精品解析：北京师范大学亚太实验学校2025-2026学年第二学期高三开学检测数学试卷

北京师范大学亚太实验学校2025-2026学年第二学期 高三开学检测（数学） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置.） 1. 已知，则下列选项中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】化简集合，即可根据集合间关系求解. 【详解】由得，由可得， 故，其它都不正确. 故选：B 2. 复数对应的点在复平面内的（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的乘法化简复数，利用复数的几何意义可得出结论. 【详解】因为，因此，复数对应的点在复平面内的第二象限. 故选：B. 3. 2024年7月27日，在印度新德里召开的联合国教科文组织第46届世界遗产大会通过决议，将“北京中轴线——中国理想都城秩序的杰作”列入《世界遗产名录》．北京中轴线实际上不是正南正北的，它向西偏离了子午线约，下列各式与不相等的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二倍角公式逐一判断A、B、D，利用同角间关系可判断C. 【详解】对于A，由二倍角公式可得； 对于B，由二倍角公式可得； 对于C，因为，所以； 对于D，由二倍角公式可得. 故选：D. 4. 若且，则下列不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据作差法判断C；结合不等式的基本性质举例说明即可判断ABD. 【详解】A：当时，，故A错误； B：当时，满足，，不成立，故B错误； C：， 因为，所以，得，即，故C正确； D：当时，满足，，不成立，故D错误. 故选：C 5. 已知圆锥曲线的离心率为方程的根，则满足条件的m有几个不同的值（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】解方程得或，讨论，结合椭圆、双曲线性质判断焦点位置，进而求参数值，即可得结果. 【详解】由，则或， 当时，曲线为椭圆，当椭圆的焦点在轴上时，， 则，可得符合； 当椭圆的焦点在轴上时，， 则，可得符合； 当时，曲线为双曲线，则， 则，可得符合. 综上，有3个不同的值. 故选：C 6. 小王同学进行投篮练习，若他第1球投进，则第2球投进的概率为；若他第1球投不进，则第2球投进的概率为.若他第1球投进概率为，他第2球投进的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把第2球投进的事件分拆成两个互斥事件的和，分别算出这两个互斥事件的概率即可得解. 【详解】第2球投进的事件M是第一球投进，第2球投进的事件M1与第一球没投进，第2球投进的事件M2的和，M1与M2互斥， ，，则， 所以第2球投进的概率为. 故选：A 7. 一件刚出土的珍费文物要在博物馆大厅中央展出，需要设计各面是玻璃平面的无底正四棱柱将其罩住，罩内充满保护文物的无色气体．已知文物近似于塔形，高1.8米，体积为0.5立方米，其底部是直径为0.9米的圆（如图），要求文物底部与玻璃罩底边间隔0.3米，文物顶部与玻璃罩上底面间隔0.2米，气体每立方米1000元，则气体费用为（ ） A. 4500元 B. 4000元 C. 2880元 D. 2380元 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，先求得正四棱柱的底面棱长和高，由体积公式即可求得正四棱柱的体积，减去文物的体积，即可求得罩内的气体体积，进而求得所需费用. 【详解】由题意可知，文物底部是直径为0.9米的圆形，文物底部与玻璃罩底边至少间隔0.3米 所以由正方形与圆的位置关系可知：底面正方形的边长为 文物高1.8，文物顶部与玻璃罩上底面至少间隔0.2米 所以正四棱柱的高为 则正四棱柱的体积为 因为文物体积为 所以罩内空气的体积为 气体每立方米元 所以共需费用为元 故选：B 8. 已知命题关于的不等式与的解集相同，命题：，则是成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】假设为真，验证能否得到，再假设为真，验证能否得到即可得. 【详解】若，则可化为， 则与的解集不同， 故不是的必要条件； 若、的解集都为空集， 如、，此时两不等式解集都为空集， 不满足，故不是的充分条件； 综上所述，是成立的既不充分又不必要条件. 故选：D. 9. 某农贸市场出售西红柿，当价格上涨时，供给量相应增加，而需求量相应减少，具体调查结果如下表： 表1 市场供给表 单价（元/kg） 2 2.4 2.8 3.2 3.6 4 供给量（1000kg） 50 60 70 75 80 90 表2 市场需求表 单价（元/kg） 4 3.4 2.9 2.6 2.3 2 需求量（1000kg） 50 60 65 70 75 80 根据以上提供的信息，市场供需平衡点（即供给量和需求量相等时的单价）应在区间 A. 内 B. 内 C. 内 D. 内 【答案】C 【解析】 【详解】考点：函数零点的判定定理；函数的表示方法． 分析：由已知中表格所给的数据，我们结合答案中的四个区间，分别分析区间端点对应的供给量与需求量的关系，如果区间两个端点的表示供给量与需求量的关系的不等号方向是相反的，则市场供需平衡点（即供给量和需求量相等时的单价）应在该区间． 解答：解：∵单价等于2.8时，供给量=70 ∴当单价小于2.6时，由于2.6＜2.8 ∴供给量＜70 而此时，需要量＞70 故此时，供给量＜需要量 而当单价等于2.6时，需求量=70 ∴当单价大于2.8时，∵2.8＞2.6 ∴供给量＞70 而此时，需要量＜70 故此时，供给量＞需要量 综上所述，市场供需平衡点（即供给量和需求量相等时的单价）应在区间（2.6，2.8）内 故选C 点评：本题考查的知识点是函数的表示方法（列表法）及函数零点的判定定理，根据零点判断定理，即连续函数f（a）?f（b）＜0，则函数在区间（a，b）上有零点，是解答本题的关键． 10. 已知函数则下列结论错误的是（ ） A. 存在实数，使函数为奇函数； B. 对任意实数和，函数总存在零点； C. 对任意实数，函数既无最大值也无最小值； D. 对于任意给定的正实数，总存在实数，使函数在区间上单调递减. 【答案】B 【解析】 【分析】首先分别作出，，的函数的图像，然后结合图像逐项分析判断即可. 【详解】首先分别作出，，的函数的图像，如下： 结合图像进行分析： 当时，，此时如图1所示， 函数的图像关于原点对称，其为奇函数， 所以存在，使得函数为奇函数，故A正确； 由图可知，无论取何值，当时，，当时，， 所以函数既无最大值也无最小值，故C正确； 作一条直线，当时，存在实数使得函数的图像与没有交点， 即此时没有零点， 因此对于任意实数和，函数总存在零点不正确，故B不正确； 如图2，当时，对于任意给定的正实数，总存在实数，使函数在区间上单调递减，故D正确. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是分段函数图象，涉及二次函数的图象，要讨论，即明确分段区间，作出函数图象，数形结合可研究分段函数的性质. 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.） 11. 函数的定义域为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用函数有意义，列出不等式组并求解即得. 【详解】函数有意义，则，解得， 所以函数的定义域为. 故答案为： 12. 设，则______. 【答案】728 【解析】 【分析】根据二项式的展开式赋值法求解即可. 【详解】因为， 所以， 令,可得， 令,可得， 所以. 故答案为：728. 13. 设函数在上恰有两个零点，则__________. 【答案】或 【解析】 【分析】先将函数化简成，将函数有两个零点问题转化成函数与图象在上恰有两个交点问题，然后数形结合根据函数的图象性质即可得解. 【详解】由题得， 因为函数在上恰有两个零点， 所以方程在上恰有两个根， 所以函数与图象在上恰有两个交点， 令， 即函数的对称轴方程为， 所以在上有两条对称轴为和，如图， 所以由函数的图象性质可知或. 故答案为：或. 【点睛】思路点睛：研究三角函数问题，通常需要利用三角恒等变换公式化成一角一函数，故解决本题先利用辅助角公式将函数化简成，再将题中所给条件函数有两个零点问题转化成函数与图象在上恰有两个交点问题，然后作出有关函数图象，数形结合根据函数的图象性质即可得解. 14. 设函数f（x）=ex+ae−x（a为常数）．若f（x）为奇函数，则a=________；若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是___________． 【答案】 ①. -1; ②. . 【解析】 【分析】首先由奇函数的定义得到关于的恒等式，据此可得的值，然后利用导函数的解析式可得a的取值范围. 【详解】若函数为奇函数,则， 对任意的恒成立. 若函数是上的增函数,则恒成立,. 即实数的取值范围是 【点睛】本题考查函数的奇偶性､单调性､利用单调性确定参数的范围.解答过程中,需利用转化与化归思想,转化成恒成立问题.注重重点知识､基础知识､基本运算能力的考查. 15. 已知数列各项均为正整数，对任意的，和中有且仅有一个成立，且，．记．给出下列四个结论： ①可能为等差数列； ②中最大的项为； ③不存在最大值； ④的最小值为36． 其中所有正确结论的序号是________． 【答案】③④ 【解析】 【分析】利用等差数列的定义判断①；利用已知举例说明判断②③；求出的最小值判断④作答. 【详解】当时，由得，由得， 于是与仅只一个为1，即，因此数列不能是等差数列，①错误； 令，依题意，与均为整数，且有且仅有一个为1（即隔项为1）， 若，则， ，而，， 因此，当且仅当数列为时取等号， 若，则， ，而，， 因此，当且仅当数列为时取等号， 从而的最小值为36，④正确； 当时，取，数列为： ，满足题意， 取，，中最大的项不为，②错误； 由于的任意性，即无最大值，因此不存在最大值，③正确， 所以所有正确结论的序号是③④. 故答案为：③④ 【点睛】关键点睛：涉及数列新定义问题，关键是正确理解给出的定义，由给定的数列结合新定义探求数列的相关性质，并进行合理的计算、分析、推理等方法综合解决. 三、解答题（本大题共6小题，共85分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置.） 16. 在中，. （1）求的大小； （2）若，再从下列三个条件中选择一个作为已知，使存在，求的面积. 条件①：边上中线的长为； 条件②：； 条件③：. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】（1） （2） 选条件①：.选条件③，或；选条件②，不存在这样的. 【解析】 【分析】（1）借助正弦定理计算即可得； （2）选条件①或③：借助余弦定理与面积公式计算即可得；不可选条件②，不存在这样的. 【小问1详解】 由， 在中，由正弦定理得， 因为，所以， 又，所以； 【小问2详解】 选条件①：边上中线的长为： 设边中点为，连接，则， 在中，由余弦定理得， 即， 整理得，解得或（舍）， 所以的面积为. 选条件③：： 在中，由余弦定理得，即， 整理得，解得或， 当时，的面积为． 当时，的面积为． 不可选条件②，理由如下： 若，故为钝角，则， 则，，即， 其与为钝角矛盾，故不存在这样的. 17. 如图，在梯形中，E是中点，，，，连接，将沿折起使A点至P点处，得四棱锥，且，点M为棱上的一点． （1）若O是的中点，求证：平面； （2）若直线与直线所成的角为，求的值； （3）若M是的中点，求二面角的正弦值． 【答案】（1） 证明：因为在梯形中，E是中点， ，，， 所以四边形是正方形，，， 将沿折起使A点至P点处，有，， 因为，平面， 所以平面， 又平面，所以平面平面， 因为，O是中点，所以， 又平面，平面平面， 所以平面． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）要证明线面垂直，可通过证明面面垂直得到，即证明平面平面. （2）建立空间直角坐标系，根据已知条件将各个点的坐标表示出来，设，然后利用异面直线的夹角求出，即是结果. （3）求出平面的法向量坐标，然后根据向量夹角的余弦公式求出二面角的余弦值，进而求出正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以O为坐标原点，，所在直线分别为y轴，z轴，以过O与平行的直线为x轴， 建立如图所示的空间坐标系． 由（1）可得， 则，，，，，． ，，， 设， 有， 因为直线与直线所成的角为， 所以，所以，所以， 又，所以，所以． 【小问3详解】 由（2）知，， 的中点，， 设平面的法向量为， 则，取，则． 同理可求得平面的一个法向量， ，又二面角的范围是， 故二面角的正弦值． 18. 随着智能手表的普及，越来越多的学生使用其功能，为了了解学生使用智能手表功能的情况，现从某校随机抽取了300名学生，对使用 四种功能的情况统计如下: 功能种数 性别 0 种 1 种 2 种 3 种 4 种 男 18 52 42 28 10 女 12 58 48 22 10 在上述样本所有使用 3 种功能的人中，统计使用的人次如下: 功能 人次 37 40 35 38 假设不同学生使用智能手表功能的情况相互独立，用频率估计概率. （1）从该校随机选取一人，若已知该学生至少使用两种功能，估计该学生恰好使用三种功能的概率； （2）从该校使用三种功能的学生中，随机选出3人，记使用功能的人数为人，求的分布列和期望； （3）从该校男、女生中各随机选一人，记他们使用功能的种数分别为，试比较期望的估计值的大小 (结论不要求证明). 【答案】（1） （2）分布列见解析，数学期望为 （3） 【解析】 【分析】（1）结合古典概型概率公式，用缩小样本空间法求解概率即可； （2）求出使用三种功能时使用功能的概率，则被抽取的人数，由二项分布概率公式即可求解； （3）求出随机变量对应的概率，利用期望公式分别求出，再比较大小即可. 【小问1详解】 至少使用两种功能的学生数为，恰好使用三种功能的学生数为， 则已知该学生至少使用两种功能，估计该学生恰好使用三种功能的概率. 【小问2详解】 抽取的300名学生中恰好使用三种功能的学生数为，其中使用功能的学生数为40， 因此该校使用三种功能的学生中使用功能的概率大约为， 由已知的可能取值为，且， ，， ，. 的分布列为 0 1 2 3 . 【小问3详解】 由题意可得样本中男，女学生人数分别为：150和150， 则的可能取值为，，， ，，. 所以； 的可能取值为，，， ，，. 所以，故. 19. 椭圆分别为左右焦点，为坐标原点，直线过与椭圆交于两点，的周长为，的周长为. （1）求椭圆的方程； （2）过作直线交抛物线于点，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由焦点三角形的周长，建立方程组，解得，可得答案； （2）设出直线方程，分别联立椭圆与抛物线方程，写出韦达定理，利用三角形面积公式，结合二次函数以及不等式性质，可得答案. 【小问1详解】 由题意可得的周长， 的周长， 联立可得，解得，则， 所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 由椭圆，即，则， 易知直线的斜率存在且不为0，设， 联立，化简可得， 显然，设，则， 可得， 由，且垂足为，则， 联立可得，化简可得， 显然，设，则， 可得， 设直线的倾斜角为，则，可得， ， 令，可得， 由，则令，求导可得， 易知当时，，所以函数在上单调递增，故， 即，可得 所以. 20. 已知函数 . （1）若在取极小值，且，求的值; （2）当 时，恒成立，求最大值； （3）是否可以与轴相切? 若可以，求间关系式； 若不可以，说明理由. 【答案】（1）， （2）1 （3）（） 【解析】 【分析】（1）求出导函数，由题意且，列式求解，最后再验证即可； （2）求导函数，利用导数研究的单调性，结合，利用函数的最值思想求解即可； （3）设切点为，利用导数的几何意义及切点在x轴上，得，然后利用函数法求得方程的根为，进而求得. 【小问1详解】 由得， 因为在 取极小值，所以， ① 又，代入得，解得 ， 把代入①，得，所以； 验证：当，时，，当时，，当时，，所以为的极小值点，符合题意，故，； 【小问2详解】 当 时，恒成立，即恒成立， 令，则，符合，， 令，则， 因为，，所以，即在上单调递增， 所以， 若，（即），则，在上单调递增， 故，符合条件； 若，（即），则存在，使得， 当时，，单调递减，此时，不符合条件； 所以，即，当时，等号成立，故最大值为1； 【小问3详解】 若与轴相切，设切点为，则需满足，且， 即，由第二个方程得， 代入第一个方程得， 整理得，即， 令，则， 因为，，令，得或， 所以当或时，，单调递减， 当时，，单调递增， 故的极大值（也是最大值）， 当x无限趋向于正无穷大时，无限趋向于负无穷大，无限趋向于正无穷大， 所以无限趋向于负无穷大，当x无限趋向于负无穷大时， 无限趋向于0， 所以无限趋向于0且，所以时，， 即方程的解为，所以， 所以可以与轴相切，此时满足（）. 21. 对于数列，定义．设的前项和为． （1）设，写出； （2）证明：“对任意，有”的充要条件是“对任意，有”； （3）已知首项为0，项数为的数列满足：①对任意且，有；②．求所有满足条件的数列的个数． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）． 【解析】 【分析】（1）根据定义即可求解， （2）根据前项和为的定义可得，即可求证必要性，根据，利用求和即可求解充分性， （3）构造数列，则由，结合（2）的结论可得，对进行讨论，即可得解. 【小问1详解】 因为， 所以． 【小问2详解】 证明：必要性：对，有，因此， 对任意，且，有，两式作差，得， 即，因此， 综上，对任意，有． 充分性：若对任意，有，则， 所以， 综上，“对任意”，有”的充要条件是“对任意”，有”． 【小问3详解】 构造数列， 则对任意且，有，结合（2）知， ，又，因此， 设中有项为0， 则 ，即， 若，则与中有0项为0，即矛盾，不符题意， 若，则，所以当中有1项为0， 其余项为时，数列满足条件． 中有一项为0，共种取法，其余项每项有1或两种取法，所以满足条件的数列的个数为． 【点睛】方法点睛：给出与的递推关系，要求，常用思路是：一是利用转化为的递推关系，再求其通项公式；二是转化为的递推关系，先求出与之间的关系，再求．同时特别要注意验证的值是否满足“”的一般性通项公式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京师范大学亚太实验学校2025-2026学年第二学期 高三开学检测（数学） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置.） 1. 已知，则下列选项中正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 复数对应的点在复平面内的（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 2024年7月27日，在印度新德里召开的联合国教科文组织第46届世界遗产大会通过决议，将“北京中轴线——中国理想都城秩序的杰作”列入《世界遗产名录》．北京中轴线实际上不是正南正北的，它向西偏离了子午线约，下列各式与不相等的是（ ） A. B. C. D. 4. 若且，则下列不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆锥曲线的离心率为方程的根，则满足条件的m有几个不同的值（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 小王同学进行投篮练习，若他第1球投进，则第2球投进的概率为；若他第1球投不进，则第2球投进的概率为.若他第1球投进概率为，他第2球投进的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 一件刚出土的珍费文物要在博物馆大厅中央展出，需要设计各面是玻璃平面的无底正四棱柱将其罩住，罩内充满保护文物的无色气体．已知文物近似于塔形，高1.8米，体积为0.5立方米，其底部是直径为0.9米的圆（如图），要求文物底部与玻璃罩底边间隔0.3米，文物顶部与玻璃罩上底面间隔0.2米，气体每立方米1000元，则气体费用为（ ） A. 4500元 B. 4000元 C. 2880元 D. 2380元 8. 已知命题关于的不等式与的解集相同，命题：，则是成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 9. 某农贸市场出售西红柿，当价格上涨时，供给量相应增加，而需求量相应减少，具体调查结果如下表： 表1 市场供给表 单价（元/kg） 2 2.4 2.8 3.2 3.6 4 供给量（1000kg） 50 60 70 75 80 90 表2 市场需求表 单价（元/kg） 4 3.4 2.9 2.6 2.3 2 需求量（1000kg） 50 60 65 70 75 80 根据以上提供的信息，市场供需平衡点（即供给量和需求量相等时的单价）应在区间 A. 内 B. 内 C. 内 D. 内 10. 已知函数则下列结论错误的是（ ） A. 存在实数，使函数为奇函数； B. 对任意实数和，函数总存在零点； C. 对任意实数，函数既无最大值也无最小值； D. 对于任意给定的正实数，总存在实数，使函数在区间上单调递减. 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.） 11. 函数的定义域为__________. 12. 设，则______. 13. 设函数在上恰有两个零点，则__________. 14. 设函数f（x）=ex+ae−x（a为常数）．若f（x）为奇函数，则a=________；若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是___________． 15. 已知数列各项均为正整数，对任意的，和中有且仅有一个成立，且，．记．给出下列四个结论： ①可能为等差数列； ②中最大的项为； ③不存在最大值； ④的最小值为36． 其中所有正确结论的序号是________． 三、解答题（本大题共6小题，共85分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置.） 16. 在中，. （1）求的大小； （2）若，再从下列三个条件中选择一个作为已知，使存在，求的面积. 条件①：边上中线的长为； 条件②：； 条件③：. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 17. 如图，在梯形中，E是中点，，，，连接，将沿折起使A点至P点处，得四棱锥，且，点M为棱上的一点． （1）若O是的中点，求证：平面； （2）若直线与直线所成的角为，求的值； （3）若M是的中点，求二面角的正弦值． 18. 随着智能手表的普及，越来越多的学生使用其功能，为了了解学生使用智能手表功能的情况，现从某校随机抽取了300名学生，对使用 四种功能的情况统计如下: 功能种数 性别 0 种 1 种 2 种 3 种 4 种 男 18 52 42 28 10 女 12 58 48 22 10 在上述样本所有使用 3 种功能的人中，统计使用的人次如下: 功能 人次 37 40 35 38 假设不同学生使用智能手表功能的情况相互独立，用频率估计概率. （1）从该校随机选取一人，若已知该学生至少使用两种功能，估计该学生恰好使用三种功能的概率； （2）从该校使用三种功能的学生中，随机选出3人，记使用功能的人数为人，求的分布列和期望； （3）从该校男、女生中各随机选一人，记他们使用功能的种数分别为，试比较期望的估计值的大小 (结论不要求证明). 19. 椭圆分别为左右焦点，为坐标原点，直线过与椭圆交于两点，的周长为，的周长为. （1）求椭圆的方程； （2）过作直线交抛物线于点，求的取值范围. 20. 已知函数 . （1）若在取极小值，且，求的值; （2）当 时，恒成立，求最大值； （3）是否可以与轴相切? 若可以，求间关系式； 若不可以，说明理由. 21. 对于数列，定义．设的前项和为． （1）设，写出； （2）证明：“对任意，有”的充要条件是“对任意，有”； （3）已知首项为0，项数为的数列满足：①对任意且，有；②．求所有满足条件的数列的个数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $