精品解析：云南省楚雄彝族自治州民族中学2025-2026学年高三上学期11月月考数学试题

楚雄州民族中学高三年级11月月考 数学试题 本试卷共4页，19题．全卷满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据补集运算的定义，即可得答案. 【详解】因为， 所以. 故选：A 2. 已知等差数列中，，则（    ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据等差数列的通项公式把已知条件转化为关于首项和公差的关系式，即可求解． 【详解】数列是等差数列，设首项是，公差是，则， 又， ， ． 故选：C． 3. 由点向圆引切线，则切线长为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出，利用切线长公式求出结果. 【详解】圆的圆心为，半径为， ，点在圆外， 则切线长为. 故选：C. 4. 名句“欲穷千里目，更上一层楼”（想看得远就得上高楼，但上了高楼可能起大雾，不一定看的远），由此推断，“更上一层楼”是“穷千里目”的（ ） A. 既不充分也不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 充分不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】结合充分条件与必要条件定义判断即可得. 【详解】由题意可得“更上一层楼”不一定“穷千里目”， 但“穷千里目”一定需要“更上一层楼”， 故“更上一层楼”是“穷千里目”的必要不充分条件. 故选：B. 5. 下列比较大小中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据换底公式及对数函数的性质判断A，根据幂函数的性质判断B、D，根据中间量判断C. 【详解】对于A：因为，， 又，所以，所以，故A错误； 对于B：因为在上单调递减，，所以，故B错误； 对于C：因为，，所以，故C错误； 对于D：因为，又在上单调递增， 所以，即，故D正确； 故选：D 6. 若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出函数的导数，问题转化为在有解，进而求函数的最值，即可求出的范围. 【详解】∵， ∴， 若在区间内存在单调递增区间，则有解， 故， 令，则在单调递增， ， 故. 故选：D. 7. 已知定义在上的奇函数满足，当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】推导出函数是周期为周期函数，求出、、、的值，即可得解. 【详解】由得， 所以函数是周期为的周期函数， 又是奇函数，所以，，，， 所以， 所以， 故选：D． 8. 若函数在上恰有3个极值点，则取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由可得，且，结合余弦函数的极值点分析可得的极值点对应的取或，进而列不等式组求解即可. 【详解】由，所以， 显然， 由于的极值点为， 所以的极值点对应的取或， 所以或，解得， 则的取值范围是. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若，则（ ） A. B. C. D. 在复平面内对应的点在第一象限 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据复数的除法计算可得，根据复数减法运算可判断A；根据复数模的公式计算可判断B；根据复数乘法运算可判断C；根据复数的几何意义可判断D. 【详解】由题意可得， 对于A，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，在复平面内对应的点为，在第四象限，故D错误. 故选：ABC 10. 已知抛物线的焦点为F，A，B是抛物线上两动点，下列说法正确的有（ ） A. 抛物线的焦点坐标为 B. 若，则线段AB的中点到轴的距离为3 C. 以线段为直径的圆与轴相切 D. 以为圆心，线段的长为半径的圆与准线相切 【答案】BCD 【解析】 【分析】由抛物线的标准方程可判断A，由抛物线的焦点弦公式可判断B，由抛物线的定义计算圆心到直线的距离等于半径可判断C和D. 【详解】对于A，抛物线的准线方程为，焦点为，故A错误． 对于B，设点，由抛物线的定义可得， 可得，所以线段中点到轴的距离为，故B正确． 对于C，因的中点为 该点到轴的距离为， 故以线段为直径的圆与轴相切，故C正确． 对于D，因，故以为圆心，线段的长为半径的圆与准线相切，即D正确． 故选：BCD. 11. 在正三棱柱中，各棱长均为1，D为BC的中点，则（ ） A. B. 平面 C. D. 三棱柱外接球表面积为 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，由条件分别证明，，由线线垂直证明平面，再由线面垂直的性质即可证得；对于B，假设平面，由此推出，结合条件证得平面，由此得到，产生矛盾，排除B；对于C，结合锥体体积公式推出，由此可求体积，排除C；设为的外心，为的外心，为的中点，说明为三棱柱外接球球心，求出外接球的半径，即得外接球的表面积. 【详解】对于A，因为多面体为正三棱柱， 则平面， 因平面，故， 又因正三棱柱的各棱长均为1，D为BC的中点，则， 因平面，故平面， 又平面，故，故A正确； 对于B，假设平面，平面，则， 又，，平面， 所以平面，又平面，所以， 这与为等边三角形矛盾，故B错误； 对于C，因为的面积与的面积相等，且两三角形同在平面中， 故三棱锥的体积等于三棱锥的体积， 即， 又，，，C错误； 对于D，设为的外心，为的外心，为的中点， 则与两底面垂直，因，， 故，即为三棱柱外接球的球心， 又，，故， 即外接球的半径，故外接球表面积，D正确. 故选：AD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若是幂函数，则的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据幂函数的定义即可求得函数解析式，进而求解函数值. 【详解】因为是幂函数， 所以，即， 所以. 故答案为： 13. 已知，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用差角的正弦公式化简求出，再利用二倍角的正弦公式及齐次式法求解. 【详解】由，得，解得， 所以. 故答案为： 14. 若对项数为的数列中的任意一项，也是该数列中的一项，则称这样的数列为“可倒数数列”.已知正项等比数列是“可倒数数列”，其公比为，所有项和为，写出一个符合题意的的值____________. 【答案】或（答案不唯一） 【解析】 【分析】由题意依次得出，，进一步结合已知列方程求出即可. 【详解】已知正项等比数列是“可倒数数列”， 首先， 若，结合，解得，此时，但不在这5个数中，矛盾，故， 则若，则也在数列中，若在数列中，则（且）也在数列中， 因为正项等比数列是“可倒数数列”， 所以数列严格单调，而， 所以只能， （否则，不妨设，那么或一定有三个数小于1，而他们的倒数都大于1，这必定导致有一个数的倒数不在中）， 从而，所以， 解得或（舍去）， 所以解得或. 故答案为：或（答案不唯一）. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，内角的对边分别为，已知． （1）若，求； （2）若，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理列式计算即可； （2）由余弦定理可得，根据三角形面积公式计算即可求解. 【小问1详解】 由正弦定理得， 所以； 小问2详解】 由余弦定理得，， 因为， 所以，所以． 所以的面积为． 16. 如图，在直三棱柱中，点是线段上的中点，点，是侧棱上的动点. （1）若，请证明：平面； （2）若，，，，求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的判定定理和性质，结合线面平行的判定定理进行证明即可； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可. 【小问1详解】 如图，取上的中点，连接，. ，分别是和的中点，且. 又，且， 四边形是平行四边形，. 平面，平面.平面. 【小问2详解】 由题意得平面且， 因此以点为原点，，，为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系. 由题易知，平面，所以为平面的法向量. 设平面的法向量为，根据所建立的空间直角坐标系， 可知，，， 有，. 令，则，， 即平面的法向量为. 设平面与平面的夹角为， 则有 17. 已知椭圆，的左、右焦点分别为、，过点的直线与椭圆交于，两点，是的中点. （1）若，求直线的斜率； （2）求面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设的方程为，与椭圆方程联立，然后利用向量垂直的坐标运算求得，即可得解. （2）求出点的纵坐标，进而可得的面积，然后利用基本不等式求解最值即可. 【小问1详解】 由题意可得直线的斜率不为0，设的方程为. 由，消得，， 设，，则，， 则， ， ，， 因为，所以， 即，所以， 即，整理得到，解得. 所以直线的斜率为. 【小问2详解】 由（1）得，所以的中点的纵坐标为， 所以的面积，当且仅当时，等号成立， 所以的面积最大值为. 18. 在一套高中数学试卷中有三道多选题，且每题有4个选项，至少2个正确选项，不会出现4个正确选项，全部选对得6分，选错得0分.若正确答案有2个选项，选对1个得3分；若有3个选项，选对1个得2分，选对2个得4分.已知每道多选题的正确选项为2个与3个的概率都是，学生甲在做第三道多选题时不能确定任何选项的正误. （1）若学生甲做第三道多选题时随机选择3个选项，求他得6分的概率； （2）学生甲做第三道多选题时随机选择1个选项的得分记为，随机选择2个选项的得分记为，试比较，的大小. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件概率公式即可求解. （2）先得到的可能取值，再根据古典概率公式，全概率公式计算出各个取值对应的概率，最后根据数学期望公式计算即可. 【小问1详解】 设学生甲做第三道多选题时随机选择3个选项，得6分为事件， 得6分当且仅当正确选项为3个且学生恰好选中这3个.正确选项为3个的概率为， 在此情况下，从4个选项中随机选择3个，选对的概率为，故所求概率. 【小问2详解】 由题意的可能取值为，， ，， 所以， 的可能取值为，， ，， 所以， 故. 19. 已知函数的定义域为，若在上单调递增，则称为“强增函数”. （1）若是“强增函数”，求的取值范围； （2）已知，请判断的导数在上的单调性，并说明理由 （3）已知，，，.证明：. 参考结论：当时，. 【答案】（1） （2）在上单调递增；理由见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导，根据定义可将问题转化为恒成立，即可利用二次式的性质求解； （2）构造函数，，, 利用导数可得在上单调递增； （3）令，结合（2）根据函数单调性证明即可. 【小问1详解】 设，则， 由题意可知在上恒成立， 故在上恒成立，即在上恒成立， 故，解得； 【小问2详解】 ，令， 则， 设，则， 则当时，在区间上单调递减， 当时，在区间上单调递增， 故，故当且仅当时取等号， 设， 当在区间上单调递增， 当在区间上单调递减， 所以，故， 所以，即， 所以即在上单调递增； 【小问3详解】 令，则， 又单调递增，所以，则在上单调递增， 又当所以时，， 所以，即，所以， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 楚雄州民族中学高三年级11月月考 数学试题 本试卷共4页，19题．全卷满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知等差数列中，，则（    ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 3. 由点向圆引切线，则切线长为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 4. 名句“欲穷千里目，更上一层楼”（想看得远就得上高楼，但上了高楼可能起大雾，不一定看的远），由此推断，“更上一层楼”是“穷千里目”的（ ） A 既不充分也不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 充分不必要条件 5. 下列比较大小中正确的是（ ） A. B. C D. 6. 若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知定义在上的奇函数满足，当时，，则（ ） A. B. C. D. 8. 若函数在上恰有3个极值点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若，则（ ） A. B. C. D. 在复平面内对应的点在第一象限 10. 已知抛物线焦点为F，A，B是抛物线上两动点，下列说法正确的有（ ） A. 抛物线的焦点坐标为 B. 若，则线段AB的中点到轴的距离为3 C. 以线段为直径的圆与轴相切 D. 以为圆心，线段的长为半径的圆与准线相切 11. 在正三棱柱中，各棱长均为1，D为BC的中点，则（ ） A. B. 平面 C. D. 三棱柱外接球表面积 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若是幂函数，则的值为__________. 13. 已知，则___________． 14. 若对项数为的数列中的任意一项，也是该数列中的一项，则称这样的数列为“可倒数数列”.已知正项等比数列是“可倒数数列”，其公比为，所有项和为，写出一个符合题意的的值____________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，内角的对边分别为，已知． （1）若，求； （2）若，求的面积． 16. 如图，在直三棱柱中，点是线段上的中点，点，是侧棱上的动点. （1）若，请证明：平面； （2）若，，，，求平面与平面的夹角的余弦值. 17. 已知椭圆，的左、右焦点分别为、，过点的直线与椭圆交于，两点，是的中点. （1）若，求直线的斜率； （2）求面积的最大值. 18. 在一套高中数学试卷中有三道多选题，且每题有4个选项，至少2个正确选项，不会出现4个正确选项，全部选对得6分，选错得0分.若正确答案有2个选项，选对1个得3分；若有3个选项，选对1个得2分，选对2个得4分.已知每道多选题正确选项为2个与3个的概率都是，学生甲在做第三道多选题时不能确定任何选项的正误. （1）若学生甲做第三道多选题时随机选择3个选项，求他得6分的概率； （2）学生甲做第三道多选题时随机选择1个选项的得分记为，随机选择2个选项的得分记为，试比较，的大小. 19. 已知函数的定义域为，若在上单调递增，则称为“强增函数”. （1）若是“强增函数”，求的取值范围； （2）已知，请判断的导数在上的单调性，并说明理由 （3）已知，，，.证明：. 参考结论：当时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $