上海市大同中学2025-2026学年高三下学期3月寒假作业检查数学试卷

上海市大同中学2025学年第二学期寒假作业检查 高三数学 试卷 （考试时间120分钟 满分150分） 一、填充题（每题4~5分，共12题） 1. 关于x 的不等式 < 0 的解集为_____________. 2. 抛物线 y2 = 4x 的焦点到准线的距离是__________________. 3. 已知球 O 的体积为 π , 则球 O 的表面积为______. 4. 已知扇形 AOB 的圆心角为 ，面积为3，则扇形弧长为_____ 5. 样本数据：3，3，4，4，5，6，6，7，7，8的75百分位数为______． 6. 有4名护士和2名医生站在一排，两名医生相邻，则不同的排法总数为_____________． 7. 已知数列{an }通项公式an = {n (n)-1 (-)，3， n为偶数 (n为奇数) ，则数列{an } 的前9项和为______. 8. 若函数 g(x 为奇函数，则函数 y = f (x ) ， x ∈(0, +∞) 的值域为 _________. 9. 已知向量 = (cosθ, sinθ ) ， = (1， √3) ，若 与 的夹角不超过 ，则 - 的范围是______． 10. 如图，已知函数 y = f (x) 的图象是圆心在原点的单位圆的两段弧，则不等式 f (x) < f (-x)+ x 的解集为_____． 11. 如图，正方体 ABCD - A1B1C1D1 绕直线DB1 旋转 ，直线AB 第 4 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 旋转至直线 A’B’，则直线AB与直线 A’B’所成角的大小为__________. 12. 若函数 f (x ) 的定义域内存在区间[m, n]，且 {y y = f (x ),x ∈ [m ,n ]}= m 2 ,n 2 ，则称函数 f (x )具有“性质F ”.正确的____________. ①. 具有“性质F ”的一次函数存在且有无数个。②. 具有“性质F ”的二次函数存在且有无数个。③. 存在a ∈(1, e)，使函数 f (x ) = log a x 具有“性质F ”。④. 对任意a ∈(1, e)，函数 f (x) = ax 都具有“性质F ” 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13. “ a ≤ -1 ”是“不等式 x2 + 2x - a ≥ 0 在 x ∈(0, +∞) 上恒成立 ”的 ( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 14. 已知复数 z1, z2 的模长为1，且 则 z1 + z2 = ( ) A. -1 B. 1 C. 1+ i D. 1- i 15．已知点 A(2, 0) ，B (0, 2) ，P (m, n ) 在曲线x y2 上，记角APB = α , 则存在函数f (x ) ，对曲线上任意一点P都有 ( ) A． m = f (α ) B． α = f (m ) C． n = f (α ) D． α = f (n ) 16. 已知圆锥曲线 Γ 的对称中心为原点 O ，若对于 Γ 上的任意一点A ，均存在 Γ 上两点B ， C ，使得原点 O到直线 AB ， AC 和BC 的距离都相等，则称曲线 Γ 为“完美曲线 ”．现有如下两个命题： ①任意椭圆都是“完美曲线 ”；②存在双曲线是“完美曲线 ”．下列判断正确的是 ( ) A. ①是真命题，②是假命题 B. ①是假命题，②是真命题 C. ①②都是真命题 D. ①②都是假命题 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 如图，将直角三角形 SOA 绕直角边 SO 所在直线旋转一周形成圆锥 S - O已知圆锥 S - O 的底面半径为3 cm ，圆锥的侧面积15π cm2 ． 设 A 、 B 是底面圆周上的两点，线段 AB 不经过点 O ． 第 4 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 （1）求圆锥 S – O 的体积； （2）二面角 A – SO – B 的大小为 ，求直线 SA 与平面 SOB 所成角的大小． 18. （本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知函数 y = f (x) ，其中 f(x) = log2 x . （1）解关于 x 的不等式 f(3x – 2) < f(2x +1) ； （2）若存在唯一的实数 x0 ，使得 f(x0 ), f(x0 – a), f(2) 依次成等差数列，求实数 a 的取值范围. 19. （本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 上海市大同中学生产的糖每包标“净含量500g ”，但承认实净含量存误差. 已知每包糖的实际净含量 ξ （单位g）服从正态分布 N(500 , 2.52 ) （1）随机抽取一包生产糖，求其净含量误差超过5g的概率（精确到 0.001 ）； （2）随机抽取3包生产糖，记其中净含量小于497.5g的包数为 X . 求 X 的分布和期望（精确到 0.001 ）.参考数据：Φ (1) ≈ 0.8413 ，Φ (2) ≈ 0.9772 ，Φ (3) ≈ 0.9987 ，其中 y = Φ (x)为标准正态分布函数. 20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分． 已知椭圆C1 的方程为 y2 = 1 ，右顶点为 A ，上顶点为 B ，椭圆 C2 的中心位于坐标原点，两个椭圆的离心率相等． （1）若椭圆 C2 的方程是 焦点在 x 轴上，求 a 的值； （2）设椭圆C2 的焦点在x 轴上，直线 AB 与C2 相交于点 C 、D ，若 CD = 3 AB ，求 C2 的标准方程； （3）设椭圆 C2 的焦点在y 轴上，点P 在 C1 上，点Q 在 C2 上．若存在 ΔAPQ 是等腰 直角三角形，且 AP = AQ ，求 C2 的长轴的取值范围． 21. （本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）. 已知函数 y = f (x) ，其中 f x3 – kx2 ， k ∈ R .若点 A 在函数y = f (x) 的图像上，且经过点 A 的切线与函数 y = f (x) 图像的另一个交点为点B ，则称点B 为点 A 的一个“上位点 ”，现有函数 y = f (x) 图像上的点列M1 ，M2 ，… , Mn ，… , 使得对任意正整数 n ， 第 4 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 点Mn 都是点Mn+1 的一个“上位点 ”. （1）若k = 0 ，请判断原点 O 是否存在“上位点 ”，并说明理由； （2）若点M1 的坐标为(3k, 0) ，请分别求出点M2 、 M3 的坐标； （3）若M1 的坐标为(3, 0)，记点Mn 到直线y = m 的距离为dn .问是否存在实数 m 和正整数 T ，使得无穷数列dT 、 dT +1 、 … 、 dT +n …严格减？若存在，求出实数 m 的所有可能值；若不存在，请说明理由. 第 4 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $