精品解析：山东日照市2026届高三下学期一轮模拟考试数学试题

2023级高三模拟考试 数学 2026.03 考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束，将试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由化简可得， 又 ，故 . 2. 设复数 满足，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的四则运算计算即可. 【详解】由题意得， 故 . 故选：A. 3. 若向量，记，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据向量数量积的坐标运算公式得，再代入余弦的倍角公式即得. 【详解】因为，所以， 所以. 4. 已知空间中三条直线 与平面分别交于不同的三点 ，则“三点共线”是“直线 共面”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】举反例可说明充分性不成立，利用两平面有公共点，则公共点在两平面的交线上可说明必要性成立. 【详解】如图所示，空间中三条直线 与平面分别交于不同的三点 ， 且三点共线，但直线 不共面， 所以“三点共线”是“直线 共面”的不充分条件； 若直线 共面，设其为，则 均在平面内，也在平面内， 则 在平面与的交线上，所以 三点共线， 所以“三点共线”是“直线 共面”的必要条件； 所以“三点共线”是“直线 共面”的必要不充分条件. 故选：B. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用指数函数单调性判断A，利用基本不等式判断B，利用作差法即可求解BD. 【详解】由可得 对于A，由于，函数为单调递增函数，故 ，故A错误， 对于B， ，由于，故， 故，则，故B错误， 对于C，由于故 ，故C错误， 对于D， ，由于得，故. 6. 某校食堂新供应了四种不同的午餐套餐，小王同学计划周一到周五都从新供应的四种套餐中选择一种就餐，且在这五天里将这四种套餐都尝一遍，则不同的方案共有（ ） A. 120种 B. 144种 C. 240种 D. 288种 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得，小王同学有两天吃同一种套餐，先从5天中选出两天吃同一种套餐，将这两天视为一个整体，然后将4种不同的套餐安排在这两天和另外3天中，即可求解. 【详解】由题意可得，小王同学有两天吃同一种套餐，先从5天中选出两天吃同一种套餐， 然后将4种不同的套餐安排在这两天和另外3天中，则不同的方案共有种. 故选：C. 7. 已知正方体的棱长为，圆锥在正方体内，且垂直于圆锥的底面，则该圆锥底面半径的最大值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】由垂直于圆锥的底面，得当圆锥的底面内切于正方体中与体对角线垂直的最大截面时，此时圆锥的底面积最大，半径也达到最大值. 【详解】如图所示，取的中点，记为，易知六边形为正六边形，且， 又因为垂直于圆锥的底面， 所以当圆锥底面内切于正六边形时，圆锥的底面积最大，此时半径也达到最大值，且的中点 在正六边形的中心，设此时圆锥的半径为 ， 因为， 所以， 所以. 【点睛】抓住“垂直于体对角线的最大截面是正六边形”这一核心结论，将圆锥底面半径的最大值转化为正六边形的内切圆半径进行计算. 8. 作为人工智能的核心领域，机器学习致力于让机器从数据中学习．在该领域中，如何度量样本间的相似性是一个基础问题，通常通过计算它们之间的“距离”来实现，闵氏距离便是多种距离度量中的一种基础且重要的形式．设两组数据分别为和，则这两组数据间的闵氏距离，其中表示阶数．若，则的最小值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】先根据题意将表示出来，再根据绝对值的几何意义，将其最小值用表示为，最后利用导数求出其最小值即可. 【详解】由题知，，令， 根据绝对值的几何意义可知，表示数轴上到的距离，表示数轴上到的距离， 所以可以表示为数轴上所对应的点到数轴上与所对应的点的距离的和. 由数轴上两点间距离的性质可知，当位于和之间时，取得最小值，即， 令，则，令，解得， 当时，，当时，， 则函数在 上单调递减，在 上单调递增. 故在处取得极小值也是最小值，， 故，即， 所以的最小值为1. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 数据，，，，，的分位数为 B. 若随机变量，且，则 C. 通过样本数据得到的回归直线一定经过点 D. 在独立性检验中，的观测值越小，“认为两个变量有关”这种判断犯错误的概率越小 【答案】AC 【解析】 【详解】A选项：由，可知数据的分位数为从小到大排列的第二个数，即为； B选项：由正态分布的对称性可知，， 即，解得，B选项错误； C选项：由回归方程的性质可知直线恒过样本中心，C选项正确； D选项：在独立性检验中，的观测值越大，“认为两个变量有关”这种判断犯错误的概率越小，D选项错误. 10. 已知是各项均为正数的等差数列，且公差，是各项均为正数的等比数列，且公比 ，若项数均为 项（），下列说法正确的有（ ） A. 数据的平均数是 B. 数据的平均数是 C. 若，则数据的中位数大于数据的中位数 D. 若，则数据的平均数大于数据的平均数 【答案】ACD 【解析】 【分析】求出数据的平均数可判断A选项：举例可判断B选项；求出、的中位数可判断C选项；作差可判断D选项. 【详解】对于A选项,设的前项和为， 所以数据的平均数是，故A选项正确： 对于B选项，当 时，取为2，4，8， 平均数为，故B选项错误； 对于C选项，的中位数是，的中位数 是，故C选项正确； 对于D选项，当时， 由，且等号当且仅当 时成立， 故的前 项和比的前 项和大，平均值亦然，D选项正确. 故选：ACD. 11. 对于函数，下列说法正确的是（ ） A. 曲线关于直线对称 B. C. D. 记的最小值为，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据三角恒等变换化简及三角函数值域可判断ABC选项，再利用换元法设，构造函数，根据导数判断函数单调性，可得，再根据函数恒成立，可判断D选项. 【详解】A选项：由已知， 令， ，则， ， 当 时，，即曲线关于直线对称，A选项正确； B选项：， 所以由，得，B选项错误； C选项：当时，， 又恒成立，即，且， 则，C选项正确； D选项：时，的最小值为， 时，设，则，， 则，， 又，易知函数在上单调递减， 且当时，， 即当时，，，即，； 当时，，，即，； 即函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数，即， 时也符合上式，所以， 令，，， 所以在上单调递减，且， 所以， 所以，D选项正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 等差数列的公差为2，若，，成等比数列，则 ______． 【答案】4 【解析】 【分析】由题意可以得到，进而将式子化为基本量解出答案即可. 【详解】由题意，. 故答案为：4. 13. 已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，若椭圆与抛物线在第一象限的交点为且，则椭圆的离心率为___________． 【答案】 【解析】 【分析】先由焦点可得 ， ，进而可得，再由椭圆的定义可得椭圆的长轴，从而可得离心率的值. 【详解】由焦点，得 ， ，所以抛物线的方程为 ，准线为.又由，得，所以， 设椭圆的左焦点为，有，故，则， 可得离心率为. 14. 已知集合，从集合中随机抽取一个数记为，再从中随机抽取一个数记为，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】可能的取值为，根据条件概率和全概率公式可求取相应值时概率，再根据期望公式即可求期望. 【详解】可能的取值为，由全概率公式有： ， 故 . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数依次为1、2、3、4、5，现从一批该日用品中随机抽取20件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下： 1 2 3 4 5 （1）若所抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，等级系数为5的恰有2件，求a、b、c的值； （2）在（1）的条件下，将等级系数为4的3件日用品记为、、，等级系数为5的2件日用品记为、，现从、、、、这5件日用品中任取两件（假定每件日用品被取出的可能性相同），写出所有可能的结果，并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率． 【答案】（1） ，， （2） 所有可能得结果有： ，，，，，，，，， 概率为． 【解析】 【分析】（1）根据频率和频数的关系可求的值，根据频率和为可求的值. （2）用列举法写出所有的可能性，再结合古典概型公式求解即可. 【小问1详解】 因为等级系数为4的恰有3件，所以； 等级系数为5的恰有2件，所以； 因为，所以 . 故 ，，. 【小问2详解】 从、、、、这5件日用品中任取两件，所有可能得结果有： ，，，，，，，，，共10种情况. 这两件日用品的等级系数恰好相等的结果有：，，，，共4个. 因为每种结果出现的可能性相同，所以这两件日用品的等级系数恰好相等的概率为：. 16. 双曲线的左、右焦点分别为，直线过且与双曲线交于两点．当直线的倾斜角为时， 是等边三角形． （1）求双曲线的标准方程； （2）求证：为定值． 【答案】（1） （2）由（1）得，即 ，分两种情况讨论： ① 当直线斜率不存在时，此时 的方程为，代入双曲线得 ， 即过 ，则 ， ② 当直线斜率存在时，设直线 ，不妨设 ， 联立直线和双曲线方程，消去得 ． 由韦达定理：， 计算可得 ， 代入韦达定理，结果化简得：， ， 综上，无论直线 斜率是否存在，为定值-1. 【解析】 【分析】（1）根据双曲线性质和等边三角形特点，结合勾股定理求出和，从而求出标准方程 （2）分斜率存在和不存在两种情况，分别计算，并验证是否为定值. 【小问1详解】 设双曲线 的焦距为 ，则可得 ， 当 的倾斜角为时，不妨设 ，如下图所示： 将点 代入 可得 ， 又 ， 解得， 由 是等边三角形可得 ， 即，联立解得或（舍）； 所以可得， 故双曲线的标准方程为 . 【小问2详解】 略 17. 在中，角 的对边分别为 ，若． （1）求的大小； （2）如图所示，为外一点，，，，求 外接圆的半径． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理边角互化，和差角公式以及辅助角公式即可求解； （2）利用三角形的内角和关系，结合正弦定理解三角形，即可求得. 【小问1详解】 由和正弦定理，得， 因，则， 代入化简得 ，即， 则， ，解得. 【小问2详解】 令，， 在 中，由正弦定理得，， 因，则①. 在中，由正弦定理得，, 因,则②, 由①②得，,即， 因为，则得，解得， ， 设 外接圆的半径， 由正弦定理，. 18. 已知四棱锥 的底面为平行四边形， ， 分别是 的中点，二面角 为直二面角． （1）证明： ； （2）设直线与平面 所成角为，且，求的取值范围； （3）与两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线．已知点为线段的中点， 分别在线段 上（不包含端点），且为 的公垂线，如图所示，记四面体 的内切球半径为 ，证明：． 【答案】（1）由题意知， 又因为 是的中点，所以 ， 又因为，所以 ， 又平面 平面，平面 平面 平面， 所以 平面 ， 又平面 ，所以 . （2） （3）设是四面体的表面积，则 ， 令 与面 所成角为， 则 ， 因为是公垂线，上的点和 上的点的最短距离是，（取不到等号）， 则，又因为 ， ， 所以 . . 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的性质定理，判定线面垂直，进而得到线线垂直，证明命题即可； （2）根据几何体的性质，建立空间直角坐标系，设出点的坐标，求出直线方向向量和面的法向量，进而求出线面角的正弦值的代数式，列出不等式，求出参数范围即可； （3）根据等体积法，求出四面体 的内切球半径与四面体表面积之间的关系，再根据三角形正弦面积公式，列出不等式，证明结果即可； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在平面 内作 的垂线作为 轴，所以 轴， 如图以为坐标原点，分别以 为 轴正半轴建立空间直角坐标系： 因为 ，设 ， 所以 ， 则 ， 所以 ， ． 设平面 的法向量， 得， 取 ， ， 解得 ． 所以长度的取值范围为 . 【小问3详解】 略 19. 设函数． （1）求曲线 在处的切线方程； （2）若函数在区间上单调递增，求的最大值； （3）已知数列满足： ①；②且． 设，求证：． 注：． 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求解； （2）利用端点效应，得到，再证明时，在上恒成立，得到答案； （3）令，设，所以，，故，故为等差数列，故，故，，由（2）知，，，故，求出，所以. 【小问1详解】 故， 又， 故曲线 在处的切线方程为； 【小问2详解】 由题意，对任意恒成立， 则，令， 则， 令， 则，其中， 令 ，即，解得， 下面证明时，在上恒成立， 令，注意到， 则，注意到， 令，则， 其中在上恒成立，令， 故，故在上单调递减， 其中，故在上恒成立， 故在上恒成立， 故在上恒成立， 故在上单调递增， 故，故在上单调递增， ，故，所以． 下面证明时，在上不成立， 若，使得时，在单调递减， 所以当时，，即在单调递减， 所以时， 故在上不成立． 综上所述，的最大值为. 【小问3详解】 令，则， 均大于0，设， 因为， 所以， 若，上式不成立，所以， 由于在上单调递增， 故， 故为等差数列，首项和公差均为，故， 故， 由（2）当时，在 上恒成立， 所以在 上单调递增，由于 ，所以在 上恒成立， 即，所以， 所以， 因为，所以， 所以， 所以 ，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023级高三模拟考试 数学 2026.03 考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束，将试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设复数满足，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3. 若向量，记，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知空间中三条直线 与平面分别交于不同的三点 ，则“三点共线”是“直线 共面”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 某校食堂新供应了四种不同的午餐套餐，小王同学计划周一到周五都从新供应的四种套餐中选择一种就餐，且在这五天里将这四种套餐都尝一遍，则不同的方案共有（ ） A. 120种 B. 144种 C. 240种 D. 288种 7. 已知正方体的棱长为，圆锥在正方体内，且垂直于圆锥的底面，则该圆锥底面半径的最大值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 8. 作为人工智能的核心领域，机器学习致力于让机器从数据中学习．在该领域中，如何度量样本间的相似性是一个基础问题，通常通过计算它们之间的“距离”来实现，闵氏距离便是多种距离度量中的一种基础且重要的形式．设两组数据分别为和，则这两组数据间的闵氏距离，其中表示阶数．若，则的最小值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 数据，，，，，的分位数为 B. 若随机变量，且，则 C. 通过样本数据得到的回归直线一定经过点 D. 在独立性检验中，的观测值越小，“认为两个变量有关”这种判断犯错误的概率越小 10. 已知是各项均为正数的等差数列，且公差，是各项均为正数的等比数列，且公比 ，若项数均为 项（），下列说法正确的有（ ） A. 数据的平均数是 B. 数据的平均数是 C. 若，则数据的中位数大于数据的中位数 D. 若，则数据的平均数大于数据的平均数 11. 对于函数，下列说法正确的是（ ） A. 曲线关于直线对称 B. C. D. 记的最小值为，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 等差数列的公差为2，若，，成等比数列，则 ______． 13. 已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，若椭圆与抛物线在第一象限的交点为且，则椭圆的离心率为___________． 14. 已知集合，从集合中随机抽取一个数记为 ，再从中随机抽取一个数记为 ，则___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数 依次为1、2、3、4、5，现从一批该日用品中随机抽取20件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下： 1 2 3 4 5 （1）若所抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，等级系数为5的恰有2件，求a、b、c的值； （2）在（1）的条件下，将等级系数为4的3件日用品记为、、，等级系数为5的2件日用品记为、，现从、、、、这5件日用品中任取两件（假定每件日用品被取出的可能性相同），写出所有可能的结果，并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率． 16. 双曲线的左、右焦点分别为，直线 过且与双曲线交于两点．当直线 的倾斜角为时， 是等边三角形． （1）求双曲线的标准方程； （2）求证：为定值． 17. 在 中，角 的对边分别为 ，若． （1）求的大小； （2）如图所示，为 外一点，，，，求 外接圆的半径． 18. 已知四棱锥 的底面为平行四边形， ， 分别是 的中点，二面角 为直二面角． （1）证明： ； （2）设直线与平面 所成角为，且，求的取值范围； （3）与两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线．已知点为线段的中点， 分别在线段 上（不包含端点），且 为 的公垂线，如图所示，记四面体 的内切球半径为 ，证明：． 19. 设函数． （1）求曲线 在 处的切线方程； （2）若函数在区间上单调递增，求的最大值； （3）已知数列满足： ①；②且． 设，求证：． 注：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $