精品解析：河北保定市第十七中学2025-2026学年下学期九年级开学反馈数学试题

九年级数学开学反馈 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 几何体的三视图如图所示，这个几何体是（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解方程，下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 为了有效保护环境，某居委会倡议居民将生活垃圾进行可回收的、不可回收的和有害的分类投放，一天，小林把垃圾分装在三个袋中，则他任意投放垃圾，把三个袋子都放错位的概率是（ ） A. B. C. D. 4. 在中，都是锐角，且，则的形状是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰直角三角形 5. 如图所示是嘉琪一张书法练习纸，练习纸中的竖格线都平行，且相邻两条竖格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A，B，C都在竖格线上．若线段，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 6. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一百五十寸，立一标杆，长一十五寸，影长五寸，问竿长几何？则竹竿的长为（ ） A. 500寸 B. 450寸 C. 100寸 D. 50寸 7. 淇淇在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得的答案比正确答案小1，则（ ） A. 1 B. C. D. 1或 8. 二次函数中的x与y的部分对应值如下表： x 0 1 2 3 4 y 2 7 若，是关于x的一元二次方程的两个实数根，其中，则的值所在的范围是（ ） A. 到之间 B. 到0之间 C. 1到2之间 D. 2到3之间 9. 如图，在平面直角坐标系中，一块污渍遮挡了横轴的位置，只留下部分纵轴和部分矩形网格，已知每个小正方形的边长都是1个单位长度，反比例函数的图象恰好经过2个格点A，B，那么k的值是（　　） A 3 B. 4 C. 6 D. 8 10. 为了宣传环保，小明写了一篇倡议书，决定用微博转发的方式传播，他设计了如下的传播规则：将倡议书发表在自己的微博上，再邀请n个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书之后，又邀请n个互不相同的好友转发倡议书，依此类推，已知经过两轮传播后，共有111人参与了传播活动，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在中，，点M是斜边的中点，以为边作正方形，若，则（ ） A. B. C. 12 D. 16 12. 如图1，在中，是边上定点．点从点出发，依次沿两边匀速运动，运动到点时停止．设点运动的路程为，的长为，关于的函数图象如图2所示．其中分别是两段曲线的最低点．点的纵坐标是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 已知，则___________． 14. 抛物线图象向右平移2个单位再向下平移1个单位，所得图象解析式为，则________ 15. 如图，四边形是矩形，四边形是正方形，其中点E在边上，点C在边上，若，，则正方形的周长是______． 16. 如图，在平面直角坐标系中，字母“M”的五个顶点坐标分别为，，，，．若反比例函数的图象与字母“M”中的线段有2个交点，则的取值范围是________． 三、解答题（本大题共7个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 习题课上，数学老师展示了两道方程及其错误解答过程： 解：（1） ① 或② 或③ 解：（2） ① ．② 此方程无实数根．③ （1）分别写出两道方程的解答过程是从第几步开始出现错误的； （2）从以上两道习题中任选一题，写出正确的解答过程． 18. 如图，的顶点都在网格点上，点A的坐标为． （1）以点O为位似中心，把按放大，在y轴的左侧，画出放大后的； （2）点A的对应点D的坐标是______； （3） ______． 19. 为贯彻落实党的二十大关于深化全民阅读活动的重要部署，教育部印发了《全国青少年学生读书行动实施方案》，于是远光中学开展了以“书香润校园，好书伴成长”为主题的系列读书活动，学校为了解学生周末的阅读情况，采用随机抽样的方式获取了若干名学生的周末阅读时间数据，整理后得到下列不完整的图表： 类别 类 类 类 类 阅读时长（小时） 频数 请根据图表中提供的信息解答下面的问题： （1）此次调查共抽取了________名学生，________，________； （2）扇形统计图中，类所对应的扇形的圆心角是________度； （3）已知在类的学生有名初三学生，其中有两名男生和两名女生，若从中随机抽取两人参加阅读分享活动，请用列表或画树状图的方法求出恰好抽到一名男生和一名女生的概率． 20. 如图，是正方形的对角线上的两点，且． （1）求证：； （2）若，则四边形的面积是___________． 21. 社区利用一块矩形空地建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知米，米，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为米的道路．已知铺花砖的面积为880平方米． （1）求道路的宽是多少米？ （2）该停车场共有车位60个，据调查分析，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位，问当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入最大？ 22. 如图①，某款线上教学设备由底座，支撑臂，连杆，悬臂和安装在D处的摄像头组成．如图②是该款设备放置在水平桌面l上的示意图．已知支撑臂，，，固定，可通过调试悬臂与连杆的夹角提高拍摄效果． （1）问悬臂端点C到桌面l的距离约为多少？ （2）已知摄像头点D到桌面l的距离为时拍摄效果较好，那么此时悬臂与连杆的夹角的度数约为多少？（参考数据：） 23. 如图是一个直角三角形斜坡截面，，米，米，坡面上有一棵小树（小树粗细忽略不计，点在斜坡上且与点不重合，），现在斜坡底处安装一个喷水管，水流呈抛物线状，恰好落在处．建立如图所示的平面直角坐标系，喷水管喷出水流的水平距离（米）与水流的高度（米）的变化规律如表： 0 1 2 3 4 2 2 （1）求该抛物线解析式，并写出其顶点坐标； （2）若喷水管喷出水流恰好经过树顶点． ①求小树的最大高度； ②若点到两点距离相等，求点坐标． ③若在右侧还有一棵与其等高的小树，水流恰好经过树顶点．直接写出横坐标的取值范围． 24. 如图，已知菱形的边长为13，，于点E，P是边上的一点（点P不与点A和D重合），作射线，在射线上取点M，使，以，为邻边作． （1）______； （2）当点P为的中点时，求点到直线的距离； （3）当点B落在内部时，求的取值范围； （4）当A、B两个点中，存在至少一个点落在的一条对角线所在的直线上时，直接写出此时的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学开学反馈 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 几何体的三视图如图所示，这个几何体是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三视图，该几何体的主视图可确定该几何体的形状，据此求解即可． 【详解】解：根据A，B，C，D三个选项的物体的主视图可知，与题图有吻合的只有C选项， 故选：C． 【点睛】本题考查了由三视图判断几何体的知识，熟练掌握三视图并能灵活运用，是解题的关键． 2. 用配方法解方程，下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据用配方法解一元二次方程的步骤即可进行解答． 【详解】解：移项，得： ， 配方，得：， 即：． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了用配方法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤和方法． 3. 为了有效保护环境，某居委会倡议居民将生活垃圾进行可回收的、不可回收的和有害的分类投放，一天，小林把垃圾分装在三个袋中，则他任意投放垃圾，把三个袋子都放错位的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】可回收的、不可回收的和有害的垃圾分别用A、B、C表示，可回收的、不可回收的和有害的分类的投放点分别用a、b、c表示，通过列表列出所有可能的情况，再找出三个袋子都放错位的情况，然后根据概率公式求解即可． 【详解】解：可回收的、不可回收的和有害的垃圾分别用A、B、C表示，可回收的、不可回收的和有害的分类的投放点分别用a、b、c表示， 列表得： a b c A B C A C B B A C C A B B C A C B A 共有6种情况，三个袋子都放错位的情况有2种， 所以三个袋子都放错位的概率为： ， 故选C． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法列出所有可能的结果，再从中选出符合事件求出概率，熟练掌握概率公式是解题关键． 4. 在中，都是锐角，且，则的形状是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了根据特殊角三角函数值求角的度数，三角形内角和定理，根据特殊角的三角函数值，确定的度数，然后利用三角形内角和求出的度数，判断所有角均为锐角，从而确定三角形形状． 【详解】解：∵在中，都是锐角，且， ∴， ∴， ∴是锐角三角形， 故选：A． 5. 如图所示是嘉琪的一张书法练习纸，练习纸中的竖格线都平行，且相邻两条竖格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A，B，C都在竖格线上．若线段，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例，过点A作于点H，交于点D，再根据平行线分线段成比例定理可得，即可求出的长． 【详解】解：如图，过点A作于点H， ∵练习纸中的竖格线都平行，且相邻两条竖格线间的距离都相等， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 6. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一百五十寸，立一标杆，长一十五寸，影长五寸，问竿长几何？则竹竿的长为（ ） A. 500寸 B. 450寸 C. 100寸 D. 50寸 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了考查平行投影，根据同一地点，同一时刻物高与影长对应成比例，通过建立比例方程求解竹竿长度即可． 【详解】解：设竹竿长为x寸． ∵竹竿影长150寸，标杆高15寸，标杆影长5寸， ∴ ∴ ∴ 故竹竿长为450寸， 故选B． 7. 淇淇在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得的答案比正确答案小1，则（ ） A. 1 B. C. D. 1或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解一元二次方程，熟练掌握知识点是解题的关键． 由题意得方程，利用公式法求解即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：或（舍） 故选：C． 8. 二次函数中的x与y的部分对应值如下表： x 0 1 2 3 4 y 2 7 若，是关于x的一元二次方程的两个实数根，其中，则的值所在的范围是（ ） A. 到之间 B. 到0之间 C. 1到2之间 D. 2到3之间 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的对称性及与一元二次方程的关系，熟练掌握二次函数的对称性及与一元二次方程的关系是本题解题关键．根据二次函数的对称性求解对称轴为直线，结合当时，，得到当时，，再进一步作答即可． 【详解】解：∵当时，y的值都为， ∴二次函数的对称轴为直线， ∵时，， ∴当时，， 又∵时，， ∴的一个较小的实数根， 故选：B． 9. 如图，在平面直角坐标系中，一块污渍遮挡了横轴的位置，只留下部分纵轴和部分矩形网格，已知每个小正方形的边长都是1个单位长度，反比例函数的图象恰好经过2个格点A，B，那么k的值是（　　） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】A点的坐标为，则B点的坐标为，根据反比例函数的系数的几何意义可列出等式，进而可得到，的等量关系，根据图象可知的值，进而可知的值，进而可求得系数的值． 【详解】解：设A点的坐标为， 则B点的坐标为， 则：， 解得：， 由图象可知，， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查反比例函数系数的几何意义，能够掌握数形结合思想是解决本题的关键． 10. 为了宣传环保，小明写了一篇倡议书，决定用微博转发的方式传播，他设计了如下的传播规则：将倡议书发表在自己的微博上，再邀请n个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书之后，又邀请n个互不相同的好友转发倡议书，依此类推，已知经过两轮传播后，共有111人参与了传播活动，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了从实际问题抽象出一元二次方程．找准等量关系是解题的关键． 根据两轮传播后，共有111人参与了传播活动，列出方程即可． 【详解】解：第一轮传播人数为：，第二轮又增加， 由题意，得：； 故选：C． 11. 如图，在中，，点M是斜边的中点，以为边作正方形，若，则（ ） A. B. C. 12 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】根据正方形的面积可求得的长，利用直角三角形斜边的中线求得斜边的长，利用勾股定理求得的长，根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵中，点M是斜边的中点， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，掌握“直角三角形斜边中线等于斜边的一半”是解题的关键． 12. 如图1，在中，是边上的定点．点从点出发，依次沿两边匀速运动，运动到点时停止．设点运动的路程为，的长为，关于的函数图象如图2所示．其中分别是两段曲线的最低点．点的纵坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查动点问题的函数图象，根据图2得到的长度及点D到的距离，点N的纵坐标表示点D到的距离，掌握勾股定理及其逆定理、三角形面积计算公式是解题的关键．由图2可知的长度及点D到的距离，点N的纵坐标表示点D到的距离，再根据勾股定理及其逆定理、三角形面积公式求出点D到的距离即可． 【详解】解：根据图2，，点D到的距离，点N的纵坐标表示点D到的距离．如图： 在中，利用勾股定理，得， 在中利用勾股定理，得， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中利用勾股定理，得， 则， 解得， ∴点N的纵坐标是． 故选：B． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 已知，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得，再把代入所求式子中计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 14. 抛物线图象向右平移2个单位再向下平移1个单位，所得图象的解析式为，则________ 【答案】 【解析】 【分析】只需要将函数向左平移2个单位长度再向上平移1个单位长度得到的抛物线解析式即为抛物线的解析式，由此即可得到答案． 【详解】解：把抛物线向左平移2个单位长度再向上平移1个单位长度得到的抛物线解析式为， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象的平移，熟知二次函数图象的平移规律是解题的关键． 15. 如图，四边形是矩形，四边形是正方形，其中点E在边上，点C在边上，若，，则正方形的周长是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，由正方形的性质和矩形的性质可得，，通过证明，可得，求出，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形，四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即（负值舍去） ∴正方形的周长， 故答案为：． 16. 如图，在平面直角坐标系中，字母“M”的五个顶点坐标分别为，，，，．若反比例函数的图象与字母“M”中的线段有2个交点，则的取值范围是________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与点的坐标，根据反比例函数和点的坐标确定点与图象的位置关系是解题的关键．根据题意分5种情况，计算对应的函数值，可判定反比例函数图象上的点与反比例函数的图象的位置关系，根据位置关系求解即可． 【详解】解：如图，当反比例函数，过点时，只有一个交点； 如图，当反比例函数，过点时，此时交于点B和线段，故有两个交点； ∴此时； 如图，当反比例函数，过点时，此时交于点A和线段 ，故有四个交点； 如图，当反比例函数，过点时，此时交于点D和线段， ∴此时， ∴当时，只交于线段，有两个交点； 如图，当反比例函数，过点时，只有一个交点； ∴此时， ∴当时，只交于线段，有两个交点； 综上所述：当时，图象与字母“M”中的线段有2个交点；当时，图象与字母“M”中的线段有2个交点． 故答案为：或. 三、解答题（本大题共7个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 习题课上，数学老师展示了两道方程及其错误的解答过程： 解：（1） ① 或② 或③ 解：（2） ① ．② 此方程无实数根．③ （1）分别写出两道方程的解答过程是从第几步开始出现错误的； （2）从以上两道习题中任选一题，写出正确的解答过程． 【答案】（1）左边方程第二步出现错误，右边方程第一步出现错误 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据所给解方程过程即可得到答案； （2）解左边方程时，先把常数项移到方程左边，再利用因式分解法解方程即可；解右边方程时，先把原方程化为一般式，再利用公式法解方程即可． 【小问1详解】 解：左边方程第二步开始出现错误，错误原因是当两个因式的乘积不为0时（本题中为3），不能得出其中一个因式等于某个特定值的结论； 右边方程的第一步出现错误，错误原因是原方程没有化为一般式，导致c的值错误； 【小问2详解】 解：解左边方程如下： ∵， ∴， ∴， ∴或， 解得； 解右边方程如下： 原方程化为一般式得， ∵， ∴， ∴， 解得． 18. 如图，的顶点都在网格点上，点A的坐标为． （1）以点O为位似中心，把按放大，在y轴的左侧，画出放大后的； （2）点A的对应点D的坐标是______； （3） ______． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了位似作图，相似三角形的判定与性质，写出直角坐标系中点的坐标，准确画出位似图形是解题关键． （1）依据点O为位似中心，把按放大，在y轴的左侧，即可画出放大后的； （2）依据点D的位置，即可得到点A的对应点D的坐标； （3）依据相似三角形的面积之比等于位似比的平方，即可得到，进而得出． 【小问1详解】 解：位似中心为点，位似比，已知，，， ∴对应点的坐标分别是，，， 连接点，如图所示， 【小问2详解】 解： 由（1）知， 故答案为：； 【小问3详解】 解：如图，连接，， ， ， ， ∴， ∴设，则， ∴， 故答案为：． 19. 为贯彻落实党的二十大关于深化全民阅读活动的重要部署，教育部印发了《全国青少年学生读书行动实施方案》，于是远光中学开展了以“书香润校园，好书伴成长”为主题的系列读书活动，学校为了解学生周末的阅读情况，采用随机抽样的方式获取了若干名学生的周末阅读时间数据，整理后得到下列不完整的图表： 类别 类 类 类 类 阅读时长（小时） 频数 请根据图表中提供的信息解答下面的问题： （1）此次调查共抽取了________名学生，________，________； （2）扇形统计图中，类所对应的扇形的圆心角是________度； （3）已知在类的学生有名初三学生，其中有两名男生和两名女生，若从中随机抽取两人参加阅读分享活动，请用列表或画树状图的方法求出恰好抽到一名男生和一名女生的概率． 【答案】（1），，； （2）； （3）． 【解析】 【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率，扇形统计图，用样本估计总体，能够理解条形统计图和扇形统计图，熟练掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体是解题的关键． （）根据类学生的人数及占比可求得抽取的学生人数，继而求得的值； （）用乘类人数的占比即可求解； （）根据题意画出树状图，一共有种等可能的结果，找出一名男生和一名女生的结果数，然后根据概率公式求解． 【小问1详解】 解：（名）， （名）， ∴（名）， 故答案为：，，； 【小问2详解】 解：， 故答案为：； 【小问3详解】 解：画树状图为： 共有种等可能的结果，其中一名男生和一名女生的结果数为， ∴恰好抽到一名男生和一名女生的概率． 20. 如图，是正方形的对角线上的两点，且． （1）求证：； （2）若，则四边形的面积是___________． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质可证明，再证明，据此结合全等三角形的判定定理可证明结论； （2）连接交于点O，利用正方形的性质和勾股定理求出的长，进而求出的长，可证明，据此可得答案． 【小问1详解】 证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图所示，连接交于点O， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴； 由（1）得， ∴， ∴， ∴ ． 21. 社区利用一块矩形空地建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知米，米，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为米道路．已知铺花砖的面积为880平方米． （1）求道路的宽是多少米？ （2）该停车场共有车位60个，据调查分析，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位，问当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入最大？ 【答案】（1）道路的宽为6米 （2）每个车位的月租金上涨50元时，停车场的月租金收入最大 【解析】 【分析】考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用． （1）由题意知，道路的宽为x米，根据铺花砖的面积列出方程并解答； （2）设月租金上涨元，停车场月租金收入为元，，根据“月租金=每个车位的月租金×车位数”列出函数表达式，进而求解． 【小问1详解】 根据道路的宽为米，根据题意得， ， 解得：（舍去），， 答：道路的宽为6米； 【小问2详解】 设月租金上涨元，停车场月租金收入为元， 根据题意得：， 当时，月租金收入最大为12500元， 答：每个车位的月租金上涨50元时，停车场的月租金收入最大． 22. 如图①，某款线上教学设备由底座，支撑臂，连杆，悬臂和安装在D处的摄像头组成．如图②是该款设备放置在水平桌面l上的示意图．已知支撑臂，，，固定，可通过调试悬臂与连杆的夹角提高拍摄效果． （1）问悬臂端点C到桌面l的距离约为多少？ （2）已知摄像头点D到桌面l距离为时拍摄效果较好，那么此时悬臂与连杆的夹角的度数约为多少？（参考数据：） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）过点D作于点E，过点作，垂足为，过点作的垂线，垂足为、，证明出四边形是矩形然后在中利用三角函数得到，进而求解即可； （2）首先得到，四边形是矩形，然后在中利用三角形函数求出，然后利用三角形的外角求解即可． 【小问1详解】 过点D作于点E，过点作，垂足为，过点作的垂线，垂足为、， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴悬臂端点C到桌面l的距离约为； 【小问2详解】 ∵摄像头点D到桌面l的距离为， ∴， 同理可得四边形是矩形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，添加辅助线，构造直角三角形是解题的关键． 23. 如图是一个直角三角形斜坡截面，，米，米，坡面上有一棵小树（小树粗细忽略不计，点在斜坡上且与点不重合，），现在斜坡底处安装一个喷水管，水流呈抛物线状，恰好落在处．建立如图所示的平面直角坐标系，喷水管喷出水流的水平距离（米）与水流的高度（米）的变化规律如表： 0 1 2 3 4 2 2 （1）求该抛物线解析式，并写出其顶点坐标； （2）若喷水管喷出水流恰好经过树顶点． ①求小树的最大高度； ②若点到两点距离相等，求点坐标． ③若在右侧还有一棵与其等高的小树，水流恰好经过树顶点．直接写出横坐标的取值范围． 【答案】（1） （2）①；②；③ 【解析】 【分析】（1）由表格信息可知抛物线顶点为．设抛物线解析式为，将点代入即可求解； （2）①设直线解析式为，将代入可求得的解析式为，设点的横坐标为，则点N的纵坐标为，，用含m的式子表示出，进而根据二次函数的性质可得答案；②过作于点，连接，设，则，，点的横坐标为，点N的纵坐标为，根据得到，解方程即可得到答案；③可证明四边形是平行四边形，则，即直线与抛物线要有两个不同的交点，求出直线恰好经过点P和直线与抛物线恰好只有一个交点时点N的横坐标即可得到答案． 【小问1详解】 解：由表格可知，时y的值和时y的值相等， ∴对称轴为直线， ∴顶点坐标为， 设抛物线解析式， 将点代入得：， 解得， 故抛物线解析式为． 【小问2详解】 解：①设直线的解析式为， 将代入得， 解得， ∴直线的解析式为． 设点的横坐标为，则点N的纵坐标为，， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为． ②如图所示，过作于点，连接， 设，则，，点的横坐标为，点N的纵坐标为 ∵， ∴为中点，即 ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴点坐标为； ③如图所示，由题意得，， ∴四边形是平行四边形， ∴，即直线与抛物线要有两个不同的交点， ∵直线的解析式为， ∴可设直线的解析式为， 在中，当时，， ∴， 当直线恰好经过点时，则，解得， ∴此时设直线的解析式为， 联立得，解得或， ∴此时点N的横坐标为； 当直线与抛物线恰好只有一个交点时，联立得，即， ∴， 解得， ∴方程即方程， 解得， ∴此时点N的横坐标为； 综上所述，． 24. 如图，已知菱形的边长为13，，于点E，P是边上的一点（点P不与点A和D重合），作射线，在射线上取点M，使，以，为邻边作． （1）______； （2）当点P为的中点时，求点到直线的距离； （3）当点B落在内部时，求的取值范围； （4）当A、B两个点中，存在至少一个点落在的一条对角线所在的直线上时，直接写出此时的长． 【答案】（1）12 （2）12 （3） （4）1或 【解析】 【分析】（1）根据，结合勾股定理即可求解； （2）作于点H，设于点G，由为中点，，，得，进而可求，即点到直线的距离是12； （3）点落在上时，此时三点重合；点落在上时，根据勾股定理及平行线分线段成比例得，即可结合图形求出的取值范围； （4）分两种情况：①当点、在直线上时，②当点在直线上时，根据题意画出图形，正确作出辅助线，运用相关知识分别求解即可． 【小问1详解】 解∶∵，于点E， ∴， ， 中，， 即， ， 故答案为：12； 【小问2详解】 解：作于点H， ∵以，邻边作， ∴， ∵于点E， ∴设于点G， ∵为中点，，， ， ∴， ∴， ∴， ∴，即点到直线的距离是12； 【小问3详解】 解：点落在上时，如图所示： 此时三点重合； 点落在上时，如图所示： ， 中，，， ， ∴， ， ， 中，， ， ， ∴， ∴； 【小问4详解】 解：①当点、在直线上时，如图所示， ， ， ∴， ∴， ， ， ； ②当点在直线上时，如图所示， 作，交于， ， ， ， ， ； 综上所述，当、两个点中，存在至少一个点落在的一条对角线所在直线上，此时的长为1或． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，平行四边形的性质，勾股定理，解直角三角形，平行线分线段成比例的性质等，熟知相关性质，准确作出辅助线并能结合图形分类讨论是正确解答此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $