专题10分式的意义与性质同步讲义(知识梳理+题型精析+考点突破）2025-2026学年浙教版七年级数学下册

专题10分式的意义与性质同步讲义(1) 【题型01 分式的判断】............................................3 【题型02 分式无意义的条件】......................................4 【题型03 分式有意义的条件】......................................6 【题型04 分式值为零的条件】......................................7 【题型05 求分式值为正负数时未知数的取值范围】....................9 【题型06 判断分式变形是否正确】.................................11 【题型07 将分式的分子分母各项系数化为正数】.....................12 【题型08 分式的约分】...........................................15 【题型09 识别最简分式】.........................................16 【题型10 分式的求值】...........................................18 【题型11 利用分式性质判断分式值的变化】.........................20 【题型12 将分式的分子分母的最高次项化为正数】...................21 【题型13 求分式值为整数时的整数值】.............................23 【解答题6题】...................................................25 ★知识梳理★ 知识点01:分式的意义 1. 分式的定义 一般地，如果 A、B 表示两个整式，并且 B 中含有字母，那么式子叫做分式。 A：分子 B：分母（分母必须含字母） 2. 分式有意义的条件 分母 ≠ 0 B≠0 3. 分式无意义的条件 分母 = 0 B=0 4. 分式的值为 0 的条件 分子 = 0 且 分母 ≠ 0 ​⚠️ 易错：只让分子 = 0，忘记分母≠0，会直接错。 5. 分式的值为正、为负 值为正：分子、分母同号 值为负：分子、分母异号 知识点02:分式的基本性质 1. 分式的基本性质 分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于 0 的整式，分式的值不变。 ，(C0) 2. 分式的符号法则 分子、分母、分式本身，任意改变其中两个的符号，分式值不变。 −= 常用：=​,=​ 3. 分式的约分 (1)把分子、分母分别分解因式 (2)找出公因式 (3)分子、分母同时除以公因式 约分结果：最简分式（分子、分母没有公因式） 4. 系数化整（小数 / 分数→整数） 分子、分母同乘一个适当的数，把系数全部化为整数。​ 5. 最高次项化为正数 当分子或分母首项为负时，可提取负号，使最高次项系数为正。 ​ 核心口诀（超好记） 分式看分母：有字母才是分式 有意义看分母：分母≠0 值为 0：分子 = 0 且分母≠0 分式性质：同乘除不为 0 的整式 约分：先因式分解，再约公因式 【题型1.分式的判断】 【典例】下列代数式中，属于分式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是分式的识别，根据分式的定义，分母中含有字母的代数式称为分式，根据定义求解即可. 【详解】解：A选项的分母是数字3，不含字母，属于整式； B选项的分母是字母，符合分式的定义； C选项是多项式，没有分母，属于整式； D选项的分母是数字7，不含字母，属于整式； 综上，只有B选项是分式； 故选：B． 【跟踪专练1】写出一个分式，并保证无论字母取何值分式均有意义 __________________． 【答案】 【分析】根据分式的分母不等于零，结合分式的概念解答即可． 【详解】∵无论字母x取何值，x2+1＞0， ∴x2+1≠0， ∴是一个分式，并无论字母x取何值分式均有意义， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件和分式的概念，解题的关键利用偶次方的非负性列一个代数式使分母不等于零． 【跟踪专练2】在，，，，中分式的个数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式． 【详解】解：，，分母中含字母，是分式； ，分母中不含字母，不是分式； 故选B． 【点睛】本题主要考查的是分式的定义，掌握分式的定义是解题的关键． 【跟踪专练3】式子，， ，与分数一样都是 （即A÷B）的形式，分数的分子A与分母B都是_________，而这些式子中的A与B都是_________，并且B中都含有字母． 【答案】 整数 整式 【解析】略 【题型2.分式无意义的条件】 【典例】若没有意义，则的值为_________． 【答案】2 【分析】本题考查了零指数幂的定义，掌握零指数幂有意义的条件是底数，当底数为时无意义是解题的关键． 根据零指数幂的底数为时，零指数幂没有意义，求出的值． 【详解】解：由题意，没有意义，因此底数， 解得． 故答案为：． 【跟踪专练1】当时，分式没有意义，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式没有意义的条件，熟知当分母为零时分式没有意义是解题的关键． 根据分母等于0时分式没有意义即可得到答案． 【详解】解：∵当时，分式没有意义， ∴， 解得：． 故选：D． 【跟踪专练2】在算式中，不能为零的字母是________． 【答案】 【分析】本题考查了有理数除法法则的理解，根据算式中，除数不为0即可解答． 【详解】解：中，不能为0，则不能为0， 在和中，不能为0，不能为0， 故答案为：． 【跟踪专练3】已知分式（，为常数）满足表格中的信息，则下列结论中错误的是（    ） 的取值 －2 2 分式的值 无意义 0 1 2 A． B． C． D．的值不存在 【答案】A 【分析】根据分式有意义的条件可得m，n的值，进而可知p，q的值，选出符合要求的选项即可． 【详解】解：∵x为﹣2时方程无意义， ∴x－m=0，解得：m=﹣2，故B正确， 故分式为：， 当x=2时，分式的值为0， 故2×2＋n=0，n=﹣4，故A错误， 故分式为：， 当分式值为1时，2x－4=x+2，解得：x=6， 故，故C正确， 当时，2x－4=2x＋4，此等式不成立，则q的值不存在，故D正确， 故选：A． 【点睛】本题考查分式有意义的条件，方程思想，能够熟练掌握分式有意义的条件时解决本题的关键． 【题型3.分式有意义的条件】 【典例】若代数式有意义，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【分析】本题考查分式有意义的条件，掌握相关知识是解决问题的关键．分式有意义的条件是分母不为零． 【详解】解：若代数式有意义， 则， 解得． 故答案为：． 【跟踪专练1】要使分式有意义，则x的取值需满足（    ） A． B． C．或 D．且 【答案】B 【分析】本题考查了分式有意义的条件．根据分式有意义的条件是分母不为零，因此只需解分母，确定x的取值范围即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， 解得， 故选：B． 【跟踪专练2】分式有意义，则的值不可能是______． 【答案】0 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，掌握分式的分母不能为零是解题的关键． 根据分母不能为零列不等式求解，进而完成解答． 【详解】解：由题意，得， 解得， 所以，即的值不可能是0． 故答案为：0． 【跟踪专练3】要使分式有意义，那么的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】A 【分析】根据分式有意义的条件列出关于x的不等式，求解即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴分式有意义，x的取值范围， 故选：A． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件：分母不为0，掌握不等式的解法是解题的关键． 【题型4.分式值为零的条件】 【典例】若分式的值为0，则x的值为________． 【答案】3 【分析】本题主要考查了分式值为零的条件，熟练掌握 “分式值为零的条件是分子为零且分母不为零” 是解题的关键，根据分式值为零的条件，分子为零且分母不为零． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴且， 解得， 经检验时分母不为0， 故答案为：3． 【跟踪专练1】如果分式的值为0，那么应满足的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的值为0的条件． 分式的值为0，需分子为0且分母不为0，得到分子且分母，进而计算即可． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴分子且分母， 解得且， 即， ∴且． 故选：A． 【跟踪专练2】已知分式（，为常数），当时，分式无意义；当时，分式的值为零，则____________． 【答案】0 【分析】本题考查的是分式值为零的条件、分式有意义的条件，熟记分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零、分式有意义的条件是分母不等于零是解题的关键． 分式无意义时分母为零，分式值为零时分子为零且分母不为零，由此可求出、，代入即可求出的值． 【详解】解：当 时，分式无意义，则分母 ，即 ，解得 ； 当 时，分式值为零，则分子 ，即 ，解得 ； 因此 ． 故答案为：． 【跟踪专练3】若分式的值为零，则x的值为（　　） A．或 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分式的值为零的条件，分子且分母，即可求出结论． 【详解】解：分式的值为零， ， 解：或， 故选：． 【点睛】此题考查的是分式的值为零的条件，掌握分式的值为零的条件：分子且分母是解决此题的关键． 【题型5.求分式值为正负数时未知数的取值范围】 【典例】已知分式①当x=___________时分式无意义； ②当x_______分式值为正数． 【答案】 2 【分析】分式无意义：分母为0；分式是值为正数：分子与分母同号． 【详解】解：要使无意义，则，解得； 要使的值为正数，则，解得； 故答案为：；． 【点睛】本题考查分式无意义以及为正数的条件，掌握分式无意义以及正数的条件是解题的关键． 【跟踪专练1】下列说法错误的是（   ） A．当时，分式无意义 B．当时，分式的值为正数 C．当分式时， D．无论x取何值，的值总为正数 【答案】C 【分析】本题考查了分式的意义、分式有意义时，自变量的取值范围．掌握分式有意义的条件是解题关键．选项A、B、D均正确，选项C错误，因为当时，分式无意义，不能使分式值为 【详解】对于A:当 时，分母 ，分式无意义，选项A正确，不符合题意； 对于B:当 时，分母 ，分子为正，分式值为正，选项B正确，不符合题意； 对于选项C:∵ 分式 ， 需分子为0且分母不为0，即 且 ， ∴ 或 ，但 时， ，分式无意义， ∴ 只有 成立，选项C错误，符合题意； 对于D:分母 ，分子为正，分式值总为正数，选项D正确，不符合题意． 故选：C． 【跟踪专练2】已知分式的值为正数，写出一个符合条件的的正整数值：_____． 【答案】4（答案不唯一，填写1，2，3，4四个数中的任何一个都对） 【分析】本题主要考查了分式的值，根据除法的符号法则可知分子与分母同号，又分子，故分母， 从而求出的取值范围，熟练掌握分子与分母同号，分式的值大于0，分子与分母异号，分式的值小于0是解决此题的关键． 【详解】解：∵分式的值为正数， ， 又 ， ， ， 故当时，分式的值为正数， ∴的正整数值可为4（答案不唯一，填写1，2，3，4四个数中的任何一个都对）， 故答案为：4（答案不唯一，填写1，2，3，4四个数中的任何一个都对）． 【跟踪专练3】分式的值为正数的条件是（   ） A． B．且 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的值，熟练掌握分式的性质是解题的关键． 本题需根据分式值为正数的符号法则，结合分母不为0的限制条件求解； 【详解】解：∵分式的值为正数， 又∵（分母不能为0，故）， ∴分子 解不等式： 两边同时除以，不等号方向改变，得 综上，且； 故选：B； 【题型6.判断分式变形是否正确】 【典例】计算：，括号内应填入：______． 【答案】 【分析】本题考查分式的基本性质，根据分式的基本性质，进行作答即可． 【详解】解：； 故答案为：． 【跟踪专练1】根据分式的基本性质，下列变形一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依据“分式的分子与分母同时乘（或除以）同一个不为的整式，分式的值不变”这一性质，逐一分析各选项即可． 【详解】解：A．当时，的分母为，分式无意义，故该变形不一定正确，不符合题意， B．的分子分母分别平方，并非同时乘同一个不为的整式，故变形错误，不符合题意， C．的分子分母同时加，不符合分式基本性质，故变形错误，不符合题意． D．∵中（否则原式无意义），∴，故变形正确，符合题意． 【跟踪专练2】下面三个式子：，其中正确的有_____个． 【答案】1 【分析】此题考查了利用分式的基本性质进行符号的变形，通过分式的化简和比较，判断每个等式的正确性． 【详解】解：对于第一个等式，，故不正确； 对于第二个等式，左边，等于右边，故正确； 对于第三个等式，（除非，但一般情况不成立），故不正确． 因此正确的有1个． 故答案为：1． 【跟踪专练3】若，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查比例的基本性质与分式的变形，可通过比例交叉相乘、分式拆分等方法验证各选项． 【详解】选项A：∵ ， ∴ ，故A错误； 选项B：对交叉相乘得， 展开化简得，与一致， 且，则，故B正确； 选项C：，故C错误； 选项D：∵， ， ，故D错误． 故选：B． 【题型7.将分式的分子分母各项系数化为整数】 【典例】分式的分子和分母同时乘以2，得到__________． 【答案】 【分析】本题主要考查分式的性质，熟练掌握分式的性质是解题的关键；根据分式的基本性质，分子和分母同时乘以同一个非零数，分式的值不变，据此进行求解即可． 【详解】解：分子乘以2得，分母乘以2得，因此得到的新分式为； 故答案为． 【跟踪专练1】下列变形中，错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】本题是关于等式变形的题目，需要熟练掌握等式的性质． 根据等式的性质可知，等式两边所乘的（或除以的）数或式子不能为0．利用等式的性质对每个式子进行变形即可找出答案． 【详解】解：若， 则， ∴， 解得或， ∴不正确； 若， 则， ∴正确； 若， 则， ∴正确； 若， 则， ∴正确． 故选：A． 【跟踪专练2】某市为进一步加快文明城市的建设，园林局尝试种植A、B两种树种．经过试种后发现，种植A种树苗a棵，种下后成活了棵，种植B种树苗b棵，种下后成活了棵．则两种树苗的总的成活率为___________（用分子和分母各项系数都为整数的分数表示）；第一阶段两种树苗共种植了40棵，且两种树苗的成活棵数相同，则种植A种树苗___________棵．第二阶段，该园林局又种植A种树苗m棵，B种树苗n棵，若，在第一阶段的基础上进行统计，则这两个阶段种植A种树苗成活棵数___________种植B种树苗成活棵数（填“>”“<”或“=”）． 【答案】 【分析】总的成活率将成活数除总数即可； 用未知数表示A和B的棵树然后列方程求解即可； 将成活率分别表示出来比较大小即可． 【详解】总的成活率为； 第一阶段：设A种植了x棵，则B种植了棵， 即可得：，解得； 第二阶段：，则种植A种树苗棵，B种树苗n棵， A种树苗成活（棵），B种树苗棵， 所以种植A种树苗成活棵数：， 种植B种树苗成活棵数：， 因为， 则这两个阶段种植A种树苗成活棵数种植B种树苗成活棵数； 故答案为：，，． 【点睛】此题考查分式的应用，解题关键是先读懂题意，然后找准数量关系列方程计算． 【跟踪专练3】下列说法正确的是（        ） A．分式的值为零，则的值为 B．根据分式的基本性质，等式 C．把分式的分子与分母的各项系数都化为整数的结果为 D．分式是最简分式 【答案】D 【分析】根据分式的值为0的条件，分式的基本性质，最简分式的定义，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、分式的值为零，则的值为，选项错误，不符合题意； B、当时，没有意义，，选项错误，不符合题意； C、把分式的分子与分母的各项系数都化为整数的结果为，选项错误，不符合题意； D、分式是最简分式，选项正确，符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查分式的值为0的条件，分式的基本性质，最简分式．熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 【题型8.分式的约分】 【典例】约分：________． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简．通过约去分子和分母的公因式进行化简即可． 【详解】解： 故答案为：． 【跟踪专练1】下列分式的约分正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 根据分式的基本性质，对选项逐一分析判断即可． 【详解】解：A、是最简分式，不能约分为，故本选项错误，不符合题意； B、分子与分母无公因式，是最简分式，不能约分，故本选项错误，不符合题意； C、分子与分母无公因式，是最简分式，不能约分，故本选项错误，不符合题意； D、，故本选项正确，符合题意； 故选：D 【跟踪专练2】约分： ______． 【答案】 【分析】本题考查了分式的约分． 通过对分子和分母进行因式分解，然后约去公因式即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【跟踪专练3】下列约分正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的约分，正确约分是解题的关键．依据分式约分法则，即分子分母同时除以公因式，多项式先因式分解再判断，逐一分析选项即可得出答案． 【详解】解：∵选项A中，分子无法分解出因式，不能将分子的与分母的约分，∴A错误； ∵选项B中，，并非，∴B错误； ∵选项C中，分母，分子与分母的公因式为（），∴，C正确； ∵选项D中，分子与分母没有公因式，不能约分，∴D错误． 故选：C． 【题型9.识别最简分式】 【典例】化简分式：______． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简． 通过约去分子和分母的公因式进行化简即可． 【详解】解：原分式为， 分子和分母的公因式为， 约分后得． 故答案为：． 【跟踪专练1】下列各式是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了最简分式，掌握相关知识点是解题的关键．根据分子与分母是否存在非零公因式，判断是否可约分，即可求解． 【详解】解：A、的分子9与分母无公因式，是最简分式，故选项A符合题目要求； B、，分子分母有公因式，不是最简分式，故选项B不符合题目要求； C、，分子分母有公因式，不是最简分式，故选项C不符合题目要求； D、，分子分母有公因式，不是最简分式，故选项D不符合题目要求． 故选：A． 【跟踪专练2】在分式中，最简分式有______． 【答案】 【分析】根据最简分式的意义对每项进行检验判断． 【详解】解：由=，得到此分式不是最简分式； 由=m﹣n，得到此分式不是最简分式； 由=，得到此分式不是最简分式； 由=﹣1，得到此分式不是最简分式； 而分子分母没有公因式，是最简分式． 故答案为： ． 【点睛】本题考查分式的应用，熟练掌握最简分式的意义和正确进行分式约分的方法是解题关键． 【跟踪专练3】下列各分式中，最简分式是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分式的分子和分母没有公因式的分式即为最简分式，根据定义解答． 【详解】A、=，故该项不是最简分式； B、=-x-y，故该项不是最简分式； C、分子分母没有公因式，故该项是最简分式； D、=，故该项不是最简分式； 故选：C． 【点睛】此题考查最简分式定义，化简分式，掌握方法将分式的化简是解题的关键． 【题型10.分式的求值】 【典例】若，则___________． 【答案】 【分析】本题考查分式求值． 将拆分为，代入已知条件计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练1】若，则的值为（   ） A． B．3 C． D．4 【答案】C 【分析】本题可通过分式拆分或设参数代入的方法求解，利用分式的基本性质结合已知条件计算目标分式的值． 【详解】方法一：∵， ∴， ∴； 方法二：∵， ∴设，（）， 则． 【跟踪专练2】已知，则分式的值为______． 【答案】 【分析】先根据已知等式得到a与b的数量关系，再通过代入消元将分式转化为只含单一字母的式子，最后依据分式的基本性质约分求值． 【详解】解：∵ ∴，且（若，则，与矛盾） 将代入，得 故答案为：． 【跟踪专练3】对于正数，规定，例如：，，则的值为（   ） A．2025 B． C．2026 D． 【答案】B 【分析】本题考查了新定义下的实数运算，分式化简求值，已知式子的值，求代数式的值等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解．利用性质 ，将求和中的项配对计算，每对和为1，再单独计算 ． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 对于从2到 2026， 与 配对，每对和为 1， 共有 对， ∴ 这些对的总和为． 又， ∴ 原式 ． 故选B． 【题型11.利用分式性质判断分式值的变化】 【典例】若，当时，___________0（选填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，根据题意分别判断出分子和分母的符号即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， 故答案为：． 【跟踪专练1】若将分式中的x，y都扩大10倍，则分式的值___________（填“扩大”“缩小”或“不变”） 【答案】不变 【分析】本题主要考查分式的性质，熟练掌握分式的性质是解题的关键；因此此题可根据分式的性质进行求解即可． 【详解】解：将中的x，y都扩大10倍，为， ∴分式的值不变； 故答案为：不变． 【跟踪专练2】若把分式中和的值都扩大3倍，则分式的值（   ） A．扩大3倍 B．不变 C．缩小为原来 D．扩大9倍 【答案】B 【分析】先根据已知条件进行相应的变化，再将新分式整理成原式与某个数（代数式）的积，最后与原分式比较即可． 【详解】解：∵和的值都扩大3倍后，新分式为 ∴，新分式与原分式相等， ∴分式的值不变． 【跟踪专练3】若分式的值为6，当x、y都扩大2倍后，所得分式的值是______． 【答案】12 【分析】将原分式中的x、y用、代替，化简，再与原分式进行比较即可． 【详解】将分式中x、y都扩大2倍后所得式子为 ， 若分式的值为6， 则所得分式的值是． 故答案为：12． 【点睛】本题考查了分式的基本性质．解题的关键是抓住分子，分母变化的倍数．解此类题目首先把字母变化后的值带入式子中，然后约分，再与原式比较最终得出结论． 【题型12.将分式的分子分母的最高次项化为正数】 【典例】若不改变分式的值，使分子与分母的最高次项的符号为正，则＝______． 【答案】 【分析】根据分式的基本性质解答． 【详解】原式＝． 【点睛】本题考查分式的应用，熟练掌握分式的基本性质是解题关键． 【跟踪专练1】不改变分式 的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是（     ） A． B． C． D． 答案】D 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，把分子与分母同时乘以即可得到答案． 【详解】解：． 故选：D 【跟踪专练2】不改变分式的值，使下列分式的分子和分母不含“”号． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查的是利用分式的基本性质确定分式的三个符号之间的变换，掌握“这三个符号同时改变两个，分式的值不变”是解题的关键． 根据分式的基本性质求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 【跟踪专练3】不改变分式的值，使分子、分母中次数最高的项的系数都化为正数． ①；②；③；④． 【答案】①；②；③；④ 【分析】分式的基本性质：分式的分子分母都乘以或除以同一个不为零的数或整式，分式的值不变，从而可得分式的三个符号，同时改变两个，分式的值不变，根据分式的基本性质：①改变分式的分子与分式本身的符号，可得答案；②改变分式的分母与分式本身的符号，可得答案；③改变分式的分子与分母的符号，可得答案；④改变分式的分子与分母的符号，可得答案. 【详解】解：①； ②； ③； ④ 【点睛】本题考查的是利用分式的基本性质把分子分母的最高次项的系数化为正数，掌握变形的方法是解题的关键. 【题型13.求分式值为整数时的整数值】 【典例】若代数式的值为正整数，则整数x的值为______． 【答案】3或7/7或3 【分析】分子为正整数5，若分式值为正整数，且x为整数，则等于1或5，从而问题可解． 【详解】解：的值为正整数， 或， 或， 故答案为：3或7． 【点睛】本题考查了分式求值，根据题意得出等于1或5是解题的关键． 【跟踪专练1】若为整数，则整数可取的值有（    ） A．4个 B．6个 C．8个 D．10个 【答案】C 【分析】本题考查了分式为整数时求未知数的整数值，熟练掌握整数的性质，找到使分式为整数时的所有可能情况，是解答本题的关键． 根据题意，得到可取的值有：，，，，共八种情况，由此得到答案． 【详解】解：根据题意得：，为整数， 可取的值有：，，，，共八种情况， 整数可取的值有个， 故选：． 【跟踪专练2】若是偶数，代数式的值是整数，则可以取的所有数值之和为________． 【答案】 【分析】本题考查了分式的值，正确理解题意是解答本题的关键．根据分式的值为整数，的值为偶数，可得或，求出的值，即可求出结果． 【详解】解：分式的值为整数，的值为偶数， 或， 或或或， 可以取的所有数值之和为， 故答案为：． 【跟踪专练3】关于的多项式，（为常数），下列说法：①若中不含和项，则；②当时，；③当时，若的值为正整数，则此时所有整数的值的和为20．其中正确的个数是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】D 【分析】本题考查整式混合运算中的无关型问题、分式的化简．求出，再根据中不含和项，可判断①；求出，可判断②；求出，可判断③． 【详解】解：①∵， ∴， ∵中不含和项， ∴， 解得：，故①错误； ②当时， ，故②错误； ③当时， ， ∵的值为正整数， ∴9是的整数倍， ∴取， ∴x的值为， ∵的值为正整数， ∴x取3，5，11， ∴此时所有整数的值的和为，故③错误． 故选：D 【解答题】 1．已知分式的值为0，求分式的值． 【答案】． 【分析】根据分式的值为零时，分子等于零，且分母不等于零．据此列出关于x的不等式和方程进行解答即可． 【详解】解：因为 所以且x+1≠0， 解得x=1． 代入得： ． 2．已知x，y为实数，且有 (1)试求出x，y的值； (2)请你求出的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，平方根，掌握二次根式和分式有意义的条件是解题的关键． （1）根据被开方数大于等于和分母不为解出的值，然后求出的值； （2）代入x，y的值求出代数式的值，再利用平方根的定义解题． 【详解】（1）解：因为有意义， ∴， 解得：， ∴ （2）， ∴的平方根为． 3．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先将分子、分母因式分解后约分化简，然后将，变形得到整体代入化简后的分式即可. 【详解】解：原式， ∵， ， 原式． 4．已知为整数，求能使分式的值为整数的的值． 【答案】或或或 【分析】先根据分式的性质进行化简，结果为，再结合题意判断出是的因数，计算出结果，同时注意需要让原分式有意义． 【详解】解：∵原分式有意义， ∴， ∴， ， ∵分式的值为整数，且为整数， ∴是的因数， ∴或， ∴或或或． 5．不改变分式的值，把下列各式的分子、分母中的各项系数都化为整数： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据分式的分子分母同时扩大10倍，分式的值不变，据此解答即可； （2）根据分式的分子分母同时扩大20倍，分式的值不变，据此解答即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 6．阅读理解： 材料1：为了研究分式与其分母的数量变化关系，小力制作了表格，并得到如下数据： … 0 1 2 3 4 … … 无意义 1 … 从表格数据观察，当时，随着x的增大，的值随之减小，若x无限增大，则无限接近于0；当时，随着x的增大，的值也随之减小． 材料2：在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数小于分母的次数，称这样的分式为真分式；如果分子的次数大于或等于分母的次数，称这样的分式为假分式，任何一个假分式都可以化为一个整式与一个真分式的和． 例如： 根据上述材料完成下列问题： (1)当时，随着的增大，的值随之__________（增大或减小），的值随之__________（增大或减小）；当时，随着的增大，的值随之__________（增大或减小）； (2)请将假分式化为一个整式与一个真分式的和，再根据材料1的规律，分析当时，这个假分式的值的变化趋势； (3)当时，随着的增大，的值无限接近一个数，求出这个数； (4)当时，直接写出代数式值的取值范围是__________． 【答案】(1)减小；增大；减小 (2)，当时，随着的增大，的值随之增大 (3)2 (4) 【分析】本题考查分式的性质，熟练掌握分式的基本性质，理解题中的变量分离的方法是解题的关键． （1）根据的值随x的变化趋势，可判断的值和的值随x的变化趋势，仿照题意可得，求出的值随x的变化趋势即可得到对应的答案； （2）仿照题意可求出，根据的值随x的变化趋势可得的值随x的变化趋势，进而可得的值随x的变化趋势； （3）可求出，当x无限增大时，则无限接近于0，则此时的值无限接近2； （4）可求出当时，随着的增大，的值随之增大，据此分别求出和时分式的值即可得到答案． 【详解】（1）解：∵当时，随着的增大，的值随之减小， ∴当时，随着的增大，的值随之减小，的值随之增大； ， ∵当时，随着的增大，的值随之减小， ∴当时，随着的增大，的值随之减小； （2）解：， 当时，， ∴当时，随着的增大，的值随之减小，即的值随之减小， ∴当时，随着的增大，的值随之增大； （3）解：， 当时，， ∴当时，随着的增大，的值随之减小， 当x无限增大时，则无限接近于0， ∴此时的值无限接近2； （4）解：， 当时，， ∴当时，随着的增大，的值随之减小，即的值随之减小， ∴当时，随着的增大，的值随之增大， 当时，，当时，， ∴当时，． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10分式的意义与性质同步讲义(1) 【题型01 分式的判断】............................................3 【题型02 分式无意义的条件】......................................3 【题型03 分式有意义的条件】......................................3 【题型04 分式值为零的条件】......................................4 【题型05 求分式值为正负数时未知数的取值范围】....................4 【题型06 判断分式变形是否正确】..................................5 【题型07 将分式的分子分母各项系数化为正数】......................5 【题型08 分式的约分】............................................6 【题型09 识别最简分式】..........................................6 【题型10 分式的求值】............................................6 【题型11 利用分式性质判断分式值的变化】..........................7 【题型12 将分式的分子分母的最高次项化为正数】....................7 【题型13 求分式值为整数时的整数值】..............................8 【解答题6题】....................................................8 ★知识梳理★ 知识点01:分式的意义 1. 分式的定义 一般地，如果 A、B 表示两个整式，并且 B 中含有字母，那么式子叫做分式。 A：分子 B：分母（分母必须含字母） 2. 分式有意义的条件 分母 ≠ 0 B≠0 3. 分式无意义的条件 分母 = 0 B=0 4. 分式的值为 0 的条件 分子 = 0 且 分母 ≠ 0 ​⚠️ 易错：只让分子 = 0，忘记分母≠0，会直接错。 5. 分式的值为正、为负 值为正：分子、分母同号 值为负：分子、分母异号 知识点02:分式的基本性质 1. 分式的基本性质 分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于 0 的整式，分式的值不变。 ，(C0) 2. 分式的符号法则 分子、分母、分式本身，任意改变其中两个的符号，分式值不变。 −= 常用：=​,=​ 3. 分式的约分 (1)把分子、分母分别分解因式 (2)找出公因式 (3)分子、分母同时除以公因式 约分结果：最简分式（分子、分母没有公因式） 4. 系数化整（小数 / 分数→整数） 分子、分母同乘一个适当的数，把系数全部化为整数。​ 5. 最高次项化为正数 当分子或分母首项为负时，可提取负号，使最高次项系数为正。 ​ 核心口诀（超好记） 分式看分母：有字母才是分式 有意义看分母：分母≠0 值为 0：分子 = 0 且分母≠0 分式性质：同乘除不为 0 的整式 约分：先因式分解，再约公因式 【题型1.分式的判断】 【典例】下列代数式中，属于分式的是（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练1】写出一个分式，并保证无论字母取何值分式均有意义 __________________． 【跟踪专练2】在，，，，中分式的个数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【跟踪专练3】式子，， ，与分数一样都是 （即A÷B）的形式，分数的分子A与分母B都是_________，而这些式子中的A与B都是_________，并且B中都含有字母． 【题型2.分式无意义的条件】 【典例】若没有意义，则的值为_________． 【跟踪专练1】当时，分式没有意义，则的值为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】在算式中，不能为零的字母是________． 【跟踪专练3】已知分式（，为常数）满足表格中的信息，则下列结论中错误的是（    ） 的取值 －2 2 分式的值 无意义 0 1 2 A． B． C． D．的值不存在 【题型3.分式有意义的条件】 【典例】若代数式有意义，则实数的取值范围是___________． 【跟踪专练1】要使分式有意义，则x的取值需满足（    ） A． B． C．或 D．且 【跟踪专练2】分式有意义，则的值不可能是______． 【跟踪专练3】要使分式有意义，那么的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【题型4.分式值为零的条件】 【典例】若分式的值为0，则x的值为________． 【跟踪专练1】如果分式的值为0，那么应满足的条件是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知分式（，为常数），当时，分式无意义；当时，分式的值为零，则____________． 【跟踪专练3】若分式的值为零，则x的值为（　　） A．或 B． C． D． 【题型5.求分式值为正负数时未知数的取值范围】 【典例】已知分式①当x=___________时分式无意义； ②当x_______分式值为正数． 【跟踪专练1】下列说法错误的是（   ） A．当时，分式无意义 B．当时，分式的值为正数 C．当分式时， D．无论x取何值，的值总为正数 【跟踪专练2】已知分式的值为正数，写出一个符合条件的的正整数值：_____． 【跟踪专练3】分式的值为正数的条件是（   ） A． B．且 C． D． 【题型6.判断分式变形是否正确】 【典例】计算：，括号内应填入：______． 【跟踪专练1】根据分式的基本性质，下列变形一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】下面三个式子：，其中正确的有_____个． 【跟踪专练3】若，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型7.将分式的分子分母各项系数化为整数】 【典例】分式的分子和分母同时乘以2，得到__________． 【跟踪专练1】下列变形中，错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【跟踪专练2】某市为进一步加快文明城市的建设，园林局尝试种植A、B两种树种．经过试种后发现，种植A种树苗a棵，种下后成活了棵，种植B种树苗b棵，种下后成活了棵．则两种树苗的总的成活率为___________（用分子和分母各项系数都为整数的分数表示）；第一阶段两种树苗共种植了40棵，且两种树苗的成活棵数相同，则种植A种树苗___________棵．第二阶段，该园林局又种植A种树苗m棵，B种树苗n棵，若，在第一阶段的基础上进行统计，则这两个阶段种植A种树苗成活棵数___________种植B种树苗成活棵数（填“>”“<”或“=”）． 【跟踪专练3】下列说法正确的是（        ） A．分式的值为零，则的值为 B．根据分式的基本性质，等式 C．把分式的分子与分母的各项系数都化为整数的结果为 D．分式是最简分式 【题型8.分式的约分】 【典例】约分：________． 【跟踪专练1】下列分式的约分正确的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】约分： ______． 【跟踪专练3】下列约分正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型9.识别最简分式】 【典例】化简分式：______． 【跟踪专练1】下列各式是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】在分式中，最简分式有______． 【跟踪专练3】下列各分式中，最简分式是（　　） A． B． C． D． 【题型10.分式的求值】 【典例】若，则___________． 【跟踪专练1】若，则的值为（   ） A． B．3 C． D．4 【跟踪专练2】已知，则分式的值为______． 【跟踪专练3】对于正数，规定，例如：，，则的值为（   ） A．2025 B． C．2026 D． 【题型11.利用分式性质判断分式值的变化】 【典例】若，当时，___________0（选填“”“”或“”）． 【跟踪专练1】若将分式中的x，y都扩大10倍，则分式的值___________（填“扩大”“缩小”或“不变”） 【跟踪专练2】若把分式中和的值都扩大3倍，则分式的值（   ） A．扩大3倍 B．不变 C．缩小为原来 D．扩大9倍 【跟踪专练3】若分式的值为6，当x、y都扩大2倍后，所得分式的值是______． 【题型12.将分式的分子分母的最高次项化为正数】 【典例】若不改变分式的值，使分子与分母的最高次项的符号为正，则＝______． 【跟踪专练1】不改变分式 的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】不改变分式的值，使下列分式的分子和分母不含“”号． (1)； (2)； (3)； (4)． 【跟踪专练3】不改变分式的值，使分子、分母中次数最高的项的系数都化为正数． ①；②；③；④． 【题型13.求分式值为整数时的整数值】 【典例】若代数式的值为正整数，则整数x的值为______． 【跟踪专练1】若为整数，则整数可取的值有（    ） A．4个 B．6个 C．8个 D．10个 【跟踪专练2】若是偶数，代数式的值是整数，则可以取的所有数值之和为________． 【跟踪专练3】关于的多项式，（为常数），下列说法：①若中不含和项，则；②当时，；③当时，若的值为正整数，则此时所有整数的值的和为20．其中正确的个数是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【解答题】 1．已知分式的值为0，求分式的值． 2．已知x，y为实数，且有 (1)试求出x，y的值； (2)请你求出的平方根． 3．先化简，再求值：，其中． 4．已知为整数，求能使分式的值为整数的的值． 5．不改变分式的值，把下列各式的分子、分母中的各项系数都化为整数： (1)； (2)． 6．阅读理解： 材料1：为了研究分式与其分母的数量变化关系，小力制作了表格，并得到如下数据： … 0 1 2 3 4 … … 无意义 1 … 从表格数据观察，当时，随着x的增大，的值随之减小，若x无限增大，则无限接近于0；当时，随着x的增大，的值也随之减小． 材料2：在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数小于分母的次数，称这样的分式为真分式；如果分子的次数大于或等于分母的次数，称这样的分式为假分式，任何一个假分式都可以化为一个整式与一个真分式的和． 例如： 根据上述材料完成下列问题： (1)当时，随着的增大，的值随之__________（增大或减小），的值随之__________（增大或减小）；当时，随着的增大，的值随之__________（增大或减小）； (2)请将假分式化为一个整式与一个真分式的和，再根据材料1的规律，分析当时，这个假分式的值的变化趋势； (3)当时，随着的增大，的值无限接近一个数，求出这个数； (4)当时，直接写出代数式值的取值范围是__________． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $