云南楚雄第一中学2026届高三上学期1月月考数学试题

楚雄一中2026届高三上学期1月月考 数学 一、单选题 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．下列函数中，最小正周期为的偶函数是（    ） A． B． C． D． 3．若复数满足，则（    ） A． B． C． D． 4．已知，，，则向量在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 5．双曲线的焦点到渐近线的距离为（    ） A．10 B．8 C．6 D． 6．已知一个圆锥的体积为，其侧面积是底面积的2倍，则其表面积为（    ） A． B． C． D． 7．在中，若，，三角形的面积，则三角形外接圆的半径为（   ） A． B．2 C． D． 8．设函数，若对任意都有，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D．2 二、多选题 9．记等比数列的前n项积为，且，，若，则的可能取值为（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 10．已知抛物线：的焦点到准线的距离是4，直线过它的焦点且与交于，两点，为弦的中点，则下列说法正确的是（   ） A．抛物线的焦点坐标是 B． C．若，则 D．若以为圆心的圆与的准线相切，则是该圆的一条直径 11．对于任意两个正数，记曲线与直线，，轴围成的曲边梯形的面积为，并约定和，德国数学家莱布尼茨（Leibniz）最早发现.关于，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．不等式的解为______. 13．袋子中有大小相同的3个红球和2个白球.若从袋子中摸出3个球，则恰有一个白球的概率是__________；若每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回，记“第一次摸到红球”为事件，“第二次摸到红球”为事件，则__________. 14．定义在上的函数满足：①；②；③，则__________，__________. 四、解答题 15．某县承包了一块土地，已知土地的使用面积与相应的管理时间的关系如下表所示： 土地使用面积亩 1 2 3 4 5 管理时间月 8 10 13 25 24 并调查了某村300位村民参与管理的意愿，得到的部分数据如下表所示： 单位：人 愿意参与管理 不愿意参与管理 合计 男性村民 150 50 女性村民 50 合计 (1)求出样本相关系数的大小，并判断管理时间与土地使用面积是否线性相关（当时，即可认为线性相关）； (2)依据的独立性检验，分析村民的性别与参与管理的意愿是否有关； (3)以该村村民的性别与参与管理意愿的情况估计该县的情况，从该县中任取3人，记取到不愿意参与管理的男性村民的人数为，求的分布列及数学期望. 参考公式：，其中. 临界值表： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 参考数据：. 16．设数列的前项积为，满足. (1)设，求证：数列是等比数列； (2)设数列满足，求数列的前项和. 17．在平行四边形中（如图1），，为的中点，将等边沿折起，连接，，且（如图2） (1)求证：平面； (2)点在线段上，若点到平面的距离为，求平面与平面所成角的余弦值． 18．已知椭圆C：上一点到两焦点的距离之和为． (1)求椭圆C的方程． (2)不经过点的直线l与x轴垂直，与椭圆C交于A，B两点，若直线BQ与椭圆C的另一交点为D，则直线AD是否过定点？若过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由． 19．已知， (1)求在处的切线方程以及的单调性； (2)对，有恒成立，求的最大整数解； (3)令，若有两个零点分别为且为的唯一的极值点，求证：. 试卷第2页，共4页 试卷第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 楚雄一中2026届高三上学期1月月考 数学参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D D A C B B B AB ABD 题号 11 答案 AB 1．B 【难度】0.85 【来源】河北省石家庄市精英中学2025-2026学年高一上学期10月月考数学试卷 【知识点】描述法表示集合、交集的概念及运算 【分析】根据集合A、B表示点集，列出对应方程组求解即可，注意表示方式. 【详解】由题意，解得， 故， 故选：B. 2．D 【难度】0.94 【来源】黑龙江省哈尔滨市第九中学校2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题 【知识点】求正切（型）函数的奇偶性、求余弦（型）函数的奇偶性、求正弦（型）函数的最小正周期、含绝对值的正弦函数的图象 【分析】利用三角函数的周期公式及奇偶性或图象逐项判断即可. 【详解】对于A选项，函数是最小正周期为的奇函数； 对于B选项，函数是最小正周期为的偶函数； 对于C选项，函数是最小正周期为的奇函数； 对于D选项，作出函数的图象如下图所示： 由图可知，函数是最小正周期为的偶函数. 故选：D. 3．D 【难度】0.94 【来源】甘肃省靖远县第二中学2024-2025学年高三上学期1月期末数学试题 【知识点】复数的除法运算、求复数的模 【分析】根据条件，利用复数的运算法则及模长的计算公式，即可求解. 【详解】因为，所以，所以. 故选：D. 4．A 【难度】0.94 【来源】广东省广州市海珠中学2021-2022学年高一下学期期中数学试题 【知识点】求投影向量 【分析】根据题意，结合向量投影向量公式直接计算即可. 【详解】设与的夹角为， 则向量在方向上的投影向量为 . 故选：A. 5．C 【难度】0.94 【来源】2024年全国普通高等学校运动训练、武术与民族传统体育专业单独招生考试数学试卷 【知识点】求点到直线的距离、已知方程求双曲线的渐近线 【分析】求出双曲线的焦点坐标及渐近线方程，再利用点到直线距离公式计算得解. 【详解】双曲线的半焦距，由对称性不妨取焦点， 该双曲线的渐近线，所以点到渐近线距离. 故选：C 6．B 【难度】0.94 【来源】四川省南充市2025届高三高考适应性考试（一诊）数学试卷 【知识点】圆锥表面积的有关计算、锥体体积的有关计算 【分析】运用圆锥侧面积、表面积、体积公式计算即可. 【详解】设底面半径为，高为，母线为，如图所示， 则圆锥的体积，所以，即， 又，即， 所以，则，解得， 所以圆锥的表面积为. 故选：B. 7．B 【难度】0.85 【来源】河北省唐县第一中学2021-2022学年高一下学期6月月考数学试题 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、正弦定理求外接圆半径 【分析】根据面积可求，再根据余弦定理可求，最后根据正弦定理求出外接圆半径. 【详解】由题设有，故，故， 由余弦定理可得， 故，故三角形外接圆的半径为， 故选：B. 8．B 【难度】0.65 【来源】江苏省启东中学2024-2025学年高一上学期第二次月考（12月）数学试题 【知识点】由对数函数的单调性解不等式、求二次函数的值域或最值 【分析】根据函数的定义域，比较和的两个根的大小， 即可讨论得，利用二次函数的性质即可求解最值. 【详解】由于，令，则，令则， 当时，取，则，此时，不符合， 当时，取，则，此时，不符合， 当时，此时，所以， 当，取等号，故的最大值为， 故选：B 9．AB 【难度】0.85 【来源】安徽省耀正优2024-2025学年高二上学期期末学情检测数学试题 【知识点】等比数列下标和性质及应用 【分析】由等比数列下标和的性质及已知得，再由即可求的可能值. 【详解】 ，， ，而，， 或4 . 故选：AB 10．ABD 【难度】0.85 【来源】重庆市部分学校2024-2025学年高二上学期12月联考数学试题 【知识点】根据焦点或准线写出抛物线的标准方程、与抛物线焦点弦有关的几何性质、利用焦半径公式解决直线与抛物线交点问题 【分析】对选项A，根据题意得到，即可判断A正确，对选项B，分别对直线斜率存在和不存在进行讨论，即可判断B正确，对选项C，根据焦点弦的公式即可判断C错误，对选项D，首先过分别向准线作垂线，垂足为，再结合抛物线的概念即可判断D正确. 【详解】对选项A，抛物线：的焦点到准线的距离是4， 所以，，故A正确. 对选项B，当直线的斜率不存在时，，所以， 当直线的斜率存在时，设， 得：，所以. 故B正确. 对选项C，，故C错误. 对选项D，如图所示：    过分别向准线作垂线，垂足为， 因为， 所以， 即：以为直径的圆与的准线相切，故D正确. 故选：ABD 11．AB 【难度】0.4 【来源】安徽省安庆市第一中学2023-2024学年高一上学期12月“三新”检测考试数学试题 【知识点】运用换底公式化简计算、对数函数的概念判断与求值、对数的运算 【分析】根据确定出，然后分类讨论，，，或时的结果，由此确定出的解析式.由对数的运算法则可判断A和B；根据小于梯形的面积可判断C；取特殊值可判断D. 【详解】由题意，所以. 当时，； 当时，； 当时，； 当或时，也成立. 综上所述，. 对于A，，， 所以，，故A正确； 对于B，， 因为，所以，故B正确； 对于C，如图， 因为， 所以， 即，故C错误； 对于D，取，则，故D错误. 故选：AB. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于根据和分类讨论确定的解析式. 12． 【难度】0.85 【来源】上海市南汇中学2023-2024学年高一上学期期末数学试卷 【知识点】由对数函数的单调性解不等式 【分析】根据在上单调递增求解即可. 【详解】设，则该函数在上单调递增， 因为，所以解不等式即， 所以. 故答案为： 13． / / 【难度】0.85 【来源】天津市西青区2024-2025学年高三上学期期末学业质量检测数学试卷 【知识点】计算古典概型问题的概率、计算条件概率 【分析】分别利用古典概型的概率和条件概率求解. 【详解】根据题意从3个红球和2个白球任取3个球，由种取法， 其中恰有一个白球的取法有种，其中恰有一个白球的概率是； 由题可知，“第一次摸到红球”为事件，“第二次摸到红球”为事件， 则，，所以. 故答案为：；. 14． 1 【难度】0.65 【来源】陕西省咸阳市彩虹中学2024-2025学年高三上学期12月月考数学试题 【知识点】求函数值、比较函数值的大小关系 【分析】利用赋值法可得，，进而根据条件③得均有，即可赋值求解. 【详解】在①中，令，得， 在②中，令，得， 在①中，令，得，所以； 在②中，令，得， 由③知，在上非严格单调递增， 又因为，所以均有． 注意到，因此， 于是 , 故答案为：1， 15．(1)，管理时间与土地使用面程线性相关. (2)认为村民的性别与参与管理的意愿有关. (3)分布列见解析， 【难度】0.85 【来源】河北省盐山中学2024-2025学年高二上学期12月月考（模块综合卷）数学试题 【知识点】相关系数的计算、二项分布的均值、卡方的计算 【分析】（1）根据表格数据和公式计算可得，由此可得结论； （2）根据已知数据可得列联表，计算可得，由此可得结论； （3）首先确定从该贫困县中随机抽取一位村民，取到不愿意参与管理的男性村民的概率，可知，由二项分布概率公式可计算得到每个取值对应的概率，由此可得分布列，根据数学期望计算公式可求得结果. 【详解】（1）由题知，， ， ， ， ， 则 ， 故管理时间与土地使用面程线性相关. （2）依题意，完蟙表格如下： 单位：人 愿意参与管理 不愿意参与管理 合计 男性村民 150 50 200 女性村民 50 50 100 合计 200 100 300 零假设为：村民的性别与参与管理的意愿无关. 计算可得. 依据的独立性检验，推断不成立，即认为村民的性别与参与管理的意愿有关. （3）法一：依题意，的可能取值为，从该县中随机抽取一位村民，取到不愿意参与管理的男性村民的概率为， 故， 故的分布列为 0 1 2 3 则数学期望. 法二：依题意，从该县中随机抽取一位村民，取到不愿意参与管理的男性村民的概率为， 则，故. 16．(1)证明见解析； (2). 【难度】0.4 【来源】专题07 数列02（期末复习知识清单）高二数学上学期沪教版选择性必修第一册 【知识点】裂项相消法求和、求等比数列前n项和、由递推关系证明等比数列 【分析】（1）由，取，结合可求，结合关系当时，可得，变形为，结合，即可得出，结合等比数列证明结论； （2）由（1）可得，结合关系可得，所以，利用裂项相消法求数列的前项和； 【详解】（1）因为数列的前项之积为，满足， 所以当时，，解得． 当时，，化为， 变形为， 又，所以，又， 所以当，且时，， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列. （2）由（1）知， 所以，所以， 所以， 故， 所以 ， 所以数列的前项和为. 17．(1)证明见解析 (2) 【难度】0.65 【来源】四川省成都市都江堰市青城山高级中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题 【知识点】点到平面距离的向量求法、面面角的向量求法、证明线面垂直 【分析】（1）利用余弦定理及勾股定理得，，然后利用线面垂直的判定定理证明即可； （2）设为的中点，利用面面垂直的性质定理可得平面，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用点面距离的向量公式求得的位置，然后求出平面和平面的法向量，利用向量法求解平面夹角的余弦值即可. 【详解】（1）连接，在中，∵，， ∴， 在中，∵，∴， 同理可得，∵，平面， ∴平面； （2）设为的中点，∴， ∵平面，平面，∴平面平面， 又∵平面平面，平面， ∴平面，∴以点为坐标原点，为轴，为轴， 过点且平行于的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， ∴，，，，，， ∴， 设平面的法向量为， ∵，， 取，∴， ∴设， ∵，∴， 设点到平面的距离为， ∴，∴， ∴是线段上靠近点的三等分点，易求平面的法向量为， 设平面的法向量为， ∵，， 取，∴， 设平面与平面所成的角为， ∴． 18．(1)； (2)过定点，. 【难度】0.65 【来源】山西省名校2024-2025学年高二上学期1月期末联考数学试题 【知识点】根据韦达定理求参数、椭圆中的直线过定点问题、根据椭圆过的点求标准方程 【分析】（1）根据已知条件代入求得，由此求得椭圆的方程. （2）设出直线的方程并与椭圆的方程联立，化简写出根与系数关系，结合直线的方程求得定点坐标. 【详解】（1）依题意，，由点在椭圆上，得，解得， 所以椭圆的方程为. （2）依题意，直线的斜率不为零，设直线的方程为，，则， 由消去整理得， 则，直线的方程为， 由椭圆的对称性知，若存在符合条件的定点，则该定点一定在轴上， 令，得 ， 所以直线过定点. 19．(1)，单调递减区间为，单调递增区间为； (2) (3)证明见解析 【难度】0.4 【来源】2020届天津市高三上学期期末六校联考数学试题 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数证明不等式 【分析】（1）求出函数的导数，求出，即可得到切线方程，解得到单调递增区间，解得到单调递减区间，需注意在定义域范围内； （2）等价于，求导分析的单调性，即可求出的最大整数解； （3）由，求出导函数分析其极值点与单调性，构造函数即可证明. 【详解】（1）因为，所以定义域为，且， 从而，又，所以切线方程为即； ，令解得，令解得， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为. （2）对，有恒成立， 等价于恒成立， 等价于恒成立， 等价于恒成立，记，则， 则，记，因为， 所以为上的递增函数， 又，，所以，使得， 即， 所以在上递减，在上递增，且； 所以的最大整数解为. （3）由题意，则， 令得，当，，当时，； 所以在上单调递减，上单调递增， 而要使有两个零点，要满足， 即； 因为，，令 ， 由，所以，即， 所以， 而要证，只需证，即证：， 即：，由，只需证：， 令，则 令，则 ， 故在上递增，； 故在上递增，；所以. 【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： （1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； （2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． （3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 答案第14页，共15页 答案第15页，共15页 学科网（北京）股份有限公司 $ 楚雄一中2026届高三上学期1月月考 数学 一、单选题 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．下列函数中，最小正周期为的偶函数是（    ） A． B． C． D． 3．若复数满足，则（    ） A． B． C． D． 4．已知，，，则向量在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 5．双曲线的焦点到渐近线的距离为（    ） A．10 B．8 C．6 D． 6．已知一个圆锥的体积为，其侧面积是底面积的2倍，则其表面积为（    ） A． B． C． D． 7．在中，若，，三角形的面积，则三角形外接圆的半径为（   ） A． B．2 C． D． 8．设函数，若对任意都有，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D．2 二、多选题 9．记等比数列的前n项积为，且，，若，则的可能取值为（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 10．已知抛物线：的焦点到准线的距离是4，直线过它的焦点且与交于，两点，为弦的中点，则下列说法正确的是（   ） A．抛物线的焦点坐标是 B． C．若，则 D．若以为圆心的圆与的准线相切，则是该圆的一条直径 11．对于任意两个正数，记曲线与直线，，轴围成的曲边梯形的面积为，并约定和，德国数学家莱布尼茨（Leibniz）最早发现.关于，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．不等式的解为______. 13．袋子中有大小相同的3个红球和2个白球.若从袋子中摸出3个球，则恰有一个白球的概率是__________；若每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回，记“第一次摸到红球”为事件，“第二次摸到红球”为事件，则__________. 14．定义在上的函数满足：①；②；③，则__________，__________. 四、解答题 15．某县承包了一块土地，已知土地的使用面积与相应的管理时间的关系如下表所示： 土地使用面积亩 1 2 3 4 5 管理时间月 8 10 13 25 24 并调查了某村300位村民参与管理的意愿，得到的部分数据如下表所示： 单位：人 愿意参与管理 不愿意参与管理 合计 男性村民 150 50 女性村民 50 合计 (1)求出样本相关系数的大小，并判断管理时间与土地使用面积是否线性相关（当时，即可认为线性相关）； (2)依据的独立性检验，分析村民的性别与参与管理的意愿是否有关； (3)以该村村民的性别与参与管理意愿的情况估计该县的情况，从该县中任取3人，记取到不愿意参与管理的男性村民的人数为，求的分布列及数学期望. 参考公式：，其中. 临界值表： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 参考数据：. 16．设数列的前项积为，满足. (1)设，求证：数列是等比数列； (2)设数列满足，求数列的前项和. 17．在平行四边形中（如图1），，为的中点，将等边沿折起，连接，，且（如图2） (1)求证：平面； (2)点在线段上，若点到平面的距离为，求平面与平面所成角的余弦值． 18．已知椭圆C：上一点到两焦点的距离之和为． (1)求椭圆C的方程． (2)不经过点的直线l与x轴垂直，与椭圆C交于A，B两点，若直线BQ与椭圆C的另一交点为D，则直线AD是否过定点？若过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由． 19．已知， (1)求在处的切线方程以及的单调性； (2)对，有恒成立，求的最大整数解； (3)令，若有两个零点分别为且为的唯一的极值点，求证：. 试卷第4页，共4页 试卷第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 答案第14页，共15页 答案第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $