不等式组的整数解为__________． 18. 学习了三角形中位线定理后，小华进行了拓展性研究，他发现过三角形一边的中点且平行于另一边的直线必过三角形第三边的中点，以下是他的探究过程，请完成其中的作图和推理填空： 如图，在中，点E是边的中点，交边于点F． （1）尺规作图：过点C在右侧作交的延长线于点D．（保留作图痕迹，不写作法） （2）求证：． 证明：∵， ∴①______． ∵， ∴四边形是②______． ∴③______． ∵点E是边的中点， ∴． ∴④______． 在和中 ∴． ∴． 四、解答题： 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 泡泡玛特公司为了更好把握消费者心理，对旗下大热IP：“星星人”和“拉布布”开展了受欢迎程度的调查．该公司随机采访20名顾客，让他们分别给“拉布布”和“星星人”打分（百分制），分数越高代表越喜欢，并对得到的分数进行整理、描述和分析（得分用表示，共分成四组：，，，），下面给出了部分信息： “星星人”得分是：82，86，87，88，89，90，91，92，93，93，93，94，94，94，94，94，95，96，97，98． “拉布布”得分在C组中的数据是：91，92，94，94，94，94． “星星人”和“拉布布”得分统计表 平均数 中位数 众数 星星人 92 93 a 拉布布 92 b 97 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：__________，__________，__________； （2）根据以上数据，你认为消费者更喜欢“星星人”还是“拉布布”？请说明理由（一条理由即可）； （3）据调查，对“拉布布”打分不低于95分的顾客中有的人会购买“拉布布”，若本周末泡泡玛特某门店人流量会达到1000人，货源充足的情况下会有多少人购买“拉布布”？ 21. 列方程（组）解下列问题： 旗袍上的盘扣远不止是实用的纽扣，更是“以小见大”的东方美学典范．某手工作坊制作如图所示的“花扣”和“一字扣”两种盘扣．已知制作一对“花扣”的时间比制作一对“一字扣”的时间多65分钟，制作2对“花扣”和6对“一字扣”共用250分钟． （1）求制作一对“花扣”和一对“一字扣”各需多少分钟； （2）因工作坊升级了工艺品质，制作每对“花扣”增加的时间是每对“一字扣”增加时间的4倍，50个小时制作的“花扣”对数是30个小时制作的“一字扣”对数的，求升级后制作一对“一字扣”需多少分钟． 22. 如图，在矩形中，，连接．点为中点，连接．动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿运动．同时，动点以每秒个单位长度的速度从点出发，沿运动．当点到达点时，P、Q两点同时停止运动．连接，设点的运动时间为秒的面积为的面积为的面积为． （1）请直接写出关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出的图像，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图像，请直接写出当时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 23. “渝超”足球联赛赛季正如火如荼进行中．如图，A，B，C，D在同一平面内．在某次进攻回合中，球员乙在处发任意球，球员甲、丙、丁分别位于处、处、处接球．已知位于的北偏东方向，且位于的北偏东方向40米处，位于的北偏西方向上，位于的正东方向，且位于的南偏东方向上．（参考数据：） （1）求的长度（结果保留根号）； （2）当丙在处接到乙传球后立即沿方向跑动，同时甲从处沿方向朝球员丁跑动．在甲与丁相遇前某时刻，丙将球传给了甲，此时甲与丙刚好相距30米，若甲速度为丙速度的3倍，请问此时球员丙离开处多少米（结果保留小数点后一位）？ 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴是直线． （1）求抛物线的表达式； （2）点E是直线上方抛物线上一动点，过点E作x轴垂线，交与x轴分别为点F与点G，点P，Q为抛物线对称轴上的动点（点P在点Q的上方），且，连接，．当取得最大值时，求点E的坐标及周长的最小值； （3）在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线向右平移2个单位，向上平移3个单位得到，点H为点E的对应点，点M为上的一动点，若，请直接写出所有符合条件的点M的坐标，并写出求解点M的坐标的其中一种情况的过程． 25. 在中，，点在边上． （1）如图1，，点在线段的延长线上，连接和，过点作于点，若，，，求的长； （2）如图2，，点在线段的延长线上，连接和．点在线段上，连接，是线段的中点，为线段延长线上一点，连接，，，若，，请用等式表示线段和的数量关系，并证明； （3）如图3，，，，点是直线上的一个动点，将线段绕点逆时针旋转到线段，连接，当取得最小值时，连接．为直线上一动点，将沿直线翻折至与在同一平面内的，当取得最小值时，请直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $