精品解析：广东湛江市雷州市雷州八中教育集团2025-2026学年九年级下学期阶段学情况自测数学试题

雷州市第八中学教育集团九年级第二学期开学质量检测 数学试卷 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. -2的绝对值是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值的定义进行求解即可． 【详解】解：在数轴上，点-2到原点的距离是2，所以-2的绝对值是2， 故选：A． 2. 下列事件，是必然事件的为（ ） A. 掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上 B. 打开电视正在播放世界杯 C. 是无理数 D. 明天太阳从西方升起 【答案】C 【解析】 【分析】利用随机事件以及不可能事件、必然事件的定义分别分析得出答案． 【详解】解：A、掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上，是随机事件，故不符合题意； B、打开电视正在播放世界杯，是随机事件，故不符合题意； C、是无理数，是必然事件，故符合题意； D、明天太阳从西方升起，是不可能事件，故不符合题意， 故选：C． 【点睛】此题考查了随机事件以及不可能事件、必然事件的定义，解题的关键是掌握：在一定条件下，必然发生的事情叫做必然事件，不可能发生的事情叫做不可能事件，可能发生也可能不发生的事情叫做随机事件． 3. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的顶点求解即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的顶点式为，则抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为． 4. 一个五边形的内角和为（　　） A. 540° B. 450° C. 360° D. 180° 【答案】A 【解析】 【详解】【分析】直接利用多边形的内角和公式进行计算即可． 【详解】根据正多边形内角和公式：180°×（5﹣2）=540°， 即一个五边形的内角和是540度， 故选A． 【点睛】本题主要考查了正多边形内角和，熟练掌握多边形的内角和公式是解题的关键． 5. 已知平行四边形ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（　　） A. ∠A=∠B B. ∠A=∠C C. AC=BD D. AB⊥BC 【答案】B 【解析】 【分析】由矩形的判定方法依次判断即可得出结果． 【详解】解：A、∠A=∠B，∠A+∠B=180°，所以∠A=∠B=90°，可以判定这个平行四边形为矩形，不符合题意； B、∠A=∠C不能判定这个平行四边形为矩形，符合题意； C、AC=BD，对角线相等，可推出平行四边形ABCD是矩形，故不符合题意； D、AB⊥BC，所以∠B=90°，可以判定这个平行四边形为矩形，不符合题意， 故选B． 【点睛】本题考查了矩形的判定，熟练掌握“有一个角是直角的平行四边形是矩形、对角线相等的平行四边形是矩形、有三个角是直角的四边形是矩形”是解题的关键． 6. 若代数式有意义，则m的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式被开方数为非负数、分式分母不为0的性质，列不等式组求解m的取值范围即可． 【详解】∵二次根式有意义， ∴需满足， 解，得， 解，得， ∴的取值范围是且， 故选：C． 7. 如图，点A，B，C在⊙O上，，则度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．根据圆周角定理求解． 【详解】解：， ， 故选：A． 8. 如图，将矩形绕点A顺时针旋转到矩形的位置，旋转角为．若，则的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，多边形的内角和，矩形的性质，熟记性质并考虑利用四边形的内角和定理求解是解题的关键． 根据对顶角相等求出，再根据四边形的内角和等于求出，然后求出，最后根据旋转的性质可得即为旋转角． 【详解】解：∵矩形绕点A顺时针旋转到矩形的位置， ∴，， ∵矩形中，， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 故选：D． 9. 若关于x的一元二次方程有实数根，则n的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于n的一元一次不等式，解之即可得出n的取值范围． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴， 解得：． 故选：B． 【点睛】本题考查了根判别式，牢记“当时，方程有实数根”是解题的关键． 10. 如图，在中，，，，设与、分别相切于点、，平分，连接，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接、，过点作，垂足为，设与、分别交于点、，由切线性质可得，，结合可证四边形是正方形，可得，设的半径为，则，，，由角平分线的性质得，可得与相切于点，进而由切线长定理得，，由勾股定理得，列方程即可求出半径，由角平分线的判定定理得平分，结合可得，由即可得出． 【详解】解：如图，连接、，过点作，垂足为，设与、分别交于点、， ∵与、分别相切于点、， ∴，， 又∵，， ∴四边形是正方形， ∴， 设的半径为，则，，， ∵平分，，， ∴，， ∴与相切于点， 又∵与、分别相切于点、， ∴，， 在中， ， ∴， ∴， 解得， ∵，，， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C 【点睛】本题考查了切线的性质、切线长定理、角平分线的性质与判定、扇形面积公式等，利用切线长定理结合勾股定理求出圆的半径是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 分解因式：_____． 【答案】 【解析】 【分析】直接根据平方差公式进行因式分解即可. 【详解】， 故填 【点睛】本题考查利用平方差公式进行因式分解，解题关键在于熟练掌握平方差公式. 12. 如图：在△ABC中，AB=13，BC=12，点D，E分别是AB，BC的中点，连接DE，CD，如果DE=2.5，那么△ACD的周长是_____． 【答案】18 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理得到AC=2DE=5，AC∥DE，根据勾股定理的逆定理得到∠ACB=90°，根据线段垂直平分线的性质得到DC=BD，根据三角形的周长公式计算即可． 【详解】∵D，E分别是AB，BC的中点， ∴AC=2DE=5，AC∥DE， AC2+BC2=52+122=169， AB2=132=169， ∴AC2+BC2=AB2， ∴∠ACB=90°， ∵AC∥DE， ∴∠DEB=90°，又∵E是BC的中点， ∴直线DE是线段BC的垂直平分线， ∴DC=BD， ∴△ACD周长=AC+AD+CD=AC+AD+BD=AC+AB=18， 故答案为18． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、线段垂直平分线的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键． 13. 若圆的内接正六边形的边长为3，则该圆的半径为________． 【答案】 【解析】 【分析】证是等边三角形，利用等边三角形的性质即可解决． 【详解】解：如图，在正六边形内，为中心， ， 是等边三角形， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等边三角形的证明和性质的应用，圆内接正多边形，解题的关键是结合题意证明等边三角形． 14. 如图：四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点，若∠A=n°，则∠DCE=_____°． 【答案】n 【解析】 【分析】利用圆内接四边形的对角互补和邻补角的性质求解． 【详解】∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠A+∠DCB=180°， 又∵∠DCE+∠DCB=180° ∴∠DCE=∠A=n° 故答案为n 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质．解决本题的关键是掌握：圆内接四边形的对角互补． 15. 如图，，，都是等腰直角三角形，直角顶点都在函数的图像上，若三角形依次排列下去，则点的坐标是_____． 【答案】 【解析】 【分析】先求出第一个等腰直角三角形顶点、的坐标，再依次求出、，、的坐标，从中总结出点的坐标规律，最后代入得到结果． 【详解】解：设，过点作， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵在上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 同理可得，， ∴． 当时，． 故答案为：． 三、解答题（每小题7分，共21分） 16. 计算：﹣2cos45°+（）﹣1﹣（π﹣1）0 【答案】 【解析】 【详解】【分析】按顺序先分别进行二次根式化简、特殊角的三角函数值、负指数幂、0指数幂的运算，然后再按运算顺序进行计算即可得. 【详解】﹣2cos45°+（）﹣1﹣（π﹣1）0 =+3﹣1 =2+2. 【点睛】本题考查了实数的综合运算能力，解决此类问题的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值、特殊角的锐角三角函数值等知识． 17. 解方程：． 【答案】． 【解析】 【分析】先移项，再利用因式分解法解答，即可求解． 【详解】解：， 移项得， ∴， ∴或， 解得：． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程解法——直接开平方法，因式分解法、公式法、配方法是解题的关键． 18. 先化简，再求值：，其中，. 【答案】；． 【解析】 【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将a、b的值代入化简后的式子即可解答本题． 【详解】解：(-)÷， =， =， =， =， 当a=+，b=-时， 原式===． 【点睛】本题考查分式的化简求值、分母有理化，解答本题的关键是明确分式化简求值的计算方法． 四、解答题（每小题9分，共27分） 19. 如图，在中，，． （1）请你用尺规作图，作的平分线，交于点（要求：保留作图痕迹）； （2）的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了基本作图－作已知角的角平分线；三角形的外角性质． （1）利用基本作图作的平分线； （2）先利用三角形内角和计算出，再利用角平分线的定义得到，然后根据三角形外角性质计算的度数． 【小问1详解】 解：如图，为所作； ； 【小问2详解】 解：，． ， 平分， ， ． 20. 某初级中学数学兴趣小组为了了解本校学生的年龄情况，随机调查了该校部分学生的年龄，整理数据并绘制如下不完整的统计图． 依据以上信息解答以下问题： （1）求样本容量； （2）直接写出样本容量的平均数，众数和中位数； （3）若该校一共有1800名学生，估计该校年龄在15岁及以上的学生人数． 【答案】（1）样本容量为50；（2）平均数为14（岁）；中位数为14（岁），众数为15岁；（3）估计该校年龄在15岁及以上的学生人数为720人． 【解析】 【分析】（1）由12岁的人数除以所占百分比可得样本容量； （2）先求出14、16岁的人数，再根据平均数、众数和中位数的定义求解可得； （3）用总人数乘以样本中15、16岁的人数所占比例可得． 【详解】解：（1）样本容量为6÷12%=50； （2）14岁的人数为50×28%=14、16岁的人数为50﹣（6+10+14+18）=2， 则这组数据的平均数为=14（岁）， 中位数为=14（岁），众数为15岁； （3）估计该校年龄在15岁及以上的学生人数为1800×=720人． 【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 21. 某商店以固定进价一次性购进一种商品，3月份按一定售价销售，销售额为2400元，为扩大销量，减少库存，4月份在3月份售价基础上打9折销售，结果销售量增加30件，销售额增加840元． （1）求该商店3月份这种商品的售价是多少元？ （2）如果该商店3月份销售这种商品的利润为900元，那么该商店4月份销售这种商品的利润是多少元？ 【答案】（1）该商店3月份这种商品的售价是40元；（2）该商店4月份销售这种商品的利润是990元． 【解析】 【分析】（1）设该商店3月份这种商品的售价为x元，则4月份这种商品的售价为元，根据数量=总价÷单价结合4月份比3月份多销售30件，即可得出关于x的分式方程，解之经检验即可得出结论； （2）设该商品的进价为y元，根据销售利润=每件的利润×销售数量，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出该商品的进价，再利用4月份的利润=每件的利润×销售数量，即可求出结论． 【详解】（1）设该商店3月份这种商品的售价为元，则4月份这种商品的售价为元， 根据题意得： ， 解得：， 经检验，是原分式方程的解． 答：该商店3月份这种商品的售价是40元． （2）设该商品的进价为元， 根据题意得：， 解得：， （元）． 答：该商店4月份销售这种商品的利润是990元． 【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程． 五、解答题（22每小题13分23小题14分，共27分） 22. 如图，点C在的直径的延长线上，D为圆上的点，连接并延长至点E，使得平分．若． （1）求证：是的切线； （2）若，求的半径． 【答案】（1）答案见解析 （2）3 【解析】 【分析】（1）根据已知角平分线的定义以及等边对等角可得，根据已知条件，即可证明是的切线； （2）根据切线的性质，勾股定理解可得答案． 【小问1详解】 解：连接， ， ， 平分， ， ， ， 又， ， 是半径， 是的切线； 【小问2详解】 设，在中，，， ，即， 解得：， 即的半径为3． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，等腰三角形的性质，平行线的判定与性质，切线的性质与判定，勾股定理，解题的关键是掌握切线的性质与判定． 23. 在平面直角坐标系xOy中（如图）．已知抛物线经过点A（﹣1，0）和点B（0，），顶点为C，点D在其对称轴上且位于点C下方，将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处． （1）求这条抛物线的表达式； （2）求线段CD的长； （3）将抛物线平移，使其顶点C移到原点O的位置，这时点P落在点E的位置，如果点M在y轴上，且以O、D、E、M为顶点的四边形面积为8，求点M的坐标． 【答案】（1）抛物线解析式为；（2）线段CD的长为2；（3）M点的坐标为（0，）或（0，﹣） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式； （2）利用配方法得到，则根据二次函数的性质得到C点坐标和抛物线的对称轴为直线x=2，如图，设CD=t，则D（2，﹣t），根据旋转性质得∠PDC=90°，DP=DC=t，则P（2+t，﹣t），然后把P（2+t，﹣t）代入得到关于t的方程，从而解方程可得到CD的长； （3）P点坐标为（4，），D点坐标为（2，），利用抛物线的平移规律确定E点坐标为（2，﹣2），设M（0，m），当m＞0时，利用梯形面积公式得到•（m++2）•2=8；当m＜0时，利用梯形面积公式得到•（﹣m++2）•2=8，然后分别解方程求出m即可得到对应的M点坐标． 详解】（1）把A（﹣1，0）和点B（0，）代入得 ，解得， ∴抛物线解析式为； （2）∵， ∴C（2，），抛物线的对称轴为直线x=2， 如图，设CD=t，则D（2，﹣t）， ∵线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处， ∴∠PDC=90°，DP=DC=t， ∴P（2+t，﹣t）， 把P（2+t，﹣t）代入得， 整理得t2﹣2t=0，解得（舍去），， ∴线段CD的长为2； （3）P点坐标为（4，），D点坐标为（2，）， ∵抛物线平移，使其顶点C（2，）移到原点O的位置， ∴抛物线向左平移2个单位，向下平移个单位， 而P点（4，）向左平移2个单位，向下平移个单位得到点E， ∴E点坐标（2，﹣2）， 设M（0，m）， 当m＞0时，•（m++2）•2=8，解得m=，此时M点坐标为（0，）； 当m＜0时，•（﹣m++2）•2=8，解得m=﹣，此时M点坐标为（0，﹣）； 综上所述，M点的坐标为（0，）或（0，﹣）． 【点睛】本题考查了二次函数的综合题，涉及到待定系数法、抛物线上点的坐标、旋转的性质、抛物线的平移等知识，综合性较强，正确添加辅助线、运用数形结合思想熟练相关知识是解题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 雷州市第八中学教育集团九年级第二学期开学质量检测 数学试卷 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. -2的绝对值是（ ） A. 2 B. C. D. 2. 下列事件，是必然事件的为（ ） A. 掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上 B. 打开电视正在播放世界杯 C. 是无理数 D. 明天太阳从西方升起 3. 抛物线顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 一个五边形的内角和为（　　） A. 540° B. 450° C. 360° D. 180° 5. 已知平行四边形ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（　　） A. ∠A=∠B B. ∠A=∠C C. AC=BD D. AB⊥BC 6. 若代数式有意义，则m的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 7. 如图，点A，B，C在⊙O上，，则度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，将矩形绕点A顺时针旋转到矩形的位置，旋转角为．若，则的大小是（ ） A. B. C. D. 9. 若关于x的一元二次方程有实数根，则n的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，，设与、分别相切于点、，平分，连接，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 分解因式：_____． 12. 如图：在△ABC中，AB=13，BC=12，点D，E分别是AB，BC的中点，连接DE，CD，如果DE=2.5，那么△ACD的周长是_____． 13. 若圆的内接正六边形的边长为3，则该圆的半径为________． 14. 如图：四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点，若∠A=n°，则∠DCE=_____°． 15. 如图，，，都是等腰直角三角形，直角顶点都在函数的图像上，若三角形依次排列下去，则点的坐标是_____． 三、解答题（每小题7分，共21分） 16. 计算：﹣2cos45°+（）﹣1﹣（π﹣1）0 17. 解方程：． 18. 先化简，再求值：，其中，. 四、解答题（每小题9分，共27分） 19. 如图，在中，，． （1）请你用尺规作图，作的平分线，交于点（要求：保留作图痕迹）； （2）度数． 20. 某初级中学数学兴趣小组为了了解本校学生年龄情况，随机调查了该校部分学生的年龄，整理数据并绘制如下不完整的统计图． 依据以上信息解答以下问题： （1）求样本容量； （2）直接写出样本容量的平均数，众数和中位数； （3）若该校一共有1800名学生，估计该校年龄在15岁及以上的学生人数． 21. 某商店以固定进价一次性购进一种商品，3月份按一定售价销售，销售额为2400元，为扩大销量，减少库存，4月份在3月份售价基础上打9折销售，结果销售量增加30件，销售额增加840元． （1）求该商店3月份这种商品的售价是多少元？ （2）如果该商店3月份销售这种商品利润为900元，那么该商店4月份销售这种商品的利润是多少元？ 五、解答题（22每小题13分23小题14分，共27分） 22. 如图，点C在的直径的延长线上，D为圆上的点，连接并延长至点E，使得平分．若． （1）求证：是的切线； （2）若，求的半径． 23. 在平面直角坐标系xOy中（如图）．已知抛物线经过点A（﹣1，0）和点B（0，），顶点为C，点D在其对称轴上且位于点C下方，将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上点P处． （1）求这条抛物线的表达式； （2）求线段CD的长； （3）将抛物线平移，使其顶点C移到原点O的位置，这时点P落在点E的位置，如果点M在y轴上，且以O、D、E、M为顶点的四边形面积为8，求点M的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $