精品解析：山东聊城市东昌中学等校2025-2026学年九年级下学期学情测试数学试题

2025—2026学年第二学期入学教育 数学练习题 分值：120分时间：100分钟 一、选择题（每题3分） 1. 下列方程中是一元二次方程的是（ ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义， 根据一元二次方程的定义（只含一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程），逐一判断各选项即可． 【详解】解：∵ 一元二次方程需满足：①只含一个未知数；②未知数最高次数为2；③整式方程， 选项A：含未知数x和y，不符合①； 选项B：方程 中未知数次数为1，不符合②； 选项C：化简 ，得 ，即 ，满足①②③； 选项D：方程 为分式方程，不符合③， 故选：C． 2. 在中，，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查直角三角形的三角函数定义及勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．先根据正弦定义求出对边的长度，再利用勾股定理求出邻边的长度，最后根据正切定义计算的值即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得，， ∴， 故选：A． 3. 在同一平面直角坐标系中，若，则函数与的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的图象，分类讨论是关键．根据a、b的取值，分别判断出两个函数图象所过的象限，要注意分类讨论． 【详解】解：∵， ∴，或，， ①若，，则直线经过一、三、四象限，反比例函数图象位于二、四象限， ②若，，则直线经过一、二、四象限，反比例函数图象位于一、三象限， 只有选项A符合题意， 故选：A． 4. 小亮用“频率估计概率”的方法求不规则图案的面积．具体方法如下：用一个长为，宽为的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球（如图1），记录小球落在不规则图案上的次数，并将若干次试验的结果绘制成了图2所示的折线统计图，则被估计不规则图案的面积大约是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查几何概率以及用频率估计概率，先假设不规则图案面积为，根据几何概率知识求解不规则图案占长方形的面积大小；继而根据折线图用频率估计概率，综合以上列方程求解． 【详解】解：假设不规则图案面积为， 由已知得：长方形面积为， 根据几何概率公式小球落在不规则图案的概率为：； 当事件A试验次数足够多，即样本足够大时，其频率可作为事件A发生的概率估计值，故由折线图可知，小球落在不规则图案的概率大约为0.3， ∴， 解得．即被估计不规则图案的面积大约是， 故选：B ． 5. 如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若圆锥的母线长为10，则该圆锥的底面圆的半径是（ ） A. 5 B. C. D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆锥底面圆半径的计算，掌握圆锥底面圆的半径的计算方法是解题关键． 先计算圆锥侧面展开图对应扇形的弧长，该弧长即为底面圆周长，据此计算半径即可． 【详解】解：， 设底面圆的半径为r， 则， ∴，   故选： C． 6. 如图，圆形拱门最下端在地面上，为的中点，为拱门最高点，线段经过拱门所在圆的圆心，若，，则拱门所在圆的半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是垂径定理的实际应用。勾股定理的应用，如图，连接，先证明，，再进一步的利用勾股定理计算即可； 【详解】解：如图，连接， ∵为的中点，为拱门最高点，线段经过拱门所在圆的圆心，， ∴，， 设拱门所在圆的半径为， ∴，而， ∴， ∴， 解得：， ∴拱门所在圆的半径为； 故选B 7. 如图所示为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降，此时水温与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热，若水温在时接通电源，水温y与通电时间x之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（　　） A. 水温从加热到，需要 B. 水温下降过程中，y与x的函数关系式是 C. 上午10点接通电源，可以保证当天能喝到不低于的水 D. 在一个加热周期内水温不低于的时间为 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数和一次函数的应用、用待定系数法求反比例函数解析式，解题关键在于读懂图象，灵活运用所学知识解决问题． 根据水温升高速度，即可求出水温从加热到所需的时间；设水温下降过程中，y与x的函数关系式为，根据待定系数法即可求解；先求出当水温下降到20摄氏度所需时间为，即一个循环为，，将代入反比例函数解析式中求出此时水温即可判断；分别求出在加热过程和降温过程中水温为40摄氏度时的时间，再相减即可判断． 【详解】解：A、∵开机加热时每分钟上升， ∴水温从加热到，所需时间为：，故A选项说法正确，不合题意； B、由题可得，在反比例函数图象上， 设反比例函数解析式为， 代入点可得，， ∴水温下降过程中，y与x的函数关系式是，故B选项说法正确，不合题意； C、在中，令，则， 即：每20分钟，饮水机重新加热， ∴上午10点接通电源，当天时饮水机是第二次加热， 上午10点到共30分钟，， 把代入，得：， 即：时的水温为，不低于，故C选项说法正确，不合题意； D、当水温升至时，用时， 当水温降至时，，解得：， ∴在一个加热周期内水温不低于的时间为，故D选项说法错误，符合题意． 故选：D． 8. 如图，分别与相切于点A，B，连接并延长与交于点C，D．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，根据切线长定理得到，得，得，由，得，由即可． 【详解】解：如图所示，连接， ∵分别与相切于点A、B，连接并延长与交于点C、D， ∴，，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴在中，， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了切线长定理，全等三角形的判定与性质，锐角三角函数的计算，掌握三角函数值的计算是解题的关键． 9. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴和y轴分别交于A，B两点，点C为的中点，反比例函数的图象经过点C．若，则k的值为（ ） A. 3 B. C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反比例函数和一次函数的综合，掌握待定系数法是解题的关键． 先求出，，再求，根据，求出，从而求出点C的坐标，再根据待定系数法即可求解． 【详解】解：直线与x轴和y轴分别交于A，B两点， 当时，，当时，，解得， 则，， 点C为的中点， ， ， ，解得， 直线过一、二、三象限， ， 则， 反比例函数的图象经过点C， ． 故选：C． 10. 如图，已知二次函数（，，为常数，且）的图像顶点为，经过点.有以下结论：①；②；③；④时，随的增大而减小．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征．①根据抛物线的开口方向向下即可判定；②先运用二次函数图象的性质确定a、b、c的正负即可解答；③将点A的坐标代入即可解答；④根据函数图象即可解答． 【详解】解：由抛物线的开口方向向下，则，故①正确； ∵抛物线的顶点为，对称轴为直线， ， ， ， ， ∵抛物线与y轴的交点在正半轴， ， ，故②错误； ∵抛物线经过点， ∴，故③正确； ∵抛物线的顶点为，且开口方向向下， 时，y随x的增大而减小，故④正确， 则正确的是①③④共3个． 故选：C． 二、填空题（每题3分） 11. 函数y=中自变量x的取值范围是__________． 【答案】x＞-3． 【解析】 【分析】 【详解】解：由题意得： 故答案为 【点睛】本题考查的是函数自变量的取值范围，二次根式，分式有意义的条件，掌握以上知识是解题的关键． 12. 已知是一元二次方程的一个实数根，求的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值，由一元二次方程的解可得，再代入代数式计算即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个实数根， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 如图，将放在每个小正方形的边长为的网格中，点，，均在格点上，则的值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查锐角三角函数的定义及运用，在直角三角形中锐角的正切为对边比邻边，构造直角三角形是本题的关键． 根据题意构造直角三角形如图所示，点D在格点上，从而可以求出值． 【详解】解：构造直角三角形如图所示，点D在格点上， 由图可得， 故答案为：． 14. 已知抛物线，当时，的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质．由二次函数解析式可得抛物线开口方向及顶点坐标，进而求解． 【详解】解：∵，， ∴抛物线开口向下，顶点坐标为， ∴函数最大值为3， 将代入得， 将代入得， ∴当时，， 故答案为：． 15. 如图，在矩形中，，边上有一点E，作射线，将射线绕点A顺时针旋转，交的延长线于点G，以线段为邻边作矩形，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，旋转的性质等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 根据矩形的性质证明即可求解． 【详解】解：如图， ∵四边形均为矩形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴， 故答案为：． 16. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线的解析式为．将轴绕原点逆时针旋转，交抛物线于点，将直线绕点顺时针旋转，交抛物线于点，将直线绕点逆时针旋转，交抛物线于点，将直线绕点顺时针旋转，交抛物线于点…，依次进行下去，则点的坐标为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了点坐标规律探索，求一次函数解析式，一次函数和二次函数交点的坐标，根据坐标的变化找出规律是解题的关键．根据二次函数性质可得出点的坐标，求得直线的解析式，联立方程求得的坐标，即可求得的坐标，同理求得、的坐标，根据坐标的变化找出规律，即可找出点的坐标． 【详解】解：设，直线的解析式为， ∵将轴绕原点逆时针旋转，交抛物线于点， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， ∴ 解得或， ∴， 又∵将直线绕点顺时针旋转，交抛物线于点， ∴轴，， 中，令，则， ∴， 设直线的解析式为， ∴，即， ∴直线的解析式为， ∴ 解得或， ∴ 中，令，则， ∴， 同理，， ， …， 即的横坐标为，纵坐标为 的横坐标为，纵坐标为， 的横坐标为，纵坐标为， …， ∴坐标中，当n为奇数时，横坐标为，纵坐标为， ∴的横坐标为，纵坐标为， 即 故答案为：． 三、解答题 17. 解决下列问题： （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先计算特殊角的三角函数值和化简二次根式，再计算零指数幂和绝对值，最后根据实数的运算法则求解即可； （2）先移项，再利用提公因式法把方程左边分解因式，进而解方程即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得． 18. 如图，在和中，的延长线经过点C，且， （1）求证：； （2）若，，，求的长． 【答案】（1）见解析； （2）． 【解析】 【分析】此题重点考查相似三角形的判定与性质，推导出，进而证明是解题的关键． （1）由，得，则，而，即可根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明∽； （2）由相似三角形的性质得，而，，，则 【小问1详解】 证明： ， ，， ， ， ∽； 小问2详解】 解：∵， ， ，，， ， 的长是 19. 某公园有个观望台可以俯瞰全园风景，有左、右两个步道可以登顶，观望台的高为3.04米，如图所示．左侧步道的长度为42米，倾斜角为，右侧步道的倾斜角为支架都与地面垂直，都与地面平行，两支架之间的距离为2米（点B，C，F，E在同一条直线上）． （1）求右侧步道的长度； （2）两步道的底端分别为B，E，求的长．（结果精确到0.1．参考数据：） 【答案】（1）50米 （2）78.8米 【解析】 【分析】本题考查了解三角形的应用，包括已知正余弦值求解边长，解决本题的关键是熟练掌握正弦与余弦的计算． （1）根据角B的正弦值可求解的长，由此可求解的长度，即可求解的长度； （2）先求解和的长度，由此可求解的长度． 【小问1详解】 解：在中，米，， ． ， ． 在中， 答：右侧步道的长度为50米． 【小问2详解】 解：在中，． 在中，， ． 答：的长约为78.8米． 20. 把一边长为的正方形硬纸板，进行适当的剪裁，折成一个长方形盒子（纸板的厚度忽略不计）．如图，若在正方形硬纸板的四角各剪一个同样大小的正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方形盒子． （1）要使折成的长方形盒子的底面积为，那么剪掉的正方形的边长为多少？ （2）折成的长方形盒子的侧面积为，那么剪掉的正方形的边长为多少？ （3）折成的长方形盒子的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的正方形边长；如果没有，说明理由． 【答案】（1） （2）或 （3）侧面积有最大值，最大值为，此时正方形的边长为，理由见解析 【解析】 【分析】（1）设剪掉的正方形的边长为，根据“长方形盒子的底面积为”列方程求解； （2）设剪掉的正方形的边长为，根据“侧面积为”列方程求解 （3）列出侧面积S关于正方形的边长y的二次函数，根据二次函数的性质进行求解． 【小问1详解】 解：设剪掉的正方形的边长为，根据题意得， ， 解得或（不符合题意，舍去） ∴剪掉的正方形的边长为； 【小问2详解】 解：设剪掉的正方形的边长为，根据题意得， ， 解得或 ∴剪掉的正方形的边长为或； 【小问3详解】 解：侧面积有最大值，最大值为，此时正方形的边长为，理由如下： 由（2）可得， 长方形盒子的侧面积， ∴当时，为最大值， ∴折成的长方形盒子的侧面积有最大值，最大值为，此时正方形的边长为． 21. 如图，是的直径，弦平分，过点作于点． （1）求证：是的切线； （2）已知点是半圆上一点，连接，若，且，求的半径． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定与性质，同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角等，熟记以上性质定理是解题的关键． （1）连接，由弦平分，且可证明，可推出，即可证明结论； （2）连接，则，根据含角的直角三角形的性质推出，然后在直角三角形中根据勾股定理求出即可推出结果． 【小问1详解】 证明：连接， ， ， 又平分， ， ， ， ， ， ， ， ， 又∵为半径， 是的切线； 【小问2详解】 解：如图，连接， 是的直径， ， ， ， 在中，， ， 在中，，， ∴， 解得（负值舍去）， 则半径为． 22. 在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线（是常数）． （1）若，且抛物线经过点． ①求该抛物线对应的函数表达式； ②若点 在抛物线上，横坐标为，点的横坐标为，纵坐标与点的纵坐标相同，点在轴上，纵坐标为．当点和点的纵坐标不相等时，作点关于点的对称点，作点关于点的对称点，连接．试说明线段的长度为． （2）若直线经过点，与抛物线的交点为，当时，求的最小值． 【答案】（1）①；②见解析 （2）当时，最小值为；当时，最小值为；当时，最小值为 【解析】 【分析】（）①利用待定系数法解答即可求解；②由对称可得点分别是的中点，即得是的中位线，得到，进而由即可求证； （）利用待定系数法可得抛物线的表达式为，对称轴为直线，分，和三种情况，利用二次函数的性质解答即可求解； 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的综合应用，二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【小问1详解】 解:（）①把，点代入，得， 解得， ∴抛物线对应的函数表达式为； ②证明：∵点关于点的对称点为点，点 关于点的对称点为点， ∴点分别是的中点， ∴是的中位线， ， ∵点的纵坐标相等，横坐标分别为，， ， ； 【小问2详解】 解：将代入， 得， 解得， 将代入，得， ∴， ∴抛物线的表达式为，对称轴为直线， 分三种情况讨论： ①当，即时， 则时， 随的增大而减小， ∴当时，取最小值，最小值为； ②当，即时， ∵抛物线的对称轴为直线，开口向上， ∴当时，取最小值，最小值为； ③当时，则时， 随的增大而增大， ∴当时，取最小值，最小值为； 综上可知，当时，最小值为；当时，最小值为；当时，最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第二学期入学教育 数学练习题 分值：120分时间：100分钟 一、选择题（每题3分） 1. 下列方程中是一元二次方程的是（ ）. A. B. C. D. 2. 在中，，则的值是（ ） A. B. C. D. 3. 在同一平面直角坐标系中，若，则函数与大致图象是（ ） A. B. C. D. 4. 小亮用“频率估计概率”的方法求不规则图案的面积．具体方法如下：用一个长为，宽为的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球（如图1），记录小球落在不规则图案上的次数，并将若干次试验的结果绘制成了图2所示的折线统计图，则被估计不规则图案的面积大约是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若圆锥的母线长为10，则该圆锥的底面圆的半径是（ ） A. 5 B. C. D. 10 6. 如图，圆形拱门最下端在地面上，为的中点，为拱门最高点，线段经过拱门所在圆的圆心，若，，则拱门所在圆的半径为（ ） A. B. C. D. 7. 如图所示为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降，此时水温与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热，若水温在时接通电源，水温y与通电时间x之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（　　） A. 水温从加热到，需要 B. 水温下降过程中，y与x函数关系式是 C. 上午10点接通电源，可以保证当天能喝到不低于水 D. 在一个加热周期内水温不低于的时间为 8. 如图，分别与相切于点A，B，连接并延长与交于点C，D．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴和y轴分别交于A，B两点，点C为的中点，反比例函数的图象经过点C．若，则k的值为（ ） A. 3 B. C. D. 4 10. 如图，已知二次函数（，，为常数，且）的图像顶点为，经过点.有以下结论：①；②；③；④时，随的增大而减小．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每题3分） 11. 函数y=中自变量x的取值范围是__________． 12. 已知是一元二次方程的一个实数根，求的值为______． 13. 如图，将放在每个小正方形边长为的网格中，点，，均在格点上，则的值是_______． 14. 已知抛物线，当时，的取值范围为______． 15. 如图，在矩形中，，边上有一点E，作射线，将射线绕点A顺时针旋转，交的延长线于点G，以线段为邻边作矩形，则_______． 16. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线的解析式为．将轴绕原点逆时针旋转，交抛物线于点，将直线绕点顺时针旋转，交抛物线于点，将直线绕点逆时针旋转，交抛物线于点，将直线绕点顺时针旋转，交抛物线于点…，依次进行下去，则点的坐标为____________． 三、解答题 17. 解决下列问题： （1）计算：； （2）解方程：． 18. 如图，在和中，的延长线经过点C，且， （1）求证：； （2）若，，，求的长． 19. 某公园有个观望台可以俯瞰全园风景，有左、右两个步道可以登顶，观望台的高为3.04米，如图所示．左侧步道的长度为42米，倾斜角为，右侧步道的倾斜角为支架都与地面垂直，都与地面平行，两支架之间的距离为2米（点B，C，F，E在同一条直线上）． （1）求右侧步道的长度； （2）两步道的底端分别为B，E，求的长．（结果精确到0.1．参考数据：） 20. 把一边长为的正方形硬纸板，进行适当的剪裁，折成一个长方形盒子（纸板的厚度忽略不计）．如图，若在正方形硬纸板的四角各剪一个同样大小的正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方形盒子． （1）要使折成的长方形盒子的底面积为，那么剪掉的正方形的边长为多少？ （2）折成的长方形盒子的侧面积为，那么剪掉的正方形的边长为多少？ （3）折成的长方形盒子的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的正方形边长；如果没有，说明理由． 21. 如图，是的直径，弦平分，过点作于点． （1）求证：是的切线； （2）已知点是半圆上一点，连接，若，且，求的半径． 22. 在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线（是常数）． （1）若，且抛物线经过点． ①求该抛物线对应的函数表达式； ②若点 在抛物线上，横坐标为，点的横坐标为，纵坐标与点的纵坐标相同，点在轴上，纵坐标为．当点和点的纵坐标不相等时，作点关于点的对称点，作点关于点的对称点，连接．试说明线段的长度为． （2）若直线经过点，与抛物线交点为，当时，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $