专题12分式方程同步讲义(知识梳理+题型精析+考点突破）2025-2026学年浙教版七年级数学下册

专题12分式方程同步讲义 【题型01 分式方程的定义】.......................................3 【题型02 根据分式方程解的情况求解】.............................4 【题型03 分式方程无解情况】.....................................4 【题型04 列分式方程】...........................................4 【题型05 解分式方程】...........................................5 【题型06 分式方程的行程问题】...................................6 【题型07 分式方程的工程问题】...................................6 【题型08 分式方程的经济问题】...................................7 【题型09 分式方程和差倍分问题】.................................8 【题型10 分式方程的其他实际问题】...............................8 【解答题4题】..................................................10 ★知识梳理★ 知识点01:基本概念 1.分式方程：分母中含有未知数的方程。 2.与整式方程区别：关键看分母是否有未知数。 知识点02:解分式方程的一般步骤 1.去分母 方程两边同乘最简公分母，化为整式方程。 2.解整式方程 求出未知数的值。 3.检验（必做！） 把解代入最简公分母： 若最简公分母 ≠ 0 → 是原方程的解 若最简公分母 = 0 → 是增根，原方程无解 4.写出结论 知识点03:增根 1.定义：去分母后得到的整式方程的解，但使原分式分母为 0，不是原方程的解。 2.增根满足两个条件： 是去分母后整式方程的解 使原分式分母 = 0 知识点04:分式方程的应用（列解步骤同一元一次方程应用题，核心：找等量关系） 五步解题法： 1.审：审清题意，找已知量、未知量和等量关系； 2.设：设未知数（直接设 / 间接设，带单位）； 3.列：根据等量关系列出分式方程； 4.解：按分式方程解法求解并验根（双重验根：① 验公分母≠0；② 验解符合实际题意）； 5.答：写出答案（带单位）。 知识点05:常见题型及公式 1. 行程问题 核心公式：路程 = 速度 × 时间 时间 = 路程 ÷ 速度 速度 = 路程 ÷ 时间 常见等量关系： 相遇问题：甲路程 + 乙路程 = 总路程 追及问题：快者路程 − 慢者路程 = 初始距离 顺逆水（风）：顺水速度 = 静水速度 + 水速逆水速度 = 静水速度 − 水速 2. 工程问题 核心公式：工作量 = 工作效率 × 工作时间 工作效率 = 工作量 ÷ 工作时间 工作时间 = 工作量 ÷ 工作效率 常见等量关系： 通常把总工作量设为 1 各部分工作量之和 = 总工作量（1） 合作效率 = 各单独效率之和 3. 经济问题 核心公式：利润 = 售价 − 成本 利润率 = 利润 ÷ 成本 × 100% 总利润 = 单件利润 × 销量 常见等量关系： 售价变化后，销量与利润的对应关系 打折后售价 = 原价 × 折扣率 4.和差倍分问题 常见等量关系： A 是 B 的 m 倍：A=m×B A 比 B 多 n：A=B+n A 与 B 的比是 a:b： 总量 = 各分量之和 高频易错点 1.解分式方程忘记检验，直接写解。 2.去分母时，常数项 / 整式项漏乘最简公分母。 3.分子是多项式时，去分母漏加括号，导致符号错。 4.应用题只检验是否增根，不检验是否符合实际意义。 【题型1.分式方程的定义】 【典例】下列方程中，属于分式方程的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】在方程中，分式方程有______个． 【跟踪专练2】下列说法正确的是（　　） A．分式方程一定有解 B．分式方程就是含有分母的方程 C．分式方程中，分母中一定含有未知数 D．分母中含有字母的方程叫做分式方程 【跟踪专练3】关于的方程的解是负数，则的取值范围是（    ） A． B． C．，且 D．，且 【题型2.根据分式方程解的情况求解】 【典例】若关于x的分式方程有增根，则m的值为______． 【跟踪专练1】已知关于的分式方程 的解是非负数，则的取值范围是（　　） A． B． C．且 D．或 【跟踪专练2】已知关于的分式方程无解，则的值是_____________． 【跟踪专练3】若关于的分式方程的解为负数，则的最小整数值是（    ） A． B．0 C．1 D．2 【题型3.分式方程无解情况】 【典例】方程有增根，则增根是（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练1】若关于x的分式方程有增根，则m的值为__________． 【跟踪专练2】定义，如：．若，，且关于x的方程无解，则实数k的值为________． 【跟踪专练3】若关于x的分式方程有解，则k需满足的条件是（   ） A． 且 B．且 C B． ．且 D．且 【题型4.列分式方程】 【典例】A、B两地相距48千米，一艘轮船从A地顺流航行至B地，又立即从B地逆流返回A地，共用去9小时，已知水流速度为4千米/时，若设该轮船在静水中的速度为x千米/时，则可列方程（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同，设原计划平均每天生产x台机器，根据题意，应列的方程为______________ 【跟踪专练2】是中国首款按照国际通行适航标准自行研制、具有自主知识产权的喷气式中程干线客机．2024年3月，开始执行第三条定期商业航线——“上海虹桥一西安咸阳”．已知两地的航线距离约为，的平均速度与普通客机的平均速度相比提高了约，航行时间节约了约．设客机的平均速度为，则根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】《步辇图》是唐朝画家阎立本的作品，如图是它的局部画面，装裱前是一个长为，宽为的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是，且四周边框的宽度相等，则边框的宽度应是多少？设边框的宽度为，根据题意，可列方程为______．    【题型5.解分式方程】 【典例】方程的解是________ 【跟踪专练1】解分式方程时，去分母正确的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】在去分母解关于x的分式方程的过程中产生增根，则___________． 【跟踪专练3】已知，其中为常数，则的值为（   ） A．7 B．9 C．13 D．52 【题型6.分式方程的行程问题.】 【典例】某次列车平均提速，用相同的时间，列车提速前行驶，提速后比提速前多行驶，可求得提速前列车的平均速度为_________． 【跟踪专练1】近年来，我市大力发展交通，建成多条快速通道，小张开车从家到单位有两条路线可选择，路线a为全程25千米的普通道路，路线b包含快速通道，全程21千米，走路线b比路线a平均速度提高，时间节省20分钟，求走路线a和路线b的平均速度分别是多少？设走路线a的平均速度为x千米/时，根据题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】一辆小车开往距离出发地200千米的目的地，按原计划的速度匀速行驶80千米后，因有紧急事件，后续的行程提速行驶，最终比原计划提前40分钟到达目的地，求原计划的行驶速度． 【跟踪专练3】年月日，在嵊州氧气音乐节上，具有传承和创新精神的嵊州“六小笼”和杭州“六小龙”之一云深处科技公司组团出道，在音乐节中提供畅吃小笼包活动，体现了“小吃共富”的魅力． (1)活动现场某小笼包摊位随机每人次赠送一份小笼包，已知一份装有个肉包和个豆腐包的成本为元，装有个肉包和个豆腐包的成本为元，求个肉包和个豆腐包的成本； (2)作为小笼包“派送员”的机器狗需送货至距离出发点米处的目的地，机器狗在派送中匀速运动，由于当天地面泥泞导致机器狗工作效率降低，派送速度降低为原来的，派送来回一趟所需的时间比原来多分钟秒，求当天机器狗的派送速度． 【题型7.分式方程的工程问题】 【典例】某县政府在创建文明城市的进程中，着力美化城市环境，改造绿化涡河北岸，建设绿地公园，计划种植树木30万棵．由于青年志愿者的加入，实际每天植树的数量比原计划多，结果提前5天完成任务．设实际每天植树万棵，可列方程为___________． 【跟踪专练1】某项工程，甲队单独做需要a天完成，甲、乙两队合作需要b天完成（其中），那么乙队单独完成需要做几天（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】某校为了美化环境，营造良好的学习氛围，计划种植甲、乙两种花共300棵，其中甲种花比乙种花的2倍少60棵． (1)求甲、乙两种花种植的数量． (2)若学校安排11人同时种植这两种花，每人每小时能种植甲种花5棵或乙种花4棵，应分别安排多少人种植甲种花和乙种花，才能确保同时完成各自的任务？ 【跟踪专练3】习近平总书记在全国教育大会上作出了优先发展教育事业的重大部署，区委区政府积极响应对通往某偏远学校的一段全长为1200米的道路进行了改造，铺设柏油路面．铺设400米后，为了尽快完成道路改造，后来每天的工作效率比原计划提高，结果共用13天完成道路改造任务． (1)求原计划每天铺设路面多少米？ (2)若承包商原来每天支付工人工资为1500元，提高工作效率后每天支付给工人的工资增长了，完成整个工程后承包商共支付工人工资多少元？ 【题型8.分式方程的经济问题】 【典例】自带水杯已成为人们良好的健康卫生习惯，某公司为员工购买甲、乙两种型号的水杯．用720元购买甲种水杯的数量和用540元购买乙种水杯的数量相同，已知甲种水杯的单价比乙种水杯的单价多15元．设甲种水杯的单价为元，则列出方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】某书店在开学之初用760元购进工具书若干本，按每本20元出售，很快销售一空，据了解学生还急需2倍这种工具书，于是又用1300元购进所需工具书，由于量大每本进价比上次优惠2元，该店仍按每本20元出售，最后剩下2本按七五折卖出，这笔生意该店共盈利______元． 【跟踪专练2】某水果店用2000元购进了一批樱桃，过了一段时间又用5000元购进了第二批樱桃，所购数量是第一批数量的2倍，但每千克樱桃的进价比第一批的进价贵了10元． (1)该店第一批购进的樱桃有多少千克？ (2)若该店两次购进的樱桃按相同的价格销售，全部售完后总利润不低于2000元，则每千克樱桃的售价至少是多少元？ 【跟踪专练3】某商家推出三款纪念品，，，其中的单价比贵2元/件．如果买10件，件，件，总价格为520元；如果买15件，件，件，总价格为505元．设纪念品的单价为元/件，纪念品的单价为元/件． (1)求和的值； (2)商家将，各取1件组成套装，将，各取1件组成套装，均以两种相应纪念品的单价之和作为套装定价．为促进销售，对两款套装实施优惠政策，套装定价都下调元．此时用200元购买到的套数，与240元购买到的套数一样多，且钱均无剩余，求的值． 【题型9.分式方程的和差倍分问题】 【典例】在运动会到来之际，八年级（3）班计划学生自制30个运动会入场表演道具，现因时间紧迫，将制作道具任务委托给商家，已知商家的制作速度是学生的倍，商家制作完这批道具比学生自制少用5小时，则学生每小时制作道具的个数是（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 【跟踪专练1】数学的美无处不在．数学家们研究发现，弹拨琴弦发出声音的音调高低，取决于弦的长度，绷得一样紧的几根弦，如果长度的比能够表示成整数的比，发出的声音就比较和谐．例如，三根弦长度之比是15：12：10，把它们绷得一样紧，用同样的力弹拨，它们将分别发出很调和的乐声do，mi，so，研究15，12，10这三个数的倒数发现：．我们称15，12，10这三个数为一组调和数．现有一组调和数：，5，3（），则可列关于的方程为___________（无需整理），解得___________． 【跟踪专练2】某公司员工积极参加爱心捐款活动．已知第一次捐款总额为48000元，第二次捐款总额为50000元，第二次捐款人数比第一次多20人，而且两次人均捐款额恰好相等．如果设第一次捐款人数为x人，那么x满足怎样的方程？列出方程并求解． 【跟踪专练3】“百日花开酬壮志，青春筑梦正当时”，某校在初三励志活动中准备向商家订购一批文创产品，其中包括“百日书历”和“二五手环”．若购买3本“百日书历”和4个“二五手环”需花费38元，购买4本“百日书历”和3个“二五手环”需花费46元． (1)请问每本“百日书历”和每个“二五手环”的售价分别为多少元？ (2)由于订购数量颇多，商家决定降价酬宾，其中“百日书历”的售价降低5a元，“二五手环”的售价降低a元．经测算，学校花5400元购进“百日书历”的数量比花1440元购进“二五手环”的数量还少200，求出a的值． 【题型10.分式方程的其他实际问题】 【典例】如图，把电阻值分别为的两电阻并联后接入某电路中，已知其总电阻值（单位：），满足，若R的电阻值是的电阻值是，则的电阻值是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】某质检部门抽取甲、乙两厂相同数量的产品进行质量检测，测得甲厂有合格品48件，乙厂有合格品45件，且甲厂的产品合格率比乙厂的产品合格率高，问甲厂的产品合格率是多少？如果设甲厂的合格率是x，则可列出方程_______________． 【跟踪专练2】“三头一掌”是衢州地方特色美食，其中最具代表性的是鸭头和兔头．在某品牌销售店中，已知一个鸭头的价格与一个兔头的价格和为23元，用40元购进鸭头的个数与用75元购进兔头的个数相同． (1)求出鸭头和兔头的单价． (2)某位游客在该销售店中购买鸭头和兔头恰好用了320元（鸭头和兔头都购买），请写出所有购买方案． 【跟踪专练3】某批发商购进哪吒、敖丙两种挂件，已知每个哪吒挂件的进价比每个敖丙挂件的进价贵元，用元购买哪吒挂件的个数恰好与用元购买敖丙挂件的个数相同． 某批发商购进哪吒、敖丙两种挂件．已知每个哪吒挂件的进价比每个敖丙挂件的进价贵1元，用400元购进哪吒 (1)求该批发商购进哪吒、敖丙两种挂件的单价各是多少元； (2)若该批发商计划购进哪吒、敖丙两种挂件共个，且决定将哪吒挂件以每个元，敖丙挂件以每个元的价格对外出售，若要获得总利润为元，应购进哪吒、敖丙两种挂件各多少个？ 【解答题】 1．阅读下面材料，解答后面的问题．解方程：．解：设，则原方程化为：，方程两边同时乘得：，解得：，经检验：都是方程的解，当时，，解得，当时，，解得：，经检验：或都是原分式方程的解，原分式方程的解为或．上述这种解分式方程的方法称为换元法． 问题： (1)若在方程中，设，则原方程可化为：　　； (2)若在方程中，设，则原方程可化为：　　； (3)模仿上述换元法解方程：． 2．已知关于的方程． (1)当取何值时，此方程会产生增根； (2)当此方程的解是正数时，求的取值范围． 3．一艘船在河中逆流而上，路过桥A时船上的救生圈被水冲走，继续向前行驶了发现救生圈遗失，立即返回，在距桥的地方追到了救生圈．求水流速度． 4．某工厂需制作如图1的竖式与横式两种无盖木箱（单位：），制作木首需要如图2的的正方形木板和的长方形木板．现工厂采购这两种木板，采购清单如下表．设正方形木板的单价为m元/块，已知购买的长方形木板的数量正好是正方形木板的2倍． 采购清单 单价（元/块） 数量（块） 总价（元） 正方形木板 m 120 长方形木板 300 (1)请将表格填写完整（用含m的代数式表示），并求m的值． (2)现将购买的木板制作这两种无盖木箱，求两种木箱各做多少个，恰好将木板用完？ (3)该工厂发现有一批尺寸为的废旧木板，若用这批废旧木板切割成木箱所需的上述两种木板． ①请问如何切割才能将每块废旧木板恰好用完（不计损耗）． ②因工厂生产需要，还需制作竖式无盖木箱60个、横式无盖木箱50个，所有废旧木板恰好用完，则这批废旧木板共多少块？ 单价（元/块） 数量（块） 总价（元） 正方形木板 120 长方形木板 300 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12分式方程同步讲义 【题型01 分式方程的定义】.......................................3 【题型02 根据分式方程解的情况求解】.............................5 【题型03 分式方程无解情况】.....................................7 【题型04 列分式方程】...........................................9 【题型05 解分式方程】..........................................11 【题型06 分式方程的行程问题】..................................13 【题型07 分式方程的工程问题】..................................16 【题型08 分式方程的经济问题】..................................18 【题型09 分式方程和差倍分问题】................................21 【题型10 分式方程的其他实际问题】..............................23 【解答题4题】..................................................26 ★知识梳理★ 知识点01:基本概念 1.分式方程：分母中含有未知数的方程。 2.与整式方程区别：关键看分母是否有未知数。 知识点02:解分式方程的一般步骤 1.去分母 方程两边同乘最简公分母，化为整式方程。 2.解整式方程 求出未知数的值。 3.检验（必做！） 把解代入最简公分母： 若最简公分母 ≠ 0 → 是原方程的解 若最简公分母 = 0 → 是增根，原方程无解 4.写出结论 知识点03:增根 1.定义：去分母后得到的整式方程的解，但使原分式分母为 0，不是原方程的解。 2.增根满足两个条件： 是去分母后整式方程的解 使原分式分母 = 0 知识点04:分式方程的应用（列解步骤同一元一次方程应用题，核心：找等量关系） 五步解题法： 1.审：审清题意，找已知量、未知量和等量关系； 2.设：设未知数（直接设 / 间接设，带单位）； 3.列：根据等量关系列出分式方程； 4.解：按分式方程解法求解并验根（双重验根：① 验公分母≠0；② 验解符合实际题意）； 5.答：写出答案（带单位）。 知识点05:常见题型及公式 1. 行程问题 核心公式：路程 = 速度 × 时间 时间 = 路程 ÷ 速度 速度 = 路程 ÷ 时间 常见等量关系： 相遇问题：甲路程 + 乙路程 = 总路程 追及问题：快者路程 − 慢者路程 = 初始距离 顺逆水（风）：顺水速度 = 静水速度 + 水速逆水速度 = 静水速度 − 水速 2. 工程问题 核心公式：工作量 = 工作效率 × 工作时间 工作效率 = 工作量 ÷ 工作时间 工作时间 = 工作量 ÷ 工作效率 常见等量关系： 通常把总工作量设为 1 各部分工作量之和 = 总工作量（1） 合作效率 = 各单独效率之和 3. 经济问题 核心公式：利润 = 售价 − 成本 利润率 = 利润 ÷ 成本 × 100% 总利润 = 单件利润 × 销量 常见等量关系： 售价变化后，销量与利润的对应关系 打折后售价 = 原价 × 折扣率 4.和差倍分问题 常见等量关系： A 是 B 的 m 倍：A=m×B A 比 B 多 n：A=B+n A 与 B 的比是 a:b： 总量 = 各分量之和 高频易错点 1.解分式方程忘记检验，直接写解。 2.去分母时，常数项 / 整式项漏乘最简公分母。 3.分子是多项式时，去分母漏加括号，导致符号错。 4.应用题只检验是否增根，不检验是否符合实际意义。 【题型1.分式方程的定义】 【典例】下列方程中，属于分式方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式方程的定义，分母中含有未知数的方程叫做分式方程，据此求解即可． 【详解】解；由分式方程的定义可知，四个选项中只有A选项中的方程是分式方程， 故选：A． 【跟踪专练1】在方程中，分式方程有______个． 【答案】3 【分析】根据分式方程的定义：分母里含有字母的方程叫做分式方程进行判断． 【详解】解：在方程中，分式方程有，一共3个． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了分式方程的定义．判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数（注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母）． 【跟踪专练2】下列说法正确的是（　　） A．分式方程一定有解 B．分式方程就是含有分母的方程 C．分式方程中，分母中一定含有未知数 D．分母中含有字母的方程叫做分式方程 【答案】C 【分析】本题考查分式方程的定义，根据分母中含有未知数的方程叫做分式方程判断即可． 【详解】A、分式方程有无解的情况，故该选项错误； B、分母中含有未知数的方程叫做分式方程，故该选项错误； C、分式方程中，分母中一定含有未知数，故该选项正确； D、分母中含有未知数的方程叫做分式方程，故该选项错误； 故选：C． 【跟踪专练3】关于的方程的解是负数，则的取值范围是（    ） A． B． C．，且 D．，且 【答案】D 【分析】先解关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据“解是负数”建立不等式求a的取值范围即可． 【详解】解：去分母，得， 解得， ∵方程的解是负数， ∴，且， ∴，且． 故选：D． 【点睛】本题考查分式方程的解，解题关键是要掌握分式方程的解的定义，使方程成立的未知数的值叫做方程的解． 【题型2.根据分式方程解的情况求解】 【典例】若关于x的分式方程有增根，则m的值为______． 【答案】4 【分析】此题主要考查分式方程的解，解题的关键是熟悉分式方程的解法．先去掉分母，再把增根代入即可求出m的值． 【详解】解： 去分母得， ∵关于x的分式方程有增根， ∴，即增根， 把增根代入得， 解得， 故答案为：4． 【跟踪专练1】已知关于的分式方程 的解是非负数，则的取值范围是（　　） A． B． C．且 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了解分式方程，分式方程的解．解分式方程可得，即得，得到，又由得到，据此即可求解． 【详解】解：分式方程去分母得，， 解得， ∵分式方程 的解是非负数， ∴， ∴， 又∵，即， ∴， ∴且， 故选：C． 【跟踪专练2】已知关于的分式方程无解，则的值是_____________． 【答案】 【分析】由分式方程解法，先去分母得到，分类讨论求解整式方程，再由分式方程无解的条件列方程求解即可得到答案． 【详解】解：， 去分母得，则， 若，即时，整式方程无解，则分式方程无解； 若，即时，整式方程解为， 当，即时，则分式方程分母为0，分式方程无解； 当，即时，则分式方程分母为0，分式方程无解； 综上所述，的值是， 故答案为：． 【点睛】本题考查分式方程无解时求参数的值，涉及分式方程解法、整式方程解法、分式方程无解的条件等知识，熟练掌握分式方程的解法是解决问题的关键． 【跟踪专练3】若关于的分式方程的解为负数，则的最小整数值是（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程的解，分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，由分式方程的解为负数确定出a的范围即可解答． 【详解】解：解分式方程， 两边同乘得：， 展开化简得：， 移项合并同类项得：． 因为方程的解为负数， 所以， 解得． 又因为分母不能为，即，， 所以且， 解得且． 所以的取值范围是且， 则的最小整数值是． 故选：C． 【题型3.分式方程无解情况】 【典例】方程有增根，则增根是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据增根的定义可知，最简公分母为零的未知数的值是增根，根据分式方程判断出最简公分母，令最简公分母为零即可求出的值． 【详解】解：∵分式方程有增根， ∴最简公分母， ∴，即分式方程增根为 故选：C 【点睛】此题考查了分式方程的求解．注意增根形成的原因：最简公分母为零． 【跟踪专练1】若关于x的分式方程有增根，则m的值为__________． 【答案】7 【分析】本题考查了解分式方程，确定方程的增根；按解分式方程的步骤把分式方程化为整式方程，根据分母为零确定出增根，并把增根代入整式方程中即可求得m的值． 【详解】解：方程两边乘以，得； 当时，，即方程的增根为3， 把代入中，得：， ∴， 故答案：7． 【跟踪专练2】定义，如：．若，，且关于x的方程无解，则实数k的值为________． 【答案】2或4/4或2 【分析】先根据新定义和已知条件求出a，b的值，再把关于x的方程化为分式方程，去分母转化为整式方程，根据方程无解求出k的值即可． 【详解】解：根据题意得， ， 解得， ， ， ， 整理得：， 整理得：， 关于x的方程无解， 当时，原方程无解， 即， 当，时是增根，原方程无解， 即或， 即， 综上实数k的值为2或4． 故答案为：2或4． 【点睛】本题考查了解分式方程，理解新定义，求出a，b的值是解题的关键，同时理解分式方程无解的意义． 【跟踪专练3】若关于x的分式方程有解，则k需满足的条件是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程无解的情况，解题关键是掌握分式方程无解的两种情况：①整式方程本身无解；②分式方程产生增根．根据分式方程无解的情况可知，分式方程有解需满足分母不为零且化简后的方程有解，通过乘以公分母化简方程，讨论整式方程的系数并排除使解为增根的情况，即可求解． 【详解】解：∵方程的分母， ∴两边同乘，得， 化简得， 移项得， 当，即时，方程无解， ∴， 当时，， 又∵分母不为零，需且， 检验：恒成立， 检验：，解得，即， ∴且， 故选：A． 【题型4.列分式方程】 【典例】A、B两地相距48千米，一艘轮船从A地顺流航行至B地，又立即从B地逆流返回A地，共用去9小时，已知水流速度为4千米/时，若设该轮船在静水中的速度为x千米/时，则可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的应用，根据题意，先把逆流速度和顺流速度表达出来，再根据共用去9小时，列出方程解答即可． 【详解】根据题意，得， 故选A． 【跟踪专练1】某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同，设原计划平均每天生产x台机器，根据题意，应列的方程为______________ 【答案】 【分析】此题考查了分式方程的应用．设原计划平均每天生产x台机器，则现在平均每天生产台，现在生产台机器所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同，据此列出方程即可． 【详解】解：设原计划平均每天生产x台机器，则现在平均每天生产台， 由题意可得， 故答案为： 【跟踪专练2】是中国首款按照国际通行适航标准自行研制、具有自主知识产权的喷气式中程干线客机．2024年3月，开始执行第三条定期商业航线——“上海虹桥一西安咸阳”．已知两地的航线距离约为，的平均速度与普通客机的平均速度相比提高了约，航行时间节约了约．设客机的平均速度为，则根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查列分式方程．根据题干可得，等量关系式为：普通客机所用的时间-所用时间，据此列出方程即可． 【详解】解：根据题意，得． 故选：D． 【跟踪专练3】《步辇图》是唐朝画家阎立本的作品，如图是它的局部画面，装裱前是一个长为，宽为的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是，且四周边框的宽度相等，则边框的宽度应是多少？设边框的宽度为，根据题意，可列方程为______．    【答案】 【分析】本题主要考查了列分式方程，分别表示装裱后的长和宽，再根据比例列出方程即可． 【详解】解：装裱后的长为cm，宽为cm，根据题意，得 ． 故答案为：． 【题型5.解分式方程】 【典例】方程的解是________ 【答案】 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．先去分母，化为整式方程，再解即可，注意验根． 【详解】解：， 去分母，得， 化简，得：， 解得：， 经检验，是分式方程的解， 故答案为：． 【跟踪专练1】解分式方程时，去分母正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解分式方程；先确定分式的最简公分母为，并注意，然后等式两边同时乘以去分母． 【详解】解：原方程化为：， 两边同乘：， 即． 故选：B． 【跟踪专练2】在去分母解关于x的分式方程的过程中产生增根，则___________． 【答案】4 【分析】本题考查了分式方程的增根，熟练掌握增根问题可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②让最简公分母为0确定增根；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值是解题的关键．先将分式方程化为整式方程，再由分式方程有增根，可得，再代入整式方程，即可求解． 【详解】解：方程两边同乘得：， 解得：， 关于的分式方程有增根， ， 解得：， 将代入方程， 解得：． 故答案为：4 【跟踪专练3】已知，其中为常数，则的值为（   ） A．7 B．9 C．13 D．52 【答案】C 【分析】本题考查分式方程，解二元一次方程组，掌握掌握解分式方程的一般步骤是解决问题的关键．先将原方程通过去分母化为整式方程，整理可得，根据方程两边恒等可得，解得，代入计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 则， 解得：， ∴． 故选：C． 【题型6.分式方程的行程问题.】 【典例】某次列车平均提速，用相同的时间，列车提速前行驶，提速后比提速前多行驶，可求得提速前列车的平均速度为_________． 【答案】 【分析】此题主要考查了列代数式，分式方程的实际应用，正确找出等量关系是解题关键．直接利用总出路程除以速度时间，进而得出等式求出答案． 【详解】解：设提速前列车的平均速度为，根据题意可得： ， 解得：． 故答案为：． 【跟踪专练1】近年来，我市大力发展交通，建成多条快速通道，小张开车从家到单位有两条路线可选择，路线a为全程25千米的普通道路，路线b包含快速通道，全程21千米，走路线b比路线a平均速度提高，时间节省20分钟，求走路线a和路线b的平均速度分别是多少？设走路线a的平均速度为x千米/时，根据题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查分式的运用，理解数量关系，正确列式是关键，设走路线a的平均速度为x千米/时，则走路线b的平均速度为千米/时，由此列式求解即可． 【详解】解：设走路线a的平均速度为x千米/时，则走路线b的平均速度为千米/时， ∵走路线b比路线a时间节省20分钟， ∴， 故选：B． 【跟踪专练2】一辆小车开往距离出发地200千米的目的地，按原计划的速度匀速行驶80千米后，因有紧急事件，后续的行程提速行驶，最终比原计划提前40分钟到达目的地，求原计划的行驶速度． 【答案】60千米/小时 【分析】本题考查了分式方程的应用，先设原计划的行驶速度为千米/小时，根据开往距离出发地200千米的目的地，按原计划的速度匀速行驶80千米，后续的行程提速行驶，最终比原计划提前40分钟到达目的地，进行列方程，解得，最后验根，即可作答． 【详解】解：设原计划的行驶速度为千米/小时， 依题意，得 解得， 经检验：是原分式方程的解， ∴原计划的行驶速度为60千米/小时． 【跟踪专练3】年月日，在嵊州氧气音乐节上，具有传承和创新精神的嵊州“六小笼”和杭州“六小龙”之一云深处科技公司组团出道，在音乐节中提供畅吃小笼包活动，体现了“小吃共富”的魅力． (1)活动现场某小笼包摊位随机每人次赠送一份小笼包，已知一份装有个肉包和个豆腐包的成本为元，装有个肉包和个豆腐包的成本为元，求个肉包和个豆腐包的成本； (2)作为小笼包“派送员”的机器狗需送货至距离出发点米处的目的地，机器狗在派送中匀速运动，由于当天地面泥泞导致机器狗工作效率降低，派送速度降低为原来的，派送来回一趟所需的时间比原来多分钟秒，求当天机器狗的派送速度． 【答案】(1)个肉包的成本为元，个豆腐包的成本为元 (2)当机器狗的派送速度为米/分 【分析】本题考查分式方程的应用以及二元一次方程组的应用， （1）设个肉包的成本是元，个豆腐包的成本是元，根据“一份装有个肉包和个豆腐包的成本为元，装有个肉包和个豆腐包的成本为元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设当天机器狗的派送速度为米/分钟，则原来机器狗的派送速度为米/分钟，利用“时间路程速度”，根据“当天派送来回一趟所需的时间比原来多分钟秒”，可列出关于的分式方程，解之经检验后，即可得出结论； 解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出分式方程． 【详解】（1）解：设个肉包的成本是元，个豆腐包的成本是元， 依题意，得：， 解得：， 答：个肉包的成本为元，个豆腐包的成本为元； （2）设当天机器狗的派送速度为米/分钟，则原来机器狗的派送速度为米/分钟， 依题意，得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解且符合题意， 答：当机器狗的派送速度为米/分． 【题型7.分式方程的工程问题】 【典例】某县政府在创建文明城市的进程中，着力美化城市环境，改造绿化涡河北岸，建设绿地公园，计划种植树木30万棵．由于青年志愿者的加入，实际每天植树的数量比原计划多，结果提前5天完成任务．设实际每天植树万棵，可列方程为___________． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程在工程类问题中的应用，掌握根据实际与计划的效率关系表示出原计划效率，再通过天数差的等量关系列方程是解题的关键． 根据题意，实际每天植树比原计划多，设实际每天植树万棵，可得原计划每天植树，再根据总树木万棵和提前天完成任务，列出分式方程． 【详解】解：设实际每天植树万棵，则原计划每天植树为，原计划天数为，实际天数为， 由提前天可得方程． 故答案为：． 【跟踪专练1】某项工程，甲队单独做需要a天完成，甲、乙两队合作需要b天完成（其中），那么乙队单独完成需要做几天（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查分式方程，设乙队单独完成需要做x天，根据题意列出方程即可求出答案． 【详解】解：设乙队单独完成需要做x天， ∴ ， ∴ 故选：A． 【跟踪专练2】某校为了美化环境，营造良好的学习氛围，计划种植甲、乙两种花共300棵，其中甲种花比乙种花的2倍少60棵． (1)求甲、乙两种花种植的数量． (2)若学校安排11人同时种植这两种花，每人每小时能种植甲种花5棵或乙种花4棵，应分别安排多少人种植甲种花和乙种花，才能确保同时完成各自的任务？ 【答案】(1)种植甲种花180棵，乙种花120棵； (2)应安排6人种植甲种花，5人种植乙种花，才能确保同时完成各自的任务． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及分式方程的应用，找出等量关系列出方程组和方程是解答本题的关键． （1）设种植甲种花x棵，乙种花y棵，根据题意列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可求出结论； （2）设安排m人种植甲种花，则安排人种植乙种花，利用工作时间=工作总量÷（工作效率×人数），结合同时完成两种花的种植任务，可列出关于m的分式方程，解之经检验后，即可得出结论． 【详解】（1）解：设种植甲种花x棵，乙种花y棵， 根据题意得：， 解得： 答：种植甲种花180棵，乙种花120棵； （2）设安排m人种植甲种花，则安排人种植乙种花， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， 答：应安排6人种植甲种花，5人种植乙种花，才能确保同时完成各自的任务． 【跟踪专练3】习近平总书记在全国教育大会上作出了优先发展教育事业的重大部署，区委区政府积极响应对通往某偏远学校的一段全长为1200米的道路进行了改造，铺设柏油路面．铺设400米后，为了尽快完成道路改造，后来每天的工作效率比原计划提高，结果共用13天完成道路改造任务． (1)求原计划每天铺设路面多少米？ (2)若承包商原来每天支付工人工资为1500元，提高工作效率后每天支付给工人的工资增长了，完成整个工程后承包商共支付工人工资多少元？ 【答案】(1)原计划每天铺设路面80米 (2)完成整个工程后承包商共支付工人工资21900元 【分析】此题考查了分式方程的应用，正确列出方程是解题的关键． （1）设原计划每天铺设路面x米，根据共用13天完成道路改造任务列方程并解方程即可； （2）分别计算出提高工作效率前和提高工作效率后的天数，根据每天支付给工人的工资计算即可． 【详解】（1）解：设原计划每天铺设路面x米， 由题意可得，， 解得：， 经检验：是方程的解， 答：原计划每天铺设路面80米； （2）由（1）得， （天），（天）， ∴总费用为：， 答：完成整个工程后承包商共支付工人工资21900元． 【题型8.分式方程的经济问题】 【典例】自带水杯已成为人们良好的健康卫生习惯，某公司为员工购买甲、乙两种型号的水杯．用720元购买甲种水杯的数量和用540元购买乙种水杯的数量相同，已知甲种水杯的单价比乙种水杯的单价多15元．设甲种水杯的单价为元，则列出方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查列分式方程解应用题，掌握列分式方程解应用题的方法与步骤，抓住等量关系列方程是解题关键． 设甲种水杯的单价为元，则乙种水杯的单价为元，根据720元购买甲种水杯的数量和用540元购买乙种水杯的数量相同列方程即可得解． 【详解】解：设甲种水杯的单价为元，则乙种水杯的单价为元 根据题意列出方程得：． 故选：A． 【跟踪专练1】某书店在开学之初用760元购进工具书若干本，按每本20元出售，很快销售一空，据了解学生还急需2倍这种工具书，于是又用1300元购进所需工具书，由于量大每本进价比上次优惠2元，该店仍按每本20元出售，最后剩下2本按七五折卖出，这笔生意该店共盈利______元． 【答案】1230 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．设第一批购进该工具书x本，则第二批购进该工具书2x本，根据单价＝总价÷数量结合第二批的进价比第一批便宜2元，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可求出第一批及第二批购进的数量，再利用总利润＝销售单价×数量﹣进价，即可求出结论． 【详解】解：设第一批购进该工具书x本，则第二批购进该工具书本， 依题意，得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴． ∴（元）． 故答案为：1230． 【跟踪专练2】某水果店用2000元购进了一批樱桃，过了一段时间又用5000元购进了第二批樱桃，所购数量是第一批数量的2倍，但每千克樱桃的进价比第一批的进价贵了10元． (1)该店第一批购进的樱桃有多少千克？ (2)若该店两次购进的樱桃按相同的价格销售，全部售完后总利润不低于2000元，则每千克樱桃的售价至少是多少元？ 【答案】(1)该店第一批购进的樱桃有 (2)每千克樱桃的售价至少是60元 【分析】本题主要考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用，根据题意正确列出关系式是解题的关键． （1）设该店第一批购进的樱桃有，则该店第二批购进的樱桃有，根据题意，列出分式方程，求解即可； （2）计算出第一批购进的单价和第二批购进的单价，设 每千克樱桃的售价是元，根据题意，列出一元一次不等式，求解即可； 【详解】（1）解：设该店第一批购进的樱桃有，则该店第二批购进的樱桃有，由题意，得， 解得． 经检验，是所列方程的解，且符合题意． 答：该店第一批购进的樱桃有． （2）设每千克樱桃的售价是元．由题意，得 ， 解得 ． 所以的最小值为60． 答：每千克樱桃的售价至少是60元． 【跟踪专练3】某商家推出三款纪念品，，，其中的单价比贵2元/件．如果买10件，件，件，总价格为520元；如果买15件，件，件，总价格为505元．设纪念品的单价为元/件，纪念品的单价为元/件． (1)求和的值； (2)商家将，各取1件组成套装，将，各取1件组成套装，均以两种相应纪念品的单价之和作为套装定价．为促进销售，对两款套装实施优惠政策，套装定价都下调元．此时用200元购买到的套数，与240元购买到的套数一样多，且钱均无剩余，求的值． 【答案】(1)的值为15，的值为18 (2)的值为8 【分析】本题考查二元一次方程组与分式方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组与分式方程是解题的关键． （1）根据买10件，件，件，总价格为520元；买15件，件，件，总价格为505元，列出关于和的二元一次方程组即可得到答案； （2）根据用200元购买到的套数，与240元购买到的套数一样多的等量关系列出分式方程即可得到答案； 【详解】（1）解：由题知：纪念品的单价为元/件，纪念品的单价为元/件，纪念品的单价为元/件， ∴， 解得：， ∴的值为15，的值为18； （2）由题可知：套装的定价为33元/套，套装的定价为38元/套， ∴可得：， 解得：， 经检验：是原分式方程的解且符合题意， ∴的值为8． 【题型9.分式方程的和差倍分问题】 【典例】在运动会到来之际，八年级（3）班计划学生自制30个运动会入场表演道具，现因时间紧迫，将制作道具任务委托给商家，已知商家的制作速度是学生的倍，商家制作完这批道具比学生自制少用5小时，则学生每小时制作道具的个数是（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程的应用，等量关系式：学生自制30个运动会入场表演道具所用时间商家制作30个运动会入场表演道具所用时间小时，据此列方程，即可求解；找出等量关系式是解题的关键． 【详解】解：设学生每小时制作道具个，则商家每小时制作道具个，由题意得 ， 解得：， 经检验：是所列方程的解，且符合实际意义； 故选：D． 【跟踪专练1】数学的美无处不在．数学家们研究发现，弹拨琴弦发出声音的音调高低，取决于弦的长度，绷得一样紧的几根弦，如果长度的比能够表示成整数的比，发出的声音就比较和谐．例如，三根弦长度之比是15：12：10，把它们绷得一样紧，用同样的力弹拨，它们将分别发出很调和的乐声do，mi，so，研究15，12，10这三个数的倒数发现：．我们称15，12，10这三个数为一组调和数．现有一组调和数：，5，3（），则可列关于的方程为___________（无需整理），解得___________． 【答案】 15 【分析】由调和数的定义列分式方程求解即可． 【详解】解：根据调和数的定义可得： ，解得：， 经检验：是分式方程的解． 故答案为：，15． 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，根据调和数的定义列出分式方程是解答本题的关键． 【跟踪专练2】某公司员工积极参加爱心捐款活动．已知第一次捐款总额为48000元，第二次捐款总额为50000元，第二次捐款人数比第一次多20人，而且两次人均捐款额恰好相等．如果设第一次捐款人数为x人，那么x满足怎样的方程？列出方程并求解． 【答案】见解析 【分析】本题考查了分式方程的应用，理解题意并正确列方程是解题关键．如果设第一次捐款人数为x人，则第二次捐款人数为人，根据“两次人均捐款额恰好相等”列分式方程求解即可． 【详解】解：如果设第一次捐款人数为x人，则第二次捐款人数为人， 根据题意，得， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， 即第一次捐款人数为480人． 【跟踪专练3】“百日花开酬壮志，青春筑梦正当时”，某校在初三励志活动中准备向商家订购一批文创产品，其中包括“百日书历”和“二五手环”．若购买3本“百日书历”和4个“二五手环”需花费38元，购买4本“百日书历”和3个“二五手环”需花费46元． (1)请问每本“百日书历”和每个“二五手环”的售价分别为多少元？ (2)由于订购数量颇多，商家决定降价酬宾，其中“百日书历”的售价降低5a元，“二五手环”的售价降低a元．经测算，学校花5400元购进“百日书历”的数量比花1440元购进“二五手环”的数量还少200，求出a的值． 【答案】(1)每本“百日书历”的售价为元，每个“二五手环”的售价为元； (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用及分式方程的应用，读懂题意找到等量关系式是解题的关键． （1）设每本“百日书历”的售价为元，每个“二五手环”的售价为元，根据“购买3本“百日书历”和4个“二五手环”需花费38元，购买4本“百日书历”和3个“二五手环”需花费46元”建立二元一次方程组，求解即可得出答案； （2）根据题意得出降价后，书历单价为元，手环单价为元，再根据“学校花5400元购进“百日书历”的数量比花1440元购进“二五手环”的数量还少200”建立分式方程求解即可得出答案． 【详解】（1）解：设每本“百日书历”的售价为元，每个“二五手环”的售价为元， 根据题意，得， 解得：， 答：每本“百日书历”的售价为元，每个“二五手环”的售价为元； （2）降价后，书历单价为元，手环单价为元， 根据题意，得， 解得：，经检验，是分式方程的解， 答：的值为． 【题型10.分式方程的其他实际问题】 【典例】如图，把电阻值分别为的两电阻并联后接入某电路中，已知其总电阻值（单位：），满足，若R的电阻值是的电阻值是，则的电阻值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，根据题意代入数据，列出方程，解分式方程即可． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， 经检验是原方程的解， 即的电阻值是． 故选：C． 【跟踪专练1】某质检部门抽取甲、乙两厂相同数量的产品进行质量检测，测得甲厂有合格品48件，乙厂有合格品45件，且甲厂的产品合格率比乙厂的产品合格率高，问甲厂的产品合格率是多少？如果设甲厂的合格率是x，则可列出方程_______________． 【答案】 【分析】本题主要考查了列分式方程，理清各量之间的数量关系、找到两厂产品总数的等量关系是解决本题的关键． 根据等量关系“甲厂产品总数=乙厂产品总数”即可列出分式方程． 【详解】解：设甲厂的合格率是x，则乙厂的合格率为，甲厂的产品总数为，乙厂的产品总数为：， 根据等量关系“甲厂产品总数=乙厂产品总数”可列出方程：． 故答案为：． 【跟踪专练2】“三头一掌”是衢州地方特色美食，其中最具代表性的是鸭头和兔头．在某品牌销售店中，已知一个鸭头的价格与一个兔头的价格和为23元，用40元购进鸭头的个数与用75元购进兔头的个数相同． (1)求出鸭头和兔头的单价． (2)某位游客在该销售店中购买鸭头和兔头恰好用了320元（鸭头和兔头都购买），请写出所有购买方案． 【答案】(1)鸭头的单价为8元，兔头的单价为15元 (2)有2种购买方案：①购买鸭头25个，兔头8个；②购买鸭头10个，兔头16个 【分析】（1）设鸭头的单价为x元，则兔头的单价为元，根据用40元购进鸭头的个数与用75元购进兔头的个数相同，列出分式方程，解方程即可； （2）设购买鸭头m个，兔头n个，根据某位游客在该销售店中购买鸭头和兔头恰好用了320元（鸭头和兔头都购买），列出二元一次方程，求出正整数解，即可得出结论． 本题考查了分式方程方程的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程． 【详解】（1）解：设鸭头的单价为x元，则兔头的单价为元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：鸭头的单价为8元，兔头的单价为15元； （2）解：设购买鸭头m个，兔头n个， 由题意得：， 整理得： ， ∵m、n均为正整数， ∴或， ∴有2种购买方案： ①购买鸭头25个，兔头8个； ②购买鸭头10个，兔头16个． 【跟踪专练3】某批发商购进哪吒、敖丙两种挂件，已知每个哪吒挂件的进价比每个敖丙挂件的进价贵元，用元购买哪吒挂件的个数恰好与用元购买敖丙挂件的个数相同． 某批发商购进哪吒、敖丙两种挂件．已知每个哪吒挂件的进价比每个敖丙挂件的进价贵1元，用400元购进哪吒 (1)求该批发商购进哪吒、敖丙两种挂件的单价各是多少元； (2)若该批发商计划购进哪吒、敖丙两种挂件共个，且决定将哪吒挂件以每个元，敖丙挂件以每个元的价格对外出售，若要获得总利润为元，应购进哪吒、敖丙两种挂件各多少个？ 【答案】(1)该批发商购进哪吒挂件的单价是元，敖丙挂件的单价是元 (2)购进哪吒挂件个，敖丙挂件个 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程． （1）设该批发商购进哪吒挂件的单价是元，则购进敖丙挂件的单价是元，根据用元购买哪吒挂件的个数恰好与用元购买敖丙挂件的个数相同，列出分式方程，解方程即可； （2）设购进哪吒挂件个，则购进敖丙挂件个，根据要获得总利润为元，列出一元一次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设该批发商购进哪吒挂件的单价是元，则购进敖丙挂件的单价是元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：该批发商购进哪吒挂件的单价是元，敖丙挂件的单价是元； （2）设购进哪吒挂件个，则购进敖丙挂件个， 由题意得：， 解得：， ， 答：购进哪吒挂件个，敖丙挂件个． 【解答题】 1．阅读下面材料，解答后面的问题．解方程：．解：设，则原方程化为：，方程两边同时乘得：，解得：，经检验：都是方程的解，当时，，解得，当时，，解得：，经检验：或都是原分式方程的解，原分式方程的解为或．上述这种解分式方程的方法称为换元法． 问题： (1)若在方程中，设，则原方程可化为：　　； (2)若在方程中，设，则原方程可化为：　　； (3)模仿上述换元法解方程：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了分式方程的解法，关键是如何换元，题目比较好，有一定的难度． （1）和（2）将所设的代入原方程即可； （3）利用换元法解分式方程，设，将原方程化为，求出的值并检验是否为原方程的解，然后求解的值即可． 【详解】（1）解：将代入原方程，则原方程化为； 故答案为：； （2）将代入方程，则原方程可化为； 故答案为：； （3）原方程化为：， 设，则原方程化为：， 方程两边同时乘得：， 解得：， 经检验：都是方程的解． 当时，，该方程无解； 当时，，解得：； 经检验：是原分式方程的解， 原分式方程的解为． 2．已知关于的方程． (1)当取何值时，此方程会产生增根； (2)当此方程的解是正数时，求的取值范围． 【答案】(1) (2)且 【分析】本题考查解分式方程以及分式方程的增根问题，掌握如何解分式方程是解题的关键． （1）根据增根的定义，得出其增根为，代入化简后方程求解即可； （2）按照分式方程解法，解出，根据题意解为正数，故，解该不等式即可，同时需考虑增根的情况，得出最后的取值范围． 【详解】（1）解：该方程的增根为， 对方程去分母， 得， 将代入上式，即， 解得． （2）解：对方程去分母，得， 解得， 若方程的根为正数，则， 解得， 结合（1）中当时，方程为增根， 故的取值范围为且． 3．一艘船在河中逆流而上，路过桥A时船上的救生圈被水冲走，继续向前行驶了发现救生圈遗失，立即返回，在距桥的地方追到了救生圈．求水流速度． 【答案】水流速度为 【分析】本题考查了分式方程的应用，设水流的速度为，船在静水中的速度为，根据题意列出分式方程，求解即可，理解题意，找准等量关系，正确列出分式方程是解此题的关键． 【详解】解：， 设水流的速度为，船在静水中的速度为， 由题意可得： ， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， 故水流速度为． 4．某工厂需制作如图1的竖式与横式两种无盖木箱（单位：），制作木首需要如图2的的正方形木板和的长方形木板．现工厂采购这两种木板，采购清单如下表．设正方形木板的单价为m元/块，已知购买的长方形木板的数量正好是正方形木板的2倍． 采购清单 单价（元/块） 数量（块） 总价（元） 正方形木板 m 120 长方形木板 300 (1)请将表格填写完整（用含m的代数式表示），并求m的值． (2)现将购买的木板制作这两种无盖木箱，求两种木箱各做多少个，恰好将木板用完？ (3)该工厂发现有一批尺寸为的废旧木板，若用这批废旧木板切割成木箱所需的上述两种木板． ①请问如何切割才能将每块废旧木板恰好用完（不计损耗）． ②因工厂生产需要，还需制作竖式无盖木箱60个、横式无盖木箱50个，所有废旧木板恰好用完，则这批废旧木板共多少块？ 【答案】(1)，，； (2)竖式无盖木箱做2个，横式无盖木箱4个； (3)①有两种切割方式，第一种切割方式为长方形木板7块，第二种为正方形木板8块和长方形木板2块；②这批废旧木板共70块． 【分析】本题考查分式方程的应用，二元一次方程组的应用．读懂题意，正确的识图，找准等量关系，列出方程组，是解题的关键． （1）根据题意列出分式方程进行求解即可； （2）设竖式无盖木箱做个，横式无盖木箱个，根据题意列出方程组进行求解即可； （3）①设每块废旧木板切割正方形木板块，长方形木板块，根据题意，列出二元一次方程，利用都是非负整数，求解即可； ②根据题意，进行求解即可． 【详解】（1）解：填写表格如下： 采购清单 单价（元/块） 数量（块） 总价（元） 正方形木板 120 长方形木板 300 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：； （2）解：当时，正方形木块的数量块，长方形木块的数量块． 设竖式无盖木箱做个，横式无盖木箱个， 根据题意，得， 解得， 答：竖式无盖木箱做2个，横式无盖木箱4个； （3）解：①设每块废旧木板切割正方形木板块，长方形木板块，根据题意， 得， ， 因为都是非负整数， 所以或． 答：有两种切割方式，第一种切割方式为长方形木板7块，第二种为正方形木板8块和长方形木板2块； ②所需正方形木板块，长方形块． 所以第二种切割方式的木板为块，第一种切割方式的木板为块， 所以废旧木板共块． 答：这批废旧木板共70块．. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $