2025-2026学年北师大版九年级数学下册开学考复习卷

26春季初三数学开学考复习卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．如图，为了测量某楼房的高度，小明在距离大楼位置处，用高的测量仪测得顶端的仰角为，则该楼房的高度为（，，）（    ） A． B． C． D． 2．如图，一个中号唢呐的长约为，点是唢呐上的一个黄金分割点（），则的长为（    ） A． B． C． D． 3．如图，、分别切于、两点，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．已知二次函数的图象如图所示，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．当时， 5．如图，的顶点B在反比例函数的图象上，边在x轴上，已知，，，则图中阴影部分的面积是（    ）    A．12 B． C． D． 6．图1是某款篮球架，图2是其部分示意图，立柱垂直地面，支架与相交于点A，支架交于点G，米，米，，则立柱的高为（    ）米 A． B． C． D． 7．长赤翡翠米，米粒细长、整齐饱满、晶莹润泽、柔韧软滑，米色及粥色微绿似翡翠，深受老百姓的喜爱．春耕时节，某播种队承接了长赤翡翠米水稻的种植任务，为了确保全年粮食生产开个好局，实际工作效率比原来提高了，结果提前2天完成任务．设原计划每天种植的面积为，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 8．如图1，在中，，，，点从点出发以的速度沿折线运动，点从点出发以的速度沿运动，，两点同时出发，当某一点运动到点时，两点同时停止运动．设运动时间为，的面积为，关于的函数图像如图2，当运动时间为时，的值是（   ） A．3 B．2 C． D．1 9．如图， 是放置在正方形网格中的一个角，则 的值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 10．将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到新抛物线的解析式为____________． 11．如图，在中，，按以下步骤作图，①以点C为圆心，以适当的长为半径作弧，交于点D，交于点E，连接；②以点B为圆心，以长为半径作弧，交于点F；③以点F为圆心，以的长为半径作弧，在内与前一条弧相交于点G；④连接并延长交AC于点H，若H恰好为的中点，则的长为__________． 12．如图，在菱形纸片ABCD中，∠A=60°，将纸片折叠，点A、D分别落在A′、D′处，且A′D′经过B，EF为折痕，当D′FCD时，的值为__________． 13．如图，反比例函数y＝（x＜0），△OAB和△BCD均为等腰直角三角形，点D在反比例函数图象上，若S△OAB﹣S△BCD＝10，则k＝_____． 三、解答题 14．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD⊥CE，垂足为D，AC平分∠DAB． （1）求证：CE是⊙O的切线； （2）若AD=4，，求AB的长． 15．项目式学习： 项目主题 劳动实践基地菜地设计 项目情境 某青少年活动中心计划开辟一块劳动实践基地，利用一面墙用篱笆围成矩形菜地，如图所示，墙最大可利用长度为米，菜地中间用篱笆隔开，在边上设计了两个宽度为米的小门，方便同学们出入．边和两扇小门不用篱笆，一共用了米长的篱笆． 活动任务一 若设菜地的宽为米，则______米（用含的代数式表示）；且的取值范围是______； 活动任务二 若围成的菜地面积为平方米，求此时的宽． 活动任务三 求这块菜地的最大面积？ 16．下面是小星同学进行分式化简的过程： 化简 解：原式 第一步 第二步 第三步 (1)小星同学的化简过程从第___________步开始出现错误； (2)请写出正确的化简过程，并从，0，1，2中选择合适的数带入求值． 17．“激情全运会，活力大湾区．”第十五届全国运动会于年月日在广州开幕．本届运动会的吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”，以珠江口栖息的中华白海豚为原型，头顶木棉红、紫荆紫和莲花绿三朵小水花，寓意广东、澳门和香港三地同心，传递团结拼搏与团圆和美的愿景．全运会纪念品深受大家喜爱，其中型号纪念品比B型号纪念品的单价多元，用元购买型号纪念品的数量是用元购买型号纪念品数量的倍． (1)求两种型号纪念品的单价分别是多少元； (2)若计划购买两种型号的纪念品共个，且所花费用不超过元，求最多能购买多少个型号的纪念品？ 18．如图，在中，，是的平分线． (1)尺规作图：作，圆心在线段上，且经过两点（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，若，，求的半径． 19．情境 如图，在跷跷板（自重忽略不计）的左端有一个固定质量为千克的靠背，质量为千克的小孩紧贴靠背而坐，选定木板中点偏右的位置作为跷跷板的支点，支点与靠背的距离为米，选定支点右侧米处为零刻度线．质量为千克的大人坐在零刻度线的右侧，大人可以通过调整自己的位置使跷跷板两端离地保持平衡． 设大人与零刻度线的距离为米，根据物理学的杠杆原理可得：． 已知，，零刻度线与末刻度线的距离定为米． 操作 （1）①当跷跷板左端不坐小孩，且大人在零刻度线时，跷跷板两端离地平衡，则与的关系式为：______； ②当跷跷板左端坐上质量为千克的小孩，大人从零刻度线移动至末刻度线时，跷跷板两端离地平衡，则与的关系式为：______； （2）由（1）可得：______，______； 探究 （3）根据“操作”的结果， ①要使跷跷板两端离地保持平衡，写出关于的函数关系式；（不必写的取值范围） ②从零刻度线开始，跷跷板左端的质量每增加千克，大人坐在木板上移动一个刻度能使跷跷板两端离地保持平衡，直接写出相邻刻度线之间的距离． 20．（1）计算：； （2）解方程： ①； ② 21．根据以下素材，完成探索任务． 探索果园土地规划和销售利润问题 素材1 其农户承包了一块长方形果园，图1是果园的平面图，其中米，米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为米，左右两条纵向道路的宽度都为x米，中间部分种植水果． 出于货车通行等因素的考虑，道路宽度x不超过12米，且不小于5米． 素材2 该农户发现某一种草莓销售前景比较不错，经市场调查，草莓培育一年可产果．若每平方米的草莓销售平均利润为100元，每月可销售5000平方米的草莓；受天气原因，农户为了快速将草莓出手，决定降价，若每平方米草莓平均利润下调4元，每月可多销售500平方米草莓，果园每月的承包费为2万元． 问题解决 任务1 解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响． （1）请直接写出纵向道路宽度x的取值范围． （2）若中间种植的面积是，则路面设置的宽度是否符合要求． 任务2 解决果园种植的预期利润问题． （总利润销售利润承包费） （3）若农户预期一个月的总利润为55.2万元，则从购买草莓客户的角度考虑，每平方米草莓平均利润应该降价多少元？ 22．【基础巩固】 （1）如图1，在中，D为上一点，连结，E为上一点，连结，若，求证：． 【尝试应用】 （2）如图2，在平行四边形中，对角线交于点O，E为上一点，连结，，若，求的长． 【拓展提升】 （3）如图3，在菱形中，对角线交于点O，E为中点，F为上一点，连结，，若，，求 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《26春季初三数学开学考复习卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 D A C B C A D B D 1．D 【分析】利用的正切值求出，再求出即可． 【详解】解：如图，由题意可知，，，， ∵， ∴， ∴． 2．A 【分析】本题考查了黄金分割点．根据黄金分割点得，进而可得出． 【详解】解：∵点P为靠近点B的黄金分割点， ∴，即， ∴， 故选：A． 3．C 【分析】本题考查圆的切线性质与圆周角定理，利用切线性质推导圆心角是解题关键．由切线性质得，结合求出圆心角，再根据圆周角定理求出的度数． 【详解】解：如图，连接、， 、与相切， ， 又， ， 又∵ ． 故选：． 4．B 【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，根据二次函数的图象得出有用的信息是解题的关键． 根据图象得到，，再结合二次函数在x轴上方下方的位置，进而判断每一个选项的正误即可． 【详解】解：根据图象可知：抛物线开口向上，∴， ∵对称轴为直线，∴， ∵抛物线与y轴交于负半轴，∴， 对于A：∵，，，∴，∴不符合题意； 对于B：当时，，根据图象可知，当时，，∴，∴符合题意； 对于C：∵对称轴为直线，∴，∴，∴不符合题意； 对于D：根据图象可知，当时，存在一段，∴不符合题意； 故选：B． 5．C 【分析】根据反比例函数解析式求出B点坐标为，解直角三角形得出，，，根据，得出，求出，根据梯形面积公式求出结果即可． 【详解】解：∵，， ∴B点纵坐标为4， ∵点B在反比例函数的图象上， ∴当时，，即B点坐标为， ∴， 在中，，，， ∴，，， 设与y轴交于点D， ∵， ∴∽， ∴， 即， 解得：， ∴阴影部分的面积是：，故C正确． 故选：C．    【点睛】本题主要考查了反比例函数的几何综合，解直角三角形，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理，求出． 6．A 【分析】本题考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系是解决本题的关键．先在中利用直角三角形的边角间关系表示出，再利用线段的和差关系得结论． 【详解】解：， ． 在中， ， ． ． 故选：A． 7．D 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，正确理解题意，找到等量关系是解题的关键． 根据题意，原计划每天种植面积为，实际工作效率提高，即每天种植面积为，总任务量固定为，实际完成时间比原计划少2天．通过比较原计划时间与实际时间的差值，建立方程即可求解． 【详解】解：设原计划每天种植的面积为， 由题意得，， 故选：D． 8．B 【分析】本题考查了30度角的性质，三角函数． 先求出，判断出运动时间为时，P在上，再求出，，再根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：当点P在上运动时，作交于D，作交于E， 当时，， ∵， ∴， ∵当，时， ∴， ∴， ∵ ∴点先到达点， 由图像可知，， ， ， 当时，，， 此时， 如图，作交于F， ∵ ∴， ∴的值是， 故选：B． 9．D 【分析】先利用勾股定理计算出△ABO的三边，再判断△ABO的形状，最后利用正弦函数的定义即可． 【详解】解：如图，连接 ． ∵点O、A、B在格点上， ∴， , ． ∵， ∴ ． ∴ 是直角三角形． ∴ ． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了在直角三角形中求一个锐角的正弦，掌握勾股定理、直角三角形的边角间关系是解决本题的关键． 10． 【分析】本题主要考查了二次函数图象平移，根据抛物线平移规则“左加右减，上加下减”，先向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，通过计算新顶点坐标得到新解析式． 【详解】解：原抛物线向上平移3个单位长度，得到： ； 再向右平移5个单位长度，用替换，得到： ． 故答案为：． 11． 【分析】连接，如图所示，先证明得到，进一步证明得到，再由H是的中点，得到，由此即可得到答案． 【详解】解：连接，如图所示， 由题意得， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵H是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定， 相似三角形的性质与判定，证明得到，进一步证明是解题的关键． 12． 【详解】解：延长DC与A′D′，交于点M，∵在菱形纸片ABCD中，∠A=60°，∴∠DCB=∠A=60°，AB∥CD，∴∠D=180°﹣∠A=120°，根据折叠的性质，可得∠A′D′F=∠D=120°，∴∠FD′M=180°﹣∠A′D′F=60°，∵D′F⊥CD，∴∠D′FM=90°，∠M=90°﹣∠FD′M=30°，∵∠BCM=180°﹣∠BCD=120°，∴∠CBM=180°﹣∠BCM﹣∠M=30°，∴∠CBM=∠M，∴BC=CM，设CF=x，D′F=DF=y，则BC=CM=CD=CF+DF=x+y，∴FM=CM+CF=2x+y，在Rt△D′FM中，tan∠M=tan30°= ，∴x= y，∴ =．故答案为． 点睛：此题考查了折叠的性质、菱形的性质、等腰三角形的判定与性质以及直角三角形的性质．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意折叠中的对应关系，注意数形结合思想的应用． 13．﹣20 【分析】根据题意列式表示出D点的坐标，然后在根据k的几何意义即可求出答案． 【详解】解：设AO＝a，CD＝b， ∵△OAB和△BCD均为等腰直角三角形， ∴AO＝AB＝a，BO＝a，CD＝BC＝b，DB＝b， ∴D(﹣a﹣b，a﹣b)， ∵点D在反比例函数图象上， ∴（﹣a﹣b）（a﹣b）＝k，即b2﹣a2＝k， 又∵S△OAB﹣S△BCD＝10，即， ∴﹣k＝20， ∴k＝﹣20 故答案为：-20． 【点睛】此题考查的是反比例函数与几何图形的综合题，掌握反比例函数中比例系数的几何意义是解决此题的关键． 14．（1）见解析；（2）9 【分析】（1）连接OC．只要证明OC⊥DE即可解决问题； （2）证明△CDA∽△BCA，利用相似三角形的性质构建方程组即可解决问题． 【详解】（1）证明：如图，连接． ∵OA=OC ∴∠OAC＝∠OCA ∵∠OAC＝∠DAC ∴∠DAC＝∠OCA ∵AD⊥CE ∴ ∴· 即 ∵C为⊙O上一点 ∴CE是 的切线· （2）解：如图，连接 ． ∵AB是的直径， ， ， ∵∠BAC＝∠CAD ∴△CDA∽△BCA    ∴ ∴AC= AB=． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质、角平分线定义、切线的判定、圆周角定理、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数等知识；结合题意灵活运用知识点是解题关键． 15．任务一：，；任务二：米；任务三：平方米． 【分析】（1）根据题意列代数式，根据的最大长度为列不等式求出的取值范围即可； （2）根据面积为平方米，结合、的长，列一元二次方程，求出的值即可； （3）设面积为，根据、的长，得出关于的表达式，利用二次函数的性质求出的最大值即可． 【详解】解：任务一：设菜地的宽为米，则米， ∵边上设计了两个宽度为米的小门，边和两扇小门不用篱笆，一共用了米长的篱笆． ∴米， ∵墙最大可利用长度为米，， ∴， 解得：． 任务二：∵，为米，围成的菜地面积为平方米， ∴， 整理得，， 解得：，， ∵， ∴， ∴此时的宽为米． 任务三：设这块菜地的面积， ∴， ∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线，当时，随的增大而减小， ∵， ∴当时，取得最大值，最大值为（平方米）， ∴这块菜地的最大面积为平方米． 【点睛】本题是一元二次方程与二次函数的综合题，求面积的最大值时，要注意的取值范围． 16．(1)二 (2)，当时，原式 【分析】本题考查了分式的化简求值． （1）根据分式的混合运算顺序和运算法则逐步进行判断即可； （2）先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简，再根据分式有有意义的条件，得出x的值，最后将x的值代入进行计算即可． 【详解】（1）解：根据题意可得：第二步计算减法时，没有变号， ∴小星同学的化简过程从第二步开始出现错误， 故答案为：二； （2）解： ； ∵， ∴， 当时，原式． 17．(1)购买一个型号纪念品的单价为元，购买一个型号纪念品的单价为元 (2)最多能购买个型号的纪念品 【分析】（）根据“数量总价单价”，结合“型号数量是型号数量的倍”这一关键条件，列出分式方程求解； （）根据“总费用A型号单价数量型号单价数量”，结合“总费用不超过元”列出一元一次不等式，求解不等式得到的最大值． 【详解】（1）解：设购买一个型号纪念品的单价为元，则购买一个型号纪念品的单价为元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴． 答：购买一个型号纪念品的单价为元，购买一个型号纪念品的单价为元． （2）解：设购买型号的纪念品有个，则购买型号的纪念品有个， ∴根据题意，得， 解得， ∴最多能购买个型号的纪念品． 【点睛】第（1）问解分式方程后，要检验所得解是否为原方程的解，且需符合实际意义；第（2）问设未知数时，要注意未知数的取值范围为正整数． 18．(1)图见解析 (2)6 【分析】本题考查尺规作图—作圆，等边对等角，平行线的判定和性质，勾股定理，正确的画圆，是解题的关键： （1）作的垂直平分线交于点，以为圆心，的长为半径画出即可； （2）连接，等边对等角结合角平分线的定义，推出，进而得到，得到，勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：连接，则， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，，，由勾股定理，得， 即的半径为6． 19．（1）①，②；（2），；（3），米 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，一元一次方程；解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． （1）①由题意可得：，，，，代入 可以得解；②由题意可得：，，，，代入即可求解； （2）联立，即可求解； （3）①将，，，代入，即可求解；②由可得：时，；当时，，即可判断． 【详解】（1）①由题意可得：，，，， ， ， 故答案为：； ②由题意可得：，，，， ， ， 故答案为：； （2）联立， 解得：， 故答案为：，； （3）①，，，， ， 整理得：； ②， 当时，；当时，； 相邻刻度线之间的距离为米． 20．（1） （2）①；②， 【分析】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了公式法和实数的运算． （1）先计算乘方、零次幂、负整数指数幂及绝对值，再根据特殊角的三角函数值代入，然后进行二次根式的混合运算即可； （2）①先移项，再利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可；②先计算出根的判别式的值，然后利用求根公式得到方程的解． 【详解】解：（1） ； （2）①； ， 或， 所以； ②， 解：∵， ∴， ∴， ∴，． 21．（1）（2）符合要求（3）48元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据“道路宽度不超过12米，且不小于5米”，即可得出纵向道路宽度的取值范围； （2）由果园的长、宽及四周道路的宽度，可得出中间种植部分是长为米、宽为米的长方形，根据中间种植的面积是，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，取其符合题意的值，再对照（1）中的取值范围，即可得出结论； （3）设每平方米草莓平均利润下调元，则每平方米草莓平均利润为元，每月可售出平方米草莓，利用总利润销售利润承包费，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，再结合要让利于顾客，即可确定结论． 【详解】解：（1）根据题意得： （2）根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ， 路面设置的宽度符合要求； （3）设每平方米草莓平均利润下调y元， 整理得：． 解得：，， 又要让利于顾客， ． 答：每平方米草莓平均利润下调48元． 22．（1）详见解析 （2）32 （3） 【分析】（1）证，得出，即可得出结论； （2）由平行四边形性质得，则，再证，得出，设，则，求出，即可得出答案； （3）延长，交于点G，设，则，证，得，则，再由直角三角形斜边上的中线性质得，然后证，得，则，，进而由勾股定理求得，即可得出答案． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ， ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得：（不合题意，舍去）， ∴ ； （3）解：如图3，延长，交于点G， 设，则， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 在中，E为的中点， ∴， ∴， ， ∵， ∴， 即， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴， 在中，由勾股定理得： ， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质、菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的性质以及勾股定理等知识，本题综合性强，熟练掌握平行四边形的性质和菱形的性质，证明三角形相似是解题的关键，属于中考常考题型． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $