精品解析：安徽滁州市定远县育才学校2025-2026学年高一下学期开学考试数学试题

定远育才学校2025-2026学年高一（下）开学考试 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则集合（    ） A. B. C. D. 2. 已知、均为实数，则“，”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分又不必要条件 3. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 4. 下列不等式正确的是（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 在是增函数 C. 的解集为 D. 6. 已知函数，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 7. 已知，其中为第二象限角，则（ ） A. B. C. D. 8. 若，，则的大小关系是（    ） （ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 若函数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数定义域为 B. 时， C. 的解集为 D. 10. 函数（，）的部分图象如图所示，则下列说法中正确的为（ ） A. 的最小正周期是 B. 的图象关于点对称 C. 将函数的图象上所有的点向左平行移动个单位长度后，得到函数的图象，则是奇函数 D. 在上单调递减 11. 下列命题正确的是（ ） A. 已知，是第一象限角，则“”是“”的充要条件 B. 三个内角，，满足 C. 已知，则 D. 已知，，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，若恒成立，则m的最大值为____________ 13. 某型号汽车在某种路面的刹车距离米与汽车车速公里小时的关系式是，若该车在行驶过程中发现前面米处有障碍物，这时为了能在离障碍物不少于米处停车，则该汽车的最大速度为__________． 14. 函数在区间上的最大值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知，集合，. （1）若，求，； （2）是否存在实数a，使得？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由. 16. 某企业为进一步增加市场竞争力，计划在2023年利用新技术生产某款新手机，通过市场调研发现，生产该产品全年需要投入研发成本250万元，每生产（千部）手机，需另外投入成本万元，其中，已知每部手机的售价为5000元，且生产的手机当年全部销售完. （1）求2023年该款手机的利润关于年产量的函数关系式； （2）当年产量为多少时，企业所获得的利润最大？最大利润是多少？ 17. 已知且满足不等式． （1）求实数a的取值范围，并解不等式． （2）若函数在区间有最小值为，求实数的值． 18. 已知函数是定义在上的奇函数，且. （1）求，的值： （2）试判断函数的单调性，并证明你的结论； （3）求使成立的实数的取值范围. 19. 已知函数的部分图象如图所示． （1）求的解析式； （2）设函数． （ⅰ）求的最大值及对应的x值； （ⅱ）求的单调递增区间和对称中心坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 定远育才学校2025-2026学年高一（下）开学考试 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则集合（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由，则， 而，则， 若，则，，此时，不满足题意，故， 同理可得，又，则. 2. 已知、均为实数，则“，”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】利用特殊值法，结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论. 【详解】若，，取，则，即“，”“”； 若，不妨取，，则“，”不成立， 即“，”“”. 所以，“，”是“”的既不充分又不必要条件. 故选：D. 3. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据量词命题的否定方法“改变量词，否定结论”即可求解． 【详解】命题“”的否定是“”. 4. 下列不等式正确的是（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：A.若c<0，则不等号改变，若c=0，两式相等，故A错误；B. 若，则，故，故B正确；C.若b=0，则表达是不成立故C错误；D.c=0时错误. 考点：不等式的性质. 5. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 在是增函数 C. 的解集为 D. 【答案】A 【解析】 【分析】对于A，根据二次函数的性质及偶函数的性质求解判断即可；对于BD，结合题设易得函数在上为增函数，在上为减函数，进而求解判断即可；对于C，根据偶函数的图象的对称性解不等式即可判断. 【详解】对于A，当时，， 则时，函数取得最大值， 又函数是定义在上的偶函数，则在上的最大值为，故A正确； 对于BD，当时，， 则函数在上为增函数，在上为减函数， 又函数是定义在上的偶函数， 则函数在上为减函数，在上为增函数，故B错误， 而，则，故D错误； 对于C，当时，由，解得， 又函数是定义在上的偶函数， 则时，由可得， 所以的解集为，故C错误. 故选：A 6. 已知函数，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】先求，再求的值即可. 【详解】因为分段函数， 所以， . 故选：D. 7. 已知，其中为第二象限角，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由同角三角函数的关系及角所在象限求正切值. 【详解】由，为第二象限角，所以，则. 故选：B 8. 若，，则的大小关系是（    ） （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知得利用两角和的正弦公式求解，用两角和的余弦公式求解，先利用正切化弦，再利用余弦的二倍角公式求解，然后将三个值都化在内，利用函数的单调性求解即可. 【详解】由已知得 ， ， ， 因为在上单调递增， 所以， 所以. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 若函数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数定义域为 B. 时， C. 的解集为 D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据对数函数得图像性质解决即可. 【详解】由题知，， 对于A，函数定义域为，故A错误； 对于B，在上单调递减， 当时，，故B正确； 对于C，在上单调递减，，即，解得，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：BD 10. 函数（，）的部分图象如图所示，则下列说法中正确的为（ ） A. 的最小正周期是 B. 的图象关于点对称 C. 将函数的图象上所有的点向左平行移动个单位长度后，得到函数的图象，则是奇函数 D. 在上单调递减 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据已知图象可确定相关参数，求得函数解析式，进而判断A; 将代入函数中解析式求得其值，即可判断B；根据正弦函数的图象的平移变换规律可得平移后的解析式，可判断C;利用正弦函数的单调性可判断D. 【详解】因为经过，所以， 即因为，所以所以 又因为经过，所以， 即，所以，即， 因为，所以.故. 对于选项A:因为，所以,故选项A正确； 对于选项B: 将代入函数，可得：， 故的图象关于点对称，故选项B正确； 对于选项C：将的图象上所有的点向左平行移动个单位长度， 得到, 令，则， 所以的对称中心为, 在对称中心中无坐标原点，故不是奇函数，故选项C错误； 对于选项D: 对于，令， 因为，所以，而在单调递减， 所以在上单调递减，故选项D正确. 故选：ABD. 11. 下列命题正确的是（ ） A. 已知，是第一象限角，则“”是“”的充要条件 B. 三个内角，，满足 C. 已知，则 D. 已知，，则 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，通过取反例即可排除；对于B，利用三角形内角和关系与诱导公式推理即得，对于C，通过弦化切可判断，对于D，利用同角三角函数关系与二倍角公式化简计算，可判断. 【详解】对于A，若取，，满足，是第一象限角，且，但，故A错误； 对于B，因为，所以， 所以，所以，故B正确. 对于C，由，得，C正确， 对于D，已知，由平方得， 由，可得， 由， 取平方根得：， 由得，， 即， D选项错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，若恒成立，则m的最大值为____________ 【答案】9 【解析】 【分析】利用参变分离，根据结合基本不等式求得结果. 【详解】由，知，，， 由，得， 又， ， 当且仅当，即时，取得最小值9， ，的最大值为9． 故答案为：9. 13. 某型号汽车在某种路面的刹车距离米与汽车车速公里小时的关系式是，若该车在行驶过程中发现前面米处有障碍物，这时为了能在离障碍物不少于米处停车，则该汽车的最大速度为__________． 【答案】公里小时 【解析】 【分析】由题意得到，求解即可. 【详解】若该车在行驶过程中发现前面米处有障碍物，且能在离障碍物不少于米处停车， 则， 解得， 即该汽车的最大速度为公里小时. 14. 函数在区间上的最大值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用同角三角函数平方关系，易将函数化为二次型的函数，结合余弦函数的性质，即可求解． 【详解】函数， 因为，则 所以当时，取得最大值，最大值为1. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知，集合，. （1）若，求，； （2）是否存在实数a，使得？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）， （2）存在，或0 【解析】 【分析】（1）当时，可得集合A、B，根据交集、并集运算的定义，即可得答案. （2）当时，分析可得不符合题意，则，由题意，可得，分别讨论和两种情况，根据集合的性质，即可求得答案. 【小问1详解】 当时，集合，集合， 则，. 【小问2详解】 当时，集合，集合，不合题意，舍去， 当时，集合，集合， 因为，所以，又，只需， 情况①，，符合题意； 情况②，解得（1舍去），此时，符合题意， 综上可得或0. 16. 某企业为进一步增加市场竞争力，计划在2023年利用新技术生产某款新手机，通过市场调研发现，生产该产品全年需要投入研发成本250万元，每生产（千部）手机，需另外投入成本万元，其中，已知每部手机的售价为5000元，且生产的手机当年全部销售完. （1）求2023年该款手机的利润关于年产量的函数关系式； （2）当年产量为多少时，企业所获得的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）当年产量为52（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是5792万元. 【解析】 【分析】（1）根据利润等于收入减去成本即可求出结果； （2）根据（1）求出的函数关系式直接求最大值即可. 【小问1详解】 当时，， 当时,， 所以. 【小问2详解】 当时，, ∴当时，， 当时, , 当且仅当，即时，， 因此当年产量为52（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是5792万元. 17. 已知且满足不等式． （1）求实数a的取值范围，并解不等式． （2）若函数在区间有最小值为，求实数的值． 【答案】（1）,解集为. （2） 【解析】 【分析】（1）根据指数函数的性质解不等式求得，再根据对数函数的性质解不等式； （2）利用对数函数的单调性与最值的关系求参数的值. 【小问1详解】 由且满足不等式可得， ，解得， 由可得， ，解得， 所以原不等式的解集为. 【小问2详解】 因为,所以函数在定义域单调递减, 所以函数在区间有最小值为, 解得. 18. 已知函数是定义在上的奇函数，且. （1）求，的值： （2）试判断函数的单调性，并证明你的结论； （3）求使成立的实数的取值范围. 【答案】（1）； （2） 在上单调递增，证明如下： 取任意，且， 则； 因为，且， 所以，，即， 所以，即， 因此在上单调递增. （3）. 【解析】 【分析】（1）由奇函数性质利用以及可得结果； （2）利用函数单调性定义按步骤即可证得在上单调递增； （3）由函数奇偶性及其单调性解不等式即可得a的取值范围为. 【小问1详解】 由题意可知，故， 又由可得，解得； 所以， 此时定义域关于原点对称，且， 故是定义在上的奇函数，满足题意， 所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（1）（2）知，是在上单调递增的奇函数， 所以由，得， 因此需满足，解得，即， 故实数a的取值范围为. 19. 已知函数的部分图象如图所示． （1）求的解析式； （2）设函数． （ⅰ）求的最大值及对应的x值； （ⅱ）求的单调递增区间和对称中心坐标． 【答案】（1） （2）（i）；.（ii）； 【解析】 【分析】（1）由图像可得函数的最小正周期以及最大值，根据已知点，可得答案； （2）（i）利用三角恒等变换化简函数解析式，根据整体思想以及正弦函数的最值，可得答案； （ii）根据正弦函数的单调性以及对称性，利用整体思想，分别建立不等式与方程，可得答案. 【小问1详解】 由图可得函数的最小正周期，则， 由图可得函数的最大值为，则，即， 由图中已知点，则， 解得，即， 由，则当时，，所以. 【小问2详解】 （i） . 令，即，此时函数取得最大值为. （ii）令，解得， 则函数的单调递增区间为； 令，解得， 则函数的对称中心为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $