贵州贵阳市第一中学2025-2026学年高三上学期高考适应性月考（五）数学试卷

数学试卷 注意事项: 1.答题前,考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答 题卡上填写清楚 2.每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,在试题卷上作答无效, 3.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分,考试用时120分钟. 一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的)》 1.若复数z满足i+2=i(i为虚数单位),则z的虚部为 A.-2 B.-2i C.2 D.2i 2.“1og2a>log2b”是“a2>b2”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.在等差数列{an}中,若a2+ag+a1=18,则a,= A.3 B.6 C.9 ,12 4.已知随机变量X~N(,4),若P(X<2)=P(X>6),则 A.E(X)=2,D(X)=2 B.E(X)=4,D(X)=2 C.E(X)=2,D(X)=4 D.E(X)=4,D(X)=4 5.某工厂产生的废气经过滤后排放,过滤过程中废气的污染物含量P(单位:mg/L)与时 间t(单位:h)间的关系为P=Poe“,其中P。,k是正的常数,如果在前5h消除了10% 的污染物,那10h后的污染物含量为 A.80% B.81% C.82% D.83% 数学 第1页(共6页)》 6.游乐场现有8个完全相同的泊车车位,现安排三辆完全不同的冰淇淋彩车停放,要求 每辆车两侧均有空车位方便游客购买,问安排冰淇淋彩车的方法数是 A.336 B.120 C.56 D.24 1函数x)=ar+到(o>0)的图象关于点红,0中心对称,则 的值不可能为 A.-1 B.I D.1 8.已知函数f(x)=lnx+ax2+bx(a,b∈R).若存在实数b,使得函数f(x)有三个不同的零 点,则a的取值范围为 A.(. Bo, c.( o,2 二、多项选择题(本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有 多个选项是符合题目要求的,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得即分) 9.已知a,B为锐角,sina= ,sin(a-8)=-i0 25 10, 则 4 A.sin2a= B.cos2a=-3 C.sin = 7√2 10 D.tan明=7 10.已知 ABC中,O是BC边上靠近B的三等分点,Q为A0的中点,过点0的直线分 别交直线AB,AC于不同的两点M,N,设AB=mA,AC=nA,其中m>0,n>0, 则下列结论正确的是 A成-子+证 31 6 B.2m+n=3 C.1+的最小值为3+22 m n 3 D.若40=瓦,角A=号,则三角形ABC面积的最大值为 4 数学 第2页(共6页) 11.已知直线l:x=1交抛物线E:y=2px(p>0)于P,Q两点,且0P10Q(0为坐标原 点),A,B,C是抛物线E上三点,直线AB,AC与圆M:(x-2)2+y2=1相切于D,G 两点,则下列说法正确的是 A.抛物线E的方程为y2=x B.AM的取值范围是[√2,+oo) CM而 MC的最大值为 D.直线BC与圆M相切 三、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分) 12.已知数列{(-1)“(2n-1)}的前n项和为Sn,则该数列的前2026项的和S2m6= B日数二项司展开式中:爽的系级为似,则皮二项大月 的常数项为 14.阅读材料:空间直角坐标系0-z中,过点P(xo,0,0)且一个法向量为元=(a,b,c) 的平面a的方程为a(x-x)+b(y-yo)+c(z-o)=0.阅读上面材料,解决下面问题:已 知平面a的方程为2x+y-z+1=0,直线1是两平面x-y+z+1=0与2x-y-z+1=0的交 线,则直线1与平面所成角的正弦值为 四、解答题(共77分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 15.(本小题满分13分) 在 ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=2,acosC=(ab-c)cosA (1)求A; (2)若D为边B上-点,且cas∠ACD=7,BD=GD,求GD 16.(本小题满分15分) 一盒子中有大小与质地均相同的6个小球,其中白球4个,黑球2个.从中不放回地 随机取3次,每次取1个球 (1)记取到的黑球个数为随机变量X,求X的分布列和期望; (2)已知实验完成后取到的黑球个数为2,求第2次取到白球的概率 17.(本小题满分15分) 在图甲五边形ABCDE中, ADE是边长为2的等边三角形,AB∥DC,ADLDC,CD =2AB=2AD,将 ADE沿AD折起到 SAD的位置,得到如图乙所示的四棱锥 S-ABCD,点F为SC的中点,若二面角S-AD-C所成角的平面角的余弦值为- 3 3 四 (1)求证:BF⊥SD; 2 (2)求点F到平面SAD的距离. 甲 18.(本小题满分17分) 知双曲线>0心0的左有焦点分别为1,,离心率为2,而 点(2,3) (1)求双曲线T的方程; (②)过R,的直线与双曲线「交于A,B两点,过点4作直线x=的垂线,垂足为 D.求证:直线BD过定点 19.(本小题满分17分)》 已知函数fx)=2(x+a)lnx+a2-a,g(x)=x2-2a-a2,其中a>0. (1)当a=0时,求函数f(x)的最小值; (2)设函数h(x)=g(x)-f(x). (i)讨论h'(x)的单调性; (i)证明:存在a∈(0,1),使得h(x)≥0在区间(1,+∞)内恒成立,且函数h(x) 的零点唯一 口口口口 数学评分细则 一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 题号 1 2 3 4 5 6 8 答案 B D B D 0 【解析】 3.a2+a+41=3a=18,则a=6,故选B. 5.当1=0时P=乃et0=乃:当1=5时,Be“ =90%,即e=0.9,k=-n0.9, 当1=10时,Be 一=e1o=(e)2=0.92=0.81,即10h后,还剩81%的污染物,故选B. 6.在空置的5个车位的4个间隔安排三辆不同的车A:=24,故选D. 7.因为函数图象关于点(受0对称,所以受+骨,keZ,所以@=日+号,keZ, 4 6 3 所以血2,因此可得:)的值可能为1,分故选心 8.)=0,即nx+m2+bx=0,故hx+m=-b,f因有三个不同的零点,,5,故 血江+m=-b有3个不同的正根,令g树=血x+a,定义域为(0,+0),则g)=血x+am 需有两个极值点,则g)=1一n￥+a需有两个不同的变号零点,令M)= 1-hx,则 r2 h)=3+2血x,令H=3+2血x=0得x=e是,令h>0得x>。,令H<0得 <,中在)上单莲减在+小上单调又 e=0,故当0<x<e时,hM>0,又xe时,<0恒成立,故要想g=1-hx+a 有两个不同的变号零点,需满足0<a< 记,此时存在实数6,使得x+m=-6有3个不 同的正根,。的取值范围为0) 故选D. 数学评分细则 第1页(共9页) 口口口口 二、多项选择题(本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有 多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分) 题号 9 10 11 答案 ABC ABD ACD 【解析】 9.因为a,B为锐角,所以0<a<至0<B<号,所以-号<a-B<,选项A: s咖2a=2s如a6osa=2x25x5.4 ,所以选项A正确;选项B, 5 55 c2a=1-2s如2a=号,正确:选项C:ce->0,因为血a25,所以 coa=1-血2a-5,因为a-0 -0,所以cos(a-m=-nra-月= 0 31 10 ,s血B=sla-(a-例=sin(-m-cosain(a-m=25x3i而_5 5105 10 7N2 10 10 所以选须C正确选夏D:因为油:治,所以csB如万 所以anB=s加E=7,D错误,故选ABC. 10 cos B 10.0=西+0=西+号C=丽+c-=而+C,对于A,亚=丽+0 -而兮和=-丽+片传而+C号而+c,故A正确:对于B,由A知 而号+兮C-孤+号丽,由于从、0、N三点共线,可知+号1,即 2m+n=3,故B正确:对于C,由B知, 2m+9=1,且m>0,m>0,所以上+上 33 m n +得品+2品要 3 2,当且仅当”=2”,即 3m 3n m=32,,n=35-)时取得等号,所以上+上的最小值为1+25,故C错误:对 2 m n 3 数学评分细则 第2页(共9页) 口口口口 手D0-号+c,0-号石+号C+2号c4 3 9 9 甘8+号≥2号c+号e,3,当且仅当号0-时取得等号, 9 9 esin 3V5 ,故D正确,故选ABD 11.对于A:在y2=2x中,当x=1时,P1,√2P)Q1,-√2P),因 为oP100,所以2(2p)=-l,所以p=所以y=x, 1 故A正确:对于B:设4(y,%),,则AM=V%2-2+2= V-32+4≥ 2 ,所以AMe 21 ,所以B错误:对于C 图1 设∠MG=0e0 则MD.MG=1x1 cos20=2cos20-1.又因为cos0 IAM' 所以M而.MG= M-1.又因为AM作VG-2y+店=属-2妒+元 =Vx-3+4= 3+ 名2 +42 当且仅当%号时取等号,所以而心≤),故 C正确:对于D,如图1,设4(: h(,hC(,),则k=-五=台-当 。-￥6- 所以直线AB:x-O,+)y+%y=0,同理可得,直线 %+为 AC:x-(+y2)y+%y2=0,直线BC:x-(++y2)y+y2=0.因为直线AB,AC与 圆M相切,所以圆心M与B,4C的距离d=2+L=2+L=1,所以 V1+(0%+)2V1+0。+2)2 (06-102+2y%+3-片=0 0后-10y片+2y%为2+3-6=0 所以为为方程(0-1)y2+2%y+3-片=0的两根,所 以片+为= -2y% 6-1 3=上,因为圆心M与8C的距离d=2+L=公=1, 为2 8-1 V1+(+为2)26+1 所以直线BC与圆M相切,故D正确,故选ACD. 数学评分细则 第3页(共9页) 口口口口 三、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分) 题号 12 13 14 答案 2026 60 团 7 【解析】 13.2 =64,n=6, 展我通公为-c时-Ger 骨.令6令0得r三4,放展开式的落数项为写=C-)'20 14.根据材料可知:平面 的一个法向量为m=(2,1,-1),平面x-y+z+1=0的一个法向量 为元=0,-1,),平面2x-y-z+1=0的一个法向量为m=(2,-1,-1),设直线1的方向 向量为=(x,为),因为直线1是两平面的交线,所以n与元,2都垂直,则 %=02x-y-2=0'令z=1,则F=2 n.月=0∫x-y+z=0 n=(2,3,),设直线1与平面 所成 y=3 角为9,则血0osm上 7 即直线1与平面 所成角的正弦值为回 四、解答题(本大题共5小题,共77分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 15.(本小题满分13分) 解:(1)已知a=2, 所以:(2b-c)cosA=acosC, …(1分) 由正弦定理得:2 sinBcosA=sinCcosA-+sinAcosC=sin(A+C)=sinB, …(4分) 在三角形中,易知sinB≠0,所以cosA=} …(6分) 4e@动,所以4=号 4…(7分) (2)如图2所示: 因为cos∠ACD=片,所以m∠4CD=4 7 7 …(8分) 图2 设BD=CD=1, 数学评分细则 第4页(共9页)