专题03 指数对数函数通关指南讲义-2026届高三数学三轮复习

复盘固化核心常考点专题 专题03 指数对数函数通关指南（考点 + 典例 + 考场实战） 一、考点总结与提升 1.指数函数图象与性质. 图象 图像特征 在轴的上方，过定点 当逐渐增大时，图象逐渐上升 当逐渐增大时，图象逐渐下降 性质 定义域 值域 单调性 在上是增函数 在上是减函数 奇偶性 非奇非偶函数 范围 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 2.对数的概念与性质 （1）对数的概念：如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底数N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数，logaN叫做对数式。 （2）对数的性质 对数式与指数式的互化：ax＝N⇔x＝logaN(a>0，且a≠1)； ①loga1＝0，②logaa＝1，③alogaN＝N，④ logaaN＝N (a>0，且a≠1). 2.对数的的运算法则 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0 ①loga(M·N)＝logaM＋logaN ②loga＝logaM－logaN ③logaMn＝nlogaM(n∈R) 3.换底公式 （1）logab＝(a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0) （2）换底公式的三个重要结论 ①logab＝； ②logambn＝logab； ③logab·logbc·logcd＝logad. 3.对数函数的图象与性质 图象 a＞1 0＜a＜1 性质 定义域：(0，＋∞) 值域：R 当x＝1时，y＝0，即过定点(1,0) 当0＜x＜1时，y＜0； 当x＞1时，y＞0 当0＜x＜1时，y＞0； 当x＞1时，y＜0 在(0，＋∞)上为增函数 在(0，＋∞)上为减函数 二、典例精讲 核心考点01.指数函数图象与性质. 例1．已知函数则下列选项正确的是（    ） A．函数在区间上单调递增 B．函数的值域为 C．方程有两个不等的实数根 D．不等式解集为 解析：   画出的图象，如上图所示. 令，解得或， 所以的图象与轴交于. 对于A，由图象可知，函数在区间上不单调，A错； 对于B，由图象可知，函数的值域为，B对； 对于C，，， 由图象可知，方程，即有两个不等的实数根，C对； 对于D，由图象可知，当时，， 所以，由可得. 令，解得或； 令，解得或， 所以，由图象可知，不等式解集为，D错. 故选：BC 例2．若函数，在R上为严格增函数，则实数的取值范围是（    ） A．（1，3） B．（2，3） C． D． 解析：在上为严格增函数，，解得.即实数的取值范围是.故选：D 例3．函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   解析：因为，所以，定义域为； 因为，所以，故，所以为奇函数，排除B， 当趋向于正无穷大时，、均趋向于正无穷大，但随变大，的增速比快， 所以趋向于，排除D， 由，，则，排除C. 故选：A. 核心考点02.指数函数图象变换与应用 例4．函数（）的图象可能是（    ） A． B． C． D． 解析：当时，，因此，且函数在上单调递增，故A、B均不符合； 当 时，，因此，且函数在上单调递减，故C符合，D不符合．故选：C． 例5．已知函数．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是 A．[–1，0） B．[0，+∞） C．[–1，+∞） D．[1，+∞） 解析：画出函数的图像，在y轴右侧的去掉，再画出直线，之后上下移动，可以发现当直线过点A时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，即方程有两个解，也就是函数有两个零点，此时满足，即，故选C. 例6． 已知函数f(x)＝，则下列说法正确的是(　　) A.f(x)为奇函数 B.f(x)为减函数 C.f(x)有且只有一个零点 D.f(x)的值域为[－1，1) 解析：由题意得f(－x)＝＝＝－f(x)，故f(x)为奇函数， 又∵f(x)＝＝1－，∴f(x)在R上单调递增，∵2x＞0，∴2x＋1＞1， ∴0＜＜2，∴－2＜－＜0，∴－1＜f(x)＜1，即函数值域为(－1，1)， 令f(x)＝＝0，即2x＝1，解得x＝0，故函数有且只有一个零点0.综上可知，AC正确，BD错误.故选AC. 例7．已知函数 方程有两个不同的根，分别是则 （   ） A． B．3 C．6 D．9 解析：由题意得：为R上的增函数，且当时，，，当时，，，方程有两个不同的根等价于函数与的图象有两个交点，作出函数与的图象如下图所示：由图可知与图象关于对称， 则两点关于对称，中点在图象上，由，解得：. 所以.故选：B 核心考点03.常见的指数型函数模型 例8．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 解析：函数定义域为R，，又函数在R上单调递减，则，所以函数的值域为.故选：A 例9．已知函数，，则（    ） A．函数为偶函数 B．函数为奇函数 C．函数在区间上的最大值与最小值之和为0 D．设，则的解集为 解析：对于A：，定义域为，， 则为奇函数，故A错误； 对于B：，定义域为， ， 则为奇函数，故B正确； 对于C：，，都为奇函数， 则为奇函数， 在区间上的最大值与最小值互为相反数， 必有在区间上的最大值与最小值之和为0，故C正确； 对于D：，则在上为减函数， ，则在上为减函数， 则在上为减函数， 若即， 则必有，解得， 即的解集为，故D正确； 故选：BCD 核心考点04.指数型复合函数的单调性与值域问题 例10．已知函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 解析：由函数在上单调递增， 可得在上单调递增， 且在上恒成立，故需满足，解得.故选：B. 例11．已知函数，则函数的零点个数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 解析：由题意，令，解得或， 作出的图象，如图，    由图可知，直线与图象有3个交点， 直线与图象有4个交点， 所以原方程有7个解， 即函数有7个零点.故选：C 核心考点05.对数运算与应用 例12．已知，，则_______ 解析：由题，整理得， 或，又，所以，故，故答案为：64. 例13．已知函数 则（    ） A． B． C． D． 解析：由题意可知，. 故选：C． 例14．已知函数是偶函数，则的值是（    ） A． B． C．1 D．2 解析：函数的定义域为， 因为函数是偶函数， 所以， 所以， ，所以， 得， 故选：A 核心考点06.对数函数图像与应用 例15．函数与的图象的交点个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 解析：函数与都是偶函数，其中，， 在同一坐标系中，作出函数与的图象，如下图， 由图可知，两函数的交点个数为6.故选：D 例16．“”是“方程在上有实数根”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：因为方程在上有实数根，设，，当时，函数在单调递增，无交点，如图①所示，不成立；当时，函数在单调递增，函数在单调递减，如图②所示，即方程转化为在有解，故，解得. 综上所诉，实数的取值范围为：.所以是的充分不必要条件. 故选：A.    核心考点07.对数型函数及应用 例17．函数的最小值为________ 解析：因为 ，当，即时，取到最小值，且.故答案为： 例18．已知函数，，，，有成立，则实数的取值集合为（    ） A． B． C． D． 解析：令，则该函数在上单调递减，又在定义域上单调递增，所以函数在上单调递减，所以，即函数在上的值域为，令，则，因为，，有成立，所以值域为值域的子集，即为函数值域的子集， 当时，，显然不满足题意；当时，的对称轴，且开口向上，所以在上单调递增，且，所以，，即，所以，所以，所以或（与矛盾舍去），所以，所以，即实数的取值集合为. 故选：B 例19中国的5G技术领先世界，5G技术极大地提高了数据传输速率，最大数据传输速率C取决于信道带宽W，经科学研究表明：C与W满足，其中S是信道内信号的平均功率，N是信道内部的高斯噪声功率，为信噪比.当信噪比比较大时，上式中真数中的1可以忽略不计.若不改变带宽W，而将信噪比从1000提升至4000，则C大约增加了（       ）(附：) A．10% B．20% C．30% D．40% 解析 当时，； 当时，. 所以增大的百分比为：. 故选：B. 核心考点08. 指对函数综合应用 例20．已知函数，若关于的方程有且仅有三个不同的实数解，则实数的取值范围是( ) A． B． C． D． 解析：因为，所以，当，；当，，所以在和单调递减，在单调递增，且当时，，，故的大致图象如图所示：关于的方程等价于，即或，由图知，方程有且仅有一解，则有两解，所以，解得，故选:C. 例21．（多选题）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数只有两个极值点 B．方程有且只有两个实根，则的取值范围为 C．方程共有4个根 D．若，，则的最大值为2 解析：对于，对求导得：，当或时，，当时，，即函数在，上单调递减，在上单调递增，因此，函数在处取得极小值，在处取得极大值，故选项正确； 对于，由选项知，作出曲线及直线，如图，要使方程有且只有两个实根，观察图象得当时，直线与曲线有2个交点， 所以方程有且只有两个实根，则的取值范围为，故选项错误；对于，由得：，解得，令，则，结合图象方程有两解，，，所以或，因为，所以，所以方程有两解；又因为，结合图象可知：也有两解，综上：方程共有4个根，故选项正确；对于，因为，而函数在上单调递减，因此当时，，当且仅当，所以t的最大值为2，故选项正确.故选：CD 核心考点09：比较大小 例22．已知，则（    ） A． B． C． D． 解析：为上单调递增函数，则， 为R上单调递减函数，则，且 由为R上单调递增函数，可得， 则， 故选：C． 例23．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数，设a＝f(－)，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A．a＜c＜b B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜b＜a 解析：由于是偶函数，故， ， 由于在是增函数，所以， 即b＜c＜a. 故选：C 例24．已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 解析：因为在上单调递减，则，即；又因为在上单调递减，则，即；可得，且在上单调递增，则，即；综上所述：. 故选：D. 例25．设，，，则( ) A. B. C. D. 解析：由，，可得，故选D. 三、高考练场 1．若函数且满足对任意的实数都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 解析：函数满足对任意的实数都有， 所以函数是上的增函数，则由指数函数与一次函数单调性可知应满足，解得，所以数的取值范围为，故选：. 2．若，，，则正数大小关系是（ ） A． B． C． D． 解析：由，则为与交点的横坐标，由，则为与交点的横坐标，由，即，则为与交点的横坐标，作出，，，的图象如下所示， 由图可知，.故选：B 3．已知，则满足的实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 解析：由，易知其定义域为， 由 ，则函数为偶函数， ， 由在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 则在上单调递减，在上单调递增， 即函数在上单调递增，在上单调递减， 由，则，即， 整理可得，化简可得，解得.故选：A 4．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 解析：若，可知在内单调递增，可知在内单调递增，可得对任意恒成立，又因为在定义域内单调递增，可知在内单调递增，由题意可得：，解得， 所以实数的取值范围是.故选：B. 5．已知函数为偶函数，满足，且时，，若关于的方程至少有两解，则的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 解析：由已知，则，则，可知函数为周期函数，最小正周期，又当时，，可知函数的图象如图所示，且的值域为，关于的方程至少有两解， 可得函数与函数的图象至少有两个交点，如图所示，      可知当时，，解得，即，当时，，解得，即，综上所述，故选：C. 6.若函数 在区间上单调递增，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 解析：根据函数 在区间上单调递增，且单调递增， 可得在区间上单调递增，所以.故选:D. 7．已知函数在上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 解析：因为在上单调递减， 则对任意的恒成立，可得且； 且开口向下，对称轴， 当时，则对称轴，可知在内单调递减， 且在定义域内单调递减，所以在上单调递增，不合题意； 当时，因为在定义域内单调递增， 可知在内单调递减，则，解得； 综上所述：的取值范围是.故选：C. 8．已知函数，则函数零点的个数是_______ 解析：令，即，解得或，作出函数的图象如图， 由图可知，方程有个实数解，有个实数解，且均互不相同，所以，的实数解有个，所以，函数零点的个数是个.故答案为： 9．设函数，若，且，则的最小值为________ 解析：由题意可知：的定义域为，令，解得；令，解得；则当时，，故，所以； 当时，，故，所以；故，即. 当时，则，当且仅当，时，等号成立，所以的最小值为.故答案为： 10.（多选）已知函数，，则满足( ) A. B. C. D. 解析：，，故选项A正确； 为增函数，则，，，易得，故选项B正确； ，故选项C正确； ，故选项D错误. 故答案为ABC. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $复盘固化核心常考点专题 专题03 指数对数函数通关指南（考点 + 典例 + 考场实战） 一、考点总结与提升 1.指数函数图象与性质. 图象 图像特征 在轴的上方，过定点 当逐渐增大时，图象逐渐上升 当逐渐增大时，图象逐渐下降 性质 定义域 值域 单调性 在上是增函数 在上是减函数 奇偶性 非奇非偶函数 范围 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 2.对数的概念与性质 （1）对数的概念：如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底数N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数，logaN叫做对数式。 （2）对数的性质 对数式与指数式的互化：ax＝N⇔x＝logaN(a>0，且a≠1)； ①loga1＝0，②logaa＝1，③alogaN＝N，④ logaaN＝N (a>0，且a≠1). 2.对数的的运算法则 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0 ①loga(M·N)＝logaM＋logaN ②loga＝logaM－logaN ③logaMn＝nlogaM(n∈R) 3.换底公式 （1）logab＝(a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0) （2）换底公式的三个重要结论 ①logab＝； ②logambn＝logab； ③logab·logbc·logcd＝logad. 3.对数函数的图象与性质 图象 a＞1 0＜a＜1 性质 定义域：(0，＋∞) 值域：R 当x＝1时，y＝0，即过定点(1,0) 当0＜x＜1时，y＜0； 当x＞1时，y＞0 当0＜x＜1时，y＞0； 当x＞1时，y＜0 在(0，＋∞)上为增函数 在(0，＋∞)上为减函数 二、典例精讲 核心考点01.指数函数图象与性质. 例1．已知函数则下列选项正确的是（    ） A．函数在区间上单调递增 B．函数的值域为 C．方程有两个不等的实数根 D．不等式解集为 例2．若函数，在R上为严格增函数，则实数的取值范围是（    ） A．（1，3） B．（2，3） C． D． 例3．函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   核心考点02.指数函数图象变换与应用 例4．函数（）的图象可能是（    ） A． B． C． D． 例5．已知函数．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是 A．[–1，0） B．[0，+∞） C．[–1，+∞） D．[1，+∞） 例6． 已知函数f(x)＝，则下列说法正确的是(　　) A.f(x)为奇函数 B.f(x)为减函数 C.f(x)有且只有一个零点 D.f(x)的值域为[－1，1) 例7．已知函数 方程有两个不同的根，分别是则 （   ） A． B．3 C．6 D．9 核心考点03.常见的指数型函数模型 例8．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 例9．已知函数，，则（    ） A．函数为偶函数 B．函数为奇函数 C．函数在区间上的最大值与最小值之和为0 D．设，则的解集为 核心考点04.指数型复合函数的单调性与值域问题 例10．已知函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例11．已知函数，则函数的零点个数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 核心考点05.对数运算与应用 例12．已知，，则_______ 例13．已知函数 则（    ） A． B． C． D． 例14．已知函数是偶函数，则的值是（    ） A． B． C．1 D．2 核心考点06.对数函数图像与应用 例15．函数与的图象的交点个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 例16．“”是“方程在上有实数根”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 核心考点07.对数型函数及应用 例17．函数的最小值为________ 例18．已知函数，，，，有成立，则实数的取值集合为（    ） A． B． C． D． 例19中国的5G技术领先世界，5G技术极大地提高了数据传输速率，最大数据传输速率C取决于信道带宽W，经科学研究表明：C与W满足，其中S是信道内信号的平均功率，N是信道内部的高斯噪声功率，为信噪比.当信噪比比较大时，上式中真数中的1可以忽略不计.若不改变带宽W，而将信噪比从1000提升至4000，则C大约增加了（       ）(附：) A．10% B．20% C．30% D．40% 核心考点08. 指对函数综合应用 例20．已知函数，若关于的方程有且仅有三个不同的实数解，则实数的取值范围是( ) A． B． C． D． 例21．（多选题）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数只有两个极值点 B．方程有且只有两个实根，则的取值范围为 C．方程共有4个根 D．若，，则的最大值为2 核心考点09：比较大小 例22．已知，则（    ） A． B． C． D． 例23．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数，设a＝f(－)，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A．a＜c＜b B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜b＜a 例24．已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 例25．设，，，则( ) A. B. C. D. 三、高考练场 1．若函数且满足对任意的实数都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．若，，，则正数大小关系是（ ） A． B． C． D． 3．已知，则满足的实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．已知函数为偶函数，满足，且时，，若关于的方程至少有两解，则的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 6.若函数 在区间上单调递增，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．已知函数在上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知函数，则函数零点的个数是_______ 9．设函数，若，且，则的最小值为________ 10.（多选）已知函数，，则满足( ) A. B. C. D. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $