考点01 分式及其运算（专项训练）数学新教材浙教版七年级下册

**基本信息** 以“概念-性质-运算”为逻辑主线，系统整合分式核心考点，通过“考点解析+题型突破+方法提炼”构建完整解题体系，强化运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |分式的概念|5题|三条件判断法（形式、整式、分母含字母）|从定义出发，明确分式与整式的区别，建立分式有意义、值为0的条件判定逻辑| |分式的性质|5题|性质应用三步骤（整体乘除、符号变换、系数化整）|以基本性质为核心，推导符号法则与变形规则，为约分通分奠定基础| |分式的运算|12题|四步运算法（因式分解→约分/通分→符号处理→结果最简）|从乘除到加减，逐步递进，结合整式运算形成完整分式运算体系|

01 分式及其运算 考点一：分式的概念 1、 分式的概念： 一般地，若A与B均是整式且B中含有字母，那么式子叫做分式。其中A叫做分子，B叫做分母。 注意：分式满足的三个条件 ①式子一定是的形式； ②A与B一定是整式； ③B中一定含有字母。 简单理解：分母中含有字母的式子就是分式。 2、分式有意义的条件： 即要求分式的分母不能为0。即中，B不为0。若分母能够进行因式分解，现将分母进行因式分解，让每一个因式都不为0。 3、分式的值为0的条件： 分式的值为0的条件为要求分子必须为0，同时要求分母不为0。 即中，A＝0，B≠0。 对能分解因式的分子分母进行因式分解，让分子里面的所有因式的值等于0，让分母里面所有因式的值不等于0。 考点二：分式的性质 1、分式的性质的基本内容： 分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。 即 （A、B、C均是整式且C≠0） 2、分式的符号改变法则： 分式的分子，分母以及分式本身均有符号，改变其中任意两个符号分式不会发生改变。 即： 考点三：约分与通分 1、公因式： 一个分式中，分子分母都含有的因式叫做分子分母的公因式。 对分子分母进行因式分解，然后求出系数的最大公因数与相同式子的最低次幂。他们的乘积为公因式。 2、最简分式： 分子分母没有公因式的分式叫做最简公因式。 3、约分： 根据分式的基本性质，把分子分母的公因式约去，这个过程叫约分。 ①对分式中能因式分解的分子或分母先进行因式分解。 ②约去分子分母的公因式即可。 4、最简公分母与通分： 根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来分式值相等的同分母的分式的过程叫做通分。这个相同的分母叫做最简公分母。 最简公分母＝所有系数的最小公倍数×所有因式的最高次幂。对能进行因式分解的分母先因式分解，在确定所含有的因式。 5、通分的步骤： ①将所有能分解因式的分母分解因式。 ②求出最简公分母。 ③利用分式的性质在分子分母上同时乘一个因式，使分母变成最简公分母。 考点四：分式的运算 1、分式的乘法运算： （1）分式的乘法运算法则： 同分数的乘法运算法则，分子乘以分子作为积的分子，分母乘以分母作为积的分母。 即：。 （2）具体步骤： ①对能因式分解的分子分母进行因式分解。 ②分子分母有公因式的要先约分，所有的分母可以和所有的分子进行约分。 ③再用分子乘分子得到积的分子，分母乘分母得到积的分母。 2、分式的除法运算： 除以一个分式等于乘上这个分式的倒数式。变成乘法运算。 即：＝。 3、分式的乘方运算： 一般地，当n为正整数时，。即把分式的分子分母分别乘方运算。 4、分式的加减法运算： （1）分式的加减法运算法则： ①同分母的分式相加减：分母不变，分子相加减。 ②异分母的分式相加减：先通分，变成同分母的分式的加减运算，在按照同分母的加减运算法则运算即可。 （2）具体步骤： 第一步：通分：将异分母分式转化为同分母分式。 第二步：加减：分母不变，分子相加减。 第三步：合并：分子去括号，然后合并同类项。 第四步：约分：分子分母进行约分，把结果化成最简分式。 分式的加减运算中，若出现有一部分是整式，则通常把整式部分看成一个整体。 考点五：用科学计数法表示较小的数 1、科学计数法表示较小的数的方法： 用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中|a|的取值范围为1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定。 题型一：分式的判断 1. 分式定义：形如（A、B是整式，且B中含有字母）的式子叫做分式。 2. 判断条件：①形式为；②A、B均为整式；③分母 B中含有字母。 3. 注意常数： 是常数，不是字母，故不是分式。 4. 化简后判断：判断分式看原形式，不看化简结果（如化简后为x，但原式是分式）。 1. 将误判为分式（是常数，不是字母）。 2. 将化简后的整式误认为原式不是分式。 3. 忽略分母必须含有字母这一核心条件。 4. 将这类式子误认为不是分式（实际是分式与整式的和）。 1．（24-25七年级下·浙江湖州·期末）下列代数式中，属于分式的是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·浙江杭州·阶段检测）下列代数式中，属于分式的是（    ） A． B． C． D． 3．（21-22七年级下·浙江嘉兴·期中）在代数式，，，，中，分式的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．（2024七年级下·浙江·专题练习）下列各式：中，是分式的共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（2023七年级下·浙江·专题练习）下列代数式中，是分式的是（    ） A． B． C． D． 题型二：分式有无意义的条件 1. 有意义条件：分母 ，即。 2. 无意义条件：分母 ，即 。 3. 求解步骤：令分母等于 0，解方程，所得值即为分式无意义的取值；其余值均有意义。 4. 注意分母能分解：若分母可因式分解，需令每个因式均不为 0。 5. 取值范围表示：用“且”连接多个不等式，或用集合表示。 1. 分式有意义只考虑分母，忽略分子（分子可为 0）。 2. 解分母为 0 的方程时漏解（如二次方程有两个根）。 3. 不等式方向写错，如误写成x > 1。 4. 忽略分母不能为 0 的同时，分子也不能使分母为 0（如分式值为 0 的情况）。 1．（2026·浙江宁波·模拟预测）要使分式有意义，需满足的条件是（    ） A． B． C． D． 2．（19-20九年级上·浙江温州·阶段检测）分式有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·浙江湖州·期末）当____时，分式无意义． 4．（23-24七年级下·浙江温州·期末）当_____时，分式无意义． 5．（22-23七年级下·浙江宁波·期中）分式有意义的条件是______． 题型三：分式的值相关 1. 值为 0 条件：分子 且分母。 2. 值为正/负条件：分子与分母同号时值为正，异号时值为负。 3. 值为整数条件：将分式化为“整式”形式，令分母为的因数。 4. 求值步骤：先确定字母的取值范围，再代入计算。 5. 分式值为 1 或 -1：分子 = 分母（值为 1）或分子 = -分母（值为 -1），且分母。 1. 分式值为 0 时，只令分子为 0，忘记检验分母是否为 0。 2. 判断正负时，忽略分母的符号对整体值的影响。 3. 值为整数时，忘记分母可能是负因数。 4. 代入求值时，字母取值使分式无意义仍代入计算。 1．（21-22七年级下·浙江杭州·期末）若分式值为正数，则的值可能为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（2023七年级下·浙江宁波·竞赛）已知，则的值是（   ） A． B． C． D． 3．（2026·浙江温州·二模）若分式的值为0，则的值为__________． 4．（24-25八年级上·浙江台州·期末）若分式的值为零，则________． 5．（2023七年级下·浙江·专题练习）当的取值范围是多少时， (1)分式有意义； (2)分式值为负数． 题型四：分式的基本性质 1. 基本性质：，（）。 2. 符号法则：，。 3. 系数化整：分子分母同乘 10、100 等，将小数系数化为整数。 4. 变形规则：分子、分母必须整体乘（或除）同一个非零整式，不能只乘部分项。 5. 应用场景：约分、通分、化简分式。 1. 分子、分母只乘部分项，未整体进行运算。 2. 忽略的条件。 3. 符号变化时漏掉负号，如的错误。 4. 系数化整时，只乘分子或只乘分母，未同时乘。 1．（24-25七年级下·浙江台州·期末）根据分式的基本性质，分式可变形为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）下列各式从左到右的变形中，正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）不改变分式的值，把它的分子与分母中的系数化为整数，下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·浙江台州·期末）将分式中的x，y同时扩大为原来的3倍，则分式的值（   ） A．扩大为原来的2倍 B．缩小为原来的2倍 C．扩大为原来的3倍 D．缩小为原来的3倍 5．（2023七年级下·浙江·专题练习）不改变分式的值，把下列分式的分子与分母的最高次项的系数都化为正数． (1) (2)． 题型五：分式的求值问题 1. 直接代入法：将字母的值直接代入分式，注意分母不为 0。 2. 先化简再代入：先约分、通分化简，再代入求值，简化计算。 3. 整体代入法：将已知关系式整体代入，避免求单个字母的值。 4. 设参数法：若已知连等式（如），设其值为k，用k表示各字母后代入。 5. 非负性条件：利用、等非负性，结合分式值为 0 求参数。 1. 代入前未化简，导致计算复杂易错。 2. 代入时字母取值使分母为 0，未检验。 3. 设参数法求值后，忘记参数k可能为 0 的情况。 4. 整体代入时未将整体用括号括起，导致符号错误。 1．（25-26七年级下·浙江宁波·期中）已知，，则的值为________． 2．（25-26七年级下·浙江宁波·期中）若，则分式的值为________． 3．（23-24七年级上·浙江绍兴·开学考试）若，其中a，b，c是不为零的自然数，则( )． 4．（24-25七年级下·浙江金华·期末）在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：，；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如，．我们知道，假分数可以化为带分数，例如：，类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式和的形式）． 例如：①； ② (1)判断为________（填真分式或假分式）； (2)仿照例子，将分式化为带分式． (3)若分式的值为整数，求的整数值． 5．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）【教材呈现】 a，b，c，d都不为0，，，若，则．如下证明这个结论的正确性，设，则，，所以，同理，，所以． 【类比分析】 （1）若，且…，求证． 【学以致用】 （2）若x，y，z都不为0，且，求的值． 题型六：分式的乘除 1. 乘法法则：（）。 2. 除法法则：（）。 3. 乘方法则：（n为正整数，）。 4. 运算步骤：①因式分解；②除法变乘法；③约分（分子分母可交叉约分）；④结果化为最简分式或整式。 5. 注意符号：先确定结果符号（奇负偶正），再计算绝对值。 1. 除法变乘法时，忘记将除式的分子分母颠倒。 2. 约分时只约分子与分母的公共因式，未考虑交叉约分。 3. 乘方运算时，忘记将分子、分母分别乘方。 4. 结果未化为最简分式（如分子分母仍有公因式）。 1．（2026·浙江台州·一模）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·浙江嘉兴·期末）先化简：，再从1，2，3中选择一个恰当的数作为x的值代入求值． 3．（25-26七年级上·浙江·阶段检测）计算：． 4．（2024七年级下·浙江·专题练习）计算： (1)； (2)． 5．（2023七年级下·浙江·专题练习）计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12)． 题型七：分式的加减及其应用 1. 同分母加减：（）。 2. 异分母加减：先通分，化为同分母后再加减。最简公分母为各分母系数的最小公倍数与所有因式的最高次幂的积。 3. 通分步骤：①分解分母因式；②求最简公分母；③分子分母同乘相应因式。 4. 整式参与：整式可看作分母为 1 的分式参与运算。 5. 化简结果：运算后分子合并同类项，再约分化为最简分式。 1. 通分时只乘分母，忘记乘分子。 2. 同分母加减时，分母不变，分子相加减，但忘记将分子用括号括起（特别是减号时）。 3. 最简公分母找错（漏掉某个因式或指数取错）。 4. 结果未约分至最简形式。 1．（25-26七年级下·浙江·单元测试）计算：___________． 2．（2026·浙江舟山·二模）先化简，再求值：，其中 3．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）一个代数式只含有字母，，把替换成，把替换成，得到一个新的代数式．若不论，如何取值，新代数式的值与原代数式的值始终相等，则称其为对称式．例如：代数式，新代数式为，因为，所以是对称式；而代数式，新代数式为，因为当，时，代数式值为，新代数式值为，两者不相等，所以不是对称式． (1)请判断和是不是对称式？模仿上面的格式说明理由； (2)关于字母，的代数式（为常数）是对称式，求的值． 4．（24-25七年级下·浙江金华·阶段检测）【阅读理解】 我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，解决问题的策略一般都是进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．作差法：就是通过作差、变形，利用差的符号确定它们的大小．即要比较代数式的大小，只要算的值，若，则；若，则；若，则． 【知识运用】 （1）请用上述方法比较下列代数式的大小（直接在空格中填写“”或“”）： ①当时，_______；②若，，________ （2）试比较与的大小，并说明理由； 【拓展运用】（3）已知甲、乙两船同时从A港出发航行，设甲、乙两船在静水中的速度分别为，，水流速度为，且，两船同时顺流航行后立即返航，甲、乙两船返航所用时间分别为，，请通过比较，的大小，判断哪条船先返回A港？并说明理由． 5．（25-26八年级上·浙江·阶段检测）请阅读如下材料，并解决问题： 材料1：定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．例如： ，，则和都是“和谐分式”． 材料2：对于部分非和谐分式，可以转化为几个和谐分式的和．解：设， 将等式右边通分，得，依据题意，得， 解得，所以． (1)①分式是_____________________（填“和谐分式”或“非和谐分式”） ②已知，则_________， _________． (2)如果分式的值为整数，求满足条件的整数的值． (3)如果，请用含有和的式子表示． 1．（23-24七年级下·浙江温州·期末）要使分式有意义，则的取值应满足的条件是（    ） A． B． C． D．可以取任意实数 2．（21-22七年级下·浙江嘉兴·期中）下列各分式中，是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 3．（21-22七年级下·浙江宁波·阶段检测）将分式中的a，b都扩大为原来的3倍，则分式的值（     ） A．扩大3倍 B．不变 C．扩大9倍 D．扩大2倍 4．（25-26七年级下·浙江宁波·期中）从A地到B地有两条路，每条路都有，其中第一条路是平路，第二条路有的上坡路，的下坡路，小丽在上坡路上的骑车速度为，在平路上的骑车速度为，在下坡路上的骑车速度为，则（） A．走第一条路花费时间比第二条少 B．走第一条路花费时间比第二条多 C．走第一条路花费时间比第二条少 D．走第一条路花费时间比第二条多 5．（21-22七年级下·浙江宁波·期中）将7张如图1的两边长分别为a和b（，a与b都为正整数）的长方形纸片按图2的方式不重叠放在长方形内，长方形中未被覆盖的部分用阴影表示，设左上角与右下角的阴影部分的面积相等，设，若，k为整数，则a可取的值的个数为（   ） A．0个 B．3个 C．5个 D．无数个 6．（21-22八年级上·浙江温州·开学考试）已知，则分式的值为___________ 7．（25-26七年级下·浙江宁波·期中）实数a，b，c满足，，则________． 8．（2024·浙江·模拟预测）某绿化队原来用漫灌方式浇绿地，天用水吨，现改用喷灌方式，可使这些水所用的天数为天，现在比原来每天节约用水______吨．（用含，的代数式表示） 9．（24-25七年级下·浙江金华·阶段检测）若，求的值为________． 10．（22-23八年级上·浙江台州·期末）已知，且，则________． 11．（25-26七年级下·浙江宁波·期中）先化简，再求值： ，其中可在，，三个数中任选一个合适的数． 12．（2023七年级下·浙江·专题练习）（1）取何值时，分式的值为零？无意义？ （2）当等于什么时，分式的值为零． 13．（25-26八年级上·浙江·阶段检测）计算： (1)； (2)； 14．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）商店通常用以下方法来确定两种糖混合而成的什锦糖的价格：A种糖的单价为元千克，种糖的单价为元千克，且．则千克A种糖和千克种糖混合而成的什锦糖的单价为（元千克）．把质量相同的A种糖和种糖混合而成，记为甲种什锦糖（单价记为）；把总价相同的A种糖和种糖混合而成，记为乙种什锦糖（单价记为）．请解决以下问题： (1)分别求出，（可用含有，的代数式表示）； (2)你认为购买哪一种什锦糖较便宜？为什么？ 15．（25-26七年级下·浙江宁波·期中）在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“”，将连等式变成几个含的等式，这样就可以通过适当变形解决问题． 例：已知，且，求的值． 解：令，则，，，． 根据材料回答问题： (1)若，且，求的值． (2)若且，求的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 01 分式及其运算 考点一：分式的概念 1、 分式的概念： 一般地，若A与B均是整式且B中含有字母，那么式子叫做分式。其中A叫做分子，B叫做分母。 注意：分式满足的三个条件 ①式子一定是的形式； ②A与B一定是整式； ③B中一定含有字母。 简单理解：分母中含有字母的式子就是分式。 2、分式有意义的条件： 即要求分式的分母不能为0。即中，B不为0。若分母能够进行因式分解，现将分母进行因式分解，让每一个因式都不为0。 3、分式的值为0的条件： 分式的值为0的条件为要求分子必须为0，同时要求分母不为0。 即中，A＝0，B≠0。 对能分解因式的分子分母进行因式分解，让分子里面的所有因式的值等于0，让分母里面所有因式的值不等于0。 考点二：分式的性质 1、分式的性质的基本内容： 分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。 即 （A、B、C均是整式且C≠0） 2、分式的符号改变法则： 分式的分子，分母以及分式本身均有符号，改变其中任意两个符号分式不会发生改变。 即： 考点三：约分与通分 1、公因式： 一个分式中，分子分母都含有的因式叫做分子分母的公因式。 对分子分母进行因式分解，然后求出系数的最大公因数与相同式子的最低次幂。他们的乘积为公因式。 2、最简分式： 分子分母没有公因式的分式叫做最简公因式。 3、约分： 根据分式的基本性质，把分子分母的公因式约去，这个过程叫约分。 ①对分式中能因式分解的分子或分母先进行因式分解。 ②约去分子分母的公因式即可。 4、最简公分母与通分： 根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来分式值相等的同分母的分式的过程叫做通分。这个相同的分母叫做最简公分母。 最简公分母＝所有系数的最小公倍数×所有因式的最高次幂。对能进行因式分解的分母先因式分解，在确定所含有的因式。 5、通分的步骤： ①将所有能分解因式的分母分解因式。 ②求出最简公分母。 ③利用分式的性质在分子分母上同时乘一个因式，使分母变成最简公分母。 考点四：分式的运算 1、分式的乘法运算： （1）分式的乘法运算法则： 同分数的乘法运算法则，分子乘以分子作为积的分子，分母乘以分母作为积的分母。 即：。 （2）具体步骤： ①对能因式分解的分子分母进行因式分解。 ②分子分母有公因式的要先约分，所有的分母可以和所有的分子进行约分。 ③再用分子乘分子得到积的分子，分母乘分母得到积的分母。 2、分式的除法运算： 除以一个分式等于乘上这个分式的倒数式。变成乘法运算。 即：＝。 3、分式的乘方运算： 一般地，当n为正整数时，。即把分式的分子分母分别乘方运算。 4、分式的加减法运算： （1）分式的加减法运算法则： ①同分母的分式相加减：分母不变，分子相加减。 ②异分母的分式相加减：先通分，变成同分母的分式的加减运算，在按照同分母的加减运算法则运算即可。 （2）具体步骤： 第一步：通分：将异分母分式转化为同分母分式。 第二步：加减：分母不变，分子相加减。 第三步：合并：分子去括号，然后合并同类项。 第四步：约分：分子分母进行约分，把结果化成最简分式。 分式的加减运算中，若出现有一部分是整式，则通常把整式部分看成一个整体。 考点五：用科学计数法表示较小的数 1、科学计数法表示较小的数的方法： 用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中|a|的取值范围为1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定。 题型一：分式的判断 1. 分式定义：形如（A、B是整式，且B中含有字母）的式子叫做分式。 2. 判断条件：①形式为；②A、B均为整式；③分母 B中含有字母。 3. 注意常数： 是常数，不是字母，故不是分式。 4. 化简后判断：判断分式看原形式，不看化简结果（如化简后为x，但原式是分式）。 1. 将误判为分式（是常数，不是字母）。 2. 将化简后的整式误认为原式不是分式。 3. 忽略分母必须含有字母这一核心条件。 4. 将这类式子误认为不是分式（实际是分式与整式的和）。 1．（24-25七年级下·浙江湖州·期末）下列代数式中，属于分式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是分式的识别，根据分式的定义，分母中含有字母的代数式称为分式，根据定义求解即可. 【详解】解：A选项的分母是数字3，不含字母，属于整式； B选项的分母是字母，符合分式的定义； C选项是多项式，没有分母，属于整式； D选项的分母是数字7，不含字母，属于整式； 综上，只有B选项是分式； 故选：B． 2．（23-24七年级下·浙江杭州·阶段检测）下列代数式中，属于分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的定义，能熟记分式定义是解题的关键，式子（是整式）中，分母中含有字母，则叫分式．根据分式的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．分母中含有字母，是分式，故本选项符合题意； B．分母中不含字母，不是分式，故本选项不符合题意； C．不含分母，不是分式，故本选项不符合题意； D．不含分母，不是分式，故本选项不符合题意． 故选：A 3．（21-22七年级下·浙江嘉兴·期中）在代数式，，，，中，分式的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据分式定义逐一判断每个代数式，注意π是常数，不是字母． 【详解】解：∵的分母a含字母，是分式； 的分母m含字母，是分式； 的分母是常数，不是分式； 中π是常数，分母不含字母，不是分式； 的分母含字母，是分式； ∴ 分式共有3个． 4．（2024七年级下·浙江·专题练习）下列各式：中，是分式的共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的定义：形如， A、B是整式，且B中含有字母，这样的式子叫做分式．注意是常数，不是字母． 【详解】解：在中，分式有，共2个． 故选B． 5．（2023七年级下·浙江·专题练习）下列代数式中，是分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式的定义，逐项判断即可． 【详解】解：A.该代数式是整式，故此选项不符合题意； B.该代数式是整式，故此选项不符合题意； C.该代数式是分式，故此选项符合题意； D.该代数式是整式，故此选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了分式的定义，熟练掌握分式的定义：一般地，如果表示两个式子，并且中含有字母，那么式子叫做分式，是解题的关键． 题型二：分式有无意义的条件 1. 有意义条件：分母 ，即。 2. 无意义条件：分母 ，即 。 3. 求解步骤：令分母等于 0，解方程，所得值即为分式无意义的取值；其余值均有意义。 4. 注意分母能分解：若分母可因式分解，需令每个因式均不为 0。 5. 取值范围表示：用“且”连接多个不等式，或用集合表示。 1. 分式有意义只考虑分母，忽略分子（分子可为 0）。 2. 解分母为 0 的方程时漏解（如二次方程有两个根）。 3. 不等式方向写错，如误写成x > 1。 4. 忽略分母不能为 0 的同时，分子也不能使分母为 0（如分式值为 0 的情况）。 1．（2026·浙江宁波·模拟预测）要使分式有意义，需满足的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据题意得：， 解得：． 2．（19-20九年级上·浙江温州·阶段检测）分式有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式有意义的条件，利用分式分母不为零列不等式求解即可． 【详解】解：∵分式有意义的条件是分母不等于0， ∴分式的分母应满足， 解得， 因此答案选B． 3．（24-25七年级下·浙江湖州·期末）当____时，分式无意义． 【答案】1 【分析】本题考查分式无意义的条件，掌握分式无意义的条件是解题的关键． 根据分式无意义的条件，即分母为0，即可解答． 【详解】解：∵分式无意义， ∴， 解得． 故答案为：1． 4．（23-24七年级下·浙江温州·期末）当_____时，分式无意义． 【答案】1 【分析】本题考查分式无意义的条件，熟练掌握分母为零时分式无意义的条件是解题的关键．根据分母为零时分式无意义进行解题即可． 【详解】解：要使分式无意义， 则分母为零， 即， 解得． 故答案为：1． 5．（22-23七年级下·浙江宁波·期中）分式有意义的条件是______． 【答案】 【分析】根据分式分母不为0求解即可． 【详解】解：分式有意义， ， 解得：． 题型三：分式的值相关 1. 值为 0 条件：分子 且分母。 2. 值为正/负条件：分子与分母同号时值为正，异号时值为负。 3. 值为整数条件：将分式化为“整式”形式，令分母为的因数。 4. 求值步骤：先确定字母的取值范围，再代入计算。 5. 分式值为 1 或 -1：分子 = 分母（值为 1）或分子 = -分母（值为 -1），且分母。 1. 分式值为 0 时，只令分子为 0，忘记检验分母是否为 0。 2. 判断正负时，忽略分母的符号对整体值的影响。 3. 值为整数时，忘记分母可能是负因数。 4. 代入求值时，字母取值使分式无意义仍代入计算。 1．（21-22七年级下·浙江杭州·期末）若分式值为正数，则的值可能为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据题意列出不等式即可求出答案； 【详解】解：由题意得，，所以， 故选：D． 【点睛】本题考查分式的值，解题关键是列出正确的不等式． 2．（2023七年级下·浙江宁波·竞赛）已知，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查分式等于0的条件，分式有意义的条件，分式求值，根据题意求出，是关键．根据分式等于0的条件可得，，再代入分式求值即可． 【详解】解：∵， ∴且， ∴且， ∴，， ∴ ． 故选：C． 3．（2026·浙江温州·二模）若分式的值为0，则的值为__________． 【答案】 【详解】解：∵分式的值为0， ∴， 解得， 经检验，时，，符合题意． 4．（24-25八年级上·浙江台州·期末）若分式的值为零，则________． 【答案】2 【分析】本题主要考查了分式值为零的条件，分式的值为零的条件：分式分子的值为零，分母的值不为零；根据条件可直接得到答案． 【详解】解：根据题意可知：且， 解得， 故答案为：2． 5．（2023七年级下·浙江·专题练习）当的取值范围是多少时， (1)分式有意义； (2)分式值为负数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分式有意义的条件是分母不为0，进行计算即可得到答案； （2）分式值是负数的条件是分子分母异号，进行计算即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， ， 时，分式有意义； （2）解：，， ， ， 时，分式值为负数． 【点睛】本题考查的是分式有意义的条件以及分式值的符号的确定方法． 题型四：分式的基本性质 1. 基本性质：，（）。 2. 符号法则：，。 3. 系数化整：分子分母同乘 10、100 等，将小数系数化为整数。 4. 变形规则：分子、分母必须整体乘（或除）同一个非零整式，不能只乘部分项。 5. 应用场景：约分、通分、化简分式。 1. 分子、分母只乘部分项，未整体进行运算。 2. 忽略的条件。 3. 符号变化时漏掉负号，如的错误。 4. 系数化整时，只乘分子或只乘分母，未同时乘。 1．（24-25七年级下·浙江台州·期末）根据分式的基本性质，分式可变形为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是分式的基本性质，根据分式的基本性质，分子和分母同时乘以或除以同一个非零整式，分式的值不变；将原分式的分子和分母同时乘以，即可变形为选项C的形式. 【详解】解：分子和分母同时乘以： ； 故选：C 2．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）下列各式从左到右的变形中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的性质，根据分式的基本性质，逐一分析各选项的变形是否正确． 【详解】A选项：不等于． 例如，当时，左边为，右边为，显然不等，故A错误． B选项：与的分子分母分别加1，不符合分式的基本性质． 例如，取，，左边为，右边为，不等，故B错误． C选项：，分子分母同时乘以3，分式的值不变，符合分式的基本性质，故C正确． D选项：变形为 时，分子符号错误． 例如，当时，左边分子为，右边分子为，显然不等，故D错误． 故选：C． 3．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）不改变分式的值，把它的分子与分母中的系数化为整数，下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的性质，分子分母同时乘以10，即可求解． 【详解】解：， 故选：A． 4．（24-25七年级下·浙江台州·期末）将分式中的x，y同时扩大为原来的3倍，则分式的值（   ） A．扩大为原来的2倍 B．缩小为原来的2倍 C．扩大为原来的3倍 D．缩小为原来的3倍 【答案】C 【分析】本题考查分式的性质，将原分式中的和同时扩大为原来的3倍，代入后化简新分式，与原分式比较即可得出结论． 【详解】解：将原分式为．当和均扩大为原来的3倍， 代入得新分式： 原分式为，新分式化简后为原分式的3倍，即． 因此，分式的值扩大为原来的3倍， 故选C． 5．（2023七年级下·浙江·专题练习）不改变分式的值，把下列分式的分子与分母的最高次项的系数都化为正数． (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】根据分子、分母、分式中有两个改变符号，分式的值不变进行变形即可． 【详解】（1）解：原式＝； （2）原式＝ ． 【点睛】本题考查了分式的基本性质，解题的关键是熟练分式的变号法则． 题型五：分式的求值问题 1. 直接代入法：将字母的值直接代入分式，注意分母不为 0。 2. 先化简再代入：先约分、通分化简，再代入求值，简化计算。 3. 整体代入法：将已知关系式整体代入，避免求单个字母的值。 4. 设参数法：若已知连等式（如），设其值为k，用k表示各字母后代入。 5. 非负性条件：利用、等非负性，结合分式值为 0 求参数。 1. 代入前未化简，导致计算复杂易错。 2. 代入时字母取值使分母为 0，未检验。 3. 设参数法求值后，忘记参数k可能为 0 的情况。 4. 整体代入时未将整体用括号括起，导致符号错误。 1．（25-26七年级下·浙江宁波·期中）已知，，则的值为________． 【答案】/0.5 【分析】首先求出，，然后得到，，然后相乘得到，推出，然后将原式通分整体代入求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， 即，， ∴，， ∴， ∴，即， ∴ ∵ ． 2．（25-26七年级下·浙江宁波·期中）若，则分式的值为________． 【答案】 【分析】首先得到，然后代入求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ． 3．（23-24七年级上·浙江绍兴·开学考试）若，其中a，b，c是不为零的自然数，则( )． 【答案】10 【分析】本题考查了求式子的值，将原等式化为，，即可求解． 【详解】解： ， ， a，b，c是不为零的自然数， ， ， 整理得：， ∴，即， ， ，， ， 故答案为：． 4．（24-25七年级下·浙江金华·期末）在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：，；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如，．我们知道，假分数可以化为带分数，例如：，类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式和的形式）． 例如：①； ② (1)判断为________（填真分式或假分式）； (2)仿照例子，将分式化为带分式． (3)若分式的值为整数，求的整数值． 【答案】(1)真分式 (2) (3)的可能整数值为． 【分析】本题考查分式的混合运算，理解题意并将各式进行正确地变形是解题的关键． （1）根据题干中的定义进行判断即可； （2）将原式变形后进行化简即可； （3）将原式变形后化为代分式，然后结合已知条件确定整数x的值即可． 【详解】（1）解：由题意可得为真分式， 故答案为：真分式； （2）； （3）， 当为整数时，也为整数， 可取得的整数值为，， 的可能整数值为． 5．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）【教材呈现】 a，b，c，d都不为0，，，若，则．如下证明这个结论的正确性，设，则，，所以，同理，，所以． 【类比分析】 （1）若，且…，求证． 【学以致用】 （2）若x，y，z都不为0，且，求的值． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【分析】本题考查了分式的求值，设参数求解是解答的关键． （1）设，则，，…，，所以，然后进行分式的化简即可得到结论； （2）设，则，，，然后把它们分别代入所求的代数式中，再进行分式的化简计算即可． 【详解】（1）证明：设，则，，…，， …， ， ； （2）解：设，则，，， 所以． 题型六：分式的乘除 1. 乘法法则：（）。 2. 除法法则：（）。 3. 乘方法则：（n为正整数，）。 4. 运算步骤：①因式分解；②除法变乘法；③约分（分子分母可交叉约分）；④结果化为最简分式或整式。 5. 注意符号：先确定结果符号（奇负偶正），再计算绝对值。 1. 除法变乘法时，忘记将除式的分子分母颠倒。 2. 约分时只约分子与分母的公共因式，未考虑交叉约分。 3. 乘方运算时，忘记将分子、分母分别乘方。 4. 结果未化为最简分式（如分子分母仍有公因式）。 1．（2026·浙江台州·一模）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式乘法法则，分子相乘的积作为积的分子，分母相乘的积作为积的分母，再约去公因式即可． 【详解】解：． 2．（24-25七年级下·浙江嘉兴·期末）先化简：，再从1，2，3中选择一个恰当的数作为x的值代入求值． 【答案】， 【分析】本题考查分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键，最后在选择一个恰当的数作为x的值时，要保证选取的x不能使分母为0．先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选出合适的x的值代入进行计算即可． 【详解】原式， 要使分式有意义，，且， 所以且， 所以只能取， 当时，原式． 3．（25-26七年级上·浙江·阶段检测）计算：． 【答案】 【分析】本题考查分式乘除混合运算． 对分子和分母进行因式分解，将除法转化为乘法，约去公因式即可． 【详解】解： ． 4．（2024七年级下·浙江·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的乘除混合运算． （1 ）先乘方，再计算乘除． （2 ）先把分子分母因式分解，然后约分即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 5．（2023七年级下·浙江·专题练习）计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) 【分析】（1）直接根据分式的乘法法则进行计算即可； （2）（4）直接根据分式的除法法则进行计算即可； （3）根据分式的乘法法则进行计算即可； （5）、（6）、（7）根据分式的乘法及除法法则进行计算即可； （8）、（9）、（10）、（11）、（12）根据分式混合运算的法则进行计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： （7）解： （8）解： ； （9）解： ； （10）解： ； （11）解： （12）解： ． 【点睛】本题考查的是分式的乘除法计算，分式的乘除法混合计算，熟知分式的乘法及除法法则是解答此题的关键． 题型七：分式的加减及其应用 1. 同分母加减：（）。 2. 异分母加减：先通分，化为同分母后再加减。最简公分母为各分母系数的最小公倍数与所有因式的最高次幂的积。 3. 通分步骤：①分解分母因式；②求最简公分母；③分子分母同乘相应因式。 4. 整式参与：整式可看作分母为 1 的分式参与运算。 5. 化简结果：运算后分子合并同类项，再约分化为最简分式。 1. 通分时只乘分母，忘记乘分子。 2. 同分母加减时，分母不变，分子相加减，但忘记将分子用括号括起（特别是减号时）。 3. 最简公分母找错（漏掉某个因式或指数取错）。 4. 结果未约分至最简形式。 1．（25-26七年级下·浙江·单元测试）计算：___________． 【答案】1 【分析】先根据同分母分式加法法则将分子相加，再合并同类项化简分子，最后约分得到结果． 【详解】解：． 2．（2026·浙江舟山·二模）先化简，再求值：，其中 【答案】， 【详解】解：， 把代入 3．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）一个代数式只含有字母，，把替换成，把替换成，得到一个新的代数式．若不论，如何取值，新代数式的值与原代数式的值始终相等，则称其为对称式．例如：代数式，新代数式为，因为，所以是对称式；而代数式，新代数式为，因为当，时，代数式值为，新代数式值为，两者不相等，所以不是对称式． (1)请判断和是不是对称式？模仿上面的格式说明理由； (2)关于字母，的代数式（为常数）是对称式，求的值． 【答案】(1)是对称式，不是对称式 (2) 【分析】本题考查了整式的化简与整式恒成立求参数，正确理解新定义的含义是解题的关键． （1）根据对称式的定义对各式进行判断即可； （2）根据对称式的定义，交换的位置，得到，由题意得，得到，化简求解即可． 【详解】（1）解：代数式，交换字母后的代数式为：， ∵， ∴是对称式； 代数式，交换字母后的代数式为：， 当，时， ，， ∴， ∴不是对称式； （2）代数式交换，的位置得到， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵对称式是不论如何取值，新代数式的值与原代数式的值始终相等， ∴不论如何取值均成立， ∴． 4．（24-25七年级下·浙江金华·阶段检测）【阅读理解】 我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，解决问题的策略一般都是进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．作差法：就是通过作差、变形，利用差的符号确定它们的大小．即要比较代数式的大小，只要算的值，若，则；若，则；若，则． 【知识运用】 （1）请用上述方法比较下列代数式的大小（直接在空格中填写“”或“”）： ①当时，_______；②若，，________ （2）试比较与的大小，并说明理由； 【拓展运用】（3）已知甲、乙两船同时从A港出发航行，设甲、乙两船在静水中的速度分别为，，水流速度为，且，两船同时顺流航行后立即返航，甲、乙两船返航所用时间分别为，，请通过比较，的大小，判断哪条船先返回A港？并说明理由． 【答案】（1）①；②；（2），理由见解析；（3）甲船返航先返回A港 【分析】本题主要考查行程问题，整式的混合运算，分式加减混合运算的综合，理解行程中的数量关系，掌握整式的混合运算的方法，“作差法”的计算与比较方法是解题的关键． （1）根据材料提示，运用“作差法”即可求解； （2）运用“作差法”，乘法公式，不等式的性质，即可求解； （3）根据题意可得甲、乙船顺流速度与路程，分别求出返航时间，再用“作差法”比较即可求解． 【详解】解：（1）①由题意得：由于， 则， ， 故答案为：； ②由于，，则 ， ， 故答案为：； （2），理由如下： 由题意得： ， 则； （3）甲船返航先返回A港，理由如下： 由题意得：甲船顺流速度为，则甲船顺流的路程为， 乙船顺流速度为，则乙船顺流的路程为， 返航时甲船速度为，则， 返航时乙船速度为，则， ， 由于， ， ， 则甲船返航先返回A港． 5．（25-26八年级上·浙江·阶段检测）请阅读如下材料，并解决问题： 材料1：定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．例如： ，，则和都是“和谐分式”． 材料2：对于部分非和谐分式，可以转化为几个和谐分式的和．解：设， 将等式右边通分，得，依据题意，得， 解得，所以． (1)①分式是_____________________（填“和谐分式”或“非和谐分式”） ②已知，则_________， _________． (2)如果分式的值为整数，求满足条件的整数的值． (3)如果，请用含有和的式子表示． 【答案】(1)①非和谐分式　②， (2)，，， (3) 【分析】（1）①根据“和谐分式”的定义，通过分式拆分进行验证；②将分式拆分后的形式通分，通过“左右两边分子对应项的系数相等”建立二元一次方程组，求解得到待定系数； （2）先将分式变形为“整式+分子为常数的分式”，再利用“分子为常数时，分式值为整数则分母是分子的因数”，找出分母的所有可能取值，列方程求解整数； （3）对已知分式进行因式分解与变形，将、转化为只含和数字的式子，通过代数运算，最终得到与、的关系式． 【详解】（1）解：①由， 可知原式无法表示为一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，是非和谐分式． 故答案为：非和谐分式； ②已知， 右边通分： ， 对比分子可得， 解得， 故，． 故答案为：，． （2）解：， 为整数，若分式为整数，则为整数，即是的因数， ， 解得， 故的值为，，，． （3）解：化简变形： ， ， ， ，即； 化简变形： ， ，即， 故， 即， 可得． 【点睛】本题考查分式的运算与变形，因式分解，整数性质应用，代数恒等变换，理解“和谐分式” 的定义是解题关键． 1．（23-24七年级下·浙江温州·期末）要使分式有意义，则的取值应满足的条件是（    ） A． B． C． D．可以取任意实数 【答案】B 【分析】本题考查的是分式有意义的条件，根据分式有意义的条件是分母不等于零列出不等式，解不等式得到答案． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故选：B． 2．（21-22七年级下·浙江嘉兴·期中）下列各分式中，是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】最简分式是分子分母没有除1以外公因式的分式，据此进行判断即可. 【详解】解：选项A中，=，分子分母存在公因式，∴不是最简分式； ∵ 选项B中，=，分子分母存在公因式，∴不是最简分式； ∵ 选项C中，分子与分母没有除1以外的公因式，∴是最简分式； ∵ 选项D中，=，分子分母存在公因式，∴不是最简分式. 3．（21-22七年级下·浙江宁波·阶段检测）将分式中的a，b都扩大为原来的3倍，则分式的值（     ） A．扩大3倍 B．不变 C．扩大9倍 D．扩大2倍 【答案】A 【分析】根据分式的基本性质将扩大后的a、b代入原分式，化简后和原分式比较，即可解答． 【详解】解：∵将a、b都扩大为原来的3倍后，代入原分式得 新分式 ∴新分式的值是原分式的3倍，即分式的值扩大3倍. 4．（25-26七年级下·浙江宁波·期中）从A地到B地有两条路，每条路都有，其中第一条路是平路，第二条路有的上坡路，的下坡路，小丽在上坡路上的骑车速度为，在平路上的骑车速度为，在下坡路上的骑车速度为，则（） A．走第一条路花费时间比第二条少 B．走第一条路花费时间比第二条多 C．走第一条路花费时间比第二条少 D．走第一条路花费时间比第二条多 【答案】A 【分析】分别计算走两条路花费的时间，再作差比较即可得到结果． 【详解】解：∵第一条路全长，平路骑车速度为， ∴走第一条路花费的时间为； ∵第二条路有的上坡路，的下坡路，上坡速度为，下坡速度为， ∴走第二条路花费的时间为， ∵， ∴走第一条路花费时间比第二条少． 5．（21-22七年级下·浙江宁波·期中）将7张如图1的两边长分别为a和b（，a与b都为正整数）的长方形纸片按图2的方式不重叠放在长方形内，长方形中未被覆盖的部分用阴影表示，设左上角与右下角的阴影部分的面积相等，设，若，k为整数，则a可取的值的个数为（   ） A．0个 B．3个 C．5个 D．无数个 【答案】A 【分析】根据左上角与右下角的阴影部分的面积相等．可得，从而得到，再由，可得，从而得到b取1，3，9，即可求解． 【详解】解：因为左上角与右下角的阴影部分的面积相等， 所以， 所以，   因为 ， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以， 因为k为整数， 所以取1，2，3，4，6，12， 因为b为正整数 所以b取1，3，9， 当时，，此时， 当时，，此时， 当时，，此时， 因为， ∴， ∴a可取的值的个数为0． 6．（21-22八年级上·浙江温州·开学考试）已知，则分式的值为___________ 【答案】 【分析】根据已知等式得到，将其代入所求分式，约分计算即可得到结果． 【详解】解：，则， 又，即， ∴． 7．（25-26七年级下·浙江宁波·期中）实数a，b，c满足，，则________． 【答案】72 【分析】由得到，，，代入所求式子，运用平方差公式将各分子分解后与分母约分，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，，， ∵， ∴ ． 8．（2024·浙江·模拟预测）某绿化队原来用漫灌方式浇绿地，天用水吨，现改用喷灌方式，可使这些水所用的天数为天，现在比原来每天节约用水______吨．（用含，的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查列代数式，分式的运算．用原来每天用水量减去现在每天用水量即可． 【详解】解： （吨， 现在比原来每天节约用水吨； 故答案为：． 9．（24-25七年级下·浙江金华·阶段检测）若，求的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了分式的减法、二元一次方程组，熟练掌握分式的减法法则是解题关键．先计算等式右边的减法，再与等式的左边进行比较可得一个关于的二元一次方程组，解方程组即可得． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， 由得：， 解得：， 将代入①得：， ∴， 所以． 故答案为：． 10．（22-23八年级上·浙江台州·期末）已知，且，则________． 【答案】2 【分析】本题考查分式的加减，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会恒等变形，由题意，可得，因为，所以，推出，由此即可解决问题． 【详解】解析：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2． 11．（25-26七年级下·浙江宁波·期中）先化简，再求值： ，其中可在，，三个数中任选一个合适的数． 【答案】，取，原式 【分析】先将分子分母因式分解，再约分，然后括号内进行通分，将除法计算转化为乘法计算，约分化简即可，再根据分式有意义的条件确定的值代入进行计算即可． 【详解】解：原式 ， ，， ，，， 取，原式． 12．（2023七年级下·浙江·专题练习）（1）取何值时，分式的值为零？无意义？ （2）当等于什么时，分式的值为零． 【答案】（1）、3，（2）3 【分析】（1）根据分式的值为零的条件，分式无意义的条件，进行计算即可得到答案； （2）根据分式的值为零的条件，进行计算即可得到答案． 【详解】解：（1）要使分式的值为0，则 ， 解得：， 要使分式无意义，则， 解得：； （2）要使分式的值为0，则 ， 解得：． 【点睛】此题考查了分式值为0的条件和分式无意义的条件，特别分式的值为0时，注意分子为0，分母不为0． 13．（25-26八年级上·浙江·阶段检测）计算： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分式的乘除运算． （1）先将除法转化为乘法，然后计算乘法即可； （2）先将除法转化为乘法，然后计算乘法即可． 【详解】（1）解：原式= = = = （2）解：原式= = = = 14．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）商店通常用以下方法来确定两种糖混合而成的什锦糖的价格：A种糖的单价为元千克，种糖的单价为元千克，且．则千克A种糖和千克种糖混合而成的什锦糖的单价为（元千克）．把质量相同的A种糖和种糖混合而成，记为甲种什锦糖（单价记为）；把总价相同的A种糖和种糖混合而成，记为乙种什锦糖（单价记为）．请解决以下问题： (1)分别求出，（可用含有，的代数式表示）； (2)你认为购买哪一种什锦糖较便宜？为什么？ 【答案】(1)元千克，元千克 (2)购买乙种什锦糖较便宜，理由见解析 【分析】（1）设质量各为千克，，求出甲的售价，设总价各为元，求出乙的售价； （2）利用作差法，求出，利用非负数的意义判断差的符合，进而比较大小． 本题考查了分式的化简以及异分母分式相加减，掌握作差法比较大小是解题的关键． 【详解】（1）解：设甲什锦糖由相同质量的A，两种糖果混合，设质量各为千克， 则售价为： 元千克， 乙什锦糖由总价相同的A、两种糖果混合，设总价各为元， 则售价为： 元千克， 答：甲、乙两种什锦糖的售价应为元千克，元千克． （2）解：购买乙种什锦糖较便宜，理由如下： ． ，，， ． 甲的售价高于乙的售价， 购买乙种什锦糖较便宜． 15．（25-26七年级下·浙江宁波·期中）在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“”，将连等式变成几个含的等式，这样就可以通过适当变形解决问题． 例：已知，且，求的值． 解：令，则，，，． 根据材料回答问题： (1)若，且，求的值． (2)若且，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）令，得到，，，然后代入代数式化简即可； （2）令，得到，，，然后分和两种情况分别化简计算． 【详解】（1）解：令，则，，， ； （2）解：令，则，，， ， ， 若，则有，解得， ，，， ； 若，则有，，， ； 的值为或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $