专题11分式的乘除与加减同步讲义(知识梳理+题型精析+考点突破）2025-2026学年浙教版七年级数学下册

专题11分式的乘除与加减同步讲义 【题型01 分式的乘法运算】........................................3 【题型02 分式的除法运算】........................................4 【题型03 分式乘除混合运算】......................................6 【题型04 分式的乘方运算】........................................8 【题型05 含乘方的分式混合运算】.................................10 【题型06 同分母加减法】.........................................11 【题型07 分式的通分】...........................................14 【题型08 最简公分母的确定】.....................................16 【题型09 异分母加减法】.........................................17 【题型10 整式与分式的加减】.....................................19 【题型11 分式加减混合运算】.....................................20 【题型12 分式加减的实际应用】...................................23 【题型13 分式加减乘除混合运算】.................................25 【题型14 分式化简求值】.........................................27 【题型15 由分式恒等式求分子或分母】.............................29 【解答题6题】...................................................31 ★知识梳理★ 知识点01:分式的乘除 一、核心法则 1.分式乘法 法则：分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母。 符号语言：×（b0，d0） 运算技巧：先约分，后相乘。分子分母是多项式时，先因式分解，再约去公因式。 2.分式除法 法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘（除转乘）。 符号语言：×（b0，c0，d0） 特殊情况：除式是整式时，视为分母为 1 的分式，再颠倒相乘。 3.分式乘方 法则：分式的乘方，把分子、分母分别乘方。 符号语言：()n（b0，n为正整数） 符号规则：正数的任何次方为正；负数的偶次方为正，奇次方为负。 二、运算顺序与易错点 1.运算顺序：先乘方，再乘除；有括号先算括号内；同级运算从左到右。 2.符号判断：多个分式乘除，结果符号由负因数个数决定，奇负偶正。 3.易错点 (1)除法未转化为乘法直接运算。 (2)多项式未因式分解就约分，导致漏约或错约。 (3)乘方时只给分子或分母乘方，忽略整体。 (4)结果未化为最简分式或整式。 知识点02:分式的加减 一、核心法则 1.同分母分式加减 法则：分母不变，把分子相加减。 符号语言：±（c0） 注意：分子是多项式时，需加括号再运算，避免符号错误。 2.异分母分式加减 步骤：先通分，化为同分母分式，再按同分母法则计算。 通分关键：找最简公分母（各分母系数的最小公倍数 × 所有字母最高次幂的积）。 符号语言：±（b0，d0） 二、通分与化简要点 1.通分步骤 (1)分解各分母因式。 (2)确定最简公分母。 (3)分子分母同乘相应因式，化为同分母。 特殊通分：分母互为相反数时，通过变号转化为同分母结果要求：运算后必须约分，化为最简分式或整式。 三、易错点 1.异分母加减未通分，直接分子分母分别加减。 2.通分时只变分母，不变分子，或分子漏乘公因式。 3.分子相减时，多项式未加括号，导致符号错误。 4.结果未化简，保留可约分式。 【题型1.分式的乘法运算】 【典例】计算：_____． 【答案】 【分析】本题考查了分式的乘法运算，将两个分式相乘，再约分即可求解，掌握分式的乘法法则是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 【跟踪专练1】计算的结果是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式乘法运算，熟练掌握分式乘法运算法则，是解题的关键．根据分式乘法运算法则，进行计算即可． 【详解】解： ． 故选：A． 【跟踪专练2】计算：__________． 【答案】 【分析】先确定积的符号，再依据分式乘法法则，将分子、分母分别相乘后约分得到最简结果． 【详解】解： ． 【跟踪专练3】若分式“”可以进行约分化简，则“○”不可以是（    ） A．1 B．x C． D．4 【答案】C 【分析】将1，x，-x，4，逐一代替“○”，分解因式后可以约分化简的不合题意，不可以约分化简的符合题意． 【详解】A．，可以进行约分化简，“○”可以是1，不合题意； B．，可以进行约分化简，“○”可以是x，不合题意； C．，不可以进行约分化简，“○”不可以是-x，合题意； D．， 可以进行约分化简，“○”可以是4，不合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了分式的乘法，解决问题的关键是熟练掌握分解因式，约分化简． 【题型2.分式的除法运算】 【典例】计算：_____． 【答案】 【分析】本题考查分式的乘除，先将除法运算转化为乘法运算，利用倒数的性质求解即可． 【详解】解： = （除以一个分数等于乘以它的倒数） ． 故答案为：． 【跟踪专练1】使式子有意义的的取值范围是（    ） A．且 B．且 C．且 D．，且 【答案】D 【分析】本题考查分式有意义的条件，分式有意义要求分母不为0，且除法运算中除式不能为0，据此列出不等式即可得到x的取值范围． 【详解】解：依题意， 则，，， 解得，且， 故选：D． 【跟踪专练2】对于，，我们定义两种运算：，．则__________． 【答案】 【分析】本题为新定义运算题，先根据给定的两种运算定义，将目标式中的新运算转化为常规分式，再依据分式除法法则及平方差公式进行化简计算即可． 【详解】解：根据新定义运算：，，则， ∴ ． 【跟踪专练3】下列运算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的乘除与乘方运算，需依据分式相关运算法则逐一计算各选项并判断正误． 【详解】分式乘法法则为分子相乘作分子、分母相乘作分母，再约分， 选项A：，运算正确； 分式乘方需分子、分母分别乘方， 选项B：，运算错误； ， 选项C：，运算错误； 分式除法需转化为乘法，即除以一个分式等于乘它的倒数， 选项D：，运算错误； 综上，正确答案为A． 【题型3.分式的乘除混合运算】 【典例】计算：=_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的除法计算，单项式乘以单项式，根据同级运算从左到右的顺序，先计算乘法，再将除法运算转化为乘法运算，然后通过约分简化表达式即可得到答案． 【详解】解： 故答案为：． 【跟踪专练1】化简的结果（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的乘除法，熟练掌握其运算法则是解题的关键．将除法运算转化为乘法运算，并利用平方差公式分解分母，然后约分简化表达式． 【详解】解： ， ， ． 故选：B． 【跟踪专练2】小刚同学不小心弄污了练习本的一道题，这道题是：“化简”其中“”处被弄污了，但他知道这道题的化简结果是，则“”处的式子为______ ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的乘除法，熟练掌握相关运算法则是解本题的关键． 根据题意列出算式，计算即可得到结果． 【详解】 解：根据题意得：， 又 则“”处的式子为． 故答案为：． 【跟踪专练3】下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的运算，乘法公式． 根据分式的运算法则结合乘法公式逐一计算后判断即可． 【详解】解：对于A：，错误； 对于B：，错误； 对于C：，正确； 对于D：，，错误； 故选：C． 【题型4.分式的乘方运算】 【典例】计算：_______． 【答案】 【分析】本题考查了分式的乘方运算以及分式的乘法运算，解题的关键是掌握分式的乘方运算法则和乘法运算法则． 先计算，再与相乘并约分即可解答． 【详解】解：， 故答案为：． 【跟踪专练1】计算的正确结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式的乘方运算，需运用积的乘方、幂的乘方的运算法则计算． 【详解】解：， 故选：D． 【跟踪专练2】．计算： (1)____________； (2)________________________． 【答案】(1)，， (2)，，， 【分析】运用分式乘方法则、积的乘方法则与幂的乘方法则分步计算，先将分式的分子、分母分别乘方，再通过幂的相关运算法则化简得到最终结果． 【详解】（1）解：； （2）解：． 【跟踪专练3】已知，则的值为（    ） A．36 B．12 C．6 D．3 【答案】C 【分析】先根据分式的乘方法则和幂的运算法则化简已知等式左边的表达式，再通过指数运算得出结果，从而求出的值. 【详解】解：， ， ， ． 故选：C． 【点睛】本题主要考查分式的乘方和除法运算，在进行分式运算时，要牢记分式乘方、除法的运算法则，注意符号的处理. 【题型5.含乘方的分式混合运算】 【典例】计算：_____________． 【答案】 【分析】原式先计算乘方运算，再计算乘除运算即可得到结果． 【详解】解：原式， 故答案为：． 【点睛】此题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【跟踪专练1】计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的乘方、乘除运算知识点，掌握分式的乘方运算法则以及分式的乘除运算法则是解题的关键． 本题根据分式的乘方运算法则和分式的乘除运算法则，对原式逐步进行乘方、转化和约分计算，得到最终的化简结果，即可解决分式的乘方与乘除混合运算问题． 【详解】解：原式 故选：A． 【跟踪专练2】化简：______． 【答案】 【分析】本题考查了分式的乘方、乘除运算，掌握分式的乘方运算法则以及分式的乘除运算法则是解题的关键． 本题根据分式的乘方运算法则和分式的乘除运算法则，对原式逐步进行乘方、化简和约分计算，得到最简分式的结论，即可解决分式的乘方与乘除混合运算化简问题． 【详解】解：原式， 故答案为：． 【跟踪专练3】下列各式中，计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式的乘方运算，运用指数运算法则：及幂的运算性质是解题的关键． 逐个选项运用分式乘方法则和幂的运算性质计算，判断结果是否正确，注意符号和指数的运算． 【详解】解：A、∵，∴A错误，不符合题意； B、∵， ∴B错误，不符合题意； C、∵，∴C错误，不符合题意； D、∵，∴ ， 与右边相等，∴ D正确，符合题意． 故选：D． 【题型6.同分母分式加减法】 【典例】计算：______． 【答案】 【分析】本题考查同分母分式的加法运算．解题思路是依据同分母分式加法的运算法则，分母不变，将分子相加后化简即可掌握以上知识是解答本题的关键；本题根据同分母分式的加法运算知识，进行计算，即可求解． 【详解】解：根据同分母分式加法法则：同分母的分式相加，分母不变，把分子相加． 即， 故答案为：． 【跟踪专练1】计算的结果是（    ） A． B． C．2 D．x 【答案】C 【分析】本题考查异分母分式的加减运算，将异分母分式转化为同分母分式，再根据同分母分式加法法则计算并化简． 【详解】解： =； ∵， ∴原式． 故选：C． 【跟踪专练2】已知，则代数式的值为__________． 【答案】1 【分析】先凑出公分母，然后按照同分母分式加减法运算，再根据分式的基本性质约分完成化简，最后将代入计算即可． 【详解】解： ． 当时，原式． 【跟踪专练3】一列数（n是正整数，其中，均为非零数）满足规律：从第二个数起，每一数都等于与它相邻两数之积，如下列说法： ①若，则； ②若，则； ③已知，若前3个数中任意一个为1，则M化简后的常数项为675或676． 其中正确的个数是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】本题主要考查规律探索，对于说法①，根据题意分别计算出，，，的值，即可判断正误；对于说法②，根据题意可求得，据此即可判断正误；对于说法③，序列呈周期性，分，，三种情况讨论即可． 【详解】根据题意可知，其中为正整数，且． 当，时， 因为，所以． 同理可求得，，． 所以． 所以①正确． 根据题意可知，． 因为，可得，变形得． 当时，． 当时，． 所以②错误． 根据题意可知 ，，，，，，． 上述序列具有周期性，周期为，前项中完整周期数：． 当时，，常数项为676． 当时， ，常数项为675． 当，则， ，常数项为675． 综上所述，常数项为或． 所以③正确． 综上，正确个数为． 故选：B 【题型7.分式的通分】 【典例】将通分后，它们分别是________，________，________． 【答案】 【分析】先确定三个分式的最简公分母是，可得通分后的结果． 【详解】解：由三个分式的最简公分母是， 故通分后它们分别是：， 故答案为：，，． 【点睛】本题考查了通分，通分的关键是准确求出各个分式中分母的最简公分母，确定最简公分母的方法一定要掌握． 【跟踪专练1】若将分式与通分，则分式的分子应变为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了通分，需掌握最简公分母的求法：取各分母系数的最小公倍数和所有因式的最高次幂的积．通分的关键是确定最简公分母，分式和的公分母为 ，据此计算即可． 【详解】解：∵最简公分母为：， ∴分式的分子和分母需同乘， ∴分子变为． 故选：A． 【跟踪专练2】把，，通分后，各分式的分子之和为________． 【答案】 【分析】本题考查了分式的通分． 先将各分式的分母因式分解，确定最简公分母为，再通分得到各分式的分子，最后将分子相加并化简． 【详解】解：各分母分解因式： ， ， ， 可知最简公分母为． 的分子通分后为， 的分子通分后为， 的分子通分后为， 分子之和为： ． 故答案为：． 【跟踪专练3】若将分式与通分，则分式的分子应变为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的通分，关键是确定最简公分母，根据分式的基本性质将分子同乘相应式子得到结果即可． 【详解】解：∵两个分式的分母分别为和， ∴最简公分母为， ∵要将通分，需给分子分母同乘， ∴分子变为， 故选：A． 【题型8.最简公分母的确定】 【典例】分式与的最简公分母为________． 【答案】 【详解】解：分式与的分母分别为和， 与的最小公倍数为， 因此分式与的最简公分母为． 【跟踪专练1】如果把分式与进行通分，它们的最简公分母是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查最简公分母的确定．先将分式的分母因式分解，再根据最简公分母的定义，取各分母所有因式的最高次幂的乘积得到最简公分母． 【详解】解：分式与的最简公分母是． 故选：C． 【跟踪专练2】分式与的最简公分母为____． 【答案】 【分析】此题考查了分式的最简公分母，掌握将所有多项式的分母分解因式，所有不同因式的乘积组成了分式的最简公分母是解题的关键．对分母进行因式分解，找到不同因式的乘积解题即可． 【详解】解：，， ∴分式与的最简公分母是， 故答案为：． 【跟踪专练3】下列说法正确的是（   ） A．当时，分式有意义 B．分式与的最简公分母是 C．当分式值为0时， D．无论x为何值，的值总为正数 【答案】D 【分析】本题考查分式的相关概念，包括分式有意义的条件、最简公分母的确定、分式值为零的条件及分式值的正负判断，解题关键是掌握分式相关的基本性质． 【详解】解：对于A选项，∵分式有意义的条件是分母不为，即，不是，∴A错误； 对于B选项，∵确定最简公分母需取系数最小公倍数与各字母因式最高次幂的乘积，∴分式与的最简公分母是，不是，∴B错误； 对于C选项，∵分式值为需满足分子为且分母不为，由得，又即，∴，不是，∴C错误； 对于D选项，∵对任意都有，∴，分子，∴恒成立，∴D正确． 故选：D． 【题型9.异分母加减法】 【典例】计算：______． 【答案】 【分析】本题考查了异分母分式的加法运算，先通分，将异分母分式转化为同分母分式，再相加即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为 ． 【跟踪专练1】化简的结果为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的化简，先统一分母，再合并分子化简后约分即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴ 原式． 故选：． 【跟踪专练2】若，则______． 【答案】2 【分析】本题考查了异分母分式加减，将所求分式通分后，利用已知条件代入化简． 【详解】解：， ， 原式 故答案为：2 【跟踪专练3】化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式的加减运算．先统一分母符号，再通过通分将分式化为同分母分式，最后合并分子并化简得到结果即可解答． 【详解】解：原式可变形为， 确定最简公分母为，通分后得： ， 合并分子并展开得：， 化简分子：， 原式， 故选：． 【题型10.整式与分式的加减】 【典例】计算：的结果是______． 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减运算．根据分式的加减运算法则进行计算，即可求解． 【详解】解：． 故答案为：． 【跟踪专练1】若 ，则 （   ） A． B．2 C．0 D．无法计算 【答案】A 【分析】本题考查了分式的减法运算，整体代入求值，对等式合理的变形是解题的关键；先计算分式的减法，再整体代入求值即可； 【详解】解：， ， ， ∴ 原式 ， 故选：． 【跟踪专练2】若，则的值为______． 【答案】或 【分析】本题考查分式的性质及化简求值，由可得，进而得到，然后分情况讨论即可． 【详解】∵， ∴， ∴， 即， 当时，，即，此时； 当时，； 故答案为：或． 【跟踪专练3】下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式的基本性质和运算法则，逐一判断，即可解答． 【详解】解：，故A错误； ，故B错误； ，故C正确； ，故D错误， 故选：C． 【点睛】本题考查了分式的基本性质和运算法则，熟知该法则是解题的关键． 【题型11.分式加减混合运算】 【典例】化简的结果是__________ 【答案】 【分析】先通分，再用平方差公式计算，再合并同类项即可求出最终结果． 【详解】解： 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分式的加减混合运算，平方差公式等知识，熟练掌握运算法则和公式是解题的关键． 【跟踪专练1】已知则的值为（    ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】对进行恒等变换得到的值． 【详解】∵ ∴ ∴ ∴，即． 故答案选：C． 【点睛】本题是对代数式的恒等变换．通过变换得到所求代数式是本题解题的关键． 【跟踪专练2】某中学组织学生乘车前往实践基地参加活动，计划租m辆车（），如果每辆车13人，则有4人上不了车；如果有一辆车不坐人，那么正好平分到其他车上，则计划组织_______名学生参加此次活动． 【答案】 【分析】本题考查了分式的运算，根据题意求出每辆车乘坐人数为（人），故是整数，所以只有或，求出，即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，有一辆车不坐人正好平分到其他车上时，每辆车乘坐人数为： （人）， 故是整数， ∴或， 解得：（不合题意，舍去）或， 当时， ， 故答案应为：． 【跟踪专练3】对于正数，规定，例如：．的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的加减，读懂题目信息，理解新定义的运算方法是解题的关键．根据，可得，进而得到，即可求解． 【详解】解：， ， ， 故选：A． 【题型12.分式加减的实际应用】 【典例】某施工队每天挖掘米隧道，改进施工技术后每天能多挖掘，那么同样挖掘米隧道，比原来少用的天数为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式减法运算的实际应用，核心是通过计算不同施工效率下的施工天数，进而求出天数差．先根据原日挖掘量求出改进技术后的日挖掘量，再分别计算两种情况下挖掘米隧道所需的天数，最后用原天数减去改进后的天数得到少用的天数． 【详解】解：原来每天挖掘米，挖掘米隧道需要的天数为； 改进施工技术后，每天挖掘的长度为米，此时挖掘米隧道需要的天数为； 因此比原来少用的天数为． 故选：D． 【跟踪专练1】某工厂供暖房有煤260吨，原计划可用天．采取节能措施后，这些煤可比原来多用天．那么，相比节能以前，节能后每天少用煤__________吨． 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减运算，难度不大，正确理解题意、熟练掌握分式的加减运算法则是关键．用原来每天的用煤量减去节能后每天的用煤量即可． 【详解】解：由题意可得， 节能后每天少用煤：． 故答案为：． 【跟踪专练2】建筑学要求：家用住宅房间窗户的面积必须小于房间地面的面积，但窗户的面积与地面面积的比值越大，采光条件越好．小明提出把房间的窗户和地面都增加相同的面积，他这样做采光条件（　　） A．变好了 B．变差了 C．不变 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了分式的性质和运用知识解决实际问题的能力．增加前的窗户面积与地板面积的比值减去增加后的窗户面积与地板面积的比值，即可得出答案． 【详解】解：， ∵， ∴，， 即． 所以他这样做采光条件变好了． 【跟踪专练3】某公司组织活动，个人参加，公司拿出活动经费百元（为正整数），且．现在又有个人参加活动，公司决定增加经费百元，则增加经费后人均经费比原来__________（填“增加”或“减少”）了__________百元． 【答案】 增加 【分析】先将原来与增加后的人均经费分别表示出来，通过作差法比较两者大小，判断人均经费的变化趋势，再利用分式的运算法则计算出具体的变化金额，即可求解． 【详解】解：原来的人均经费为百元，增加经费后的人均经费为百元， 计算两者的差值， 由题意可知，，且均为正整数， ， ， 则增加经费后人均经费比原来增加了百元． 故答案为：①增加，②． 【题型13.分式加减乘除混合运算】 【典例】计算：________． 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算，掌握相关运算法则是解题关键． 先算分式的乘法，再算加法，即可求解． 【详解】解：原式 故答案为： 【跟踪专练1】已知，，以下结论中正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的加减乘除运算，先对B进行通分化简，再将化简后的B与A进行运算，验证各选项结论，即可作答． 【详解】解：∵， ∴ 又∵， ∴， 故选项C正确， ∵， ∴， 故选项A不正确， ∵， ∴， 故选项B不正确， ∵， ∴， 故选项D不正确， 故选：C 【跟踪专练2】化简的结果是____________________ ． 【答案】/ 【分析】先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，即可求解． 【详解】解：原式 ． 【跟踪专练3】小明在作业本上书写了一个正确的演算过程，同桌小亮一不小心撕坏了一角，如图所示，则撕坏的一角中“”为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是分式的混合运算，理解题意，列出正确的运算式是解本题的关键．先根据除法与减法的意义列式表示“”为，再计算即可． 【详解】解：撕坏的一角中“”为． ． 故选：C． 【题型14.分式化简求值】 【典例】若，则的值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式化简求值，理解相关知识是解答关键． 先将变形为，再将代入求解． 【详解】解：， ． 故答案为：． 【跟踪专练1】若，则的值为（    ） A．10 B．7 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，通过已知分式等式变形得到与的关系，再将所求分式的分子、分母转化为含和的形式，最后代入计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 将代入中， 分子， 分母， ∴原式． 故选：A． 【跟踪专练2】已知，则的值为__________． 【答案】8 【分析】先对分式的分子分母进行因式分解，再根据分式乘除的运算法则运算即可求解． 【详解】解：原式 ， ∵， ∴原式． 【点睛】运用整体代入法解题． 【跟踪专练3】若，在如图所示的数轴上标注了四段，则表示的点落在（    ） A．段① B．段② C．段③ D．段④ 【答案】D 【分析】将原式化简后，将代入即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， ∴表示的点落在④段． 【题型15.由分式恒等式求分子或分母】 【典例】若常数M，N满足，则_______． 【答案】 【分析】本题考查分式的加减运算，熟练掌握分式运算法则是解题的关键． 将等式左边通分后与右边比较分子，得到关于和的方程组，再利用平方差公式求解的值． 【详解】解：由，左边通分得， 则， 展开得， 即， 比较系数得， 则， 故答案为：． 【跟踪专练1】若，其中A、B、C均为常数，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的化简求值，熟练掌握分式的化简是解题的关键，先将进行通分，得到，再根据，得到，从而求得，代入即可得到的值． 【详解】解：∵ ， ∴ ∴ ∴． 故选：A． 【跟踪专练2】若，且A，B均为常数，则________． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的加法运算，解二元一次方程组，根据分式的加减运算法则求出，则可得到，解方程组即可得到答案． 【详解】解： ， ∵，且A，B均为常数， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练3】为常数，如果，则___________． 【答案】6 【分析】本题考查分式的通分与恒等式的系数匹配，解题的关键是通过通分将左边化为同分母分式，再比较分子系数建立方程组求解． 先对左边分式通分，将其化为与右边同分母的形式，再通过分子多项式的系数对应关系，列方程组求出的值即可解答． 【详解】解：对左边通分：， 因为左边等于右边，所以分子需相等， ， 展开左边：， 比较等式两边的系数和常数项，得方程组： ， 解得：，． ∴． 故答案为：6． 【解答题】 1．计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的除法运算，因式分解在分式约分中的应用，掌握分式除法转化为乘法，再因式分解约分的步骤是解题的关键． （1）将除法转化为乘法，对分子提取负号变形后约分； （2）将除法转化为乘法，对分子分母的多项式因式分解后约分． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 2．化简下列分式． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据分式乘除法法则进行计算即可； （2）根据分式乘除法法则把除法变换为乘法，进行因式分解后，再约分计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 3．定义：若两个分式的和为n（n为正整数），则称这两个分式互为“n阶分式”，例如：，则分式与互为“3阶分式”． (1)填空：分式与互为“______阶分式”； (2)已知分式与A互为“4阶分式”，求分式A； (3)已知分式、，且B与互为“2阶分式”．求代数式M（用含x的式子表示）． 【答案】(1)5 (2) (3) 【分析】本题主要考查了分式的加减运算，正确理解“n阶分式”的定义是解题的关键． （1）求出分式与的和，再根据定义可得答案； （2）根据定义可得，则，据此计算求解即可； （3）根据定义可得，即，据此去分母求出M即可． 【详解】（1）解：， ∴分式与互为“5阶分式”； （2）解：∵分式与A互为“4阶分式”， ∴， ∴ ； （3）解：∵、，且B与互为“2阶分式”， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 4．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的混合运算，分式的加减运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键： （1）利用单项式乘以多项式和完全平方公式进行计算即可； （2）先计算括号内，再通分进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ． 5．先化简，再求值，其中 【答案】；4 【详解】解：原式 ， 把代入得，原式． 6．安安与宁宁相约去爬山，两人从云中湖同时出发，沿同一路线攀登抵达山顶铜鼓包，随后立即从山顶沿原路返回云中湖．安安上山的平均速度为，下山的平均速度为；宁宁借助登山机械骨骼，上下山全程的平均速度为，已知，且、均为正数． (1)安安往返所需时间为________，宁宁往返所需时间为________；（用含有，的式子表示） (2)两人谁先返回云中湖？请说明理由． 【答案】(1)； (2)宁宁先返回云中湖；理由见解析 【分析】代数式比大小一般使用作差法或者作商法，掌握好分式的性质和因式分解是关键． （1）根据速度、路程和时间之间的关系分别计算即可； （2）利用作差法比较两个分式的大小，从而得出结论． 【详解】（1）解：安安往返所需时长：（小时）， 宁宁往返所需时长：（小时）． （2）解：宁宁先返回云中湖，理由如下： ∵，，且， ∴ ∴ ∴宁宁先返回云中湖． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11分式的乘除与加减同步讲义 【题型01 分式的乘法运算】........................................3 【题型02 分式的除法运算】........................................3 【题型03 分式乘除混合运算】......................................4 【题型04 分式的乘方运算】........................................4 【题型05 含乘方的分式混合运算】..................................4 【题型06 同分母加减法】..........................................5 【题型07 分式的通分】............................................5 【题型08 最简公分母的确定】......................................6 【题型09 异分母加减法】..........................................6 【题型10 整式与分式的加减】......................................6 【题型11 分式加减混合运算】......................................7 【题型12 分式加减的实际应用】....................................7 【题型13 分式加减乘除混合运算】..................................7 【题型14 分式化简求值】..........................................8 【题型15 由分式恒等式求分子或分母】..............................8 【解答题6题】....................................................8 ★知识梳理★ 知识点01:分式的乘除 一、核心法则 1.分式乘法 法则：分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母。 符号语言：×（b0，d0） 运算技巧：先约分，后相乘。分子分母是多项式时，先因式分解，再约去公因式。 2.分式除法 法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘（除转乘）。 符号语言：×（b0，c0，d0） 特殊情况：除式是整式时，视为分母为 1 的分式，再颠倒相乘。 3.分式乘方 法则：分式的乘方，把分子、分母分别乘方。 符号语言：()n（b0，n为正整数） 符号规则：正数的任何次方为正；负数的偶次方为正，奇次方为负。 二、运算顺序与易错点 1.运算顺序：先乘方，再乘除；有括号先算括号内；同级运算从左到右。 2.符号判断：多个分式乘除，结果符号由负因数个数决定，奇负偶正。 (1)除法未转化为乘法直接运算。 (2)多项式未因式分解就约分，导致漏约或错约。 (3)乘方时只给分子或分母乘方，忽略整体。 (4)结果未化为最简分式或整式。 知识点02:分式的加减 一、核心法则 1.同分母分式加减 法则：分母不变，把分子相加减。 符号语言：±（c0） 注意：分子是多项式时，需加括号再运算，避免符号错误。 2.异分母分式加减 步骤：先通分，化为同分母分式，再按同分母法则计算。 通分关键：找最简公分母（各分母系数的最小公倍数 × 所有字母最高次幂的积）。 符号语言：±（b0，d0） 二、通分与化简要点 1.通分步骤 (1)分解各分母因式。 (2)确定最简公分母。 (3)分子分母同乘相应因式，化为同分母。 特殊通分：分母互为相反数时，通过变号转化为同分母结果要求：运算后必须约分，化为最简分式或整式。 三、易错点 1.异分母加减未通分，直接分子分母分别加减。 2.通分时只变分母，不变分子，或分子漏乘公因式。 3.分子相减时，多项式未加括号，导致符号错误。 4.结果未化简，保留可约分式。 【题型1.分式的乘法运算】 【典例】计算：_____． 【跟踪专练1】计算的结果是（  ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】计算：__________． 【跟踪专练3】若分式“”可以进行约分化简，则“○”不可以是（    ） A．1 B．x C． D．4 【题型2.分式的除法运算】 【典例】计算：_____． 【跟踪专练1】使式子有意义的的取值范围是（    ） A．且 B．且 C．且 D．，且 【跟踪专练2】对于，，我们定义两种运算：，．则__________． 【跟踪专练3】下列运算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型3.分式的乘除混合运算】 【典例】计算：=_____． 【跟踪专练1】化简的结果（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】小刚同学不小心弄污了练习本的一道题，这道题是：“化简”其中“”处被弄污了，但他知道这道题的化简结果是，则“”处的式子为______ ． 【跟踪专练3】下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型4.分式的乘方运算】 【典例】计算：_______． 【跟踪专练1】计算的正确结果是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】．计算： (1)____________； (2)________________________． 【跟踪专练3】已知，则的值为（    ） A．36 B．12 C．6 D．3 【题型5.含乘方的分式混合运算】 【典例】计算：_____________． 【跟踪专练1】计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】化简：______． 【跟踪专练3】下列各式中，计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型6.同分母分式加减法】 【典例】计算：______． 【跟踪专练1】计算的结果是（    ） A． B． C．2 D．x 【跟踪专练2】已知，则代数式的值为__________． 【跟踪专练3】一列数（n是正整数，其中，均为非零数）满足规律：从第二个数起，每一数都等于与它相邻两数之积，如下列说法： ①若，则； ②若，则； ③已知，若前3个数中任意一个为1，则M化简后的常数项为675或676． 其中正确的个数是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【题型7.分式的通分】 【典例】将通分后，它们分别是________，________，________． 【跟踪专练1】若将分式与通分，则分式的分子应变为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】把，，通分后，各分式的分子之和为________． 【跟踪专练3】若将分式与通分，则分式的分子应变为（    ） A． B． C． D． 【题型8.最简公分母的确定】 【典例】分式与的最简公分母为________． 【跟踪专练1】如果把分式与进行通分，它们的最简公分母是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】分式与的最简公分母为____． 【跟踪专练3】下列说法正确的是（   ） A．当时，分式有意义 B．分式与的最简公分母是 C．当分式值为0时， D．无论x为何值，的值总为正数 【题型9.异分母加减法】 【典例】计算：______． 【跟踪专练1】化简的结果为（   ）． A． B． C． D． 【跟踪专练2】若，则______． 【跟踪专练3】化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【题型10.整式与分式的加减】 【典例】计算：的结果是______． 【跟踪专练1】若 ，则 （   ） A． B．2 C．0 D．无法计算 【跟踪专练2】若，则的值为______． 【跟踪专练3】下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【题型11.分式加减混合运算】 【典例】化简的结果是__________ 【跟踪专练1】已知则的值为（    ） A．0 B． C．1 D．2 【跟踪专练2】某中学组织学生乘车前往实践基地参加活动，计划租m辆车（），如果每辆车13人，则有4人上不了车；如果有一辆车不坐人，那么正好平分到其他车上，则计划组织_______名学生参加此次活动． 【跟踪专练3】对于正数，规定，例如：．的值为（   ） A． B． C． D． 【题型12.分式加减的实际应用】 【典例】某施工队每天挖掘米隧道，改进施工技术后每天能多挖掘，那么同样挖掘米隧道，比原来少用的天数为（  ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】某工厂供暖房有煤260吨，原计划可用天．采取节能措施后，这些煤可比原来多用天．那么，相比节能以前，节能后每天少用煤__________吨． 【跟踪专练2】建筑学要求：家用住宅房间窗户的面积必须小于房间地面的面积，但窗户的面积与地面面积的比值越大，采光条件越好．小明提出把房间的窗户和地面都增加相同的面积，他这样做采光条件（　　） A．变好了 B．变差了 C．不变 D．无法确定 【跟踪专练3】某公司组织活动，个人参加，公司拿出活动经费百元（为正整数），且．现在又有个人参加活动，公司决定增加经费百元，则增加经费后人均经费比原来__________（填“增加”或“减少”）了__________百元． 【题型13.分式加减乘除混合运算】 【典例】计算：________． 【跟踪专练1】已知，，以下结论中正确的是（  ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】化简的结果是____________________ ． 【跟踪专练3】小明在作业本上书写了一个正确的演算过程，同桌小亮一不小心撕坏了一角，如图所示，则撕坏的一角中“”为（   ） A． B． C． D． 【题型14.分式化简求值】 【典例】若，则的值为______． 【跟踪专练1】若，则的值为（    ） A．10 B．7 C． D． 【跟踪专练2】已知，则的值为__________． 【跟踪专练3】若，在如图所示的数轴上标注了四段，则表示的点落在（    ） A．段① B．段② C．段③ D．段④ 【题型15.由分式恒等式求分子或分母】 【典例】若常数M，N满足，则_______． 【跟踪专练1】若，其中A、B、C均为常数，则的值是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】若，且A，B均为常数，则________． 【跟踪专练3】为常数，如果，则___________． 【解答题】 1．计算： (1)． (2)． 2．化简下列分式． (1)； (2)． 3．定义：若两个分式的和为n（n为正整数），则称这两个分式互为“n阶分式”，例如：，则分式与互为“3阶分式”． (1)填空：分式与互为“______阶分式”； (2)已知分式与A互为“4阶分式”，求分式A； (3)已知分式、，且B与互为“2阶分式”．求代数式M（用含x的式子表示）． 4．计算： (1) (2) 5．先化简，再求值，其中 6．安安与宁宁相约去爬山，两人从云中湖同时出发，沿同一路线攀登抵达山顶铜鼓包，随后立即从山顶沿原路返回云中湖．安安上山的平均速度为，下山的平均速度为；宁宁借助登山机械骨骼，上下山全程的平均速度为，已知，且、均为正数． (1)安安往返所需时间为________，宁宁往返所需时间为________；（用含有，的式子表示） (2)两人谁先返回云中湖？请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $