5.2 第1课时 分式的基本性质与约分-【拔尖特训】2025-2026学年七年级下册数学（浙教版）

第5章分式 照批改 5.1分式的意义 ●“答案与解析”见P36 ☑基础进阶 幻素能攀升 1.(2025·杭州段考)下列代数式中，属于分式 7.(2024·杭州上城模拟)下列分式中，一定有 的是 意义的是 () A” 1 2 C.2m-n D. 2mn A. x2+2 B+1 2(2025·杭州拱墅段考)分式3看 x+2有意义的 b C. a"Ha D y-1 条件是 ) A.x≠2 B.x≠-2 8如果分式 的值为0，那么x,y应满足 C.x≠3 D.x=3 的条件是 () 3.(2024·杭州拱墅期中)某工厂有煤m吨，计 Ax=1,y≠2 划每天用煤α吨，实际每天节约用煤b吨，那 B.x≠1，y=-2 么这些煤可比原计划多用 C.x=1,y≠-2 份”天 D.x≠1，y=2 9.关于分式十m有下列说法： x-3 C(g四)天 D(g天 ①当x=-1,m=2时，分式有意答案讲解 4当a一1时，分式号干的俏为 义；②当x=3时，分式的值一定为0；③当 x=1,m=3时，分式没有意义；④当x=3 5若当=1时分式+ 一无意义，则a 且m≠3时，分式的值为0.其中，正确的有 () A.1个 B.2个 6已知分要号 C.3个 D.4个 (1)当x取何值时，分式无意义？ 10.小林家距离学校akm,平时骑自行车上学 (2)当x取何值时，分式的值为零？ 需要12min.若某天小林从家出发比平时晚 (3)当x=一1时，分式的值是多少？ 了b(b<12)min,为了按平时的时间准时到 校，则他的平均速度应为 km/min. 1.(2025·温州永嘉三模)若分式9 x+3的值为 0,则x的值为 12.在等式y=x2十m.x十n中，当x=1时，y= 2:当x=2时，y=3,则3m十2的值是 11m 96 第5章分式 13.某市对一段全长为1500米的路进行改造.物思维拓展 原计划每天修x米，为了尽量减少施工对城 16.新考法·阅读理解小红、小刚、小明三名同学 市交通所造成的影响，实际施工时，每天修 的路比原计划的2倍还多30米， 在讨论“当x取何整数时，分式3的值 x+1 (1)修这条路实际用了多少天？ 是整数”这一问题时，有如下对话， (2)若x=135,则实际修完这条路用了多 小红说：“这个分式的分子、分母中都含有 少天？ x,它们的值均随x值的变化而变化，有 点难.” 小刚说：“我会解这类问题，例如，当x取何 整数时，分式，子的值是整数？只要3是 x十1的整数倍即可，注意不要忘记负数哦！” 小明说：“可将分式与分数进行类比.本题可 以类比小学里学过的假分数，当分子大于分 母时，可以将假分数化为一个整数与真分数 14.给出下列三个整式：①x+5;②x一5； ③x2一36.利用三个整式中的两个或三个 的和的形式比如：名-3X+=2十月 写出一个分式，使得当x=5时，分式的值为 0,且当x=一6时，分式无意义. (通常写成带分数2》，类比分式，当分子 的次数大于或等于分母的次数时，可称这样 的分式为假分式，反之，称为真分式.若将 号化成一个整式与一个真分式的和的 形式，就转化成小刚说的那类问题了！” 小红、小刚说：“对！我们试试看！” (1)请解决小刚提出的问题， (2)请解决他们共同讨论的问题. 1-x2 15分式1+y)-x十的值能为零吗？请 说明理由 97平均速度立为12”bam/mim 11.3解析：根据题意，得x2-9=0 且x+3≠0，解得x=3, 12.0解析：把x=1,y=2和x=2, y=3分别代入等式y=x2+m.x十n, (1+m+n=2, m=-2, 得 解得{ 4+2m+n=3, n=3. m=一2，n=3时， 3m+2m 11m 3×(-2)+2×3 0 11×(-2) 13.(1)修这条路实际用了 天 (2)当x=135时，2x十30 1500 1500 2×135+30 =5, 所以实际修完这条路用了5天， 14答案不唯-，如 15.不能 理由：若分式的值为0，则1一x2=0, 解得x=1或x=一1. 当x=1时，(1+xy)2-(x+y)2= (1+y)2-(1+y)2=0: 当x=-1时，(1+xy)2-(x十y)2= (1-y)2-(-1+y)2=0, 所以不论x取1还是一1，原分式分 母的值都为零」 所以原分式的值不能为零 16.(1)当x+1=士1，士3时，分式 x十的值是整数， 3 所以x=0,-2,2,-4. 2)3x-2=36+）=5=3-,5 x+1 x+1 +1 当+1士1，士5时，分式号的 值为整数， 所以x=0,一2,4，-6. 5.2分式的基本性质 第1课时分式的基本性质 与约分 1.D2.D3.C4.D 5x-10 5.3.x+20 6.(1)原式=-20 62c 2)原式=品 (3)原式=(xa)2 1 (x-a)3 x-a (4)原式=+5)(z-5)-x+5 (x-5)2 x-51 7.A解析：若b=0,则2ub a (2a-b)b2 a2b2 不成立，故选项A不正确！ -是安，故选 6x2 项B正确由b可知，u≠0，则 。成立，枚选项C正确由可知， x≠0，则2 成立，故选项D xy y 正确 易错警示 运用分式的基本性质时出错 在运用分式的基本性质对分 式进行变形时，要注意分子和分母 同乘（或除以）的整式不等于零这 一条件 8.D 4(x+2) 9.B解析：原式=x十2)(x-2) 一2因为x为整数，分式的值也为 4 整数，所以x一2=一4或2或一1 或1或2或4，且x2-4≠0.所以x= 0或1或3或4或6.所以所有符合条 件的x的值有5个. 10.A解析：设玻璃瓶的底面积为 Scm,倒立放置时，没有墨水的部分 的体积为bScm3,正立放置时，有墨 水部分的体积是aScm3,所以瓶内墨 水的体积占玻璃瓶容积的S干s as a+b' 11.a≠2 解析：因为等式 37 8。产在以左到右的 (2a-3)x 变形过程中，分子和分母同除以同一 个整式2a一3，所以根据分式的基本 性质，得3一2a≠0，解得a≠之 3 3.x2-x-2 12. 5.x3-2.x+3 解析：分子中次数 最高的项为一3x2,分母中次数最高 的项为一5.x3,系数均为负数，所以分 子与分母都乘-1，可得3x-2 5x3-2x+31 13.x-y解析.612y+6y2 6.x-6y 6(x2-2.xy+y2)6(x-y)2 6(x-y) 6(x-y) x一y. 14.答案不唯一，如选a2一1作为分 子，a2一a作为分母，可得-1 a2-a (a+1)(a-1)a+1 a(a-1) a 当a=2时原式-2岁-是 15.由题意，得M=6+1D6-D b-1 b+1,N= (6-1)(b-1)(b+1)= (b-1)2 b+1. 所以器治号 1 16.由题意，得总路程=1十2W2, 所以小明下山所用的时间是 ut+2t2211+t2 40 8 17.原式 x(x+1)(x1)2 x(x-1)(x+1Dx-D1. 由此，可知只要x的值不取一1,0,1， 得到的结果都是1. 所以小明虽然抄错了x的值，但他的 计算结果是正确的， 18.因为左边= (a+b)(a2-ab+b2) (ata-b)La2-a(a-b)+(a-b)27 (a+b)(a2-ab+b2) (a+a-b)(a2-ab+b2) a+b a+(a-b)=右边， a3+b a十b 所以a4ab干a6是正 确的. 第2课时利用分式的基本性质 进行多项式的除法运算 1.D2.D3.B4. 3 5.(2.x-6) 6.(1)原式-4x十1十4x2 4x2-1 (2x+1)8 2x+1 (2x+1)(2x-1)2x-1 (2)原式= 9a3-ab2 9a+6a'bab= a(3a-b)(3a+b)_3a-b a(3a+b)2 3a+b (3)原式=m-n)2-2(n-m) (m-n)2+2(m-=m-n+2. m-2 a(a-b) 7.C解析：原式=(a十b)(a-b) 26 2十6当a=26时，原式=26+6 品子因为表示号的点在第③段。 36 所以表示山 4-b的值的点落在第 ③段 8.C解析：因为x一y=2xy,所以 2x-xy-2_(2x-2y)-xy 3x+xy-3y (3x-3y)-+xy 2(r-y)-xy 2X2xy-zy_ 3(x-y)+xy 3X2xy+xy 4xy-xy 3xy 3 9.A解析：因为x2+x一1=0，所以 x2=1一x.所以原式= x·x2+2x-1_x(1-x)+2x-1」 x2-x 1-x-x 3x-x2-1_3x-1-(1-x） 1-2x 1-2x 4x-221-2x2=-2. 1-2x 1-2x 10.B解析：由题意，得圆环的面积 为πX(4y)2-元x2=16xy2-元x2.因 为圆环的面积与长方形的面积相等， 长方形的宽为4y一x,所以长方形的 长为(16πy2-元x2)÷(4y-x)= 16πy2-元x2 π(16y2-x2) 4y-x 4y-x x(4y+x)(4y-x) 4y-x =π(4y+x). 11.①解析：因为(a2一4ab+ 46)÷(b-2a)=Q2-4b+46 b-2a (a-2b)2 b-2a ≠2a一b,所以①错误. 因为(m2-2m)÷(4-m2)= m2-2m m(m-2) 4-m2 (2+m)(2-m) m十2，所以②正确.因为[a(a 2)+1]÷[(a+1)2-4]=(a2-2a+ 1)÷[(a+12-4]=a2-2a+1 (a+1)2-4 (a-1)2 (a+1+2)(a+1-2) (a-1)2 a-1 a+3)(a-1D一+3，所以③正确. 综上所述，错误的为①. 12. 2025 解析：原式 1013 2(x2-y2)2(x十y)(x-y） x2+2.xy+y1 (x+y)2 2(x-卫.因为x十y=2026,x-y= x+y 2×20252025 2025,所以原式= 202610131 2x2-50 13.(1)原式= -x2-10x-25 2(x+5)(x-5)__ 2x-10 -(x+5)2 x+5 (2)原式=二12zy2-4ry 27x5y6-3.x3y8 -4x3y2(3.x+y) 3x3y(9.x2-y2) -4.x3y2(3x+y) 3.x3y°(3.x+y)(3.x-y) 一4 3y(3.x-y)3y5-9xy (3)原式=m(9m2-n2)÷(-81m4+ 18mn2-n)=m(9m2-n2) -(9m2-n2)2 9n2-n2· 38 14原式=a2-b+Q2-2b+6 a+b a-b (a+b)(a-b)(a-b)2 =a-b+ (a+b) a-b a-b=2a-2b. 当a合6=-2时原式=2X 1 2×(-2)=5. 15.(1)因为a-b=x-y=3, 所以a=3+b,x=3十y,y=x-3. 因为a.x+by=7, 所以(3+b)(3+y)+by=7. 所以3b+3y+2by=-2. 所以原式=y(3+b)+b(3+y)= 3y+3b+2by=-2. (2)原式=a(3+)+y=ax+by a(x-3)+bx ay+bx 77 2-2 16.)把x+上=5两边平方，得 2 (+)=a 所以x2+2+ 1=25. 所+-2 （②因为字， 所以-x1=1 x 4 所以x-1-1=1 =4 所以x-1-5 两边平方.得(-）广-需 所以x2-2+1=25 x216 所以产+ 因为十2+ 22 =x2+ 3+1 57 16 3 1= 16 16 所以x+x2+73 5.3分式的乘除 1.C2.D3.50