精品解析：宁夏六盘山高级中学2026-2027学年第一学期高三年级第一次月考测试数学试卷

宁夏六盘山高级中学 2026-2027学年第一学期高三年级第一次月考测试卷 学科：数学 时间：120分钟 满分：150分 命题教师： 一、单选题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足（其中为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 3. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 猫儿山位于广西桂林，是南岭山脉越城岭主峰、广西第一高峰，因峰顶巨石形似卧猫得名，它是漓江发源地，也是国家级自然保护区，生物多样性丰富，有“华南之巅”的美誉．如图，计划在猫儿山的两个山顶间架设一条索道．为测量间的距离，工作人员在同一水平面选取三个观测点，在处测得山顶的仰角分别为和，测得两个山顶的高分别为，且测得，则间的距离为（ ） A. B. C. D. 6. 函数在内存在2个极值点，则实数a的取值范围是（    ） A. B. C. D. 7. 设，，，则，，的大小顺序为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若方程在区间上恰有3个实根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3个小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题为假命题的是（ ） A. 若，则 B. 若且，则 C. “”是“”的一个必要不充分条件 D. 不等式对一切实数恒成立，则 10. 设函数是定义在上的函数，满足，且对任意的，恒有，已知当时，，则有（ ） A. 函数是周期函数，且周期为 B. 函数的最大值是，最小值是 C. 函数在上单调递增，在上单调递减 D. 当时， 11. 如图，点是函数的图象与直线相邻的三个交点，且，则（    ） A. B. C. 函数的一条对称轴是 D. 若将函数的图象沿轴平移个单位，得到一个偶函数的图像，则的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，为第三象限角，则的值为______. 13. 已知，若正实数满足，则的最小值为________． 14. 已知函数，，若对任意，恒成立，则实数的最小值是_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤. 15. 已知函数. （1）求函数的单调区间以及极值； （2）求函数在上的最值. 16. 已知函数，. （1）求的最小正周期和单调递增区间； （2）若将的图象先向右平移个单位，再将所得图象纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，得到的图象，若，求的值. 17. 四棱锥中，是矩形，. （1）证明：平面； （2）若是棱上靠近点P的三等分点，求与平面所成角的正弦值. 18. 在中，角，，所对的边分别为，已知． （1）求角的大小； （2）若角的平分线交于点，求的长； （3）若为锐角三角形，求的取值范围. 19. 已知函数. （1）当，求函数的图象在点处的切线方程； （2）若恒成立，求的取值范围； （3）证明：若有两个零点，则. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宁夏六盘山高级中学 2026-2027学年第一学期高三年级第一次月考测试卷 学科：数学 时间：120分钟 满分：150分 命题教师： 一、单选题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】集合，故 2. 已知复数满足（其中为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由复数的乘法及除法运算可得，再根据复数模的几何意义计算可得. 【详解】由复数的乘法及除法运算，得， 所以，因此. 3. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】，，，故是奇函数， 所以函数的图象关于原点中心对称，当时，，， 令，解得，所以在上单调递增， 令，解得，所以在上单调递减； A选项中图像关于原点中心对称且在先增后减，符合要求，A正确； B选项中图像关于原点中心对称，但是在先单调递减后单调递增，不符合要求，B错误； C选项中图像在先单调递增再单调递减，但是关于轴对称，不符合要求，C错误； D选项中图像关于原点中心对称，但是在单调递增，不符合要求，D错误； 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据诱导公式以及同角关系即可求解. 【详解】, 由于，所以，结合 故，所以， 故选：A 5. 猫儿山位于广西桂林，是南岭山脉越城岭主峰、广西第一高峰，因峰顶巨石形似卧猫得名，它是漓江发源地，也是国家级自然保护区，生物多样性丰富，有“华南之巅”的美誉．如图，计划在猫儿山的两个山顶间架设一条索道．为测量间的距离，工作人员在同一水平面选取三个观测点，在处测得山顶的仰角分别为和，测得两个山顶的高分别为，且测得，则间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件先求出中的两边，再利用余弦定理求即可. 【详解】由题意，可得， 且，在中，可得， 在中，可得， 在中，由余弦定理得： 所以． 故选：D． 6. 函数在内存在2个极值点，则实数a的取值范围是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把极值点问题转化为导数的变号零点问题，分离参数，结合函数图象可得答案. 【详解】，因为在内存在2个极值点， 所以在内存在2个变号零点， 即方程在内有两个不同的实数根， 即在内有两个不同的实数根， 令，则直线与在上有两个不同的公共点， ，当时，，单调递增； 当时，，单调递减，所以有最大值， 因为， 所以直线与在上有两个不同的公共点时，. 7. 设，，，则，，的大小顺序为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造函数，利用导数判断单调性，即可比较出a、b、c的大小． 【详解】令，， 则，，， 而，当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 又，，即. 8. 已知函数，若方程在区间上恰有3个实根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过方程解出，再由条件确定的范围，得到可能取值，即可通过条件中的恰有3个实根，建立不等式确定的取值范围. 【详解】若方程， 则，即或， 当时，， 则的可能取值为， 因为原方程在区间上恰有3个实根， 所以， 解得， 即的取值范围是， 故选：A. 二、多选题：本题共3个小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题为假命题的是（ ） A. 若，则 B. 若且，则 C. “”是“”的一个必要不充分条件 D. 不等式对一切实数恒成立，则 【答案】AD 【解析】 【分析】对每个命题逐一判断真假，对于A，采用特殊值法举反例验证；对于B，用作差法证明不等式大小关系；对于C，先求解分式不等式，再利用集合的包含关系判断充分、必要条件；对于D，对二次项系数分类讨论，结合二次函数恒成立条件求解参数范围，最后选出所有假命题. 【详解】对于A，若，满足，，，此时， 选项A不一定成立，故A为假命题； 对于B，若且， ， 因为，所以， 所以，即，选项B一定成立，故B为真命题； 对于C，解不等式，移项得，， 等价于，解得. 设集合，集合，则真包含于. 由可以推出，但是不能推出， 所以“”是“”的必要不充分条件，故C为真命题； 对于D，不等式对一切实数恒成立， ①当时，原不等式化为，恒成立； ②当时，需要满足，解得. 综合①②得，选项给出，漏掉的情况，故D为假命题. 10. 设函数是定义在上的函数，满足，且对任意的，恒有，已知当时，，则有（ ） A. 函数是周期函数，且周期为 B. 函数的最大值是，最小值是 C. 函数在上单调递增，在上单调递减 D. 当时， 【答案】BC 【解析】 【分析】推导出函数的周期，可判断A选项的正误；求出函数在区间上的最大值和最小值，结合函数的周期性和奇偶性可判断B选项的正误；求出函数在区间上的解析式结合函数的周期性和奇偶性可判断C选项的正误；求出函数在上的解析式，结合函数的周期性可判断D选项的正误. 【详解】对于A，由已知可得，则， 故函数是周期函数，且周期为，故A错误； 对于B，当时，， 由于函数为偶函数，则当时，， 所以，当时，， 由于函数是周期为的周期函数，故函数的最大值是，最小值是，故B正确； 对于C，当时，，函数在上单调递增，在上单调递减， 由于函数是周期为4的周期函数，故函数在上单调递增，在上单调递减，故C正确； 对于D，当时，， 当时，，则，故D错误. 11. 如图，点是函数的图象与直线相邻的三个交点，且，则（    ） A. B. C. 函数的一条对称轴是 D. 若将函数的图象沿轴平移个单位，得到一个偶函数的图像，则的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由的解可知，相邻交点横坐标的间隔交替为和.结合图中的位置及先求；再由和图象在该零点右侧位于轴下方确定相位，逐项判断函数值、对称轴和平移后的奇偶性. 【详解】由得 因此，函数图象与直线的相邻交点横坐标间隔交替为 由图可知，位于同一个波峰两侧，而之间隔着一个波谷，所以 又，故解得 所以A正确. 由，得从而 由图可知，在的右侧，函数图象位于轴下方，因此为奇数. 于是可取从而 对于B，所以B错误. 对于C，函数的对称轴满足即 取，得，所以C正确. 对于D，设将图象沿轴向右平移个单位后得到 函数为偶函数，当且仅当，即 因此解得 当时，，此时最小，最小值为 所以D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，为第三象限角，则的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，由同角三角函数的关系分别求得，即可得到结果. 【详解】由题意可得，，即，且为第三象限角， 则，，所以. 故答案为：. 13. 已知，若正实数满足，则的最小值为________． 【答案】6 【解析】 【详解】函数定义域为，且， 故为奇函数， 函数和在定义域上单调递增，故在定义域上单调递增， 已知，则， 所以，故， 已知， 所以， 当且仅当，即时取等号． 14. 已知函数，，若对任意，恒成立，则实数的最小值是_____. 【答案】 【解析】 【分析】同构变形，令，得到，根据函数单调性得到不等式，参变分离，进行求解 【详解】由题意得在上恒成立， 变形得到，， 令，则， 其中在R上单调递增，故，， 因为，所以， 令，则， 令得，令得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值，也是最大值，， 所以，的最小值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤. 15. 已知函数. （1）求函数的单调区间以及极值； （2）求函数在上的最值. 【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为；极大值为，无极小值 （2）， 【解析】 【分析】(1)先求函数的定义域，然后对函数求导，利用导数的正负，求得函数的单调区间，从而可求得函数的极值; (2)根据第(1)小问的单调性，确定函数在区间上的单调性，即可求出最大值，而函数的最小值是，比较和的大小，求得函数的最小值. 【小问1详解】 函数的定义域是. 又，令，得，令，得， 故函数的单调递增区间为，单调递减区间为， 所以函数的极大值为，无极小值. 【小问2详解】 由（1）可知，在上单调递增，在上单调递减， 所以 所以在上的最小值为. 又因为，所以， 所以函数在上的最小值为，即. 16. 已知函数，. （1）求的最小正周期和单调递增区间； （2）若将的图象先向右平移个单位，再将所得图象纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，得到的图象，若，求的值. 【答案】（1）最小正周期为，单调递增区间为； （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换化简得到，从而求出最小正周期和单调递增区间； （2）先得到的解析式，由凑角法进行求解，结合同角三角函数关系得到答案 【小问1详解】 ， 的最小正周期为， 令，，解得，， 故的单调递增区间为； 【小问2详解】 将的图象向右平移个单位， 得到， 再将所得图象纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，得到， 由题意得， 则，又，故， 所以，故， 则 17. 四棱锥中，是矩形，. （1）证明：平面； （2）若是棱上靠近点P的三等分点，求与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明：因为是矩形，所以. 又，，面， 所以面. 又面，所以， 又，所以. 又，所以， 即. 又，面， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）证PA垂直平面内两条相交直线、，用线面垂直判定定理. （2）由底面建坐标系，求出平面法向量，利用线面角向量公式计算即得. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 由（1）可建立如图所示的空间直角坐标系， 因为， 所以，是棱上靠近点的三等分点， 则， 易知，，，. 所以，，， 设平面的一个法向量为， 由，得到， 取，得到，即， 又，设与平面所成角为， 则. 18. 在中，角，，所对的边分别为，已知． （1）求角的大小； （2）若角的平分线交于点，求的长； （3）若为锐角三角形，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理进行边化角，再利用三角恒等变换化简求出角； （2）设，根据正弦定理化简求解即可； （3）根据余弦定理和正弦定理将目标式化简，再根据三角恒等变换及正弦函数性质计算求解即可.. 【小问1详解】 由题可得且角， 故，而， 因此， 即，，解得角为. 【小问2详解】 由题可得设的长度为，则， 因为，所以， 又因，则. 【小问3详解】 根据余弦定理， 故， 再由正弦定理可得， 由第（1）问可得，故， 则， 因为为锐角三角形，故，则， 因此，故，则. 19. 已知函数. （1）当，求函数的图象在点处的切线方程； （2）若恒成立，求的取值范围； （3）证明：若有两个零点，则. 【答案】（1） （2） （3）证明：由（2）知，在单调递减，单调递增，极小值点. 有两个零点，则两零点分居极值点两侧：不妨设. 要证，也就是证. 由，可知. 因为在单调递增，所以只要证明。 又，因此只需证. 构造函数，，显然. . 令，求导得: ，所以在单调递减. ，得，所以， 即. 代入，括号内式子小于0，而，所以. 在单调递减，于是， 也就是，. 取，得. 因为，所以. 都大于 1，在递增， 所以，即.证毕. 【解析】 【分析】（1）求导，代入得斜率；求得切点；写出切线； （2）求导找单调性，得最小值在；最小值右侧式子，解关于的不等式； （3）设零点，将证转化为证，构造判断单调性完成证明. 【小问1详解】 ，，定义域. . ，切点，斜率，切线方程：. 【小问2详解】 定义域， ，令. ，递减；，递增. 所以. 条件恒成立，等价于最小值满足： ， 解得. 【小问3详解】 略. 【点睛】极值点偏移：零点分居极值点两侧不等式变形，转移到同一单调区间构造差函数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $