备战2026年浙江中考数学一轮复习 第15讲 全等三角形（讲义）

备战2026年浙江中考数学一轮复习·讲义 第四单元 三角形与四边形 第15讲 全等三角形 ( 课标要求 ) 1．理解全等三角形的概念，能识别全等三角形中的对应边、对应角 2．掌握基本事实：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 3．掌握基本事实：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 4．掌握基本事实：三边分别相等的两个三角形全等 5．证明定理：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 6．探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理 7．理解角平分线的概念，探索并证明角平分线的性质定理:角平分线上的点到角两边的距离相等;反之，角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。 8．理解线段垂直平分线的概念，探索并证明线段垂直平分线的性质定理:线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等;反之，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。 ( 知识网络 ) ( 知识清单 ) 1.全等三角形的相关概念 全等图形：能够完全重合的两个图形 全等三角形：能够完全重合的两个三角形 两个三角形全等，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角. 2.全等三角形的判定： 一般三角形 直角三角形 判定 (1)边角边(SAS) (2)角边角(ASA) (3)角角边(AAS) (4)边边边(SSS) (1)两直角边对应相等 (2)一直角边、一锐角对应相等 (3)斜边、直角边对应相等(HL) 备注 判定两个三角形全等，至少要有一组 相等 判定思路 已知两边 找夹角→ 找直角→ (或 ) 找第三边→ 已知一边一角 边为角的对边→找任一角→ 边为角的邻边 找夹角的另一边→ 找边的另一邻角→ 找边的对角→ 已知两角 找夹边→ 找任一角的对边→ 3.全等三角形的性质： 性质 对应边 、对应角 对应角平分线 、对应中线 、对应高 全等三角形的周长 、面积 4.角平分线 （1）性质：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等． 如图，已知平分，，，则． （2）判定：角的内部，与角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上． 如图，已知，，且，则平分， 5.线段垂直平分线 （1）定义：垂直平分一条线段的直线叫做线段的垂直平分线. 注意：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． （2）性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。 注意：对于含有垂直平分线的题目，首先考虑将垂直平分线上的点与线段两端点连接起来． （3）判定：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.  ( 考点 精析 ) ■考点一　全等三角形的性质► 【例1.1】（2023•天台县一模）如图，△ADE≌△ABC，点D在边AC上，延长ED交边BC于点F，若∠EAC＝35°，则∠BFD＝　　 ． 【例1.2】（2025•潮阳区模拟）如图，若点A，B，D，E在同一条直线上，△ABC≌△DEF，BE＝3，AE＝8，则BD的长是　　 ． ■考点二　全等三角形的判定► 【例2.1】（2024•桐乡市一模）如图，在四边形ABCD中，已知∠BAC＝∠DAC．添一个条件，使△ABC≌△ADC，则不能作为这一条件的是（　　） A．∠ACB＝∠ACD B．∠B＝∠D C．AB＝AD D．BC＝DC 【例2.2】（2025•淮安）已知：如图，在△ABC和△ADE中，点D在BC上，∠B＝∠ADE，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE．求证：△ABC≌△ADE． 【例2.3】（2025•福州校级模拟）如图，点E在△ABC边AC上，AE＝BC，BC∥AD，∠CED＝∠BAD．求证：△ABC≌△DEA． ■考点三　全等三角形的判定与性质综合► 【例3.1】（2025•滕州市一模）如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝6，D为边BC的中点，点E，F分别在边AB，AC上，AE＝CF，则四边形AEDF的面积为（　　） A．18 B． C．9 D． 【例3.2】（2025•南岗区校级三模）如图，点C为线段AE上一动点（不与A、E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ，以下四个结论①∠AOB＝60°；②PQ∥AE；③OC平分∠AOE；④OC+OD＝OE，其中正确结论的序号为 　　 ． 【例3.3】（2025•温州模拟）如图，AB，DE交于点F，AD∥BE，点C在线段AB上，且AC＝BE，AD＝BC，连结CD，CE． （1）求证：∠ADC＝∠BCE． （2）若∠A＝50°，∠ADC＝30°，求∠CDE的度数． ■考点四　角平分线的性质► 【例4.1】2025•榆阳区一模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，若BC＝10，DE＝4，则BD的长为 　　 ． 【例4.2】（2025•孝南区一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC、AB于点M、N，再分别以M、N为圆心，任意长为半径画弧，两弧交于点O，作射线AO交BC于点D，若CD＝2，P为AB上一动点，则PD的最小值为　　 ． ■考点五　线段垂直平分线的性质► 【例5.1】（2025•翔安区二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线DE交BC于点D，垂足为点E，连接AD，若AD平分∠CAB，BC＝6，则BD的长为　　 ． 【例5.2】（2025•浙江一模）如图，在△ABC中，点D在BC边上，2∠B＝∠DAC，CE⊥AD，若AE＝DE＝2，AC＝6，则BC的长为（　　） A．10 B． C．8 D． ( 巩固训练 ) 1．（2025•香洲区模拟）如图，已知点B、E、C、F在同一条直线上，AB＝DE，BE＝CF，根据全等三角形的判定方法，下列能证明△ABC≌△DEF的条件是（　　） A．∠ACB＝∠DFE B．∠A＝∠D C．AC∥DF D．∠B＝∠DEF 2．（2024•东阳市二模）如图，已知∠1＝∠2，添加下列条件，不能判定△ABD≌△ACD的是（　　） A．AD⊥BC B．AD平分∠BAC C．E为BC的中点 D．AB＝AC 3．（2025•山西模拟）如图，已知△ABC≌△DEC，点E在AB上，若∠B＝78°，则∠ACD的度数为（　　） A．36° B．34° C．27° D．24° 4．（2022•龙泉市一模）如图，在△ABD和△ABC中，∠DAB＝∠CAB，点A，B，E在同一条直线上，添加下列条件，不能使△ABD≌△ABC的是（　　） A．∠DBA＝∠CBA B．∠D＝∠C C．DA＝CA D．DB＝CB 5．（2025•任城区一模）如图，已知∠1＝∠2，则下列条件中，不能使△ABC≌△DCB成立的是（　　） A．AB＝CD B．AC＝BD C．∠A＝∠D D．∠ABC＝∠DCB 6．（2025•福田区三模）用直尺和圆规作一个三角形全等于已知三角形的示意图如图所示，则说明△OCD≌△O′C′D′的依据是 ． 7．（2025•万山区模拟）如图，点P是∠BAC内一点，且点P到AB、AC的距离相等．则△PEA≌△PFA的理由是（　　） A．HL B．AAS C．SSS D．ASA 8．（2025•临平区模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以A，C为圆心，大于AC长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于P，Q两点，直线PQ分别交AB，AC于点D，E，连接CD，则下列结论一定正确的是（　　） A． B． C．AB＝2BC D．AC＝2CD 9．（2025•连云港）如图，在△ABC中，BC＝7，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G，则△AEG的周长为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 10．（2025•河北模拟）已知：如图，在△ABC，△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE．以下四个结论： ①BD＝CE；②∠ACE+∠DBC＝45°；③BD⊥CE；④∠BAE+∠DAC＝180°． 其中结论正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 11．（2025•河南模拟）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，CD＝2，AB＝6，则△ABD的面积是　　 ． 12．（2025•襄州区二模）如图，△ABC的高BD，CE相交于点O．请你添加一个条件，使BD＝CE．你所添加的条件是 ．（仅添加一对相等的线段或一对相等的角） 13．（2025•拱墅区一模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD是∠ABC的角平分线，点E在BD上，过点E作EF⊥BD，交AB于点F．若BE＝4，BF＝5，DE＝EF，则BC＝ 　　 ． 14．（2025•西安校级模拟）如图，△ABC、△CDE均为等边三角形，连接BD、AE交于点O，BC与AE交于点P，则∠AOB的度数是 　　 ． 15．（2025•杭州模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝36°．分别以点A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点D，E，作直线DE分别交AC，BC于点F，G．以G为圆心，GC长为半径画弧，交BC于点H，连结AG，AH．则∠HAB＝ 　　 ． 16．（2025•滨州）如图，△ABC的两个外角的平分线AD，CE相交于点O．若点O到BC的距离为3.5，AB＝4，则△ABO的面积为　　 ． 17．（2024•舟山三模）小聪自编一题：“如图，在四边形ABCD中，AB＝AC，∠ABD＝∠ACD，求证：△BAD≌△CAD”，并将自己的证明过程与小明交流． 小聪： 在△BAD和△CAD中 ∵AB＝AC，∠ABD＝∠ACD，AD＝AD． ∴△BAD≌△CAD 小明： 你的想法不对，这组相等的角不是相等的两组边的夹角，不符合课本上的全等三角形判定定理，我认为这题可以适当添加辅助线来完成证明． 若赞同小聪的证法，请在第一个方框内打“√”；若赞成小明的说法，请你完成证明． 18．（2025•东阳市二模）如图，已知B，E，C，F在同一条直线上，AB＝DE，AB∥DE，BE＝CF，AC与DE交于点G． （1）求证：△ABC≌△DEF． （2）若∠B＝40°，∠F＝80°，求∠EGC的度数． 19．（2023•滨江区二模）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°． （1）若∠C＝32°，求∠A的度数． （2）画∠ABC的平分线BD交AC于点D，过点D作DE⊥AB于点E．若AB＝3，BC＝4，求DE的长．（画图工具不限） 20．（2025•丹阳市二模）如图，∠A＝∠B，点D在AC边上，AE和BD相交于点O． （1）若∠2＝36°，求∠AEB的度数； （2）若∠1＝∠2，AE＝BE，求证：△AEC≌△BED． 21．（2025•台州一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，点O为BC中点，点D在边AB上，连接OD． （1）如图1，若OD⊥AB，OE⊥AC于点E，求证：OE＝OD； （2）如图2，已知∠BAC＝90°，AB＝4，AD＝1．若点F在边AC上，OF＝OD，求AF的长． 29 / 33 学科网（北京）股份有限公司 $备战2026年浙江中考数学一轮复习·讲义 第四单元 三角形与四边形 第15讲 全等三角形 ( 课标要求 ) 1．理解全等三角形的概念，能识别全等三角形中的对应边、对应角 2．掌握基本事实：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 3．掌握基本事实：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 4．掌握基本事实：三边分别相等的两个三角形全等 5．证明定理：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 6．探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理 7．理解角平分线的概念，探索并证明角平分线的性质定理:角平分线上的点到角两边的距离相等;反之，角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。 8．理解线段垂直平分线的概念，探索并证明线段垂直平分线的性质定理:线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等;反之，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。 ( 知识网络 ) ( 知识清单 ) 1.全等三角形的相关概念 全等图形：能够完全重合的两个图形 全等三角形：能够完全重合的两个三角形 两个三角形全等，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角. 2.全等三角形的判定： 一般三角形 直角三角形 判定 (1)边角边(SAS) (2)角边角(ASA) (3)角角边(AAS) (4)边边边(SSS) (1)两直角边对应相等 (2)一直角边、一锐角对应相等 (3)斜边、直角边对应相等(HL) 备注 判定两个三角形全等，至少要有一组对应边相等 判定思路 已知两边 找夹角→SAS 找直角→HL(或SAS) 找第三边→SSS 已知一边一角 边为角的对边→找任一角→AAS 边为角的邻边 找夹角的另一边→SAS 找边的另一邻角→ASA 找边的对角→AAS 已知两角 找夹边→ASA 找任一角的对边→AAS 3.全等三角形的性质： 性质 对应边相等、对应角相等 对应角平分线相等、对应中线相等、对应高相等 全等三角形的周长相等、面积相等 4.角平分线 （1）性质：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等． 如图，已知平分，，，则． （2）判定：角的内部，与角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上． 如图，已知，，且，则平分， 5.线段垂直平分线 （1）定义：垂直平分一条线段的直线叫做线段的垂直平分线. 注意：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． （2）性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。 注意：对于含有垂直平分线的题目，首先考虑将垂直平分线上的点与线段两端点连接起来． （3）判定：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.  ( 考点精析 ) ■考点一　全等三角形的性质► 【例1.1】（2023•天台县一模）如图，△ADE≌△ABC，点D在边AC上，延长ED交边BC于点F，若∠EAC＝35°，则∠BFD＝　145°　 ． 【思路点拨】依据题意，由△ADE≌△ABC可得∠E＝∠C，然后利用“八字形可得∠EAC＝∠CFD＝35°，进而可得∠BFD＝180°﹣∠CFD，故可得解． 【解析】解：∵△ADE≌△ABC， ∴∠E＝∠C． 又∠EAC＝180°﹣∠E﹣∠EDA，∠CFD＝180°﹣∠C﹣∠CDF，且∠EDA＝∠CDF， ∴∠EAC＝∠CFD＝35°． ∴∠BFD＝180°﹣∠CFD＝145°． 故答案为：145°． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质及三角形的内角和定理的应用，解题时要分析题意找出要求角与已知条件间的关系． 【例1.2】（2025•潮阳区模拟）如图，若点A，B，D，E在同一条直线上，△ABC≌△DEF，BE＝3，AE＝8，则BD的长是　2　 ． 【思路点拨】利用全等三角形的性质可得DE＝AB，进而可得答案． 【解析】解：∵BE＝3，AE＝8， ∴AB＝5， ∵△ABC≌△DEF， ∴DE＝AB＝5， ∴BD＝DE﹣BE＝5﹣3＝2， 故答案为：2． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应边相等． ■考点二　全等三角形的判定► 【例2.1】（2024•桐乡市一模）如图，在四边形ABCD中，已知∠BAC＝∠DAC．添一个条件，使△ABC≌△ADC，则不能作为这一条件的是（　　） A．∠ACB＝∠ACD B．∠B＝∠D C．AB＝AD D．BC＝DC 【思路点拨】根据全等三角形的判定定理判断求解即可． 【解析】解：已知∠BAC＝∠DAC，AC＝AC， 添加∠ACB＝∠ACD，利用ASA得出△ABC≌△ADC，故A不符合题意； 添加∠B＝∠D，利用AAS得出△ABC≌△ADC，故B不符合题意； 添加AB＝AD，利用SAS得出△ABC≌△ADC，故C不符合题意； 添加BC＝DC，不能得出△ABC≌△ADC，故D符合题意； 故选：D． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键． 【例2.2】（2025•淮安）已知：如图，在△ABC和△ADE中，点D在BC上，∠B＝∠ADE，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE．求证：△ABC≌△ADE． 【思路点拨】根据∠BAD＝∠CAE，得到∠BAC＝∠DAE，利用AAS，即可得证． 【解析】证明：∵∠BAD＝∠CAE， ∴∠BAD+∠CAD＝∠CAE+∠CAD，即∠BAC＝∠DAE， 在△ABC和△ADE中， ， ∴△ABC≌△ADE（AAS）． 【点睛】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【例2.3】（2025•福州校级模拟）如图，点E在△ABC边AC上，AE＝BC，BC∥AD，∠CED＝∠BAD．求证：△ABC≌△DEA． 【思路点拨】根据平行线的性质推出∠DAC＝∠C，进而推出∠D＝∠BAC，利用AAS即可证明△ABC≌△DEA． 【解析】证明：∵BC∥AD， ∴∠DAC＝∠C， ∵∠CED＝∠BAD，∠CED＝∠D+∠DAC，∠BAD＝∠DAC+∠BAC， ∴∠D＝∠BAC， 在△ABC和△DEA， ， ∴△ABC≌△DEA（AAS）． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键． ■考点三　全等三角形的判定与性质综合► 【例3.1】（2025•滕州市一模）如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝6，D为边BC的中点，点E，F分别在边AB，AC上，AE＝CF，则四边形AEDF的面积为（　　） A．18 B． C．9 D． 【思路点拨】由等腰直角三角形的性质可得AD＝BD＝CD，∠BAD＝∠C＝45°，，由“SAS”可证△ADE≌△CDF，可得S△ADE＝S△CDF，即可求解． 【解析】解：如图，连接AD， ∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝6，D为边BC的中点， ∴AD＝BD＝CD，∠BAD＝∠C＝45°，， 在△ADE和△CDF中， ， ∴△ADE≌△CDF（SAS）， ∴S△ADE＝S△CDF， ∴四边形AEDF的面积＝， 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 【例3.2】（2025•南岗区校级三模）如图，点C为线段AE上一动点（不与A、E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ，以下四个结论①∠AOB＝60°；②PQ∥AE；③OC平分∠AOE；④OC+OD＝OE，其中正确结论的序号为 　①②③④　 ． 【思路点拨】根据等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的判定、三角形面积公式求解即可． 【解析】解：∵等边△ABC和等边△CDE， ∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°， ∴∠ACB+∠BCD＝∠DCE+∠BCD， 即∠ACD＝∠BCE， 在△ACD和△BCE中， ， ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴∠CDA＝∠CEB，∠CAD＝∠CBE， ∵∠BPO＝∠APC， ∴∠AOB＝∠ACB＝60°， 故①正确，符合题意； 又∵∠ACB＝∠DCE＝60°， ∴∠BCD＝60°， 即∠PCD＝∠QCE， 在△CDP和△CEQ中， ， ∴△CDP≌△CEQ（ASA）， ∴CP＝CQ， 又∵∠PCQ＝60°， ∴△PCQ为等边三角形， ∴∠PQC＝∠DCE＝60°， ∴PQ∥AE， 故②正确，符合题意； 过C作CM⊥BE于M，CN⊥AD于N， ∵△BCE≌△ACD， ∴S△BCE＝S△ACD，BE＝AD， ∴×BE×CM＝×AD×CN， ∴CM＝CN， ∴OC平分∠AOE， 故③正确，符合题意； 在OE上截取EH＝OC，连接DH，CH， ∵△ACD≌△BCE， ∴∠CAO＝∠CBO， ∵∠CBO+∠CEB＝∠ACB＝60°， ∴∠CAO+∠CEO＝60°， ∴∠AOE＝120°， ∵OC平分∠AOE， ∴∠EOC＝60°＝∠ABC， ∵∠CQO＝∠EQD， ∴∠OCD＝∠HED， 在△OCD和△HED中， ， ∴△OCD≌△HED（SAS）， ∴OD＝HD， ∵∠AOB＝∠DOH＝60°， ∴△DHO是等边三角形， ∴OH＝OD， ∵OE＝EH+OH， ∴OE＝OC+OD， 故④正确，符合题意； 故答案为：①②③④． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是利用等边三角形的性质证明△CDP≌△CEQ． 【例3.3】（2025•温州模拟）如图，AB，DE交于点F，AD∥BE，点C在线段AB上，且AC＝BE，AD＝BC，连结CD，CE． （1）求证：∠ADC＝∠BCE． （2）若∠A＝50°，∠ADC＝30°，求∠CDE的度数． 【思路点拨】（1）由AD∥BE，得∠A＝∠B，而AC＝BE，AD＝BC，即可根据“SAS”证明△ADC≌△BCE，则∠ADC＝∠BCE； （2）由∠A＝50°，∠ADC＝30°，求得∠BCD＝∠A+∠ADC＝80°，由全等三角形的性质得CD＝EC，∠ADC＝∠BCE＝30°，则∠CDE＝∠CED，∠DCE＝∠BCD+∠BCE＝110°，由2∠CDE+110°＝180°，求得∠CDE＝35°． 【解析】（1）证明：∵AD∥BE， ∴∠A＝∠B， 在△ADC和△BCE中， ， ∴△ADC≌△BCE（SAS）， ∴∠ADC＝∠BCE． （2）解：∵∠A＝50°，∠ADC＝30°， ∴∠BCD＝∠A+∠ADC＝80°， 由（1）得△ADC≌△BCE， ∴CD＝EC，∠ADC＝∠BCE＝30°， ∴∠CDE＝∠CED，∠DCE＝∠BCD+∠BCE＝110°， ∵∠CDE+∠CED+∠DCE＝180°， ∴2∠CDE+110°＝180°， ∴∠CDE＝35°， ∴∠CDE的度数是35°． 【点睛】此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识，证明△ADC≌△BCE是解题的关键． ■考点四　角平分线的性质► 【例4.1】2025•榆阳区一模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，若BC＝10，DE＝4，则BD的长为 　6　 ． 【思路点拨】由角平分线的性质可知CD＝DE＝4，根据线段的和差得出BD＝BC﹣CD＝10﹣4＝6． 【解析】解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C＝90°， ∴CD＝DE， ∵DE＝4， ∴CD＝4， ∵BC＝10， ∴BD＝BC﹣CD＝10﹣4＝6． 故答案为：6． 【点睛】此题考查了角平分线的性质，熟记“角平分线上的点到这个角的两边的距离相等”是解题的关键． 【例4.2】（2025•孝南区一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC、AB于点M、N，再分别以M、N为圆心，任意长为半径画弧，两弧交于点O，作射线AO交BC于点D，若CD＝2，P为AB上一动点，则PD的最小值为　2　 ． 【思路点拨】作DP′⊥AB于P′，根据垂线段最短得到此时PD最小，根据角平分线的性质解答． 【解析】解：如图，作DP′⊥AB于P′， 则此时PD＝P′D最小， 由尺规作图可知，AD平分∠CAB，又∠C＝90°，DP′⊥AB， ∴DP′＝CD＝2， ∴PD的最小值为2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查的是角平分线的性质，垂线段最短，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． ■考点五　线段垂直平分线的性质► 【例5.1】（2025•翔安区二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线DE交BC于点D，垂足为点E，连接AD，若AD平分∠CAB，BC＝6，则BD的长为　4　 ． 【思路点拨】由线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，则由等边对等角和角平分线的定义可得∠CAD＝∠BAD＝∠B，再由三角形内角和定理可推出∠CAD＝30°，则可得到BD＝AD＝2CD，再由线段的和差关系求解即可． 【解析】解：∵AB的垂直平分线DE交BC于点D，垂足为点E， ∴DA＝DB， ∴∠DAB＝∠B， ∵AD平分∠CAB， ∴∠CAD＝∠BAD＝∠B＝∠CAB， ∵∠C＝90°， ∴∠CAD+∠BAD+∠B＝90°， ∴∠CAD＝30°， ∴BD＝AD＝2CD， ∵BC＝CD+BD＝6， ∴， 解得BD＝4， 即BD的长为4， 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质，关键是相关性质的熟练掌握． 【例5.2】（2025•浙江一模）如图，在△ABC中，点D在BC边上，2∠B＝∠DAC，CE⊥AD，若AE＝DE＝2，AC＝6，则BC的长为（　　） A．10 B． C．8 D． 【思路点拨】根据线段的垂直平分线的性质得到CD＝AC，根据等腰三角形的性质得到∠CDA＝∠DAC，根据三角形的外角性质求出∠B＝∠DAB，得到DB＝DA＝4，计算即可． 【解析】解：∵AE＝DE＝2，CE⊥AD， ∴AD＝4，CE是AD的垂直平分线， ∴CD＝AC＝6， ∴∠CDA＝∠DAC， ∵2∠B＝∠DAC， ∴2∠B＝∠CDA， ∵∠CDA＝∠B+∠DAB， ∴∠B＝∠DAB， ∴DB＝DA＝4， ∴BC＝DB+DC＝4+6＝10， 故选：A． 【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等． ( 巩固训练 ) 1．（2025•香洲区模拟）如图，已知点B、E、C、F在同一条直线上，AB＝DE，BE＝CF，根据全等三角形的判定方法，下列能证明△ABC≌△DEF的条件是（　　） A．∠ACB＝∠DFE B．∠A＝∠D C．AC∥DF D．∠B＝∠DEF 【思路点拨】首先根据等式的性质可得BC＝EF，结合AB＝DE，再分别添加四个选项中的条件，结合全等三角形的判定定理进行分析即可． 【解析】解：∵BE＝CF， ∴BE+EC＝CF+EC，即BC＝EF， 另有AB＝DE， A、添加∠ACB＝∠DFE，利用SSA不能判定△ABC≌△DEF，不符合题意； B、添加∠A＝∠D，利用SSA不能判定△ABC≌△DEF，不符合题意； C、添加AC∥DF，可得∠ACB＝∠DFE，利用SSA不能判定△ABC≌△DEF，不符合题意； D、添加∠B＝∠DEF，利用SAS能判定△ABC≌△DEF，符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查全等三角形的判定，熟知判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL是解题的关键． 2．（2024•东阳市二模）如图，已知∠1＝∠2，添加下列条件，不能判定△ABD≌△ACD的是（　　） A．AD⊥BC B．AD平分∠BAC C．E为BC的中点 D．AB＝AC 【思路点拨】先由∠1＝∠2得到BD＝CD，加上AD为公共边，则根据全等三角形的判定方法可分别对各选项进行判断． 【解析】解：∵∠1＝∠2， ∴BD＝CD， 而AD＝AD， ∴当添加AD⊥BC时，∠DEB＝∠DEC＝90°，则∠BDA＝∠CDA，所以△ABD≌△ACD（SAS），所以A选项不符合题意； 当添加AD平分∠BAC时，∠BAD＝∠CAD，不能判断△ABD≌△ACD，所以B选项符合题意； 当添加E为BC的中点时，DE⊥BC，∠DEB＝∠DEC＝90°，则∠BDA＝∠CDA，所以△ABD≌△ACD（ASA），所以C选项不符合题意； 当添加AB＝AC时，所以△ABD≌△ACD（SSS），所以D选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．也考查了等腰三角形的性质． 3．（2025•山西模拟）如图，已知△ABC≌△DEC，点E在AB上，若∠B＝78°，则∠ACD的度数为（　　） A．36° B．34° C．27° D．24° 【思路点拨】由全等三角形的性质推出CE＝BC，∠ACB＝∠DCE，得到∠CEB＝∠B＝78°，∠ACD＝∠BCE，由三角形内角和定理求出∠BCE的度数，即可得到∠ACD的度数． 【解析】解：∵△ABC≌△DEC， ∴CE＝BC，∠ACB＝∠DCE， ∴∠CEB＝∠B＝78°，∠ACD＝∠BCE， ∵∠BCE＝180°﹣78°﹣78°＝24°， ∴∠ACD＝24°． 故选：D． 【点睛】本题考查全等三角形的性质，关键是由△ABC≌△DEC，推出CE＝BC，∠ACB＝∠DCE，求出∠ACD的度数． 4．（2022•龙泉市一模）如图，在△ABD和△ABC中，∠DAB＝∠CAB，点A，B，E在同一条直线上，添加下列条件，不能使△ABD≌△ABC的是（　　） A．∠DBA＝∠CBA B．∠D＝∠C C．DA＝CA D．DB＝CB 【思路点拨】由于∠DAB＝∠CAB，AB为公共边，则可根据全等三角形的判定方法可对各选项进行判断． 【解析】解：∵∠DAB＝∠CAB，AB＝AB， ∴当添加∠DBA＝∠CBA时，则△ABD≌△ABC（ASA），所以A选项不符合题意； 当添加∠D＝∠C时，则△ABD≌△ABC（AAS），所以B选项不符合题意； 当添加DA＝CA时，△ABD≌△ABC（SAS），所以C选项不符合题意； 当添加DB＝CB时，不能判断△ABD≌△ABC，所以D选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键；选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件． 5．（2025•任城区一模）如图，已知∠1＝∠2，则下列条件中，不能使△ABC≌△DCB成立的是（　　） A．AB＝CD B．AC＝BD C．∠A＝∠D D．∠ABC＝∠DCB 【思路点拨】根据全等三角形的判定方法，逐一判断即可解答． 【解析】解：A、∵BC＝CB，∠1＝∠2，AB＝CD， ∴△ABC和△DCB不一定全等， 故A符合题意； B、∵BC＝CB，∠1＝∠2，AC＝BD， ∴△ABC≌△DCB（SAS）， 故B不符合题意； C、∵BC＝CB，∠1＝∠2，∠A＝∠D， ∴△ABC≌△DCB（AAS）， 故C不符合题意； D、∵BC＝CB，∠1＝∠2，∠ABC＝∠DCB， ∴△ABC≌△DCB（ASA）， 故D不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 6．（2025•福田区三模）用直尺和圆规作一个三角形全等于已知三角形的示意图如图所示，则说明△OCD≌△O′C′D′的依据是SSS ． 【思路点拨】我们可以通过其作图的步骤来进行分析，作图时满足了三条边对应相等，于是我们可以判定是运用SSS，答案可得． 【解析】解：作图的步骤： ①以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点C、D； ②任意作一点O′，作射线O′A′，以O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′； ③以C′为圆心，CD长为半径画弧，交前弧于点D′； ④过点D′作射线O′B′． 所以∠A′O′B′就是与∠AOB相等的角； 在△OCD与△O′C′D′， ， ∴△OCD≌△O′C′D′（SSS）， 显然运用的判定方法是SSS． 故答案为：SSS． 【点睛】此题是一道综合题，不但考查了学生对作图方法的掌握，也是对全等三角形的判定的方法的考查． 7．（2025•万山区模拟）如图，点P是∠BAC内一点，且点P到AB、AC的距离相等．则△PEA≌△PFA的理由是（　　） A．HL B．AAS C．SSS D．ASA 【思路点拨】根据题意找出三角形全等的条件，然后根据条件确定全等的依据，解答即可． 【解析】解：∵点P到AB、AC的距离相等， ∴PE＝PF， 又∵PA是公共边， ∴△PEA≌△PFA用的是PA＝PA，PE＝PF， 符合斜边直角边定理，即HL． 故选：A． 【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定，根据题意找出三角形全等的条件是判定使用的理论依据的基础，是基础题，难度不大． 8．（2025•临平区模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以A，C为圆心，大于AC长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于P，Q两点，直线PQ分别交AB，AC于点D，E，连接CD，则下列结论一定正确的是（　　） A． B． C．AB＝2BC D．AC＝2CD 【思路点拨】根据线段的垂直平分线的性质，直角三角形斜边中线的性质，三角形中位线定理一一判断即可． 【解析】解：由作图可知PQ垂直平分线段AC，故选项A正确， ∴DA＝DC，AE＝EC， ∴∠A＝∠DCA， ∵∠ACB＝90°， ∴∠A+∠B＝90°，∠DCB+∠DCA＝90°， ∴∠B＝∠DCB， ∴DB＝DC， ∴AD＝DB， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DE＝BC， 故A、C、D不符合题意，B符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查线段的垂直平分线的性质，三角形中位线定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 9．（2025•连云港）如图，在△ABC中，BC＝7，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G，则△AEG的周长为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【思路点拨】根据线段的垂直平分线的性质得到EA＝EB，GA＝GC，再根据三角形周长公式计算即可． 【解析】解：∵AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G， ∴EA＝EB，GA＝GC， ∴△AEG的周长＝EA+EG+GA＝EB+EG+GC＝BC＝7， 故选：C． 【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等． 10．（2025•河北模拟）已知：如图，在△ABC，△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE．以下四个结论： ①BD＝CE；②∠ACE+∠DBC＝45°；③BD⊥CE；④∠BAE+∠DAC＝180°． 其中结论正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【思路点拨】①由AB＝AC，AD＝AE，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS得出三角形ABD与三角形AEC全等，由全等三角形的对应边相等得到BD＝CE，本选项正确； ②由三角形ABD与三角形AEC全等，得到一对角相等，由等腰直角三角形的性质得到∠ABD+∠DBC＝45°，等量代换得到∠ACE+∠DBC＝45°，本选项正确； ③再利用等腰直角三角形的性质及等量代换得到BD垂直于CE，本选项正确； ④利用周角减去两个直角可得答案． 【解析】解：①∵∠BAC＝∠DAE＝90°， ∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，即∠BAD＝∠CAE， ∵在△BAD和△CAE中，， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴BD＝CE，本选项正确； ②∵△ABC为等腰直角三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝45°， ∴∠ABD+∠DBC＝45°， ∵△BAD≌△CAE， ∴∠ABD＝∠ACE， ∴∠ACE+∠DBC＝45°，本选项正确； ③∵∠ABD+∠DBC＝45°， ∴∠ACE+∠DBC＝45°， ∴∠DBC+∠DCB＝∠DBC+∠ACE+∠ACB＝90°， 则BD⊥CE，本选项正确； ④∵∠BAC＝∠DAE＝90°， ∴∠BAE+∠DAC＝360°﹣90°﹣90°＝180°，故此选项正确， 故选：D． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，以及等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． 11．（2025•河南模拟）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，CD＝2，AB＝6，则△ABD的面积是　6　 ． 【思路点拨】根据角平分线的性质求出DE，再根据三角形面积公式计算即可． 【解析】解：∵AD是△ABC的角平分线，∠C＝90°，DE⊥AB， ∴DE＝CD， ∵CD＝2， ∴DE＝2， ∴， 即△ABD的面积为6， 故答案为：6． 【点睛】本题考查的是角平分线的性质，关键是角平分线性质的熟练掌握． 12．（2025•襄州区二模）如图，△ABC的高BD，CE相交于点O．请你添加一个条件，使BD＝CE．你所添加的条件是BE＝CD或∠EBC＝∠DCB或∠DBC＝∠BCE或AB＝AC ．（仅添加一对相等的线段或一对相等的角） 【思路点拨】根据三角形全等的判定方法，从△BCD和△CBE全等，或者△ABD和△ACE全等考虑添加条件． 【解析】解：添加BE＝CD可以利用“HL”证明△BCD≌△CBE， 添加∠EBC＝∠DCB可以利用“AAS”证明△BCD≌△CBE， 添加∠DBC＝∠BCE可以利用“AAS”证明△BCD≌△CBE， 添加AB＝AC可以利用“HL”证明△ABD≌△ACE， 综上所述，所添加的条件可以是BE＝CD或∠EBC＝∠DCB或∠DBC＝∠BCE或AB＝AC． 故答案为：BE＝CD或∠EBC＝∠DCB或∠DBC＝∠BCE或AB＝AC． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键． 13．（2025•拱墅区一模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD是∠ABC的角平分线，点E在BD上，过点E作EF⊥BD，交AB于点F．若BE＝4，BF＝5，DE＝EF，则BC＝ 　　 ． 【思路点拨】作DH⊥AB于点H，则∠BHD＝∠C＝90°，而∠HBD＝∠CBD，BD＝BD，可根据“AAS”证明△HBD≌△CBD，由∠BEF＝90°，BE＝4，BF＝5，求得DE＝EF＝3，则BD＝7，由cos∠ABD＝＝＝，求得BH＝BD＝，则BC＝BH＝，于是得到问题的答案． 【解析】解：作DH⊥AB于点H，则∠BHD＝∠C＝90°， ∵BD是∠ABC的角平分线， ∴∠HBD＝∠CBD， ∵BD＝BD， ∴△HBD≌△CBD（AAS）， ∵EF⊥BD于点E， ∴∠BEF＝90°， ∵BE＝4，BF＝5， ∴DE＝EF＝＝＝3， ∴BD＝BE+DE＝4+3＝7， ∵cos∠ABD＝＝＝， ∴BH＝BD＝×7＝， ∴BC＝BH＝， 故答案为：． 【点睛】此题重点考查全等三角形的判定与性质、勾股定理、解直角三角形等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 14．（2025•西安校级模拟）如图，△ABC、△CDE均为等边三角形，连接BD、AE交于点O，BC与AE交于点P，则∠AOB的度数是 　60°　 ． 【思路点拨】证明△ACE≌△BCD，可得结论． 【解析】解：∵△ACB，△ECD都是等边三角形， ∴CA＝CB，CE＝CD，∠ACB＝∠ECD＝60°， ∴∠ACE＝∠BCD， 在△ACE和△BCD中， ， ∴△ACE≌△BCD（SAS）， ∴∠CAE＝∠CBD， ∵∠APC＝∠BPO， ∴∠AOB＝∠ACP＝60°． 故答案为：60°． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 15．（2025•杭州模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝36°．分别以点A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点D，E，作直线DE分别交AC，BC于点F，G．以G为圆心，GC长为半径画弧，交BC于点H，连结AG，AH．则∠HAB＝ 　18°　 ． 【思路点拨】由线段垂直平分线的性质推出CG＝AG，得到GH＝AG，推出∠C＝∠CAG，∠GAH＝∠GHA，由三角形内角和定理求出∠C+∠GHA＝90°，由等腰三角形的性质得到∠B＝∠C＝36°，求出∠GHA＝54°，由三角形的外角性质即可求出∠BAH的度数． 【解析】解：由题意得到：DE垂直平分AC，CG＝GH， ∴CG＝AG， ∴GH＝AG， ∴∠C＝∠CAG，∠GAH＝∠GHA， ∴∠CAG+∠GAH＝∠C+∠GHA＝×180°＝90°， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C＝36°， ∴∠GHA＝90°﹣36°＝54°， ∴∠BAH＝∠GHA﹣∠B＝18°． 故答案为：18°． 【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，作图﹣基本作图，关键是由线段垂直平分线的性质推出AG＝CG． 16．（2025•滨州）如图，△ABC的两个外角的平分线AD，CE相交于点O．若点O到BC的距离为3.5，AB＝4，则△ABO的面积为　7　 ． 【思路点拨】作OP⊥BA交BA的延长线于点P，OQ⊥BC交BC的延长线于点Q，OR⊥AC于点R，因为△ABC的两个外角的平分线AD，CE相交于点O，所以OP＝OQ＝OR，由点O到BC的距离为3.5，得OP＝OQ＝3.5，而AB＝4，则S△ABO＝AB•OP＝7，于是得到问题的答案． 【解析】解：作OP⊥BA交BA的延长线于点P，OQ⊥BC交BC的延长线于点Q，OR⊥AC于点R， ∵△ABC的两个外角的平分线AD，CE相交于点O， ∴OP＝OR，OQ＝OR， ∴OP＝OQ， ∵点O到BC的距离为3.5， ∴OP＝OQ＝3.5， ∵AB＝4， ∴S△ABO＝AB•OP＝×4×3.5＝7， 故答案为：7． 【点睛】此题重点考查角平分线的性质、三角形的面积公式等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 17．（2024•舟山三模）小聪自编一题：“如图，在四边形ABCD中，AB＝AC，∠ABD＝∠ACD，求证：△BAD≌△CAD”，并将自己的证明过程与小明交流． 小聪： 在△BAD和△CAD中 ∵AB＝AC，∠ABD＝∠ACD，AD＝AD． ∴△BAD≌△CAD 小明： 你的想法不对，这组相等的角不是相等的两组边的夹角，不符合课本上的全等三角形判定定理，我认为这题可以适当添加辅助线来完成证明． 若赞同小聪的证法，请在第一个方框内打“√”；若赞成小明的说法，请你完成证明． 【思路点拨】连接BC，如图，利用等腰三角形的性质得到∠ABC＝∠ACB，则∠DBC＝∠DCB，所以BD＝CD，然后根据“SSS”可判断△BAD≌△CAD，所以小明的说法正确． 【解析】解：赞成小明的说法． 证明如下：连接BC，如图， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∵∠ABD＝∠ACD， ∴∠ABD﹣∠ABC＝∠ACD﹣∠ACB， 即∠DBC＝∠DCB， ∴BD＝CD， 在△BAD和△CAD中 ∴△BAD≌△CAD（SSS）． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件． 18．（2025•东阳市二模）如图，已知B，E，C，F在同一条直线上，AB＝DE，AB∥DE，BE＝CF，AC与DE交于点G． （1）求证：△ABC≌△DEF． （2）若∠B＝40°，∠F＝80°，求∠EGC的度数． 【思路点拨】（1）由BE＝CF，可得BC＝EF，根据平行线的性质求出∠B＝∠DEF，证明△ABC≌△DEF（SAS）即可；（2）根据全等三角形的性质求出∠ACB＝∠F＝80°，由三角形内角和定理可得∠A＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝60°，根据平行线的性质可求∠EGC的度数． 【解析】（1）证明：∵BE＝CF， ∴BE+EC＝CF+EC， 即BC＝EF， ∵AB∥DE， ∴∠B＝∠DEF， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（SAS）； （2）解：由（1）知，△ABC≌△DEF， ∴∠ACB＝∠F＝80°， ∵∠B＝40°， ∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝60°， ∵AB∥DE， ∴∠EGC＝∠A＝60°． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，三角形内角和定理．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 19．（2023•滨江区二模）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°． （1）若∠C＝32°，求∠A的度数． （2）画∠ABC的平分线BD交AC于点D，过点D作DE⊥AB于点E．若AB＝3，BC＝4，求DE的长．（画图工具不限） 【思路点拨】（1）依据题意，根据直角三角形的两个锐角互余，可求∠A的度数． （2）依据题意，利用△AED∽△ABC得，由BD平分∠ABC，DE⊥AB可得ED＝EB，设ED＝x，由比例式可得方程，进而得解． 【解析】解：（1）由题意得，∠A＝90°﹣∠C． ∵∠C＝32°， ∴∠A＝90°﹣32°＝58°． 即∠A＝58°． （2）如图， ∵DE⊥AB， ∴∠AED＝90°． 又∠ABC＝90°， ∴∠AED＝∠ABC． ∴ED∥BC． ∴△AED∽△ABC． ∴． ∵BD平分∠ABC， ∴∠EBD＝∠ABC＝45°． 又∵DE⊥AB， ∴∠EBD＝∠EDB＝45°． ∴EB＝ED． 设ED＝x， ∴EB＝ED＝x． ∴AE＝AB﹣ED＝3﹣x． ∴． ∴x＝． ∴DE＝． 【点睛】本题考查了角平分线的定义与性质、相似三角形的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用． 20．（2025•丹阳市二模）如图，∠A＝∠B，点D在AC边上，AE和BD相交于点O． （1）若∠2＝36°，求∠AEB的度数； （2）若∠1＝∠2，AE＝BE，求证：△AEC≌△BED． 【思路点拨】（1）利用三角形内角和得到∠AEB＝∠2； （2）先利用三角形外角性质证明∠C＝∠BDE，然后根据“AAS”证明△AEC≌△BED． 【解析】（1）解：∵∠AOD＝∠BOE，∠A＝∠B， ∴∠AEB＝∠2＝36°； （2）证明：∵∠ADE＝∠1+∠C， 即∠2+∠BDE＝∠1+∠C， 而∠2＝∠1， ∴∠C＝∠BDE， 在△AEC和△BED中， ， ∴△AEC≌△BED（AAS）． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键；选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件． 21．（2025•台州一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，点O为BC中点，点D在边AB上，连接OD． （1）如图1，若OD⊥AB，OE⊥AC于点E，求证：OE＝OD； （2）如图2，已知∠BAC＝90°，AB＝4，AD＝1．若点F在边AC上，OF＝OD，求AF的长． 【思路点拨】（1）由等腰三角形的性质得∠C＝∠B，再证明△OCE≌△OBD（AAS），即可得出结论； （2）连接OA，过点O作OG⊥AB于点G，OH⊥AC于点H，由等腰直角三角形的性质得∠B＝∠C＝45°，OA平分∠BAC，OA＝BC＝OB＝OC，则OG＝OH，AH＝CH＝AC＝2，AG＝BG＝AB＝2，得AH＝AG，DG＝AG﹣AD＝1，再分两种情况，①点F在线段AH上时，证明Rt△OHF≌Rt△OGD（HL），得FH＝DG＝1，则AF＝AH﹣FH＝1；②点F在线段CH上时，同理可证Rt△OHF≌Rt△OGD（HL），得FH＝DG＝1，则AF＝AH+FH＝3；即可得出结论． 【解析】（1）证明：∵AB＝AC， ∴∠C＝∠B， ∵OD⊥AB，OE⊥AC， ∴∠ODB＝∠OEC＝90°， ∵点O为BC中点， ∴OB＝OC， 在△OCE和△OBD中， ， ∴△OCE≌△OBD（AAS）， ∴OE＝OD； （2）解：如图2，连接OA，过点O作OG⊥AB于点G，OH⊥AC于点H， 则∠OGB＝∠OGA＝∠OHC＝∠OHA＝90°， ∵AB＝AC＝4，∠BAC＝90°，点O为BC中点， ∴∠B＝∠C＝45°，OA平分∠BAC，OA＝BC＝OB＝OC， ∴OG＝OH，AH＝CH＝AC＝2，AG＝BG＝AB＝2， ∴AH＝AG， ∵AD＝1， ∴DG＝AG﹣AD＝1， 分两种情况： ①点F在线段AH上时， 在Rt△OHF和Rt△OGD中， ， ∴Rt△OHF≌Rt△OGD（HL）， ∴FH＝DG＝1， ∴AF＝AH﹣FH＝1； ②点F在线段CH上时， 同理可证：Rt△OHF≌Rt△OGD（HL）， ∴FH＝DG＝1， ∴AF＝AH+FH＝2+1＝3； 综上所述，AF的长为1或3． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、等腰直角三角形的性质、直角三角形斜边上的中线性质以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型． 29 / 33 学科网（北京）股份有限公司 $