浙江省杭州学军中学2025-2026学年高一下学期数学周末练1

《杭州学军中学2025学年高一（下）数学周末练1》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D A C D B B D ABD AC 题号 11 答案 AB 1．D 【分析】对于A选项，共线的两个单位向量的方向可能相反，对于B选项，考虑即可判断，对于C选项，直线与可能重合，对于D选项，考虑向量，共线即可判断. 【详解】选项A：共线的两个单位向量的方向可能相反，故A错误； 选项B：，不一定有，故B错误； 选项C：直线与可能共线，故C错误； 选项D：若向量，共线，则与可能平行， 此时A，B，C，D四点不共线，故D正确． 故选：D. 2．D 【分析】运用向量平行垂直的坐标结论，结合模长公式计算判断即可. 【详解】对于A选项，若，已知， 有，即，所以，A选项错误. 对于B选项，若，根据两向量垂直的性质，. ，则. 又因为，联立方程组，解得，B选项错误. 对于C选项，先求的坐标，. 则. 展开整理得. 其最小值为.所以的最小值为，C选项错误. 对于D选项，若与垂直，则，. 因，，则. 则，D选项正确. 故选：D. 3．A 【分析】在和中，利用余弦定理建立方程，求解即可. 【详解】在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， 相加得，又，解得， 故选：A 4．C 【分析】利用正弦定理结合余弦定理可求得的值，由可求得角的值，利用正弦定理求出的值，然后利用余弦定理结合基本不等式可求得的最大值，再结合题干中的三角形面积公式即可得出面积的最大值. 【详解】因为，由正弦定理可得，① 由余弦定理可得，因为，则， 又因为的外接圆的半径为，则， 由①可得，当且仅当时，等号成立， 所以，， 当且仅当时，等号成立， 因此，面积的最大值为. 故选：C. 5．D 【分析】利用余弦定理将化简为，从而可求解. 【详解】由，得， 由余弦定理得，化简得， 当时，即，则为直角三角形； 当时，得，则为等腰三角形； 综上：为等腰或直角三角形，故D正确. 故选：D. 6．B 【分析】设，根据复数相等的概念结合题目条件列方程组可得结果. 【详解】由，得， 设，则, ∴， ∴，解得，， ∴. 故选：B. 7．B 【分析】由条件可得，然后可得，然后结合余弦定理可得答案. 【详解】因为，所以得， 又因为，所以，进而有， 因为，所以，由正弦定理得， 又，消，可得，所以， 故选：B. 8．D 【分析】把已知向量等式变形可得取AB中点H，BC中点G，连接GH，则，即，取GH中点K，延长KG到O，使，则O 为所求点，然后求解三角形得答案． 【详解】如图，由，得， 即，取BC中点G，AB中点H，连接GH， 则，即， 取GH中点K，延长KG到O，使，则O为所求点， 此时， 所以，， ∵点P满足，M为边上的点， ∴当M与A重合时，有最大值，为， 而， ∴的最大值为，D正确.    故选：D. 9．ABD 【分析】利用对称性的定义判断AB，由奇偶性的定义判断C，把函数式化简变形，利用换元法、函数性质、不等式性质判断D． 【详解】因为，所以的图象关于直线对称，A正确； 因为，所以的图象关于点对称，B正确； ，所以C错误； 令， ， 则当时，，当时，，时，，时，由勾形函数性质知，时取等号，再由不等式的性质知，当1时，取得最大值，D正确. 故选：ABD． 10．AC 【分析】由面积公式可得，再由正弦定理化简即可判断A；由根据可判断B；利用余弦定理可得，进而得出可判断C；由已知结合余弦定理即可判断D. 【详解】，即， 由正弦定理可得， ，， 即， 由正弦定理可得，故A正确； ，，, 所以小于1，故B错误； 由余弦定理得，， ，其中，则可得的最大值为，故C正确； 由，联立可得，故D错误. 故选：AC. 【点睛】关键点睛：本题考查正余弦定理的运用，解题的关键是利用面积公式和正弦定理将已知化简得出. 11．AB 【分析】对于A，由锐角三角形得，再结合三角函数性质即可计算判断；对于B，由已知条件结合余弦定理即可计算得，从而由题设可得；对于C，由题设结合正弦定理可得或即可判断；对于D，根据余弦定理建立关于a的方程并求出a，再由面积求出面积即可判断. 【详解】对于A，若为锐角三角形，则， 所以，所以即，故A正确； 对于B，若，， 则，所以， 所以，所以，所以即， 所以，即是等边三角形，故B正确； 对于C，若，由正弦定理得， 即，又， 则或，即或， 所以三角形为等腰三角形或直角三角形，故C错误； 对于D，因为为钝角三角形，且，，， 所以， 所以由余弦定理得即， 整理得，解得或， 当时，，故A为钝角，满足题意； 当时，，故B为钝角，满足题意， 的面积为或.故D错误. 故选：ABC. 12．0 【分析】根据题意知复数为实数，建立关系求解即可. 【详解】由z1>z2，得， 即，解得. 故答案为：0 13．/-0.2 【分析】根据向量的几何意义得到的平分线与垂直，并计算出，，建立平面直角坐标系，表达出，配方求出最小值. 【详解】分别表示与方向的单位向量，故所在直线为的平分线所在直线， 又，故的平分线与垂直， 由三线合一得到，取的中点， 因为，故，    以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 则， 设，， 则， 当时，取得最小值，最小值为. 故答案为： 14．/ 【分析】先由正弦定理化角为边，再用余弦定理化边为角，结合三角恒等变换可得；利用，得出，结合基本不等式求得最小值. 【详解】因为，由正弦定理得，从而， 则， 所以， 即有，即. ， 则 ， 当且仅当，即时取等号. 所以的最小值为. 故答案为：. 15．(1)； (2)证明见解析； (3)，. 【分析】（1）由条件，结合数量积的运算律求； （2）由条件根据数量积运算律求，再计算，由此证明结论； （3）根据模的性质和数量积运算律求，根据向量夹角公式求. 【详解】（1）因为， 所以，故， 又， 所以， （2）因为， 所以，又， 所以， 所以， 所以； （3）因为， 所以， 因为， 又，，， 所以. 16．（1）． （2），． 【分析】（1）利用复数的运算法则，结合共轭复数的定义，即可求解； （2）根据已知条件，可得实系数的一元二次方程的两虚根为共轭复数，再结合韦达定理，即可求解． 【详解】（1）复数，对应的点分别为，， ，， ， ． （2）是关于的方程的一个根 易知也为方程的一个根， ，， ，． 17．(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由三角变换公式可得，从而可求的值. （2）利用正弦定理及三角变换公式可得，结合的范围可求其取值范围，从而可求的取值范围. 【详解】（1）因为，由正弦定理得， 故， 在中，，，所以，，则， 可得，所以，所以. （2）由正弦定理可得（为外接圆的半径）， 所以，， 因为，则，， 所以， 因为为锐角三角形，则，解得， 则，，故. 18．(1) (2) (3) 【分析】（1）利用余弦定理边角转化得出角C； （2）由向量的运算得出，结合（1）得出，即可得出面积； （3）根据内心的性质可得的内角关系，结合正弦定理边角转化，再结合三角知识求取值范围. 【详解】（1）因为，所以， 即，即， 且，所以. （2）因为D为AB的中点，则， 可得，即， 由（1）可得：，即， 可得，可得， 所以的面积. （3）由题意可知：分别为的角平分线，且， 设，则， 在中，由正弦定理可得， 即， 则， 可得周长为 ， 因为，则，可得， 则， 所以周长的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：对于（3）：，根据内心的性质可得，利用正弦定理边化角，结合三角知识求取值范围. 19．(1)； (2)． 【分析】（1）方法一：直接根据待求表达式变形处理，方法二：先二倍角公式处理等式右边，在变形，方法三：根据诱导公式可将题干同构处理，结合导数判断单调性，推知即可求解，方法四：根据半角公式和两角差的正切公式化简后求解. （2）由（1）知，，，再利用正弦定理以及二倍角公式将化成，然后利用基本不等式即可解出． 【详解】（1）方法一：直接法 可得， 则，即， 注意到，于是， 展开可得，则， 又，. 方法二：二倍角公式处理+直接法 因为， 即， 而，所以； 方法三：导数同构法 根据可知，， 设，， 则在上单调递减，， 故，结合，解得. 方法四：恒等变换化简 ， 结合正切函数的单调性，，则， 结合，解得. （2）由（1）知，，所以， 而， 所以，即有，所以 所以由正弦定理得 ． 当且仅当时取等号，所以的最小值为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 杭州学军中学2025学年高一(下)数学周末练1 出题：顾侠 审题：黄峰 班级：___________ 姓名：___________ 一、单选题 1．下列说法正确的为（    ） A．共线的两个单位向量相等 B．若，，则 C．若，则一定有直线 D．若向量，共线，则点，，，不一定在同一直线上 2．已知向量，下列选项正确的为（   ） A．若，则 B．若，则 C．的最小值为6 D．若与垂直，则 3．如图，已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，若边上的中线，则的长为（    ） A． B． C． D． 4．我国著名的数学家秦九韶在《数书九章》提出了一种求三角形面积的方法“”三斜求积术”，即在中，角、、所对的边分别为、、，则的面积为，若，且的外接圆的半径为，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 5．在中，若，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 6．已知复数满足，则（   ） A． B． C． D． 7．已知三角形中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 8．边长为8的等边所在平面内一点O，满足，若M为边上的点，点P满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知函数，则（    ） A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点对称 C．既是周期函数又是奇函数 D．的最大值为 10．在中，角所对的边分别为的面积为S，若，则（    ） A． B．的最大值为1 C．的最大值为 D． 11．已知的内角，，所对的边分别为，，，下列四个命题中正确的是（    ） A．若为锐角三角形，则 B．若，，则是等边三角形 C．在中，若，则必是等腰直角三角形 D．若为钝角三角形，且，，，则的面积为 三、填空题 12．已知，其中，，则的值为__________. 13．已知非零向量与满足，且，点是的边上的动点，则的最小值为__________. 14．在锐角三角形ABC中，已知，则的最小值为______. 四、解答题 15．已知非零向量，满足，且，. (1)求的值； (2)证明：； (3)设与的夹角为，求及的值. 16．在复平面内，复数，对应的点分别为，. （1）求的值； （2）若是关于的方程的一个根，求实数，的值. 17．的内角的对边分别为，已知. (1)求； (2)若为锐角三角形，，求的取值范围. 18．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足. (1)求C； (2)若D为AB的中点，且，，求的面积； (3)若O为的内心，，求周长的取值范围. 19．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)若，求B； (2)求的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $