精品解析：河南省信阳市浉河区信阳高级中学2025-2026学年高一下学期3月测试题（一）数学试题

河南省信阳高级中学新校（贤岭校区）、老校（北湖校区） 2025-2026学年高一下期03月测试（一） 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，集合，则（　 ） A. B. C. D. 2. 若函数的定义域是，则函数的定义域是（ ） A [-4，1] B. [-3，1] C. [-3，1） D. [-4，1） 3. 下列各组函数中，表示同一函数的是（    ） A. B. C. D. 4. 我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休.”在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数性质，也常用函数解析式来琢磨函数的图象特征，函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 5. 若关于x不等式的解集是，则关于x的不等式的解集是（ ） A B. C. D. 6. 若，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数（，），为的零点，为图象的对称轴，且在上不单调，则的最小值为（   ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 若，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的有（ ） A. 命题“，”的否定是“，” B. 若正数x，y满足，则最小值是 C. 函数的单调递增区间为 D. 若，则为第一象限角 10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. 直线是图象的一条对称轴 D. 在上的图象与直线恰有11个交点 11. 已知函数，是定义在R上的非常数函数，满足，，且为奇函数，则（ ）． A. 为奇函数 B. 为偶函数 C. D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，，则______________． 13. 如图，圆与轴的正半轴的交点为，点在圆上，且点位于第一象限，点的坐标为，若，则的值为__________． 14. 已知定义在上的函数是偶函数，当时，，若关于的方程，有且仅有6个不同实数根，则实数的取值范围是________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. （1）计算：； （2）已知，，求的值； （3）若，，为锐角，为钝角，求的值. 16. 已知函数． （1）求的定义域； （2）若． （ⅰ）求在区间上的最小值； （ⅱ）求在区间单调递减区间． 17. 已知函数． （1）求的值； （2）判断并证明的奇偶性； （3）设函数．若对任意的，存在，使得成立，求实数的取值范围． 18. 如图，有一块矩形铁皮，其中米，米，其中，是一个大于等于4的常数.阴影部分是一个半径为3米的扇形.设这个扇形已经锈蚀不能使用，但其余部分均完好.工人师傅想在未被锈蚀的部分截下一块其边落在与上的矩形铁皮，使点在弧上.设，矩形的面积为平方米. （1）求这块铁皮的可用部分的面积； （2）求关于的函数表达式； （3）当时，求的最值，并求出当取得最值时，所对应的的值. 19. 我们将满足下列条件的函数称为“伴随函数”：存在一个正常数，对于任意的都有且. （1）是否存在正常数，使得是“伴随函数”？若存在，请求出一个的值；若不是，请说明理由； （2）已知是“伴随函数”，且当时，. （i）求当时，的解析式； （ii）若为方程在上的根，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省信阳高级中学新校（贤岭校区）、老校（北湖校区） 2025-2026学年高一下期03月测试（一） 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，集合，则（　 ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用常用数集的定义与集合的交集运算即可得解. 【详解】因为， 而，所以. 故选：B. 2. 若函数的定义域是，则函数的定义域是（ ） A. [-4，1] B. [-3，1] C. [-3，1） D. [-4，1） 【答案】D 【解析】 【分析】由复合函数的定义求定义域，同时注意分母不为0． 【详解】由解得，又，得. 故选：D． 3. 下列各组函数中，表示同一函数的是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据相等函数的概念一一判断即可得解. 【详解】对于A，函数的定义域为，函数的定义域为，故A错误； 对于B，函数的定义域为，函数的定义域为，故B错误； 对于C，函数的定义域为，函数的定义域为，故C错误； 对于D，函数的定义域为，函数的定义域为，且，故D正确. 4. 我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休.”在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数性质，也常用函数解析式来琢磨函数的图象特征，函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求函数的定义域，判断是奇函数，故排除CD；再根据的值，排除A，从而B正确. 【详解】由，得，解得， ∴函数的定义域为， ∵， ∴函数是奇函数，图象关于原点对称，故排除CD； ∵，故排除A，从而B正确 故选：B. 5. 若关于x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据关于x的不等式的解集是，利用韦达定理可得，将不等式等价转化为，进而求解. 【详解】因为关于x的不等式的解集是， 所以的两根是或2，由韦达定理可得：， 所以可转化为，解得或. 所以原不等式的解集为， 故选：. 6. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由于，根据二倍角的余弦公式和诱导公式即可求解. 【详解】由于， 所以, 故选：B 7. 已知函数（，），为的零点，为图象的对称轴，且在上不单调，则的最小值为（   ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据对称轴和对称中心间的距离，得到关于的关系式，再验证，即可求解. 【详解】设函数的最小正周期为， 因为为的零点，为图象的对称轴， 所以，即， 所以. 因为，所以在上不单调， 当时，由为的零点可得，， 因为，所以. 因为在上不单调，所以的最小值为. 故选：B. 8. 若，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用单位圆及三角函数的定义可得，当时，，由此可判断，即，且.由诱导公式可得，从而得到的大小关系. 【详解】， 因为，所以. . 作单位圆，与轴非负半轴交于点，的终边与单位圆的交点为，过点作轴的垂线，垂足为，则； 过作轴的垂线交的终边于点，则. 易知，.所以. 所以，所以，即，所以. 且. 因为， 所以. 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的有（ ） A. 命题“，”的否定是“，” B. 若正数x，y满足，则的最小值是 C. 函数的单调递增区间为 D. 若，则为第一象限角 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，由全称量词命题的否定结构即可判断，对于B，由基本不等式乘1法即可判断，对于C，由对数型复合函数的单调性即可判断，对于D，由三角函数各个象限的符号即可判断. 【详解】对于A，命题“，”的否定是“，”，故正确； 对于B，由得， 则， 当且仅当等号成立，错误， 对于C，由可得：， 又当时，单调递减， 同时单调递减， 故函数的单调递增区间为，正确， 对于D，由， 得或， 当此时为第一象限角， 当此时第三象限角， 综上为第一象限角或第三象限角，错误； 故选：AC 10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. 直线是图象的一条对称轴 D. 在上的图象与直线恰有11个交点 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据图象求出的解析式，结合三角函数的图象及性质逐项分析判断即可. 【详解】选项A：由图象可知，，所以. 当时，，即， 所以，，即，. 又，所以. A正确. 选项B：由A知，. ，. 因为在上单调递减，，所以， 即. B错误. 选项C：令，，则，. 所以的对称轴为，. 当时，，C正确. 选项D：令，则，. 所以或， 在上，时有1个解，时各有2个解，共11个解.D正确. 故选：ACD. 11. 已知函数，是定义在R上的非常数函数，满足，，且为奇函数，则（ ）． A. 为奇函数 B. 为偶函数 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据已知条件，利用变量代换可推出函数的周期，继而推出，结合函数是定义在R上的非常数函数，即可判断的奇偶性，判断A，B；利用的周期可求得的值，判断C；根据结合变量代换可推出，从而将化为，结合的周期求值即可判断D. 【详解】函数是定义在R上的非常数函数， 由于为奇函数，故， 即，即， 由于，用代换x可得， 结合得：，即， 结合得， 即，故， 即4为函数的周期，故，故为偶函数， 由于是定义在R上的非常数函数，故不是奇函数，故A错误，B正确； 由于，故，即， 故， 故，故C正确； 由得， 而为偶函数且，故， 则， 因为，所以， 故，D正确， 故选：BCD 【点睛】难点点睛：本题考查了抽象函数的性质的应用问题，涉及到函数的奇偶性以及周期性，难点在于要根据已知条件，经过变量代换，推出函数的周期，进而推出函数为偶函数，从而再根据之间的关系，推出，结合函数的周期性，即可求出和式，的值. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，，则______________． 【答案】0或 【解析】 【分析】根据，代入整理求解得出的值，进而得出的值，即可得出答案. 【详解】由已知可得，， 所以，， 整理可得，，解得或. 当时，，，； 当时，，，. 综上所述，或. 故答案为：0或. 13. 如图，圆与轴的正半轴的交点为，点在圆上，且点位于第一象限，点的坐标为，若，则的值为__________． 【答案】##0.6 【解析】 【分析】由倍角公式和辅助角公式可得，再由三角函数的定义即可求结论. 【详解】圆的半径为1. 又，为等边三角形，， 所以的终边为， . 由三角函数的定义可得，. 故答案为： 14. 已知定义在上的函数是偶函数，当时，，若关于的方程，有且仅有6个不同实数根，则实数的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】画出函数的图象，令，由题意可得方程有个不相等的实数根且，符合题意的情况有和，分别求的范围即可求出答案. 【详解】作出时函数的图象，再根据函数为偶函数得到上的函数图象： 令，方程化为， 由题意得方程有个不相等的实数根，且， 有以下两种情况符合题意： ①当时，，故， ②当时，，故， 综上可知实数取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. （1）计算：； （2）已知，，求的值； （3）若，，为锐角，为钝角，求的值. 【答案】（1）（2）（3） 【解析】 【分析】（1）根据根式运算性质、指数幂运算法则化简运算即可； （2）根据对数换底公式、对数运算法则计算可得的值，再根据指数幂运算法则化简求值即可； （3）根据三角函数和差角公式与平方关系转化求解即可. 【详解】（1）原式； （2）因为， 所以. （3）若，，又，所以，则， 又，则，所以， 又，所以， 所以 ， 又，所以. 16. 已知函数． （1）求的定义域； （2）若． （ⅰ）求在区间上的最小值； （ⅱ）求在区间的单调递减区间． 【答案】（1）. （2）（ⅰ）；（ⅱ）. 【解析】 【分析】（1）根据分母不等于0，即可得到其定义域； （2）（ⅰ）首先化简得，代入得到值，从而得到，再利用整体法即可求出最小值； （ⅱ）求出其单调减区间，再对进行赋值，再结合，即可得到其单调减区间. 【小问1详解】 由题意得，则， 则的定义域为. 【小问2详解】 （ⅰ） ， 因为，即，解得， 则， 因为，则，则. （ⅱ）令，解得， 令，则，又因为， 则在区间的单调递减区间为. 17. 已知函数． （1）求的值； （2）判断并证明的奇偶性； （3）设函数．若对任意的，存在，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）偶函数，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）将代入即可； （2）利用奇偶函数的定义判断即可； （3）先求的单调性并求出其最小值，再根据题意得到对于恒成立，利用换元结合均值不等式即可求出. 【小问1详解】 由题，将代入得. 【小问2详解】 为偶函数. 证明：由题可知，定义域为 ，， 所以． 所以，为偶函数. 【小问3详解】 由题，， 令，则在上单调递增，根据对数函数的性质可知在上单调递增， 故单调递增， 又在上单调递增，在上单调递增， 所以，当时，， 因为对任意的，存在，使得， 所以对于恒成立，即恒成立. 设，则， ，当且仅当，即时，等号成立． 所以. 18. 如图，有一块矩形铁皮，其中米，米，其中，是一个大于等于4的常数.阴影部分是一个半径为3米的扇形.设这个扇形已经锈蚀不能使用，但其余部分均完好.工人师傅想在未被锈蚀的部分截下一块其边落在与上的矩形铁皮，使点在弧上.设，矩形的面积为平方米. （1）求这块铁皮的可用部分的面积； （2）求关于的函数表达式； （3）当时，求的最值，并求出当取得最值时，所对应的的值. 【答案】（1） （2） （3）最小值是，或 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用矩形和圆的面积公式，即可求解； （2）过作，垂足为，得到，结合矩形的面积公式，即可求解； （3）由（2）知，化简得到，结合三角函数的基本关系式和二次函数的性质，即可求解. 【小问1详解】 解：根据题意，矩形的面积为，阴影部分的面积为， 所以可用部分的面积为 【小问2详解】 解：过作，垂足为， 由，且圆的半径为，可得， 所以， 所以矩形的面积. 【小问3详解】 解：由（2）知：矩形的面积， 故 ， 因为， 又因为，可得，所以， 则当时，矩形的面积取得最小值，即， 此时，所以， 解得或 所以的最小值是，当取得最小值时，所对应的的值是或. 19. 我们将满足下列条件的函数称为“伴随函数”：存在一个正常数，对于任意的都有且. （1）是否存在正常数，使得是“伴随函数”？若存在，请求出一个的值；若不是，请说明理由； （2）已知是“伴随函数”，且当时，. （i）求当时，的解析式； （ii）若为方程在上的根，求的值. 【答案】（1）存在一个的值为. （2）（i）；（ii）答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据以及即可根据“伴随函数”的定义求解， （2）根据“伴随函数”的定义可得是周期为的函数，即可利用周期性以及对称性求解（i），作出在上的图象如图所示，根据周期性结合图象，对进行讨论即可求解（ii）. 【小问1详解】 存在正常数，使得是“伴随函数”. 因为，所以， 因为，所以， 所以存在一个的值为. 【小问2详解】 （i）由，得， 所以是周期为的函数. 由，得，所以为的一条对称轴， 当时，，所以. 所以当. （ii）易知在上图象如图所示， 根据周期性结合图象， 当时，； 当，或，或时，； 当时，； 当或时，. 【点睛】方法点睛新定义问题的求解过程可以模型化，一般解题步骤如下： 第一步：提取信息 — 对新定义进行信息提取，明确新定义的名称和符号， 第二步：加工信息 — 细细品味新定义的概念、法则，对所提取的信息进行加工，探求解决方法，有时可以用学过的或熟悉的相近知识进行类比，明确它们的共同点和不同点 第三步：迁移转化 — 如果是新定义的运算法则，直接按照运算法则计算即可，如果是新定义的性质，一般需要理解和转化性质的含义，得到性质的等价条件（如等量关系、图形的位置关系等） 第四步：计算，得结论 — 结合题意进行严密的逻辑推理、计算，得结论 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $