精品解析：辽宁鞍山市第五十一中学教育集团鞍山市第五十一中学等校2025-2026学年九年级下学期数学学科限时作业

鞍山市第五十一中学教育集团数学学科限时作业 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 国际学术期刊《自然》在2024年5月30日发表了我国生物专家朱家鹏教授及其团队研究成果，团队突破“蛋白质纯化”这一传统概念，直接对线粒体成像，获得了迄今为止最清晰、最接近真实生理状态的线粒体原位膜蛋白高分辨率三维解析结构，局部分辨率最高达米，其中用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 2. 围棋在古代被列为“琴棋书画”四大文化之一，蕴含着中华文化的丰富内涵，如图所示是一个无盖的围棋罐，其主视图为（　　） A B. C. D. 3. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C D. 4. 如图，菱形的对角线，相交于点O，过点D作于点H，连接，若，，则菱形的面积为（ ） A. B. C. 48 D. 96 5. 《孙子算经》中记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？该题意思是：今有若干人乘车，每3人乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？若设有x辆车，则可列方程（ ） A. B. C. D. 6. 如图，正五边形内接于，P为上的一点（点P不与点D重合），则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A B. C. D. 8. 如图，是一块板材，长为，边上的高为，从上裁剪出一个正方形板材，正方形板材的一边在上，其余两个顶点E、F分别在、上，则这个正方形板材的边长为（ ） A. 6cm B. 7cm C. 8cm D. 9cm 9. 如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C为x轴的负半轴上的一点，连接，过点C作，与线段交于点D，若，则点D的坐标为（ ） A B. C. D. 10. 已知，，；用尺规在边上求作一点P．使，如图是甲、乙两位同学的作图，下列判断正确的是（ ） A. 甲、乙的作图均正确 B. 甲、乙的作图均不正确 C. 只有甲的作图正确 D. 只有乙的作图正确 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 方程的解为________． 12. 如图，某品牌的形状是“莱洛三角形”，它的三“边”分别是以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径的三段圆弧．若该等边三角形的边长为，则这个“莱洛三角形”的周长是____________． 13. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是________． 14. 如图，在中，，，E是边上一点，将沿直线翻折，点B的对应点为，如果，那么的值为 _______． 15. 如图，的顶点A在反比例函数的图象上，顶点B在x轴上，交y轴于点C，若，则k的值为________． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算 （1）． （2）化简： 17. 某校准备带领九年级同学参加物理和化学的实验考试，需要准备甲，乙两种手套，学校计划前往商场购买．通过调查，将获取的相关数据整理如下表： 购买数量（单位：副） 总费用（单位：元） 甲种手套 乙种手套 30 25 135 29 40 178 （1）甲种手套，乙种手套每副各多少元？ （2）该学校决定购买甲乙两种手套共1000副，且总费用不超过2450元，那么该中学最少可以购买甲种手套多少副？ 18. 化学课上，小红学到：将二氧化碳气体通入澄清石灰水，澄清石灰水就会变浑浊，以下为四个常考的实验： A．高锰酸钾制取氧气： B．碳酸钙制取二氧化碳： C．电解水： D．一氧化碳还原氧化铜：； （1）若小红从四个实验中任意选一个实验，实验产生的气体不会使澄清石灰水变浑浊的概率是________． （2）若小红从四个实验中任意选两个实验，请用列表或树状图方法求两个实验产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊的概率． 19. 某棉花加工厂通过传送带将棉块传送到仓库，下图是传送棉块的截面图，矩形是棉块，，，，，为水平地面．（，，，结果精确到） （1）求传送带的长； （2）当点C运动到的中点时，求点D到地面的距离． 20. 某校数学兴趣小组到水果店了解一种苹果的销售情况，并利用所学的数学知识对水果店销售提出合理化建议．经市场调研发现： 材料一：当每千克苹果的售价为10元时，每天能销售40千克． 材料二：当每千克苹果的售价每降低1元，每天的销售量就会增加20千克． 任务一：建立函数模型 （1）设每千克苹果降价元，每天销售这种苹果的收入为元，求与的函数关系式； 任务二：设计销售方案 （2）当每千克苹果降价多少元时，该水果店每天销售这种苹果的收入最多？最多为多少元？ （3）若该水果店老板希望每天销售这种苹果的收入不低于640元，直接写出的范围． 21. 如图，在中，，点O在边上，以O为圆心，为半径的圆与相切于点D，过点A作交的延长线于点F． （1）求证：； （2）若，，求的长． 22. 如图，在中，，平分，交的延长线于点，在的延长线上取点，使，连接，． （1）求证：． （2）若，，求的长． （3）如图，过点作交的延长线于点，过点作于点，求的值． 23. 如图①，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线经过点B和点C，与x轴交于另一点． （1）则二次函数表达式________； （2）如图②，点P是第一象限内抛物线上的点，设点P的横坐标为m，过点P作于点Q，连接． ①求的最大值； ②当中某个角的度数等于的2倍时，请直接写出此时m的值； ③当时，y的取值范围是，且，求m的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 鞍山市第五十一中学教育集团数学学科限时作业 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 国际学术期刊《自然》在2024年5月30日发表了我国生物专家朱家鹏教授及其团队研究成果，团队突破“蛋白质纯化”这一传统概念，直接对线粒体成像，获得了迄今为止最清晰、最接近真实生理状态的线粒体原位膜蛋白高分辨率三维解析结构，局部分辨率最高达米，其中用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数．绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定． 【详解】解：用科学记数法表示为． 故选：D． 2. 围棋在古代被列为“琴棋书画”四大文化之一，蕴含着中华文化的丰富内涵，如图所示是一个无盖的围棋罐，其主视图为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了判断几何体的三视图，从正面看物体所得到的视图是主视图，熟知定义是解题的关键． 【详解】解：这个立体图形的主视图为： 故选：B． 3. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了幂的运算，合并同类项，掌握运算法则和计算公式是解题的关键． 分别利用合并同类项法则，同底数幂的乘法、除法，以及幂的、积的乘方判断即可． 【详解】解：A、与不能合并，原写法错误，不符合题意； B、，原写法错误，不符合题意； C、，原写法错误，不符合题意； D、，正确，符合题意； 故选：D． 4. 如图，菱形的对角线，相交于点O，过点D作于点H，连接，若，，则菱形的面积为（ ） A. B. C. 48 D. 96 【答案】C 【解析】 【分析】由菱形的性质得，，再由直角三角形斜边上的中线性质求出的长度，然后由菱形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 5. 《孙子算经》中记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？该题意思是：今有若干人乘车，每3人乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？若设有x辆车，则可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，根据题意，设有x辆车，通过两种乘车方式表示总人数并相等，列出方程. 【详解】解：由题知， 因为每3人乘一车，最终剩余2辆车， 所以总人数可表示为：． 因为每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘， 所以总人数可表示为：， 则可建立方程：． 故选：B． 6. 如图，正五边形内接于，P为上的一点（点P不与点D重合），则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接、，先求出，再由圆周角定理可求出的度数． 【详解】解：连接、，如图， ∵正五边形， ∴， ∴． 7. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，不等式组解集的数轴表示，先解出不等式组解集，然后在数轴上表示即可，正确掌握解集表示法是解题的关键． 【详解】解：， 解不等式得，， 解不等式得，， ∴不等式组解集为， 在数轴上表示为： ， 故选：． 8. 如图，是一块板材，长为，边上的高为，从上裁剪出一个正方形板材，正方形板材的一边在上，其余两个顶点E、F分别在、上，则这个正方形板材的边长为（ ） A. 6cm B. 7cm C. 8cm D. 9cm 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． 证明，利用相似三角形的对应高的比等于相似比列方程求解即可． 【详解】 四边形是正方形， ，，， ， 四边形是矩形， ， ，， ，， ， 设正方形的边长为，则， ， 解得， 正方形板材的边长为． 故选A． 9. 如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C为x轴的负半轴上的一点，连接，过点C作，与线段交于点D，若，则点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由直线求出点B坐标，得出，过点D作于点E，证明，得，，设点，则，，得出，代入，求出a的值即可． 【详解】解：∵，当时，， ∴， ∴， 过点D作于点E，如图， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， 设点，则，， ∴， 把代入，得， 解得，， ∴ ∴点D的坐标为． 10. 已知，，；用尺规在边上求作一点P．使，如图是甲、乙两位同学的作图，下列判断正确的是（ ） A. 甲、乙的作图均正确 B. 甲、乙的作图均不正确 C. 只有甲的作图正确 D. 只有乙的作图正确 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键． 对于甲同学的作图，利用作图痕迹得，则可计算出，于是可判断甲同学的作图正确；对于乙同学的作图，利用作图痕迹得平分，由于，所以，所以，从而可判断乙同学的作图不正确． 【详解】解：对于甲同学的作图： 由作图痕迹得， ， ， ， ∴甲同学的作图正确； 对于乙同学的作图：由作图痕迹得平分， ， ， ， ， ， ∴乙同学的作图不正确． 故选：C． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 方程解为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式方程的求解，需先通过去分母将分式方程转化为一元一次方程，求解后再检验所得解是否为原方程的解． 【详解】解：方程两边同乘（且）， 得， 去括号，得， 移项，合并同类项，得， 系数化为1，得． 检验：当时，， 所以是原分式方程的解． 12. 如图，某品牌的形状是“莱洛三角形”，它的三“边”分别是以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径的三段圆弧．若该等边三角形的边长为，则这个“莱洛三角形”的周长是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是正多边形和圆的知识，理解弧三角形的概念、掌握正多边形的中心角的求法是解题的关键．根据正三角形的有关计算求出弧的半径和圆心角，根据弧长的计算公式求解即可． 【详解】解：如图： ∵是正三角形， ∴， ∴的长为：， ∴“莱洛三角形”的周长． 故答案为：． 13. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】由分式有意义的条件得，由二次根式有意义的条件得，解不等式求解可得x的取值范围． 【详解】解：∵式子在实数范围内有意义， ∴且， 解得． 14. 如图，在中，，，E是边上一点，将沿直线翻折，点B的对应点为，如果，那么的值为 _______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数的计算与运用，折叠的性质，相似三角形判定和性质，掌握相似三角形的判定方法及性质是解题的关键． 根据，设，运用勾股定理可得，分类讨论：如图所示，将沿直线翻折，点的对应点为，，设交于点，运用勾股定理可得，由平行可证，可得解得，，再证，可得即可求解；将沿直线翻折，点的对应点为，，延长交于点，运用勾股定理可得，由折叠与平行的性质可得，则，再证，得到即可求解． 【详解】解：在中，，， ∴， 设， ∴， 如图所示，将沿直线翻折，点的对应点为，，设交于点， ∴，， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得，， 同理，， ∴， ∴， 解得，， ∵折叠， ∴， ∵， ∴， ∴，且， ∴， ∴，即， 整理得，， ∵， ∴； 如图所示，将沿直线翻折，点的对应点为，，延长交于点， ∴， ∴，， ∵折叠， ∴，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上所述，的值为或， 故答案为：或 ． 15. 如图，的顶点A在反比例函数的图象上，顶点B在x轴上，交y轴于点C，若，则k的值为________． 【答案】6 【解析】 【分析】过点作轴于点，根据，得出，证明，得出，求出，再求出，根据反比例函数中的几何意义，得，结合，即可求解． 【详解】解：如图，过点作轴于点， ， ，， ， ， ， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ， 根据反比例函数中的几何意义，得， ． 又∵， ． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算 （1）． （2）化简： 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先计算乘方，立方根，特殊角三角函数值，绝对值，再计算加减即可； （2）根据分式的混合运算法则计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 某校准备带领九年级同学参加物理和化学的实验考试，需要准备甲，乙两种手套，学校计划前往商场购买．通过调查，将获取的相关数据整理如下表： 购买数量（单位：副） 总费用（单位：元） 甲种手套 乙种手套 30 25 135 29 40 178 （1）甲种手套，乙种手套每副各多少元？ （2）该学校决定购买甲乙两种手套共1000副，且总费用不超过2450元，那么该中学最少可以购买甲种手套多少副？ 【答案】（1）甲种手套每副2元，乙种手套每副3元 （2）最少可以购买甲种手套550副 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，理解题意是解答的关键． （1）设甲种手套每副x元，乙种手套每副y元，根据表格数据列方程组，进而解方程组即可求解； （2）设购买甲种手套为m副，则购买乙种手套副，根据题意列不等式，然后解不等式即可求解． 【小问1详解】 解：设甲种手套每副x元，乙种手套每副y元， 根据题意，得， 解得， 答：甲种手套每副2元，乙种手套每副3元； 【小问2详解】 解：设购买甲种手套为m副，则购买乙种手套副， 根据题意，得 ， 解得， 答：该中学最少可以购买甲种手套550副． 18. 化学课上，小红学到：将二氧化碳气体通入澄清石灰水，澄清石灰水就会变浑浊，以下为四个常考的实验： A．高锰酸钾制取氧气： B．碳酸钙制取二氧化碳： C．电解水： D．一氧化碳还原氧化铜：； （1）若小红从四个实验中任意选一个实验，实验产生的气体不会使澄清石灰水变浑浊的概率是________． （2）若小红从四个实验中任意选两个实验，请用列表或树状图的方法求两个实验产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，可以计算出小红从四个实验中任意选一个实验，实验产生的气体会使澄清石灰水变浑浊的概率； （2）先画出相应的树状图，然后即可计算出两个实验产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊的概率． 【小问1详解】 解：∵实验B和D产生的气体会使澄清石灰水变浑浊， ∴实验产生的气体会使澄清石灰水变浑浊的概率是：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：树状图如下： 由上可得，总共有12种结果，每种结果出现的可能性相同，其中两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊的结果有2种， ∴两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊的概率为． 19. 某棉花加工厂通过传送带将棉块传送到仓库，下图是传送棉块的截面图，矩形是棉块，，，，，为水平地面．（，，，结果精确到） （1）求传送带的长； （2）当点C运动到的中点时，求点D到地面的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）在中，，代入相应的数值即可求的长； （2）过作，交于点，先推出，再分别解直角三角形和得出、、，再根据，求解即可． 【小问1详解】 解：在中，，即， ∴， ∴求传送带的长； 【小问2详解】 解：如图2，过作，交于点， ∵点为的中点， ∴， ∵，， ∴， 在中，， ， ∴， 在中， ， ∴， ∴点到地面的距离为． 20. 某校数学兴趣小组到水果店了解一种苹果的销售情况，并利用所学的数学知识对水果店销售提出合理化建议．经市场调研发现： 材料一：当每千克苹果的售价为10元时，每天能销售40千克． 材料二：当每千克苹果的售价每降低1元，每天的销售量就会增加20千克． 任务一：建立函数模型 （1）设每千克苹果降价元，每天销售这种苹果的收入为元，求与的函数关系式； 任务二：设计销售方案 （2）当每千克苹果降价多少元时，该水果店每天销售这种苹果的收入最多？最多为多少元？ （3）若该水果店老板希望每天销售这种苹果的收入不低于640元，直接写出的范围． 【答案】（1）；（2）当每千克苹果降价4元时，该水果店每天的收入最多，最多为720元；（3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，根据题意列出函数解析式，同时考查利用二次函数的性质求最大利润，掌握以上知识是解题的关键． （1）根据题意，销售数量可表示为，利用收入等于每千克的售价乘以销售数量，列出函数关系式即可； （2）根据二次函数性质即可求解最大值； （3）令，根据二次函数解析式建立不等式求解即可． 【详解】解：（1）设每千克苹果降价元，每天销售这种苹果的收入为元， 由题意得； （2）， ∵， ∴当时，有最大值为720， ∴当每千克苹果降价4元时，该水果店每天的收入最多，最多为720元； （3）由题意可得： ， 整理得， 解得：， 答：每天收入不低于640元，的取值范围为：． 21. 如图，在中，，点O在边上，以O为圆心，为半径的圆与相切于点D，过点A作交的延长线于点F． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接， 先证明，推导出，得到，进而推导出四边形是平行四边形，得到，即可解答； （2）设的半径为r，由勾股定理，得到，求出，设，由勾股定理，求出，进而求出，再由平行四边形的性质即可解答． 【小问1详解】 证明：连接，如图 ∵切于点D，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴． 【小问2详解】 解：设的半径为r，则 ， ∴， ∵， ∴ 即， 解得， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 解得，即， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴． 22. 如图，在中，，平分，交的延长线于点，在的延长线上取点，使，连接，． （1）求证：． （2）若，，求的长． （3）如图，过点作交的延长线于点，过点作于点，求的值． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据等边对等角及角平分线的定义得，证明，根据全等三角形的性质即可得证； （2）设，根据等边对等角及全等三角形的性质可推出，证明得，可得结论； （3）如图，过点作于点，过点作于点，交于点，设，，，则，，根据等腰三角形的判定与性质推出，得，证明得，进一步证明得，根据等腰三角形三线合一性质得，继而得到，再根据等角对等边得，得到，可得答案． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴，即， 和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：设， ∵， ∴， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴， ∴在和中，，， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图，过点作于点，过点作于点，交于点，设，，，则，， 由（2）知：，，，， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，，， ∴，， ∴，，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】首先证明得，然后根据等腰三角形三线合一及相似三角形的性质推出，注意等腰三角形的判定与性质的灵活运用． 23. 如图①，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线经过点B和点C，与x轴交于另一点． （1）则二次函数表达式________； （2）如图②，点P是第一象限内抛物线上的点，设点P的横坐标为m，过点P作于点Q，连接． ①求的最大值； ②当中某个角的度数等于的2倍时，请直接写出此时m的值； ③当时，y的取值范围是，且，求m的值． 【答案】（1） （2）①；②的值为2或；③的值为 【解析】 【分析】（1）先求出一次函数与坐标轴的交点，再用待定系数法求二次函数的表达式即可； （2）①作交于，交于点，先用勾股定理求出对应边，接着运用平行相似证明，证明，得，得到，然后根据当有最大值时，取到最大值进行求解即可； ②先在在线段上找中点，连接，利用直角三角形斜边上的中点等于斜边的一半先求出点和，再结合外角性质得到，推出中某角，进行分类讨论：（i），利用两直线平行斜率相等，分别求出直线的解析式和直线的解析式，联立方程即可求出；（ii），先作交于，利用勾股求出，再利用相似得到，得到，运用距离坐标公式即可求出； ③先对配方得到顶点式，根据增减性分类讨论，求解即可． 【小问1详解】 解：∵直线与、轴交于点、点， ∴当时，，点； 当时，，点． ∵抛物线过点、点、点， ∴， 解得：，，． ∴二次函数的表达式为：． 【小问2详解】 解：①作交于，交于点， ∵点，点， ∴，． ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴当有最大值时，取到最大值． ∵点在上，点在上， 又∵点的横坐标为， ∴点，点． ∵点在点上方， ∴ ． ∴当时，有最大值为． ∴的最大值为：． ②∵， ∴． ∵中某角， ∴分情况讨论：（i）；（ii）． 在线段上找中点，连接． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵由（2）①可得, ∴． ∵、点， ∴． 情况（i）：， ∵，， ∴． ∵设直线的解析式为：， 代入点，得，即， ∴直线的解析式为：． ∵设直线的解析式为：， 代入点、点， 得： 整理得：． 又∵， ∴． ∵， ∴， ∴，解得． 情况（ii）：， 作交于． ∵， ∵，，， ∴ ∵， ∴． ∴． ∵点，点， ∴， ∵由（2）可得，， ∴， ∵在和中， ， ∴． ∴， ∴． ∴， ∴， ∴或， ∵点P是第一象限内抛物线上的点，设点P的横坐标为m， ∴， ∴， ∴综上的值为2或 ③对函数配方： ， ∴顶点为，当时，． ∴当点在对称轴的左边时，随的增大而增大； 当点在对称轴的右边时，随的增大而减小． 当时与时，值相等，都为， 分情况讨论： 情况（i）：当时，在对称轴的左边， ∵， ∴． ∵由，得． ∴当时，，代入函数得：， 解得，即（舍），． 情况（ii）：当时，在对称轴的左边， ∴此时，最小值， ，不符合题意； 情况（iii）：当时，在对称轴的右边， 此时最小值， ∴， ∴当时，，代入函数得：， 解得：（舍）， 综上． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $