精品解析：上海市格致中学2023届高三下学期开学考试数学试题

格致中学2022学年第二学期高三年级数学开学考 一、填空题（本大题共有12题，满分54分.其中第1~6题每题满分4分，第7~12题每题满分5分.）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果 1. 若，则 ． 2. 在的展开式中常数项是________________.（用数字作答） 3. 已知等差数列前15项的和=30，则=___________． 4. 若复数（为虚数单位）在复平面上对应点在第四象限，则实数的取值范围为______． 5. 设是两个单位向量，向量，且，则的夹角为______. 6. 已知抛物线上的两个不同的点，的横坐标恰好是方程的根，则直线的方程为______． 7. 下列命题中错误的是__． ①将一组数据中的每个数都加上或减去同一个常数后，均值与方差都不变； ②在一组样本数据（不全相等）的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的线性相关系数为； ③在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，若由独立性检验知，在犯错误率不超过0.01的前提下，认为吸烟与患肺病有关系．若某人吸烟，则他有的可能性患肺病． 8. 设函数f (x)在(0,＋∞)内可导，且f (ex)＝x＋ex，则＝__________． 9. 从，，，，中，甲、乙两人各任取一数（不重复），已知甲取到的数是的倍数，则甲取到的数大于乙取到的数的概率为______． 10. 在中，角对边分别是，．若，则边的值为______． 11. 正三棱柱中，所有棱长均为2，点、分别为棱、的中点，若过点、、作一截面，则截面的周长为______. 12. 已知函数，若关于的方程在上有解，则的最小值为______． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分.其中第13~14题每题满分4分，第15~16题每题满分5分.）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上将代表答案的小方格涂黑. 13. 已知实数、，那么是的（ ）条件． A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 14. 设，，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（ ） A. B. C. 对任意正数， D. 对任意正数， 15. 当时，不等式恒成立，则实数取值范围为（ ） A. B. C. D. 16. 数列中，，，使对任意的（为正整数）恒成立的最大值为（ ） A. B. C. D. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分.）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 17. 在三棱锥中，，，. （1）求证：； （2）若为上一点，且，求直线与平面所成角的正弦值. 18. 在△中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，，，. （1）求角B大小； （2）设，当时，求的最小值及相应的x. 19. 某市市区内的A、B两超市同时开业，第一年的全年销售额都为P万元.由于经营方式不同，A超市第n年的销售额比前一年销售额多万元；B超市前n年的总销售额为万元. （1）求两超市第n年销售额的表达式； （2）若其中某一超市的年销售额不足另一超市的年销售额的50%，则该超市将被另一超市收购，判断哪一超市有可能被收购？如果有这种情况，将会出现在第几年. 20. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，A，B分别为椭圆的上、下顶点，到直线的距离为． （1）求椭圆的方程； （2）已知点M为抛物线上一点，直线与椭圆的一个交点N在y轴左侧，满足，求p的最大值； （3）直线与椭圆交于不同的两点C，D，直线AC，AD分别交x轴于P，Q两点．问：y轴上是否存在点R，使得？若存在，求出点R坐标；若不存在，请说明理由． 21. 已知关于x的函数与在区间D上恒有． （1）若，求h(x)表达式； （2）若，求k的取值范围； （3）若求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 格致中学2022学年第二学期高三年级数学开学考 一、填空题（本大题共有12题，满分54分.其中第1~6题每题满分4分，第7~12题每题满分5分.）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果. 1. 若，则 ． 【答案】 【解析】 【详解】∵，∴，∴. 考点：对数的计算 2. 在的展开式中常数项是________________.（用数字作答） 【答案】45 【解析】 【详解】(x4+)10的通项为 =()r=, 令40-5r=0,解得r=8,代入得常数项为 ==45. 3. 已知等差数列前15项的和=30，则=___________． 【答案】6 【解析】 【详解】试题分析：∵等差数列的前15项的和,∴，而． 考点：等差数列的性质． 4. 若复数（为虚数单位）在复平面上对应的点在第四象限，则实数的取值范围为______．