精品解析：浙江省平阳中学等校2025-2026学年高一下学期开学数学练习

高一数学练习 考生须知： 1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字. 3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效. 4.考试结束后，只需上交答题纸. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出集合A,B，利用集合交集的定义求出. 【详解】根据题意可知，集合是大于1的自然数，集合， 利用集合交集的定义，可得. 2. “”是“函数为奇函数”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用三角函数的性质，结合充分性和必要性的定义进行求解即可. 【详解】若，则， 是奇函数，因此能推出为奇函数，充分性成立， 若为奇函数，则对任意满足， 即，化简得， 展开整理后可得，即，不一定等于， 因此为奇函数推不出，必要性不成立。 因此“”是“为奇函数”的充分而不必要条件. 3. 若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数单调性来确定参数的取值范围. 【详解】 对于函数 ，其零点为 ， 由于绝对值内一次项系数为正， 因此： 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ， 又因为 在区间  上单调递减， 因此 必须包含在的单调递减区间内， 即：，解得 ，即实数  的取值范围是 . 4. 已知，，则的值为（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用三角函数的基本关系求解. 【详解】已知，且， 因此，可得，，  由，得， 代入平方关系： ， 整理得，即， 结合得，进而得， 所以. 【点睛】本道题的核心在于依据的值和的范围确定所在象限，进而明确和的正负， 5. 若，，，则、、的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别化简或判断每个数的取值范围. 【详解】，即，  ，指数函数是增函数， 因此，即， 对数函数是增函数， 因此，即， 综上，大小关系为. 6. 函数（且）的图象过定点，若正数，，满足，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据对数函数性质求出定点确定、的值，再将式子变形，最后利用乘1法结合基本不等式求最值. 【详解】对于对数函数 ， 令，解得 ， 此时，因此函数过定点， 得 ，由条件 可得： ，即 ， 由 ，代入得：   利用1的代换结合基本不等式：    当且仅当成立时，等号成立， 结合 ，得 ，满足正数条件， 所以 . 所以当时，取最小值，最小值. 7. 在中，，，BE和CD相交于点，设，，若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量共线定理，结合已知条件求出，的值，进而得到的值. 【详解】由题意可知，为中点，，， 所以， 设，则， ， 又因为，即， 所以， 设，则， ， 所以，解得，， 则，即， 则. 8. 已知，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】对于ABD可通过反例判断，对于C，由条件得到，进而得到，由及对数函数的单调性，即可判断. 【详解】若，因式分解得： ， 取，则，即，A错误， 若，取，则，B错误， 若，则，即， 因此： ， 又，，故 所以可得，C正确， 若，得，因此， 取，则，满足条件，此时，D错误. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列结论正确是（ ） A. 为平面内一定点，若，则、、三点共线且 B. 非零向量，满足，则与的夹角为钝角 C. 若，与共线，且，则 D. 若非零向量，，满足，，则 【答案】AD 【解析】 【详解】对于A选项，对变形：   即，整理得， 与共线且有公共点， 因此三点共线，A正确， 对于B选项，当非零向量，反向共线时，夹角为， 此时，但不是钝角，B错误， 对于C选项，，， 与共线且的向量有两个： 和，并非只有，C错误， 对于D选项，设， 由得，两边平方：   展开得， 代入，得：   即，D正确. 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 若将图象向左平移个单位长度，所得图象与原图象重合，则的最小值为4 B. 若，则的最小值为1 C. 若在内无零点，则的取值范围为 D. 若在内单调递减，则的取值范围为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据图象平移重合、函数值相等、给定区间单调性等条件，利用三角函数性质建立关于的方程或不等式求解，再结合的取值确定的范围或最值判断各选项. 【详解】对于A选项，函数的图象向左平移个单位长度， 所得的函数的原图象重合，故为最小正周期的整数倍， 所以，整理得，， 故的最小值为8，故A错误； 对于B选项，由于，， 所以， 即或， 所以或， 所以的最小值为1，故B正确； 对于C选项，由已知得， 整理得，， 当时，，当时，， 故的取值范围为，故C错误. 对于D选项，由于内单调递减， 由于函数在内单调递减， 则满足，解得，， 当时，；故D正确. 11. 已知定义域为的函数，对任意实数，都有，且，则以下结论一定正确的有（ ） A. B. 是偶函数 C. 的图象关于点中心对称 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】先用赋值法求特殊值，再通过判断奇偶性，结合中心对称性进一步推出周期性，最后利用奇偶性排除错误选项，利用中心对称性验证对称结论，利用周期性拆分求和项，最终确定正确选项. 【详解】因为定义域为的函数，对任意实数、都有， 所以令，可得，解得或， 令，，又， 若，则，显然不成立，故，故A错误； 对于B：令，得，即， 所以，又因为函数的定义域为，所以为偶函数.故B正确； 对于C：由、知，所以， 令，得，即， 所以函数的图象关于成中心对称，故C正确； 对于D：由C选项得， 所以，， 所以，， 所以，故函数的一个周期为4， 因为，，，， 所以. 所以 ，故D正确. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则的值为______. 【答案】## 【解析】 【详解】因为 所以 . 13. 已知，满足，且，则在上的投影向量的模的最小值为______. 【答案】## 【解析】 【分析】利用向量的模、数量积等性质建立关于的不等式，进而求解投影向量的模的最小值. 【详解】解法1：已知，则， 又，满足， 则， 则， 又，即， 即，又， 即， 则在上投影向量为， 所以， 即在上投影向量的模的最小值为. 解法2：由， 又，故， 在上投影向量的模为， 由，得， 故投影向量的模为， 当时，在上的投影向量的模最小，最小值为， 所以在上投影向量的模的最小值为. 14. 已知两条直线：和：，与函数的图象从左至右相交于点，，与函数的图象从左至右相交于点，.记线段AC和BD在轴上的投影长度分别为，，当变化时，的最小值为______. 【答案】32 【解析】 【分析】设出，，，的横坐标，根据直线和与函数的图象相交的情况，列出等式，进而求得各点坐标，列出，化简，利用基本不等式即可求解. 【详解】根据题意，设，，，各点的横坐标分别为，，，， 直线与函数的图象从左至右相交于点，； 则有，， 求解可得：，， 直线与函数的图象从左至右相交于点，； 则有，， ，， 记线段AC和BD在轴上的投影长度分别为，， 则，， 则， 又由，则， 则. 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，满足，， （1）若，的夹角为，求； （2）若，求的值. 【答案】（1）9 （2） 【解析】 【小问1详解】 由，， 故向量，， 且，的夹角为，可得 则. 【小问2详解】 由，所以， 又， 故 所以，故. 【点睛】本题考查了平面向量的数量积定义、平面向量的运算公式. 16. 已知函数. （1）若函数的最小正周期为，求的值及的单调递增区间； （2）设，，求函数在区间上的值域. 【答案】（1），，； （2） 【解析】 【分析】（1）根据余弦型函数的最小正周期公式求得的值，得到的解析式，进而由整体法求得单调递增区间. （2）首先化简得到的解析式，再由的范围求解值域. 【小问1详解】 若最小正周期为， 则，解得，， 函数的单调递增区间为，， 令，，解得，， 所以的单调递增区间是，. 【小问2详解】 时，，所以 ， 当时，，结合余弦函数的性质可得： 当，即时，取得最小值， 当，即时，取得最大值， 所以函数在区间上的值域是. 17. 若函数的定义域为，对于任意，都有，则称函数为中心对称函数，其中为函数的对称中心. （1）已知定义上的函数的图象关于点中心对称，且当时，，求，的值； （2）探究函数是否为中心对称函数.若是，请求出对称中心并用定义证明；若否，请说明理由. （3）运用第（2）问的结论，求的值. 【答案】（1）， （2）是中心对称函数，对称中心是，证明见解析； （3） 【解析】 【分析】（1）应用函数对称中心定义结合已知计算求解； （2）应用中心对称定义再应用待定系数法计算求解； （3）由（2）知，再分组求和计算求值. 【小问1详解】 由在上的函数的图象关于点中心对称， 得，则，，. 当时，，，， ，. 【小问2详解】 若为中心对称函数，则在定义域内有恒成立. ， 根据中心对称定义有， 整理得：， 则，解得，， 是中心对称函数，且对称中心是. 【小问3详解】 由（2）知，；， 又，，， ， 故 . 18. 有一种新型的洗衣液，去污速度特别快，已知每投放（，）个单位的该洗衣液在一定量水的洗衣机中，它在水中释放的浓度（克/升）随着时间（分钟）变化的函数关系式近似为，其中，若多次投放，则某一时刻水中的洗衣液浓度为每次投放的洗衣液在相应时刻所释放的浓度之和，根据经验，当水中洗衣液的浓度不低于6（克/升）时，它才能起到有效去污的作用. （1）若只投放一次个单位的洗衣液，当3分钟时水中洗衣液的浓度为2.5克/升，求的值； （2）若只投放一次6个单位的洗衣液，则有效去污时间可达几分钟？ （3）若第一次投放3个单位的洗衣液，9分钟后再投放3个单位的洗衣液，问能否使接下来的6分钟内持续有效去污？说明理由. 【答案】（1） （2）12分钟 （3）能持续有效去污，理由见解析 【解析】 【分析】（1）利用所给函数，令，解出即可得； （2）分及讨论即可得； （3）当时，计算的最小值是否大于即可得. 【小问1详解】 由， 则当3分钟时水中洗衣液的浓度为2.5克/升时， 可得，即，解得； 【小问2详解】 由题意可得，则， 则当时，由，解得，即， 当时，由，解得，即， 综上所述，得，即有效去污时间可达12分钟； 【小问3详解】 则当时， ， 当且仅当时，等号成立， 即9分钟后再投放3个单位的洗衣液能使接下来的6分钟内持续有效去污. 19. 已知函数的定义域为区间，若对于给定的非零实数，存在使得，则称函数在区间上具有性质， （1）判断函数在区间上是否具有性质，并说明理由； （2）若函数在区间上具有性质，求的取值范围； （3）已知函数的图象是连续不断的曲线，且，求证：函数在区间上具有性质. 【答案】（1）具有，理由见解析 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先根据性质列出的等式，求解，再判断、是否在区间内，从而确定函数是否具有该性质. （2）由性质得到，结合函数表达式化简求出，再判断、是否在区间内，从而确定的取值范围. （3）构造函数，根据得到，分，有一个为0，一个不为0两种情况，利用零点存在性定理证明存在使成立. 小问1详解】 函数在上具有性质，理由如下： 若，则， 因为，且， 所以函数在上具有性质. 【小问2详解】 由题意，因为函数上具有性质， 所以，由于， 即存在，使得， 所以，得， 又因为且 所以，即的取值范围是. 【小问3详解】 设， 则有， 由，得， ①当，有一个为0时，或， 则函数在区间上具有性质. ②当，均不为0时，由于其和为0， 则，必然一正一负，即， 因为函数的图象是连续不断的曲线， 所以在上连续，故在上连续， 由零点存在性定理知，存在， 使得，即， 所以函数在区间上也具有性质， 综上所述，函数在区间上具有性质. 【点睛】本题的核心是对函数性质的理解与应用，关键在于通过等式求解出，并判断其是否在给定区间内. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学练习 考生须知： 1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字. 3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效. 4.考试结束后，只需上交答题纸. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. “”是“函数为奇函数”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，则的值为（ ） A. B. C. 或 D. 5. 若，，，则、、的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 函数（且）的图象过定点，若正数，，满足，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3 7. 在中，，，BE和CD相交于点，设，，若，则等于（ ） A. B. C. D. 8. 已知，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列结论正确的是（ ） A. 平面内一定点，若，则、、三点共线且 B. 非零向量，满足，则与的夹角为钝角 C. 若，与共线，且，则 D. 若非零向量，，满足，，则 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 若将图象向左平移个单位长度，所得图象与原图象重合，则的最小值为4 B. 若，则的最小值为1 C. 若在内无零点，则的取值范围为 D. 若在内单调递减，则的取值范围为 11. 已知定义域为的函数，对任意实数，都有，且，则以下结论一定正确的有（ ） A. B. 是偶函数 C. 的图象关于点中心对称 D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则的值为______. 13. 已知，满足，且，则在上的投影向量的模的最小值为______. 14. 已知两条直线：和：，与函数图象从左至右相交于点，，与函数的图象从左至右相交于点，.记线段AC和BD在轴上的投影长度分别为，，当变化时，的最小值为______. 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15 已知向量，满足，， （1）若，夹角为，求； （2）若，求的值. 16. 已知函数. （1）若函数的最小正周期为，求的值及的单调递增区间； （2）设，，求函数在区间上的值域. 17. 若函数的定义域为，对于任意，都有，则称函数为中心对称函数，其中为函数的对称中心. （1）已知定义上的函数的图象关于点中心对称，且当时，，求，的值； （2）探究函数是否为中心对称函数.若是，请求出对称中心并用定义证明；若否，请说明理由. （3）运用第（2）问的结论，求的值. 18. 有一种新型的洗衣液，去污速度特别快，已知每投放（，）个单位的该洗衣液在一定量水的洗衣机中，它在水中释放的浓度（克/升）随着时间（分钟）变化的函数关系式近似为，其中，若多次投放，则某一时刻水中的洗衣液浓度为每次投放的洗衣液在相应时刻所释放的浓度之和，根据经验，当水中洗衣液的浓度不低于6（克/升）时，它才能起到有效去污的作用. （1）若只投放一次个单位洗衣液，当3分钟时水中洗衣液的浓度为2.5克/升，求的值； （2）若只投放一次6个单位的洗衣液，则有效去污时间可达几分钟？ （3）若第一次投放3个单位的洗衣液，9分钟后再投放3个单位的洗衣液，问能否使接下来的6分钟内持续有效去污？说明理由. 19. 已知函数的定义域为区间，若对于给定的非零实数，存在使得，则称函数在区间上具有性质， （1）判断函数在区间上是否具有性质，并说明理由； （2）若函数在区间上具有性质，求的取值范围； （3）已知函数的图象是连续不断的曲线，且，求证：函数在区间上具有性质. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $