精品解析：云南省昆明市第一中学西山学校2025-2026学年八年级下学期阶段学情自测数学试卷

昆一中西山学校2025-2026学年度下学期开学质量监测 八年级数学试卷 （全卷三个大题，共27小题，共6页：满分100分，考试用时120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、班级、座位号填写在答题卡及试卷上，并在答题卡的规定位置用2B铅笔准确填涂准考证号． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动、用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交予监考教师，试卷自行妥善保管． 一、选择题（每小题2分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的；每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号的小框涂黑） 1. 中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量．下列是有关中国航天的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形的识别．轴对称图形是指如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A．该图形不是轴对称图形，不符合题意； B．该图形是轴对称图形，符合题意； C．该图形不是轴对称图形，不符合题意； D．该图形不是轴对称图形，不符合题意； 故选：B． 2. 我国建造的港珠澳大桥全长55公里，集桥、岛、隧于一体，是世界最长的跨海大桥．如图，这是港珠澳大桥中的斜拉索桥，那么你能推断出斜拉索大桥中运用的数学原理是（ ） A. 三角形的不稳定性 B. 三角形的稳定性 C. 四边形的不稳定性 D. 四边形的稳定性 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形的稳定性，即可得到答案． 【详解】跨海大桥上的结构有许多三角形，这样可以使得大桥更加牢固，体现了三角形的稳定性． 故选B 【点睛】本题主要考查三角形的稳定性，熟记三角形的稳定性是解题的关键． 3. 非遗“滚灯”是宋代便已盛行的经典民间表演技艺，作为承载千年民俗记忆的文化瑰宝，以“灯滚不熄、形转韵生”的独特表演形式，彰显着中华传统文化的深厚底蕴与艺术魅力．在小型滚灯的精细制作中，其灯芯灯丝的直径参考实际非遗手作工艺数据，约为．将这个数用科学记数法表示，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．据此即可解答． 【详解】解：用科学记数法表示为． 故选：D． 4. 劳技课上，小明用同样长度的小木棒去搭建直角三角形，他搭建两条直角边分别用了3根和4根小木棒，那么他搭建斜边用的小木棒数量是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用．根据勾股定理即可求得斜边需要的小木棒的数量． 【详解】解：∵两直角边分别用了3根、4根长度相同的小木棒， ∴由勾股定理，得到斜边需要：（根）， 故选：C． 5. 若在实数范围内有意义，则实数的值可以是（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平方根有意义的条件，即被开方数大于等于零．根据平方根在实数范围内有意义的条件，被开方数必须非负，得出，然后解不等式即可． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， 解得， 观察各选项，只有选项A符合题意， 故选：A． 6. 如图，已知，，则的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，解题的关键是根据已知条件准确找出判定三角形全等所需的边和角． 已知，，且为与的公共边，因此满足两边及其夹角对应相等，可依据判定两三角形全等． 【详解】解：在和中， ∴ （）． 故选：． 7. 若分式的值为0，则实数x的值为（ ） A. 2 B. 0 C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查分式的值为零的条件．根据分子为零且分母不为零的条件进行解题即可． 【详解】解：∵， ∴且， 解得， 当时，，满足条件， ∴实数的值为2． 故选：A． 8. 化简的结果是（ ） A. B. 3 C. D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次根式的化简，核心是运用二次根式的性质进行计算． 先计算，再化简二次根式即可． 【详解】解：． 故选：B． 9. 景区正殿梁架（如图1），其顶部可近似地看成一个等腰三角形，记为等腰三角形（如图2）．若，于点D，，则的长为（ ） A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查含角的直角三角形的性质，直接根据该性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故选：C． 10. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据幂的运算性质，计算判断即可． 本题考查幂的运算性质，包括同底数幂的乘除法、幂的乘方以及积的乘方。需逐一验证各选项是否符合相关运算法则． 【详解】A. ，但选项A结果为，错误． B. ，但选项B结果为，错误． C. ，符合积的乘方法则，正确． D. ，但选项D结果为，错误． 故选：C． 11. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的四则运算，根据二次根式的加减乘除运算法则求解判断即可． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算正确，符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：C． 12. 如图，在中，边的垂直平分线分别交，于点，，，的周长为，则的周长是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 由题意得，是边的垂直平分线，可得，，结合的周长为可得，最后通过等量代换即可得出结论． 【详解】解：是边的垂直平分线， ，， 的周长为， ， ， 即， 又 ， ， 的周长是． 故选：C． 13. 下列等式从左到右的变形属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的定义是解题的关键；所以此题可根据“把一个多项式写成几个整式乘积的形式”进行求解即可． 【详解】解：A、属于整式的乘法，故不符合题意； B、不是几个整式乘积的形式，即不属于因式分解，故不符合题意； C、属于整式的乘法，故不符合题意； D、属于因式分解，故符合题意； 故选D． 14. “以形助数”是指借助形的几何直观来阐明数之间的某种关系．如图，两个正方形的面积分别为27与3，则它们的边长之间的关系可以解释下列哪个等式（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正方形的面积得大正方形的边长为，小正方形的边长为，且，解答即可． 本题考查了正方形的面积，算术平方根的应用，熟练掌握正方形的性质，算术平方根的定义是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得大正方形的边长为，小正方形的边长为，且， 故选：A． 15. 若一个等腰三角形的一个内角为，则它的顶角的度数为（ ） A. B. 或 C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】由于不能确定已知的等腰三角形的内角80°是顶角还是底角，需分是顶角或底角两种情况，分别利用等腰三角形性质和三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵等腰三角形两底角相等，三角形内角和为180°， ∴分两种情况讨论： ①当为顶角时，顶角度数即为． ②当为底角时，顶角度数为． 综上，该等腰三角形的顶角度数为或． 【点睛】灵活运用分类讨论思想是解题的关键． 二、填空题（每小题2分，满分8分．请考生用黑色碳素笔将答案写在答题卡相应题号后的横线上） 16. 如图，_________． 【答案】##70度 【解析】 【分析】根据三角形的外角解题即可． 【详解】解：由三角形的外角的性质可知，． 17. 已知，，则计算的结果为_________． 【答案】6 【解析】 【分析】利用平方差公式将所求代数式因式分解，再代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴． 18. 分解因式：_________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ． 19. 某中学要举行校庆活动，现计划在学楼之间的广场上搭建舞台．已知广场中心有一座边长为的正方形的花坛．学生会提出两个方案：如图1，阴影部分舞台的面积记为如图2，阴影部分舞台的面积记为具体数据如图所示，则______．（“”，“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】根据正方形和矩形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：方案一：如图1，， 方案二：如图2，， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，整式的混合运算，正方形和矩形的面积的计算，正确识别图形是解题的关键． 三、解答题（共8题，满分62分．请考生用黑色碳素笔在答题卡相应的题号后答题区域内作答，必须写出运算步骤、推理过程或文字说明，超出答题区域的作答无效特别注意：作图时，必须使用黑色碳素笔在答题卡上作图） 20. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 21. 已知：方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，点A的坐标为． （1）直接写出的面积 ； （2）已知与关于y轴对称，请在坐标系中画出； （3）点与点关于x轴对称，求的值． 【答案】（1）6 （2） 如图； （3） 【解析】 【分析】（1）根据网格得出的底和高，利用三角形面积公式求解； （2）在坐标系中找出三个顶点关于y轴的对应点，顺次连接即可； （3）根据关于x轴对称的点的坐标特征“横坐标相等，纵坐标互为相反数”求出a和b的值，再代入求解即可．掌握关于坐标轴对称的点的坐标特征是解题的关键． 【小问1详解】 解：由图可知，， 故答案为：6； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵点与点关于x轴对称， ，， ． 22. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， 把代入，． 23. 昆一中西山学校“让体育成为最好的答案”的教育案例入选2025全国“以体树人”教育案例、学校依托体育特色，开展校园足球耐力跑训练，每个队员需完成一段1500米的跑圈训练，已知甲队员的平均速度是乙队员的倍，甲跑完这段路程比乙少用1分钟，那么甲、乙的平均速度分别是多少米/分钟？ 【答案】甲的平均速度是米/分钟，乙的平均速度是米/分钟 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，正确理解题意，找到等量关系是解题的关键． 设乙队员的平均速度为x米/分钟，则甲队员的平均速度为米/分钟，然后表示出各自的时间，再由“甲跑完这段路程比乙少用1分钟”建立分式方程求解． 【详解】解：设乙队员的平均速度为x米/分钟，则甲队员的平均速度为米/分钟， 根据题意列方程得 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴原方程的解为， 则 答：甲的平均速度是米/分钟，乙的平均速度是米/分钟． 24. 如图，在中，，． （1）通过观察尺规作图的痕迹，可以发现直线是线段的_________，射线是的_________；（填序号） ①高线 ②角平分线 ③垂直平分线 ④中线 （2）求的度数． 【答案】（1）③；② （2） 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的尺规作图，角平分线定义，垂直平分线的性质，三角形内角和定理． （1）根据作图过程进行分析，得出直线是线段的垂直平分线，射线是的角平分线，即可作答； （2）先运用三角形内角和性质，得，再结合垂直平分线的性质，以及角平分线的定义进行分析，列式计算，即可作答． 【小问1详解】 解：通过观察尺规作图的痕迹，可以发现直线是线段的垂直平分线，射线是的角平分线； 故答案为：③；②． 【小问2详解】 解：，， ， 由（1）得是线段的垂直平分线， ， ， ， 由（1）得是的角平分线， ． 25. 综合与实践：小明同学在延时课上进行了项目式学习的实践探究，并绘制了如下记录表格． 课题 在放风筝时，测量风筝离地面的垂直高度 模型抽象 测绘数据 ①测得水平距离的长为15米，； ②根据手中剩余线的长度，计算出风筝线的长为25米； ③牵线放风筝的手到地面的距离为1.7米． 说明 点A，B，E，D在同一平面内． 请根据表格信息，解答下列问题． （1）①点C离地面的垂直高度______米， _____米； ②求风筝离地面的垂直高度； （2）若想要风筝沿方向下降12米，则在的长度保持不变的前提下，小明同学手中的风筝线应该往回收多少米？ 【答案】（1）①1.7；15；②21.7米 （2）小明同学手中的风筝线应该往回收8米 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键． （1）①过点B作于点C，证明四边形为矩形，得出米，米； ②根据勾股定理求出的值即可得出结果； （2）设风筝沿方向下降12米至点F，连接，根据勾股定理求出的长即可得出结果． 【小问1详解】 解：①∵，，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴米，米， 故答案为：1.7；15； ②在中，，米， 由勾股定理，得（米）， ∴（米）； 【小问2详解】 解：如图，设风筝沿方向下降12米至点F，连接， ∴（米）， ∴（米）， ∵原来的风筝线的长为25米， ∴25-17=8（米）． ∴小明同学手中的风筝线应该往回收8米． 26. 阅读下列材料，然后回答问题．在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简． （一）； （二）； （三）． 类似以上这种化简的步骤叫做分母有理化． （1）化简：_________，_________，_________； （2）已知：，求的值． （3）计算：． 【答案】（1），， （2）36 （3）2025 【解析】 【分析】（1）各个算式分别把分子和分母乘以分母的有理化因式，把分母中的根号去掉进行化简即可； （2）先根据已知条件，把x，y化简，然后直接把化简后的x，y代入进行计算即可； （3）把括号内的每个分式进行分母有理化，然后进行简便计算，最后再根据平方差公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：； ； ； 【小问2详解】 解： ； ； ∴ ； 【小问3详解】 解： ． 27. 如图，为等腰直角三角形，，动点D从A出发沿线段向终点C运动，连接，以为直角边向右作等腰直角，斜边与交于点M，连接． （1）求证：； （2）若，D点在运动过程中，四边形的面积是否会发生变化？若不变，请求其值；若变化，请说明理由； （3）若，D点在运动过程中，当等于多少时，的面积最大？并求出最大值． 【答案】（1）见解析 （2）四边形的面积恒为2，不发生变化，理由见解析 （3）当时，的面积最大，且最大值为 【解析】 【分析】（1）先根据等腰直角三角形的性质，得到，且，再通过角的和差关系推出，最后利用即可得证； （2）由（1）可知，得到全等三角形面积相等，将四边形的面积拆分为，通过面积替换转化为，即的面积，最后代值计算出的面积，即可确定四边形面积为定值； （3）先由全等可得出，结合推出，确定为直角三角形，设，结合勾股定理表示出，从而表示出的表达式，通过配方法求得的最大值，确定面积最大时的长度，最后结合等腰直角三角形的三线合一、角的等量关系，推出为的中点，进而求得的长度． 【小问1详解】 证明：与均为等腰直角三角形， ，，， ， 在与中， ； 【小问2详解】 四边形的面积恒为2，不发生变化，理由如下， 由（1）可知， ， ， 当时，为等腰直角三角形， ， 点在运动过程中，四边形的面积恒为2，不发生变化； 【小问3详解】 由（1）可知， ，， 又， ， 为直角三角形， 设，则， 在中，， ， ， ， 当时，取得最大值， 此时，即为的中点， 平分， ， 又是等腰直角三角形， ，， ， ，即， ，， ， ， 又， 为的中点， ， 综上，当时，的面积最大，且最大值为． 【点睛】解决本题的关键在于巧用等腰直角三角形的边、角性质，结合角的和差构造对应角，运用判定三角形全等；借助全等三角形面积相等的性质实现面积转化，将不规则四边形的面积转化为可直接计算的等腰直角三角形面积；同时由全等及角的计算确定直角三角形，通过配方法解决面积最值问题，并结合等腰直角三角形的性质，由点的位置推导线段长度，实现几何与代数知识的结合运用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 昆一中西山学校2025-2026学年度下学期开学质量监测 八年级数学试卷 （全卷三个大题，共27小题，共6页：满分100分，考试用时120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、班级、座位号填写在答题卡及试卷上，并在答题卡的规定位置用2B铅笔准确填涂准考证号． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动、用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交予监考教师，试卷自行妥善保管． 一、选择题（每小题2分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的；每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号的小框涂黑） 1. 中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量．下列是有关中国航天的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 我国建造的港珠澳大桥全长55公里，集桥、岛、隧于一体，是世界最长的跨海大桥．如图，这是港珠澳大桥中的斜拉索桥，那么你能推断出斜拉索大桥中运用的数学原理是（ ） A. 三角形的不稳定性 B. 三角形的稳定性 C. 四边形的不稳定性 D. 四边形的稳定性 3. 非遗“滚灯”是宋代便已盛行的经典民间表演技艺，作为承载千年民俗记忆的文化瑰宝，以“灯滚不熄、形转韵生”的独特表演形式，彰显着中华传统文化的深厚底蕴与艺术魅力．在小型滚灯的精细制作中，其灯芯灯丝的直径参考实际非遗手作工艺数据，约为．将这个数用科学记数法表示，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 劳技课上，小明用同样长度的小木棒去搭建直角三角形，他搭建两条直角边分别用了3根和4根小木棒，那么他搭建斜边用的小木棒数量是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 5. 若在实数范围内有意义，则实数的值可以是（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 6. 如图，已知，，则的依据是（ ） A. B. C. D. 7. 若分式的值为0，则实数x的值为（ ） A. 2 B. 0 C. 1 D. 8. 化简的结果是（ ） A. B. 3 C. D. 9 9. 景区正殿梁架（如图1），其顶部可近似地看成一个等腰三角形，记为等腰三角形（如图2）．若，于点D，，则的长为（ ） A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 10. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在中，边的垂直平分线分别交，于点，，，的周长为，则的周长是（ ） A. B. C. D. 13. 下列等式从左到右的变形属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 14. “以形助数”是指借助形的几何直观来阐明数之间的某种关系．如图，两个正方形的面积分别为27与3，则它们的边长之间的关系可以解释下列哪个等式（ ） A. B. C. D. 15. 若一个等腰三角形的一个内角为，则它的顶角的度数为（ ） A. B. 或 C. 或 D. 或 二、填空题（每小题2分，满分8分．请考生用黑色碳素笔将答案写在答题卡相应题号后的横线上） 16. 如图，_________． 17. 已知，，则计算的结果为_________． 18. 分解因式：_________． 19. 某中学要举行校庆活动，现计划在学楼之间的广场上搭建舞台．已知广场中心有一座边长为的正方形的花坛．学生会提出两个方案：如图1，阴影部分舞台的面积记为如图2，阴影部分舞台的面积记为具体数据如图所示，则______．（“”，“”或“”） 三、解答题（共8题，满分62分．请考生用黑色碳素笔在答题卡相应的题号后答题区域内作答，必须写出运算步骤、推理过程或文字说明，超出答题区域的作答无效特别注意：作图时，必须使用黑色碳素笔在答题卡上作图） 20. 计算： （1） （2） 21. 已知：方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，点A的坐标为． （1）直接写出的面积 ； （2）已知与关于y轴对称，请在坐标系中画出； （3）点与点关于x轴对称，求的值． 22. 先化简，再求值：，其中． 23. 昆一中西山学校“让体育成为最好的答案”的教育案例入选2025全国“以体树人”教育案例、学校依托体育特色，开展校园足球耐力跑训练，每个队员需完成一段1500米的跑圈训练，已知甲队员的平均速度是乙队员的倍，甲跑完这段路程比乙少用1分钟，那么甲、乙的平均速度分别是多少米/分钟？ 24. 如图，在中，，． （1）通过观察尺规作图的痕迹，可以发现直线是线段的_________，射线是的_________；（填序号） ①高线 ②角平分线 ③垂直平分线 ④中线 （2）求的度数． 25. 综合与实践：小明同学在延时课上进行了项目式学习的实践探究，并绘制了如下记录表格． 课题 在放风筝时，测量风筝离地面的垂直高度 模型抽象 测绘数据 ①测得水平距离的长为15米，； ②根据手中剩余线的长度，计算出风筝线的长为25米； ③牵线放风筝的手到地面的距离为1.7米． 说明 点A，B，E，D在同一平面内． 请根据表格信息，解答下列问题． （1）①点C离地面的垂直高度______米， _____米； ②求风筝离地面的垂直高度； （2）若想要风筝沿方向下降12米，则在的长度保持不变的前提下，小明同学手中的风筝线应该往回收多少米？ 26. 阅读下列材料，然后回答问题．在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简． （一）； （二）； （三）． 类似以上这种化简的步骤叫做分母有理化． （1）化简：_________，_________，_________； （2）已知：，求的值． （3）计算：． 27. 如图，为等腰直角三角形，，动点D从A出发沿线段向终点C运动，连接，以为直角边向右作等腰直角，斜边与交于点M，连接． （1）求证：； （2）若，D点在运动过程中，四边形的面积是否会发生变化？若不变，请求其值；若变化，请说明理由； （3）若，D点在运动过程中，当等于多少时，的面积最大？并求出最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $