精品解析：河北秦皇岛市实验中学2025-2026学年高二下学期开学测验数学试题

秦皇岛市实验中学2025-2026学年度第二学期开学测验 高二数学试题 命题人：郑铮 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 抛物线的焦点坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 已知等差数列的前项和为，且，，则数列的公差为（ ） A. B. C. D. 3. 三棱锥中，，点为中点，点满足，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知各项均为正数的等比数列的前n项和为，若，，则（ ） A. 32 B. 32或124 C. 31或124 D. 124 5. 已知椭圆的左、右焦点为,离心率为,过的直线交于两点，若的周长为,则的值为. A. B. C. D. 6. 设，向量，，且，，则（ ） A. B. 3 C. D. 4 7. 与双曲线有共同渐近线，且过点的双曲线方程是（ ） A. B. C. D. 8. 已知为等比数列，若，，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知曲线的方程为，则下列结论正确的是（    ）． A. 若曲线为圆，则的值为2； B. 当时，曲线为双曲线，其渐近线方程为； C. “”是“曲线表示椭圆”的充分不必要条件； D. 存在实数使得曲线为双曲线，其离心率为. 10. 在空间直角坐标系Oxyz中，下列说法正确的有（ ） A. 与点关于x轴对称的点的坐标为 B. 若是空间向量的一组基底，且，则也是空间向量的一组基底 C. 已知，，则在上的投影向量的坐标为 D. 已知，平面的法向量为，则 11. 已知公差为1的等差数列满足，，成等比数列，则（ ） A. B. 的前项和为 C. 的前2025项和为 D. 的前10项和为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若椭圆的焦点在轴上，长轴的长为4，离心率，则其标准方程为_______． 13. 数列的前项和，若，则______. 14. 已知向量是平面的一个法向量，向量为直线的一个方向向量，若，则的值为____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15. 已知数列为递增的等比数列，，． （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）记，求数列的前项和． 16. 如图，四棱锥的底面是正方形，侧棱底面，，E是的中点. （1）证明：平面； （2）求二面角的平面角的余弦值. 17. 已知椭圆的左顶点为，离心率为． (1)求椭圆C的方程； (2)过点的直线l交椭圆C于A，B两点，当取得最大值时，求的面积． 18. 已知抛物线：（）的焦点为，点（）在上，，斜率为的直线与交于，两点． （1）求的方程； （2）若，求直线的方程； （3）设直线与的斜率分别为，，证明：为定值． 19. 已知等差数列的前项和为，，，数列满足． （1）求数列和的通项公式； （2）若数列满足，求数列的前项和． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 秦皇岛市实验中学2025-2026学年度第二学期开学测验 高二数学试题 命题人：郑铮 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 抛物线的焦点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将抛物线的一般形式化为标准形式，即可确定焦点坐标. 【详解】抛物线整理为标准形式，故焦点在轴上， 又的焦点坐标为， 由得，，所以此抛物线的焦点坐标为. 故选：A. 2. 已知等差数列的前项和为，且，，则数列的公差为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题可直接利用等差数列通项公式和前和公式联立方程组求解即可得出答案. 【详解】设等差数列的首项和公差分别为和,则由题意可得,联立解得. 故选:B. 【点睛】本题着重考查了等差数列通项公式和前和公式的运算应用,属于基础题. 3. 三棱锥中，，点为中点，点满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由图形，题意，结合空间向量加减法可得答案. 【详解】，又为中点， 故选：C 4. 已知各项均为正数的等比数列的前n项和为，若，，则（ ） A. 32 B. 32或124 C. 31或124 D. 124 【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列的性质，联立方程求解的值，即可根据等比求和公式求解. 【详解】，，则或, 当时，公比，， 则，，. 当时，公比，， 则，，. 5. 已知椭圆的左、右焦点为,离心率为,过的直线交于两点，若的周长为,则的值为. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由e，4a＝4，b2＝a2﹣c2＝3﹣1＝2，C的短轴长2b＝2． 【详解】解：由椭圆的离心率e， 若△ABF1的周长为4，4a＝4， ∴a，c＝1， 由b2＝a2﹣c2＝3﹣1＝2， b， 故选C． 【点睛】本题考查椭圆的简单几何性质，离心率公式，考查计算能力，属于基础题． 6. 设，向量，，且，，则（ ） A. B. 3 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由向量的关系列等式求解x，y的值，再运用向量加法的坐标表示公式，结合向量的模计算得出结果. 【详解】向量，且， ∴，解得， ∴， ∴， 故选：B 7. 与双曲线有共同渐近线，且过点的双曲线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设所求双曲线方程为，将点代入求解即可. 【详解】设与双曲线有共同渐近线的双曲线方程为， ∵所求双曲线过点， ∴代入， 得，即， ∴与双曲线有共同渐近线，且过点的双曲线方程是， 即. 故选：A. 8. 已知为等比数列，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合题意先求出基本量，再把目标式转化为等比数列求和，进而利用公式法求解即可. 【详解】由题意得为等比数列，则设首项为，公比为， 因为，，所以， 联立方程组，解得， 结合题意可得是首项为1，公比为4的等比数列的前50项和， 由求和公式得前50项和为，故D正确. 故选：D 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知曲线的方程为，则下列结论正确的是（    ）． A. 若曲线为圆，则的值为2； B. 当时，曲线为双曲线，其渐近线方程为； C. “”是“曲线表示椭圆”的充分不必要条件； D. 存在实数使得曲线为双曲线，其离心率为. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据方程表示圆、双曲线、椭圆的条件对选项逐一分析，由此确定正确选项. 【详解】A选项，当方程表示圆时，，圆的方程为，A正确. B选项，时，方程为，表示双曲线，渐近线方程为，B错误. C选项，当方程表示椭圆时，，所以“”是“曲线表示椭圆”的充分不必要条件，C正确. D选项，当双曲线离心率为时，双曲线为等轴双曲线，则，此方程无解，D错误. 故选：AC 10. 在空间直角坐标系Oxyz中，下列说法正确的有（ ） A. 与点关于x轴对称的点的坐标为 B. 若是空间向量的一组基底，且，则也是空间向量的一组基底 C. 已知，，则在上的投影向量的坐标为 D. 已知，平面的法向量为，则 【答案】AC 【解析】 【分析】根据空间向量坐标的定义，以及相关知识，即可判断选项. 【详解】A. 与点关于x轴对称的点的坐标为，故A正确； B. ，若，则与共线，所以不是空间向量的一组基底，故B错误； C. 在上的投影向量为，故C正确； D.因为，所以，所以或，故D错误. 故选：AC 11. 已知公差为1的等差数列满足，，成等比数列，则（ ） A. B. 的前项和为 C. 的前2025项和为 D. 的前10项和为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据等比中项的性质求出，即可得到的通项公式，即可判断A，根据等差数列求和公式判断B，利用并项求和法判断C，利用裂项相消法判断D. 【详解】由题意设等差数列的公差为，则， 因为，，成等比数列，所以， 所以， 解得：，所以， 对于A，，故A正确； 对于B，的前项和为，故B错误； 对于C，因为， 所以的前2025项和为，故C正确； 对于D，因为， 所以的前10项和为，故D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若椭圆的焦点在轴上，长轴的长为4，离心率，则其标准方程为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据长轴定义得到，再利用离心率公式即可得到答案. 【详解】由题可设椭圆方程为， 则由题意得，解得， 则. 则其标准方程为. 故答案为：. 13. 数列的前项和，若，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用裂项相消求和即可. 【详解】由题意，， 则 故答案为： 14. 已知向量是平面的一个法向量，向量为直线的一个方向向量，若，则的值为____. 【答案】 【解析】 【分析】由直线垂直平面，推得直线的方向向量与平面的法向量平行，利用向量平行的坐标比例关系列方程求解. 【详解】已知，， 若，则与平行， 所以，则，即. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15. 已知数列为递增的等比数列，，． （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）记，求数列的前项和． 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ） 【解析】 【分析】（Ⅰ）由及，，解出，再利用通项公式即可得出结果． （Ⅱ）由（Ⅰ）得，再利用求和公式即可得出． 【详解】解：（Ⅰ）由及, 得或（舍） 所以，a1=1 所以 （Ⅱ）由（Ⅰ）得 所以 ==. 【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 16. 如图，四棱锥的底面是正方形，侧棱底面，，E是的中点. （1）证明：平面； （2）求二面角的平面角的余弦值. 【答案】（1） 连接，交于点， 由底面是正方形，可知为的中点， 又是的中点，是的中位线， ， 又平面，平面， 平面. （2） 【解析】 【分析】（1）连接，交于点，根据中位线定理和线面平行的判定定理进行证明. （2）利用线面垂直的判定定理和性质定理及平面几何的知识，证明得到是二面角的平面角，从而计算得到结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设，， 底面，底面，， 即是直角三角形，， 又E是的中点，， 同理可得，且，，平面， 平面，， 在直角中，， ，， 又，二面角的平面角为， . 二面角的平面角的余弦值为. 17. 已知椭圆的左顶点为，离心率为． (1)求椭圆C的方程； (2)过点的直线l交椭圆C于A，B两点，当取得最大值时，求的面积． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】(1)由左顶点M坐标可得a=2，再由可得c，进而求得椭圆方程．(2)设l的直线方程为，和椭圆方程联立，可得，由于，可用t表示出两个交点的纵坐标 和，进而得到的关于t的一元二次方程，得到取最大值时t的值，求出直线方程，而后计算出的面积． 【详解】(1) 由题意可得：，，得，则. 所以椭圆的方程: (2) 当直线与轴重合，不妨取，此时 当直线与轴不重合，设直线的方程为：,设， 联立得， 显然，，. 所以 当时，取最大值. 此时直线方程为，不妨取，所以. 又,所以的面积 【点睛】本题考查椭圆的基本性质，运用了设而不求的思想，将向量和圆锥曲线结合起来，是典型考题． 18. 已知抛物线：（）的焦点为，点（）在上，，斜率为的直线与交于，两点． （1）求的方程； （2）若，求直线的方程； （3）设直线与的斜率分别为，，证明：为定值． 【答案】（1）； （2）； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）由焦半径公式求出p即可求解； （2）设直线的方程为，与抛物线方程联立，结合韦达定理和弦长公式即可求出参数得解； （3）由两点间斜率公式结合（2）中的韦达定理进行转化计算即可求解. 【小问1详解】 根据题意可得，解得．所以的方程为． 【小问2详解】 设，，直线的方程为． 由消去得， 所以即，，， 所以，解得， 所以直线的方程为； 【小问3详解】 证明：因为点在上，所以或（舍去），所以， 由（2）得，， 所以． 因为，， 所以，即为定值． 19. 已知等差数列的前项和为，，，数列满足． （1）求数列和的通项公式； （2）若数列满足，求数列的前项和． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的通项公式及等差数列的前项和求，利用当时求； （2）利用错位相减法求和即可. 【小问1详解】 因为数列是等差数列，且，， 设数列的公差为，所以，解得， 所以. 当时，， 当时，，当时仍成立， 所以. 【小问2详解】 由（1）得， 所以①， ②， ①②得， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $