精品解析：广东省汕头市2025-2026学年高三下学期第一次模拟考试数学试题

2026年汕头市普通高考第一次模拟考试 数学 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题卡上，将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”. 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上. 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷 选择题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 2. 在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 实轴 B. 虚轴 C. 第二象限 D. 第四象限 3. 圆锥的表面积为 ，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径为（ ） A. B. C. D. 1 4. 溶液酸碱度用pH值表示，其计算公式为，其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升，且pH越大，酸度越弱，碱性越大.下列命题中，真命题是（ ） A. 已知纯净水的，则纯净水中摩尔/升 B. 已知胃酸中摩尔/升，则胃酸的 C. 溶液中摩尔/升时，溶液的酸性随氢离子浓度的增大而变强 D. 溶液中摩尔/升时，溶液的碱性越大，氢离子浓度越大 5. 双曲线的渐近线方程是，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. 或 D. 或 6. 已知，则的值是（ ） A. B. C. D. 7. 一个质点在随机外力的作用下，从数轴的原点出发，每隔1s等可能地沿数轴的正方向或负方向移动一个单位，共移动7次，则质点最可能移动到的位置的坐标为（ ） A. 7或 B. 5或 C. 3或 D. 1或 8. 设，且，，，则它们的大小关系为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某同学上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30min，样本方差为36；骑自行车平均用时34min，样本方差为4.假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布.则（ ） A. B. C. 若某天只有34min可用，该同学为了尽可能不迟到，应选择坐公交车 D. 若某天只有38min可用，该同学为了尽可能不迟到，应选择骑自行车 10. 正方形 、 的边长为1，且它们所在的平面互相垂直.点、 分别在正方形对角线 和上移动，且．则（ ） A. 直线 与所成的角为 B. 平面 C. 当时，的长最小，且最小值为 D. 当的长最小时，点 到平面的距离为 11. 如图所示，一个玻璃杯的内壁是由曲线段C绕它的对称轴旋转所得的曲面.现把一个小球放进杯内，欲使小球能接触杯底.下列结论正确的是（ ） A. 若曲线段C的方程为，则小球半径可以是2.01 B. 若曲线段C的方程为，则小球半径可以是0.99 C. 若曲线段C的方程为，则小球半径至多是1 D. 若曲线段C的方程为，则小球半径至多是1 第Ⅱ卷 非选择题 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 为圆O的一条弦，且，则的值为_______. 13. 已知函数满足，则曲线在点处的切线方程是_______. 14. 中，，延长到点，使，连接．若，则 的大小为_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在长方体中，点E、F分别在，上，且，． （1）求证：平面； （2）当，，时，求平面与平面的夹角的余弦值． 16. 某中学的两位学生A与B为研究高三年级学生的性别和身高是否大于170cm的关联性，对该中学的高三学生进行了调查．A同学调查了所有高三学生，并整理得到等高堆积条形图，如图（一）；B同学从所有高三学生中获取容量为40的有放回简单随机样本，也整理得到列联表，如表（一）. 表（一）单位：人 性别 身高 合计 低于170cm 不低于170cm 女 14 7 21 男 8 11 19 合计 22 18 40 （1）请根据A同学的等高堆积条形图，判断该中学高三年级学生的性别和身高是否有关联，如果结论是有关联，解释它们之间如何相互影响； （2）根据B同学的列联表，依据的独立性检验，该中学高三年级学生的性别和身高是否有关联，并解释所得结论的实际含义； （参考公式及数据：，临界值） （3）请比较（1）和（2）的统计结论是否一致，说明原因. 17. 已知函数． （1）求证：不是函数的极值点； （2）设，，是否存在a，使得函数的最小值为2？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由． 18. 已知椭圆，点M为动直线被椭圆截得的弦 的中点． （1）求证：动点M在定直线上，并求此定直线l的方程； （2）设直线l与该椭圆相交于C、D两点，求证：A、B、C、D四点共圆． 19. 设各项为整数的等差数列，，…，的公差，首项．已知从中能抽取个项并按原顺序排成公比为q的等比数列，，…，，其中，． （1）若从等差数列1，3，5，…，中能抽取3个项并按原顺序排成等比数列，求的最小值； （2）求证：； （3）请举出一个满足的例子． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年汕头市普通高考第一次模拟考试 数学 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题卡上，将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”. 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上. 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷 选择题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解二次不等式得 的补集区间，再与给定集合 取交集即得结果. 【详解】解不等式，得或， 即集合，则， 则. 2. 在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 实轴 B. 虚轴 C. 第二象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【详解】， 在复平面内对应的点为, 即复数对应的点位于虚轴. 3. 圆锥的表面积为 ，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】设底面半径为r，母线长为l，根据侧面展开图是一个半圆，可得，代入表面积公式，结合条件，即可得答案. 【详解】设底面半径为r，母线长为l， 由侧面展开图是一个半圆，得，解得， 则侧面展开图的面积， 所以圆锥的表面积，解得. 4. 溶液酸碱度用pH值表示，其计算公式为，其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升，且pH越大，酸度越弱，碱性越大.下列命题中，真命题是（ ） A. 已知纯净水的，则纯净水中摩尔/升 B. 已知胃酸中摩尔/升，则胃酸的 C. 溶液中摩尔/升时，溶液的酸性随氢离子浓度的增大而变强 D. 溶液中摩尔/升时，溶液的碱性越大，氢离子浓度越大 【答案】C 【解析】 【详解】对于A，令，则摩尔/升，故A错误； 对于B，胃酸的，故B错误； 对于C，当摩尔/升时， 根据可得当越大时，越小，故酸性越大，故C正确； 对于D，当摩尔/升时， 根据可得若溶液的碱性越大，则越大，故越小， 故D错误. 5. 双曲线的渐近线方程是，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】分别讨论双曲线焦点在 轴和 轴的情况，由可求得结果. 【详解】因为双曲线的渐近线方程是， 当双曲线方程为时，则，则离心率； 当双曲线方程为时，则，则离心率； 综上所述：双曲线的离心率为或. 6. 已知，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用三角恒等变换将原式化简为只含的形式，再代入已知条件计算. 【详解】， 7. 一个质点在随机外力的作用下，从数轴的原点出发，每隔1s等可能地沿数轴的正方向或负方向移动一个单位，共移动7次，则质点最可能移动到的位置的坐标为（ ） A. 7或 B. 5或 C. 3或 D. 1或 【答案】D 【解析】 【分析】将“质点移动位置”转化为“正、负方向移动次数”的组合问题，通过分析组合数的最大值确定概率最高的位置. 【详解】设质点向正方向移动的次数为 （），则向负方向移动的次数为， 质点最终的位置坐标由正、负方向移动的总距离决定：， 每次移动向正、负方向的概率均为，因此“7次移动中恰好有 次向正方向”的概率服从二项分布，概率公式为：， 其中为组合数，为常数，因此，概率的大小由组合数决定，“最可能的位置”对应最大时的 ， 时 时 时 时 时 时 时 时 综上，组合数在和时取得最大值， 当时，代入得：， 当时，代入得：， 质点最可能移动到的位置坐标为 或 . 8. 设，且，，，则它们的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题可通过构造函数，利用函数的单调性比较大小，关键在于分析以及在上的单调性. 【详解】首先比较的大小， 令，求导得在上恒成立， 所以在上单调递增.因为，所以. 又因为在上恒成立，且，所以， 所以，所以即. 由于在上单调递增，则. 其次比较的大小， 令，求导得， 因为，所以，所以且， 所以，所以在上单调递减. 所以 又因为在上恒成立，所以， 又因为在上单调递减，所以， 即，由单调性可知. 综合以及，所以 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某同学上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30min，样本方差为36；骑自行车平均用时34min，样本方差为4.假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布.则（ ） A. B. C. 若某天只有34min可用，该同学为了尽可能不迟到，应选择坐公交车 D. 若某天只有38min可用，该同学为了尽可能不迟到，应选择骑自行车 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据正态分布的性质和相关公式逐项计算即可. 【详解】对于A，因为坐公交车平均用时，样本方差为36，坐公交车用时都服从正态分布， 所以，所以，A正确； 对于B，因为骑自行车平均用时，样本方差为4，骑自行车用时都服从正态分布， 所以，其分布关于均值34对称.由于而，40和30并不关于34对称， 故，B错误； 对于C，计算34分钟内不迟到的概率为，， 因为，所以坐公交车不迟到的概率更高，C正确； 对于D，计算38分钟内不迟到的概率为， ， 因为，所以骑自行车不迟到的概率更高，D正确； 10. 正方形 、 的边长为1，且它们所在的平面互相垂直.点 、 分别在正方形对角线 和上移动，且．则（ ） A. 直线 与所成的角为 B. 平面 C. 当时，的长最小，且最小值为 D. 当的长最小时，点 到平面的距离为 【答案】BC 【解析】 【分析】由题意可建立适当空间直角坐标系，则可表示出各点坐标；对A：表示出向量，后，利用向量夹角的余弦公式计算即可得；对B：求出平面的法向量及向量后，计算即可得；对C：借助向量与模长的关系计算即可得；对D：结合C中所得，可得到向量，再计算出平面的法向量后，利用点到平面距离公式计算即可得. 【详解】以 为原点，建立如图所示空间直角坐标系， 则、、、、、， 对A：，， 则， 故直线 与所成的角为 ，故A错误； 对B：由，则， ，则， ，， 设平面的法向量为， 则有，可取，则， 则，有， 故，又 平面，故平面，故B正确； 对C：， 则， 故当且仅当时，取最小，且最小值为，故C正确； 对D：由C知，当的长最小时，，此时， ，则， 设平面的法向量为， 则有，可取，则， 则，又， 则点 到平面的距离，故D错误. 11. 如图所示，一个玻璃杯的内壁是由曲线段C绕它的对称轴旋转所得的曲面.现把一个小球放进杯内，欲使小球能接触杯底.下列结论正确的是（ ） A. 若曲线段C的方程为，则小球半径可以是2.01 B. 若曲线段C的方程为，则小球半径可以是0.99 C. 若曲线段C的方程为，则小球半径至多是1 D. 若曲线段C的方程为，则小球半径至多是1 【答案】BCD 【解析】 【分析】由题意确定小球球心在对称轴 轴上，通过小球接触杯底时，需满足曲线 上所有点到球心的距离不小于小球半径，逐项判断即可. 【详解】设小球半径为，由题意小球球心在对称轴 轴上， 对于A，曲线，杯底为， 则球心坐标为， 对任意在 上，到球心距离的平方： ， 要满足，即， 即， 即， 因为，得，又，A错误； 对于B，曲线，杯底，球心， 对任意在 上，到球心距离的平方： ， 代入，得：， 要满足，即， 整理得，在恒成立， 二次函数开口向上，对称轴， 当时，对称轴，区间上最小值为， 满足条件， ，符合要求，B正确； 对于C，曲线，杯底，球心， 对任意在 上，到球心距离的平方： ， 代入，得 要满足，即 整理得，因， 等价于对所有成立， 最小值在 处， 得，即半径至多为1，C正确； 对于D，曲线，杯底，球心， 对任意在 上，到球心距离的平方： ， 代入，得， 要满足，即 整理得，因，等价于对所有成立， 最小值在处，得，即半径至多为1，D正确. 第Ⅱ卷 非选择题 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 为圆O的一条弦，且，则的值为_______. 【答案】2 【解析】 【分析】根据向量的数量积的几何意义直接可得. 【详解】取弦的中点 ，连接，根据圆的垂径定理，可得，如图. 因为,所以. 根据向量数量积的几何意义： 13. 已知函数满足，则曲线在点处的切线方程是_______. 【答案】 【解析】 【分析】求导后代入可得，即可得，从而可得，再利用导数的几何意义计算即可得. 【详解】，则， 即，故，则， 故曲线在点处的切线方程是， 化简得. 14. 中，，延长到点 ，使，连接．若，则的大小为_______. 【答案】## 【解析】 【分析】，利用等腰三角形的性质和正弦定理可得，结合三角变换公式可得，构建新函数，其中，根据该函数单调性可求. 【详解】 不妨设 ，因为，故，所以， 故，设，则， 在 中，由正弦定理有 ， 所以 ， 所以即， 设，其中， 因为，， 故在上为减函数， 而在上为减函数，故在上为减函数， 而， 故有唯一解，故 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在长方体中，点E、F分别在，上，且，． （1）求证：平面； （2）当，，时，求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】（1） 因为平面，平面，所以． 又，，所以 平面 因为平面，所以 同理：因为 平面，平面，所以． 又，，所以平面 因为平面，所以 又因为，，所以平面 （2） 【解析】 【分析】（1）以线面垂直判定定理去证明即可解决； （2）建立空间直角坐标系，以向量法去求平面与平面的夹角的余弦值即可解决. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以 为原点，分别以 、 、所在直线为 轴、 轴、轴建立空间直角坐标系如图． 则，，，，，． 所以，且是平面的一个法向量． ， 设平面的法向量为 则，即 所以，令，得 ． 则平面的一个法向量为． 所以． ， 所以． 所以平面与平面的夹角的余弦值为． 16. 某中学的两位学生A与B为研究高三年级学生的性别和身高是否大于170cm的关联性，对该中学的高三学生进行了调查．A同学调查了所有高三学生，并整理得到等高堆积条形图，如图（一）；B同学从所有高三学生中获取容量为40的有放回简单随机样本，也整理得到列联表，如表（一）. 表（一）单位：人 性别 身高 合计 低于170cm 不低于170cm 女 14 7 21 男 8 11 19 合计 22 18 40 （1）请根据A同学的等高堆积条形图，判断该中学高三年级学生的性别和身高是否有关联，如果结论是有关联，解释它们之间如何相互影响； （2）根据B同学的列联表，依据的独立性检验，该中学高三年级学生的性别和身高是否有关联，并解释所得结论的实际含义； （参考公式及数据：，临界值） （3）请比较（1）和（2）的统计结论是否一致，说明原因. 【答案】（1）有关联，女生更倾向于身高低于170 cm，男生更倾向于身高不低于170 cm． （2）无关联，实际意义是根据该样本数据，不能认为性别对身高是否大于170cm有显著影响，二者可视为相互独立. （3）不一致，原因：A同学调查了所有高三学生，能真实反映总体状况， 若总体中确实存在关联，则其结论可靠； B同学仅从所有高三学生中获取容量为40的有放回简单随机样本， 样本量较少，并且抽样具有随机性，而独立性检验受样本容量影响较大， 当样本量较少时，独立性检验可能导致检验功效不足，未能检测出总体中实际存在的关联性. 【解析】 【分析】（1）通过观察等高堆积条形图中男女身高分布的差异，若男生中不低于170cm的比例明显高于女生，则判断两者有关联； （2）通过计算样本列联表的卡方统计量，与临界值比较，从而判断是否拒绝“性别与身高无关联”的原假设； （3）通过对比基于总体的描述性分析与基于样本的推断性检验的结论，指出因样本容量较小产生的抽样误差可能导致两种结论不一致. 【小问1详解】 有关联，根据等高堆积条形图可知，女生中身高低于170 cm的比例明显高于男生， 而男生中身高不低于170 cm的比例明显高于女生， 故该中学高三年级学生的性别与身高有关联．具体表现为女生更倾向于身高低于170 cm，男生更倾向于身高不低于170 cm． 【小问2详解】 由题意得，零假设：该中学高三年级学生的性别与身高无关联， 由列联表可得， 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 因此可以认为成立，即认为该中学高三年级学生的性别和身高没有关联， 实际意义是根据该样本数据，不能认为性别对身高是否大于170cm有显著影响，二者可视为相互独立. 【小问3详解】 略 17. 已知函数． （1）求证：不是函数的极值点； （2）设，，是否存在a，使得函数的最小值为2？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）方法一：函数的定义域为，， 若 为函数的极值点，则必有， 由得 ， 当 时，，令，则， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 故在 处取得最小值，即在上恒成立，且仅在 时取等号， 所以在上单调递增， 不是的极值点， 当时，，故 不是的极值点， 综上， 不是函数的极值点， 方法二：函数的定义域为，. 当时，. 令，则. 当时，在上恒成立， 则在上单调递减，即在上单调递减. 当时，；当 时，； 因连续，故在的邻域内，单调递减，所以不是极值点. 当时，令 ，即，解得. 若，即 ，则. 当时， ，单调递减；当 时，，单调递增； 所以，即 ，所以单调递增，所以不是极值点. 若，即 ， 当时， ，单调递减；当时，，单调递增； 所以在处取得最小值. 当时，，所以，即，所以单调递增，所以不是极值点. 当 时，，在和上各有一个零点，设为，， 在上， ，，单调递减； 在和在上，，，单调递增； 所以不是极值点. 综上，不是函数的极值点. （2）存在，当时，函数的最小值为2 【解析】 【分析】（1）方法一：利用反证法证明即可. 方法二：对函数求导，分类讨论的单调性，结合函数的极值点定义证明即可. （2）分类讨论的单调性，计算最小值，看是否存在使得函数的最小值为2. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，，. . 当时，在上，，单调递减， 所以，不符合题意. 当时，令 ，即，解得. 若，即时，在上， ，单调递减， 所以，不符合题意. 若，即时，在上，，单调递减， 在上， ，单调递增， 所以. 令，解得，符合题意. 综上，存在，使得函数的最小值为2. 18. 已知椭圆，点M为动直线被椭圆截得的弦 的中点． （1）求证：动点M在定直线上，并求此定直线l的方程； （2）设直线l与该椭圆相交于C、D两点，求证：A、B、C、D四点共圆． 【答案】（1） 设，，则. 又因为在椭圆，所以， 两式相减得，即， 所以，又因为直线 的方程为， 所以，代入上式得，即， 所以弦 的中点恒在直线上，直线l的方程为. （2） 因为直线与椭圆相交于C、D两点， 直线与椭圆相交于A、B两点， 所以构造过A、B、C、D四点的曲线系方程， 化简整理得， 因为要使该方程表示圆，则，得， 代入方程得， 即，， 方程表示一个圆心，半径为的圆，且A、B、C、D四点在圆上.如图： 所以A、B、C、D四点共圆. 【解析】 【分析】（1）直接由点差法证明点在定直线上，并可得直线方程； （2）根据直线 的方程，直线l的方程及椭圆方程构造曲线系方程，再判断曲线系方程是否是一个圆的方程可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 设各项为整数的等差数列，，…，的公差，首项．已知从中能抽取个项并按原顺序排成公比为q的等比数列，，…，，其中，． （1）若从等差数列1，3，5，…，中能抽取3个项并按原顺序排成等比数列，求的最小值； （2）求证：； （3）请举出一个满足的例子． 【答案】（1）； （2）证明：等差数列通项为，抽取的等比数列首项为， 故第项为，代入等差数列通项得： ，  由，得（因），且 为整数，故. 对任意，两项下标差满足： ， 累加得：  ， 因，故，得证. （3）如：首项为1，公差为1的等差数列. 【解析】 【分析】（1）利用假设的方法，由已知条件，构造关于 不等式，进而求出最小值； （2）将等比数列通项代入等差数列通项，再利用下标差性质寻找不等式，最后通过累加法得证； （3）选取首项为1，公差为1的等差数列，通过验证说明其正确性即可. 【小问1详解】 设抽取的三个项为，，，三数成等比， 故，整理得：由， 当取最小值 时，，此时 ，故， 且可构成公比为 的等比数列，满足条件，因此的最小值为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 取首项，公差的等差数列，， 即等差数列为；抽取下标为的项，得到 项， 这是公比为 的等比数列，满足所有条件，此时，符合要求. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $