精品解析：山东省济宁市嘉祥县第一中学2025-2026学年高三上学期10月月考数学试题

嘉祥一中高三10月月考数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集为，且集合，，则等于（ ） A. B. C. D. 2. 复数z满足，则在复平面内，复数z对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 设公差的等差数列中，，，成等比数列，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量.若向量在向量上的投影向量为，则（ ） A. B. C. 1 D. 5. 已知，，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，，当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知若函数有两个零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列结论正确的是（ ） A. “，”的否定为“，” B. 在中，若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知数列的首项为1，前项和为，且，则（ ） A. 数列是等比数列 B. 数列是等比数列 C. D. 数列的前项和为 11. 已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，则（ ） A. 4为的一个周期 B. C. 由可知， D. 函数的所有零点之和为0 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知数列为正项等比数列，，若是数列的前项积，则当取最大值时的值为______． 13. 一艘游轮航行到处时看灯塔在的北偏东，距离为海里，灯塔在的北偏西，距离为海里，该游轮由沿正北方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏东方向，则此时灯塔位于游轮的______________方向用方向角作答 14. 函数的导函数为，若在的定义域内存在一个区间在区间上单调递增，在区间上单调递减，则称区间为函数的一个“渐缓增区间”．若对于函数，区间是其一个渐缓增区间，那么实数的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，，函数. （1）求的单调递减区间； （2）若在区间上的最大值为3，求的最小值. 16. 在平行四边形中，，分别为的中点，点在线段上运动 （1）当为中点时，设，求的值； （2）若，求的取值范围. 17. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且满足，． （1）求B； （2）若D，E为线段上的两个动点，且满足，，求的取值范围． 18. 已知数列满足. （1）求的值； （2）求证：数列是等差数列； （3）令，如果对任意，都有，求实数的取值范围. 19. 已知函数为自然常数. （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）若函数在区间上有最小值，求实数的值； （3）在（1）的条件下，若不等式恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 嘉祥一中高三10月月考数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集为，且集合，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解对数不等式和分数不等式，得出集合，再根据交集和补集的定义即可得出答案. 【详解】，所以， 或，所以，. 故选：C 2. 复数z满足，则在复平面内，复数z对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】先计算出复数，在根据复数的几何意义可解. 【详解】，复数z在复平面内对应的点为，位于第一象限. 故选：A. 3. 设公差的等差数列中，，，成等比数列，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用等比数列求出首项与公差的关系，然后利用等差中项化简所求表达式即可． 【详解】解：因为公差的等差数列中，，，成等比数列， 所以，即，解得， 所以， 故选： C． 4. 已知向量.若向量在向量上的投影向量为，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的数量积的坐标表示和向量模的公式以及投影向量的公式进行求解即可. 【详解】因为向量，所以. 所以向量在向量上的投影向量为： . 所以，解得. 故选：B. 5. 已知，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二倍角的余弦公式求出，观察角的关系，利用诱导公式计算即可求解. 【详解】由题意知，， 又， 所以. 故选：D. 6. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正切函数的周期性和对称性来求得正确答案. 【详解】由图可知，的最小正周期， ， 根据对称性可知， 则，由于，所以， 所以. 故选：C 7. 已知函数，，当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】命题等价于在上单调递增，再利用单调性求出参数范围. 【详解】当时，不等式恒成立，令函数， 则函数在上单调递增， 因此，恒成立， 令函数，求导得 当时，；当时，， 函数在上递减，在上递增，，则，解得， 所以的取值范围是. 故选：D 8. 已知若函数有两个零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别利用导数求出函数在与上的单调性与最值，画出函数的图象，由题意可得与的图象有两个交点，数形结合求解即可. 【详解】当时，, 则, 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减. 所以时，. 当时，， 则， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减. 所以时，. 画出函数的图象如图所示： 因为函数有两个零点， 所以与的图象有两个交点， 由图可知或. 所以的取值范围为. 故选:C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列结论正确的是（ ） A. “，”的否定为“，” B. 在中，若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，由特称量词命题的否定方法即可判断；对于B，通过举反例即可判断； 对于C，由三角恒等变换化简即可判断；对于D，通过基本不等式即可判断. 【详解】对于A，命题“，”否定为“，”， 故A正确； 对于B，在中，若，， 则，， ， ， 故B错误； 对于C，若，则，故C正确； 对于D，若，则，所以， 当且仅当或时等号成立，故D正确. 故选：ACD. 10. 已知数列的首项为1，前项和为，且，则（ ） A. 数列是等比数列 B. 数列是等比数列 C. D. 数列的前项和为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据数列前项和与数列通项之间的关系，可以求得通项公式. 【详解】因为，①， 所以， 当时，②， 由①②得，即， 又， 所以数列是从第二项开始，以3为公比的等比数列，故A错误； 对于B，当时，， 当时，，符合上式， 所以，则，所以数列是等比数列，故B正确； 对于C，当时，，所以，故C错误； 对于D，由B选项知， 所以数列的前项和为，故D正确. 故选：BD. 11. 已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，则（ ） A. 4为的一个周期 B. C. 由可知， D. 函数的所有零点之和为0 【答案】ABD 【解析】 【分析】由题意可得，，则，从而可判断函数的周期性，即可判断A；求出，再根据周期性即可判断B；根据函数的周期性即可判断C；判断处函数的奇偶性，即可判断D. 【详解】因为为奇函数， 所以，即， 因为为偶函数， 所以，所以， 即， 所以， 所以4为的一个周期，故A正确； 因为，所以， 所以， 又因，所以， 所以，故B正确； 因为，所以， 因为4为的一个周期，所以， 则，所以，故C错误； 因为，所以，， 又因为，所以， 所以函数为偶函数， 令，得， 令，定义域为关于原点对称， 因为，所以函数为偶函数， 所以函数得交点关于轴对称， 所以函数的所有零点之和为0，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：函数的三个性质：单调性、奇偶性和周期性，在高考中一般不会单独命题，而是常将它们综合在一起考查，其中单调性与奇偶性结合、周期性与抽象函数相结合，并结合奇偶性求函数值，多以选择题、填空题的形式呈现，且主要有以下几种命题角度； （1）函数的单调性与奇偶性相结合，注意函数的单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性． （2）周期性与奇偶性相结合，此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解； （3）周期性、奇偶性与单调性相结合，解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知数列为正项等比数列，，若是数列的前项积，则当取最大值时的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】设等比数列的公比为，根据题意，列出方程求得，得到，结合，，进而得到答案. 【详解】设等比数列的公比为，其中， 因为，可得，所以， 解得或（舍去），则， 又当时，，当时， 所以当取最大值时的值为． 故答案为：. 13. 一艘游轮航行到处时看灯塔在的北偏东，距离为海里，灯塔在的北偏西，距离为海里，该游轮由沿正北方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏东方向，则此时灯塔位于游轮的______________方向用方向角作答 【答案】南偏西  【解析】 【分析】由正弦定理得到，由余弦定理得，从而由正弦定理得到，结合，得到，得到答案. 【详解】如图，在中，， 由正弦定理得 ，解得， 在 中，由余弦定理得 ， 因为 ，所以解得， 由正弦定理得 ，解得， 故 或， 因为，故为锐角，所以， 此时灯塔位于游轮的南偏西方向． 故答案为：南偏西 14. 函数的导函数为，若在的定义域内存在一个区间在区间上单调递增，在区间上单调递减，则称区间为函数的一个“渐缓增区间”．若对于函数，区间是其一个渐缓增区间，那么实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】先通过在区间上单调递减，得到其导函数不大于零恒成立，通过参变分离求最值得的范围，再通过在区间上单调递增，得到其导函数不小于零恒成立，通过单调性求得的范围，综合可得答案. 【详解】对于函数， ，令， 则，因为在区间上单调递减， 所以恒成立，即恒成立，又， 所以， 又在区间上单调递增， 所以恒成立， 所以，解得， 综合得. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，，函数. （1）求的单调递减区间； （2）若在区间上的最大值为3，求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量的数量积，利用二倍角公式和辅助角公式化简，结合三角函数的性质可得单调递减区间； （2）根据的范围，求出的范围，结合三角函数的性质可得的最小值. 【小问1详解】 ， 令， 解得， 所以的单调递减区间为 【小问2详解】 由（1）知， 因为，所以， 因为在区间上的最大值为3， 所以在区间上的最大值为， 所以，即，所以的最小值为. 16. 在平行四边形中，，分别为的中点，点在线段上运动 （1）当为中点时，设，求的值； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据平面向量基本定理得到，求出，得到答案； （2）表达出，设，， 表达出，并求出，从而求出，结合，求出取值范围. 【小问1详解】 当为中点时，， 又分别为的中点，所以， 所以， 故，； 【小问2详解】 为的中点，故， 点在线段上运动，设，， 故，即 ， 因为，，所以， 则 ， 因为，所以. 17. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且满足，． （1）求B； （2）若D，E为线段上的两个动点，且满足，，求的取值范围． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理边角互化，结合三角恒等变换即可求解， （2）根据正弦定理可得的表示，即可利用三角形的面积公式，即可利用三角恒等变换，结合三角函数的性质即可求解. 【小问1详解】 ∵ ∴, 在中， ∴ ∴， 又在中， ∴，∴ ∵，∴ 【小问2详解】 ∵，∴ ∵，∴ 或 又，所以，故，， 由正弦定理可得,故， 设，其中，则， 在中，由正弦定理可得 则 在中，由正弦定理可得 则． ∴的面积 ∵，则 ∴，即 ∴． 18. 已知数列满足. （1）求的值； （2）求证：数列是等差数列； （3）令，如果对任意，都有，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）证明见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据递推关系求值即可； （2）由递推关系可得，与原式相减可得，即，于是可得数列是以0为首项，以为公差的等差数列； （3）由（2）可得，故，作差并分析判断数列的单调情况，确定数列的最大项．由题意可得恒成立，于是，解不等式可得的范围． 【小问1详解】 ， ，，，， ，， 【小问2详解】 证明：由题可知：①， ②， ②-①得，即：， 所以，， 即，又， ∴数列是以0为首项，以为公差的等差数列. 【小问3详解】 由（2）可得，，， 则， 由可得；由可得， ∴， 故有最大值，∴对任意，有， 如果对任意，都有成立， 则，∴ ，解得或， ∴实数的取值范围是 【点睛】方法点睛：（1）本题的突破口是通过与的关系得到和的关系，进而通过构造等差数列或等比数列进行求解； （2）本题求解中巧妙地将恒成立问题转化为数列的最值问题求解．而求数列项的最值时，又通过判断数列的单调性进行，解题时可通过作差或作商的方法得到数列的单调性，然后再求出数列项的最值． 19. 已知函数为自然常数. （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）若函数在区间上有最小值，求实数的值； （3）在（1）的条件下，若不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）应用导数的几何意义求切线方程； （2）对函数求导，讨论、并根据导数符号确定区间单调性，结合已知区间及函数的最值求对应参数，即可得. （3）问题化为在上恒成立，利用导数研究右侧的最小值，即可得参数范围. 【小问1详解】 由题设，则，故，， 所以函数在处的切线方程为， 整理得； 【小问2详解】 由题设且， 当时，，即在上单调递减， 此时，在区间上有最小值，可得； 当时，时，时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 若，即时，在区间上有最小值，可得，不符合； 若，即时，在区间上有最小值，可得，不符合； 若，即时，在区间上有最小值，不符合； 综上，； 【小问3详解】 由题设且， 对于，有，则时，时， 所以在上单调递减，在上单调递增，则， 所以恒成立，则在上恒成立， 令，则， 令，则， 令，则， 所以时，时，则在上单调递减，在上单调递增， 故，易知在上单调递增，且， 所以时，即，时，即， 所以在上单调递减，在上单调递增，故， 综上，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $