精品解析：北京海淀实验中学2026届高三下学期数学开学检测试题

高三数学开学检测 一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设z=i(2+i)，则= A. 1+2i B. –1+2i C. 1–2i D. –1–2i 3. 双曲线的渐近线的倾斜角为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 4. 已知函数，则的图象（ ） A. 关于点对称 B. 关于直线对称 C. 关于点对称 D. 关于直线对称 5. 已知等比数列的各项均为正数，且，，成等差数列，则（ ） A. B. C. 3 D. 9 6. 若，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 数列的通项公式为，则“”是“为递增数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件 8. 若函数（，）图象过点，在上有且只有两个零点，则的最值情况为（ ） A. 最小值为，最大值为 B. 无最小值，最大值为 C. 无最小值，最大值为 D. 最小值为，最大值为 9. 为了给地球减负，提高资源利用率，2019年全国掀起了垃圾分类的热潮，垃圾分类已经成为新时尚．假设某市2019年全年用于垃圾分类的资金为5000万元，在此基础上，每年投入的资金比上一年增长20%，则该市全年用于垃圾分类的资金开始超过1.28亿元的年份是（ ）（参考数据：，） A. 2023年 B. 2024年 C. 2025年 D. 2026年 10. “圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等，如图，已知圆的半径2，点是圆内的定点，且，弦均过点，则下列说法错误的是（ ） A. 为定值 B. 当时，为定值 C. 的取值范围是 D. 的最大值为12 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 已知抛物线的方程为，则它的准线方程是___________． 12. 已知，则=____. 13. 若是偶函数，则有序实数对可以是__________.（写出你认为正确的一组数即可）. 14. 小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面是边长为8（单位：）的正方形，，，，均为正三角形，且它们所在的平面都与平面ABCD垂直，则该包装盒的容积是________． 15. 已知动直线的方程：，给出如下结论： ①动直线l恒过某一定点； ②存在不同的实数，，使相应的直线，平行； ③坐标平面上至少存在两个点都不在动直线l上； ④动直线可表示坐标平面上除，之外的所有直线； ⑤动直线可表示坐标平面上的所有直线； 其中正确结论的序号是__________． 三、解答题：本题共6小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 在中分别、、分别是角A、B、C的对边，且满足. （Ⅰ）求角A的大小； （Ⅱ）现在给出三个条件：①；②；③.试从中选出两个条件，补充在下面的问题中，__________，__________，求的面积. 17. 已知正方体和平面，直线平面，直线平面. （1）证明：平面平面； （2）点为线段上的动点，求直线与平面所成角的最大值. 18. 某工厂的检验员为了检测生产线上生产零件的情况,从产品中随机抽取了个进行测量,根据所测量的数据画出频率分布直方图如下: 注:尺寸数据在内的零件为合格品,频率作为概率. (Ⅰ) 从产品中随机抽取件,合格品的个数为,求的分布列与期望； (Ⅱ) 从产品中随机抽取件,全是合格品的概率不小于,求的最大值； (Ⅲ) 为了提高产品合格率,现提出两种不同的改进方案进行试验.若按方案进行试验后,随机抽取件产品,不合格个数的期望是；若按方案试验后,抽取件产品,不合格个数的期望是,你会选择哪个改进方案? 19. 如图，在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，过椭圆的右焦点F作两条互相垂直的弦与．当直线的斜率为0时，． （1）求椭圆的标准方程； （2）求以为顶点的四边形的面积的取值范围． 20. 已知函数. （1）若曲线在处的切线与轴垂直，求的值； （2）讨论的单调性； （3）若存在，使得的解集为，直接写出的取值范围. 21. 给定无穷数列，若无穷数列满足：对任意，都有，则称与“接近”. （1）设是首项为1，公比为的等比数列，，判断数列是否与“接近”，并说明理由； （2）设数列的前三项为：，，，是一个与“接近”的数列，求集合的元素个数； （3）设是公差为d的等差数列，若存在数列满足：与“接近”，且对任意，在中至少有n个为正数，求d的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学开学检测 一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接求出. 【详解】因为集合，集合，所以. 故选：C. 2. 设z=i(2+i)，则= A. 1+2i B. –1+2i C. 1–2i D. –1–2i 【答案】D 【解析】 【分析】本题根据复数的乘法运算法则先求得，然后根据共轭复数的概念，写出． 【详解】， 所以，选D． 【点睛】本题主要考查复数的运算及共轭复数，容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查．理解概念，准确计算，是解答此类问题的基本要求．部分考生易出现理解性错误． 3. 双曲线的渐近线的倾斜角为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线渐近线公式结合斜率和倾斜角关系得到答案. 【详解】令，则， 即双曲线的渐近线方程为，倾斜角为或. 故选：C． 4. 已知函数，则的图象（ ） A. 关于点对称 B. 关于直线对称 C. 关于点对称 D. 关于直线对称 【答案】C 【解析】 【分析】根据对称性对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】AB选项，，所以AB选项错误. C选项，，， 所以的图象关于点对称，C选项正确. D选项，，所以D选项错误. 故选：C 5. 已知等比数列的各项均为正数，且，，成等差数列，则（ ） A. B. C. 3 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用等差中项的定义及等比数列的通项公式列式计算即得. 【详解】设正项等比数列的公比为，则，， 由成等差数列，得，即，而， 则，解得，所以. 故选：D 6. 若，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】应用基本不等式计算判断B，C，D，应用特殊值法计算判断A. 【详解】因为，且，则，所以，当且仅当时取等号，B选项错误； 因为，当时，，A选项错误； 因为，所以，当且仅当时取等号，C选项错误； 因为，当且仅当时取等号，D选项正确； 故选：D. 7. 数列的通项公式为，则“”是“为递增数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据以及充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可 【详解】由题意得数列为递增数列等价于对任意恒成立， 即对任意恒成立，故， 所以“”是“为递增数列”的充分不必要条件， 故选：A 8. 若函数（，）图象过点，在上有且只有两个零点，则的最值情况为（ ） A. 最小值为，最大值为 B. 无最小值，最大值为 C. 无最小值，最大值为 D. 最小值为，最大值为 【答案】C 【解析】 【分析】由图象过点求出，然后解，得，再分析在上有且只有两个时，的取值只能是，从而可得的范围， 【详解】由题可知，即，∴， 又∵，，∴. 令，得， 解得 又∵，在上有且只有两个零点， ∴只能取1，2，故，解得， ∴，∴，没有最小值． 故选：C. 【点睛】本题考查三角函数的图象与性质，考查学生分析问题解决问题的能力，结合正弦函数的性质求解是解三角函数问题的常用方法． 9. 为了给地球减负，提高资源利用率，2019年全国掀起了垃圾分类的热潮，垃圾分类已经成为新时尚．假设某市2019年全年用于垃圾分类的资金为5000万元，在此基础上，每年投入的资金比上一年增长20%，则该市全年用于垃圾分类的资金开始超过1.28亿元的年份是（ ）（参考数据：，） A. 2023年 B. 2024年 C. 2025年 D. 2026年 【答案】C 【解析】 【分析】设后第年该市全年用于垃圾分类的资金开始超过亿元，结合等增长率模型列出不等式计算即可得结论. 【详解】设后第年该市全年用于垃圾分类的资金开始超过亿元， 因为该市年全年用于垃圾分类的资金为万元，每年投入的资金比上一年增长， 所以2019年后第年该市全年用于垃圾分类的资金为， 由已知，所以， 两边取常用对数可得， 又，， 所以. 所以后第年，即年该市全年用于垃圾分类的资金开始超过亿元. 10. “圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等，如图，已知圆的半径2，点是圆内的定点，且，弦均过点，则下列说法错误的是（ ） A. 为定值 B. 当时，为定值 C. 的取值范围是 D. 的最大值为12 【答案】D 【解析】 【分析】过作直径，利用向量加减几何意义得判断A；根据垂直关系及、数量积得运算律化简判断B；若为中点，连接，应用向量线性运算的几何意义及数量积的运算律、圆的性质得，进而求范围判断C；由弦的最大值判断D. 【详解】如图，过作直径，依题意， 为定值，A正确； 若，则， 则， 又，则，同理可得，故，B正确； 若为中点，连接，则 ， 由题意，则，C正确； 因为，则有，D错误. 故选：D 【点睛】关键点睛：根据定义及向量线性运算的几何意义，结合数量积的运算律转化各项数量积或乘积关系，再由圆的性质、基本不等式判断各项正误. 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 已知抛物线的方程为，则它的准线方程是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据标准方程即可求解. 【详解】将化成标准形式为：，故准线方程为， 故答案为： 12. 已知，则=____. 【答案】32 【解析】 【分析】 对多项式进行变形得，再研究展开式中的项，即可得答案. 【详解】对多项式进行变形得， ∴， 当时，. 故答案为：. 【点睛】本题考查二项式定理求展开式指定项的系数，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力. 13. 若是偶函数，则有序实数对可以是__________.（写出你认为正确的一组数即可）. 【答案】（答案不唯一，满足条件即可） 【解析】 【分析】化简的解析式，根据是偶函数写出正确答案. 【详解】 ， 注意到是偶函数， 所以当时，是偶函数， 所以有序实数对可以是. 故答案为：（答案不唯一，满足条件即可） 14. 小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面是边长为8（单位：）的正方形，，，，均为正三角形，且它们所在的平面都与平面ABCD垂直，则该包装盒的容积是________． 【答案】## 【解析】 【分析】将几何体补全为长方体，包装盒的容积为，进而可得. 【详解】如图，把几何体补全为长方体，则， ， 由对称性，可得该包装盒的容积为 . 15. 已知动直线的方程：，给出如下结论： ①动直线l恒过某一定点； ②存在不同的实数，，使相应的直线，平行； ③坐标平面上至少存在两个点都不在动直线l上； ④动直线可表示坐标平面上除，之外的所有直线； ⑤动直线可表示坐标平面上的所有直线； 其中正确结论的序号是__________． 【答案】②③ 【解析】 【分析】该直线方程为以圆心，以1为半径的圆的切线方程，由此判断各结论是否正确. 【详解】点到动直线的距离为, 所以动直线为以为圆心，以1为半径的圆的所有切线. ①，因为动直线表示以为圆心，以1为半径的圆的所有切线， 这些切线与圆相切，不过定点，故①错 ②，当，即斜率存在时，直线化成一般形式得， 所以斜率，存在不同的实数，，使得，相应的直线，平行， 如，，直线平行，故②正确 ③，动直线表示圆的所有切线，圆内部的点都不在任何一条切线上，至少两个显然满足，故③正确 ④，该方程表示以为圆心，半径为1的圆的切线，不是除，的所有直线，故④错误 ⑤，该方程表示以为圆心，半径为1的圆的切线，不是坐标平面上的所有直线，故⑤错误. 三、解答题：本题共6小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 在中分别、、分别是角A、B、C的对边，且满足. （Ⅰ）求角A的大小； （Ⅱ）现在给出三个条件：①；②；③.试从中选出两个条件，补充在下面的问题中，__________，__________，求的面积. 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）选②；③时，；选：①；③时，；选①；②时，此时无解，故排除. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理，把边换为角的正弦，然后整理可得，进而求解角A；（2）选择适当的两个条件，注意①②不可选，利用第一问中求得的角A的度数进行求解. 【详解】（1）在中分别、、分别是角A、B、C的对边，且满足. 利用正弦定理：， 整理得：， 所以，由于，所以， 由于，所以； （2）选②；③时，由（1）得：， 由正弦定理：，解得，， 所以； 选：①；③时， 利用余弦定理， 整理得：，解得； 故，所以. 选①；②时， 因为，，所以，此时，所以，与①矛盾，故选①②无解. 综上所述：当选②③时，；选①③时，. 17. 已知正方体和平面，直线平面，直线平面. （1）证明：平面平面； （2）点为线段上的动点，求直线与平面所成角的最大值. 【答案】（1）证明见解析；（2）最大值为. 【解析】 【分析】（1）连接，先证平面，再证平面，通过过直线作平面与平面相交于直线，平面，进而可得结果； （2）求出平面的法向量，设，将直线与平面所成角的正弦值表示为关于的函数，求出最值即可. 【详解】（1）证明：连接，则，因为平面， 平面，所以； 又因为，所以平面； 因为平面，所以； 同理；因为，所以平面； 因为平面，过直线作平面与平面相交于直线，则； 所以平面；又平面， 所以平面平面； （2）设正方体的棱长为，以为坐标原点，，，分别为，，轴正方向建立空间直角坐标系，则，，，， 所以，. 设平面的法向量为， 则，即，取，则； 设，则，因为， 所以； 设直线与平面所成的角为， 则， 所以当时，取到最大值为， 此时的最大值为. 【点睛】引入新的变量，将用表示，线面角的正弦值表示为关于的函数是解题的关键. 18. 某工厂的检验员为了检测生产线上生产零件的情况,从产品中随机抽取了个进行测量,根据所测量的数据画出频率分布直方图如下: 注:尺寸数据在内的零件为合格品,频率作为概率. (Ⅰ) 从产品中随机抽取件,合格品的个数为,求的分布列与期望； (Ⅱ) 从产品中随机抽取件,全是合格品的概率不小于,求的最大值； (Ⅲ) 为了提高产品合格率,现提出两种不同的改进方案进行试验.若按方案进行试验后,随机抽取件产品,不合格个数的期望是；若按方案试验后,抽取件产品,不合格个数的期望是,你会选择哪个改进方案? 【答案】(Ⅰ)分布列见解析，； (Ⅱ)； (Ⅲ)选择方案. 【解析】 【分析】(Ⅰ)先根据直方图求出合格率，然后求出ξ的可能取值和相应的概率，作分布列，再利用随机变量的分布列进行求期望； (Ⅱ)根据n件产品都合格的概率大于等于0.3，列不等式求解n的最大值； (Ⅲ)根据期望求出A，B方案不合格的概率，即可选择. 【详解】(Ⅰ)由直方图可知,抽出产品为合格品的频率为,即抽出产品为合格品的概率为, 从产品中随机抽取件,合格品的个数的所有可能取值为且 ,,, ,, 所以的分布列为 故数学期望 (Ⅱ) 随机抽取件,全是合格品的概率为,依题意,故的最大值为. (Ⅲ) 按方案随机抽取产品不合格的概率是,随机抽取件产品,不合格个数； 按方案随机抽取产品不合格的概率是,随机抽取件产品,不合格个数, 依题意,,解得, 因为,所以应选择方案. 【点睛】本题考查了频率直方图的实际应用，利用二项分布的概念求分布列，以及二项分布期望计算，以及期望的实际应用，考查学生的计算能力；若 则 . 19. 如图，在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，过椭圆的右焦点F作两条互相垂直的弦与．当直线的斜率为0时，． （1）求椭圆的标准方程； （2）求以为顶点的四边形的面积的取值范围． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）由题意得，， ，求得，可求得椭圆的方程； （2）分当直线与中有一条直线的斜率为0时，另一条直线的斜率不存在，和两条直线的斜率均存在且不为0时，两种情况分别求得四边形的面积.当斜率存在时，设，直线的方程为，则直线的方程为．与椭圆方程联立，表示弦长和，继而表示四边形ADBC的面积，再由基本不等式可求得范围. 【详解】解：（1）由题意知，，则，， 当直线的斜率为0时，，∴． ∴椭圆的方程为； （2）①当直线与中有一条直线的斜率为0时，另一条直线的斜率不存在． 由题意知四边形ADBC的面积． ②当两条直线的斜率均存在且不为0时， 设，直线的方程为， 则直线的方程为． 将直线的方程代入椭圆方程，整理得 ， 由题意可知∴， ∴， 同理可得， ∴四边形ADBC的面积 ， ∵，当且仅当时取等号， ∴四边形ADBC的面积， 综上①②可知，四边形ADBC的面积的取值范围为． 【点睛】关键点点睛：在求解直线与椭圆的综合问题时，关键在于将目标条件表示成交点的坐标上去，注意运用根与系数的关系. 20. 已知函数. （1）若曲线在处的切线与轴垂直，求的值； （2）讨论的单调性； （3）若存在，使得的解集为，直接写出的取值范围. 【答案】（1） （2）当时，的增区间为，减区间为； 当时，的增区间为和，减区间为； 当时，在上单调递增； 当时，的增区间为和，减区间为. （3） 【解析】 【分析】（1）先对进行求导，根据即可解出的值； （2）先求导，分别对，，，四种情况分类讨论函数单调性即可； （3）的解集为，说明的解为，由于，由可得，所以要么只有一个根为2，要么恒成立.①若只有一个根为2，可得；若恒成立，当时该不等式恒成立，当时，取代入，不符合题意，舍；当时，可化为，设，求导求单调性求其最大值即可解得，再考虑端点值时，不符合题意，舍，即得的取值范围. 【小问1详解】 由题可得， 由曲线在处的切线与轴垂直，可得， 因此. 【小问2详解】 由题知定义域为，且， ①当时，对任意， 令，则，列表如下： 1 - 0 + 极小值 所以的增区间为，减区间为； ②当时，由，可得，且，列表如下： 1 + 0 - 0 + 极大值 极小值 所以的增区间为和，减区间为； ③当时，， 令，可得，列表如下： 1 + 0 + 所以在上单调递增； ④当时，令，可得，且，列表如下： 1 + 0 - 0 + 极大值 极小值 所以的增区间为和，减区间为， 综上所述：当时，的增区间为，减区间为； 当时，的增区间为和，减区间为； 当时，在上单调递增； 当时，的增区间为和，减区间为. 【小问3详解】 . 【点睛】关键点点睛：本题考查根据不等式解集求参数范围，解题关键是对进行因式分解后，分析有根，无根，根大于2，小于2的各个情况，再结合图象即可得出结果. 21. 给定无穷数列，若无穷数列满足：对任意，都有，则称与“接近”. （1）设是首项为1，公比为的等比数列，，判断数列是否与“接近”，并说明理由； （2）设数列的前三项为：，，，是一个与“接近”的数列，求集合的元素个数； （3）设是公差为d的等差数列，若存在数列满足：与“接近”，且对任意，在中至少有n个为正数，求d的取值范围. 【答案】（1）是，理由见解析 （2）3个 （3） 【解析】 【分析】（1）运用等比数列的通项公式和新定义“接近”，即可判断； （2）由新定义可得，求得的范围，即可得到所求个数； （3）运用等差数列的通项公式可得，讨论公差，，结合新定义“接近”，推理和运算，即可得到所求范围． 【小问1详解】 数列是与“接近”，理由如下： 是首项为1，公比为的等比数列， 可得，， 则， 可得数列与接近. 【小问2详解】 与 “接近”， ， 于是有， ， ， ， 由于， 其中, 互不相等，有3个元素. 【小问3详解】 与“接近”， ， ，， 因此， 是公差为的等差数列，， ①当时，则，此时中无正数； ②当时，存在， 满足：，即与“接近”， 满足：， 即这个都为正数； 综上，的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $