精品解析：四川省部分学校2026届高三下学期综合素质模拟预测数学试题

数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在复平面内，复数 对应的点为，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知等比数列满足，，则的公比为（ ） A. B. C. 2 D. 3 3. 设全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知， ，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知双曲线C：的右焦点为F，过点F作C的一条渐近线的平行线l，若l交C的另一条渐近线于点A，则 （O为坐标原点）的面积为（ ） A. B. 1 C. D. 2 6. 已知正方形ABCD的边长为2，点E在线段AC上，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数及其导函数的定义域均为R，且为偶函数，是减函数，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知正三棱柱的底面边长为6，高为，其顶点都在球O的球面上，则球心O到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 从某校高三年级随机抽取50名学生的数学模拟考试分数（满分150分）作为样本，整理得到样本的平均数，中位数，标准差，则下列说法正确的有（ ） A. 若将这50名学生的分数都加4，则新样本的平均数为109 B. 若将这50名学生的分数都加4，则新样本的标准差为10 C. 若去掉一个最高分和一个最低分，则新样本的中位数一定不变 D. 若去掉一个最高分和一个最低分，则新样本的平均数一定不变 10. 已知抛物线 的焦点为F，过点F的直线交C于A，B两点，点A在第一象限，过点A，B作C的准线l的垂线，垂足分别为，，则（ ） A. l的方程为 B. 为正三角形 C. D. 的面积为 11. 设数列，，，各项均为正整数，其所有项的和为S，该数列为单调不减数列，若对于任意正整数m，，m为数列中的某一项或若干项的和，则（ ） A. 可能为2 B. 当时，n的最小值为4 C. 当该数列为递增的等比数列时，其公比为2 D. 对任意的，都有 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 二项式的展开式的第2项的系数为_________. 13. 已知函数既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围为_________. 14. 设函数，若存在常数，使得对任意 ，有，则当取最小值时，在上的值域为_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求A； （2）若，，求AB边上中线的长. 16. 如图，四棱锥的底面是平行四边形，侧面 是正三角形，且 ． （1）求证：； （2）若， ，求与平面所成角的正弦值. 17. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）设且，若，求a的最小值. 18. 将一枚质地均匀的硬币重复抛掷，按如下规则从左至右依次生成一个由数字“1”和“0”组成的字符序列：若硬币正面朝上，则在当前序列的末尾添加一个字符“1”；若硬币反面朝上，则在当前序列的末尾添加两个连续的“0”，称这两个“0”中前一个为“前0”，后一个为“后0”．例如，抛掷5次硬币的结果依次是：正、反、正、正、反，那么得到的字符序列为1001100，共7个字符，此时从左向右第4个字符为1，第6个字符为0． （1）若抛掷3次硬币，记得到的字符序列中字符总数为 ，求； （2）对，记为从左向右第n个字符是“前0”的概率，为从左向右第n个字符是0的条件下，第n+1个字符是1的概率. （ⅰ）证明：为等比数列； （ⅱ）求的最大值. 19. 已知椭圆的离心率为，短轴长为2． （1）求椭圆的方程； （2）若动直线l与椭圆有且仅有一个公共点，过原点O作l的垂线，垂足为M，设点M的轨迹为E． （ⅰ）求轨迹E的方程； （ⅱ）以坐标原点O为公共端点作两条互相垂直的射线，，分别与E交于点P，Q，与椭圆交于点，，求以P，，Q，为顶点的四边形的面积的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在复平面内，复数 对应的点为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的几何意义及运算法则化简求解即可. 【详解】由题意知，，则. 故选：D. 2. 已知等比数列满足，，则的公比为（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【详解】等比数列满足，则 ，解得或 ，而， 当 时， ，与 矛盾；当时，， 所以数列的公比. 3. 设全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先解方程求出集合，再求其补集，最后与集合取交集. 【详解】对方程求解得或，因此集合； 已知全集，则； 而，则. 4. 已知， ，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】验证充分性：若，结合基本不等式，推导出；验证必要性：若，通过举反例，得不出. 【详解】由题意知， ，则可知， 当时，，即充分性成立； 取，满足， ，， 但是，即必要性不成立， 故“”是“”的充分不必要条件. 5. 已知双曲线C：的右焦点为F，过点F作C的一条渐近线的平行线l，若l交C的另一条渐近线于点A，则 （O为坐标原点）的面积为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】先求渐近线与直线 方程，再求交点坐标，最后求出三角形面积即可 【详解】已知双曲线，得，因此，即. 右焦点坐标为，原点. 双曲线渐近线方程为，不妨取平行于 的直线 ，斜率为， 得 的方程： .  直线 交另一条渐近线，联立方程：  解得，即.  底（在轴上），高为点纵坐标的绝对值， 因此面积： . 6. 已知正方形ABCD的边长为2，点E在线段AC上，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】在边长为2的正方形中，， 设，， 而，因此 ，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 7. 已知函数及其导函数的定义域均为R，且为偶函数，是减函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用复合函数求导法则求出 ，进而确定函数在上的单调性并比较大小. 【详解】由函数的定义域均为R，且为偶函数，得， 求导得，则 ，由是R上的减函数， 得当时，，因此函数在上单调递减， 所以. 8. 已知正三棱柱的底面边长为6，高为，其顶点都在球O的球面上，则球心O到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先建立空间直角坐标系，求出平面 的法向量，利用向量法计算球心到该平面的距离. 【详解】正三棱柱外接球的球心是上下底面正三角形中心连线的中点， 以点为原点，，为轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则球心的坐标为： 因为底面边长为，所以底面正三角形外接圆半径； 故 ，，， 所以 ，， 设平面 的法向量为，则由，即， 令，则，则是平面 的一个法向量. 又，因此球心到平面 的距离 . 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 从某校高三年级随机抽取50名学生的数学模拟考试分数（满分150分）作为样本，整理得到样本的平均数，中位数，标准差，则下列说法正确的有（ ） A. 若将这50名学生的分数都加4，则新样本的平均数为109 B. 若将这50名学生的分数都加4，则新样本的标准差为10 C. 若去掉一个最高分和一个最低分，则新样本的中位数一定不变 D. 若去掉一个最高分和一个最低分，则新样本的平均数一定不变 【答案】AC 【解析】 【分析】对于选项A，因为样本数据每个值都增加常数，根据平均数的变化规律，所以可直接推导新样本平均数；对于选项B，因为样本数据每个值都增加常数，根据标准差的公式，可判断新样本标准差的变化；对于选项C，因为中位数是将数据排序后中间位置的数值，50个数据的中位数是第25和26个数据的平均值，去掉一个最高分和最低分后剩余48个数据，中位数是第24和25个数据的平均值，所以需分析原第25、26个数据与新第24、25个数据的关系；对于选项D，结合平均数公式分析，可判断新样本平均数是否一定不变. 【详解】设这50名学生的分数从小到大为， 对于A，将这50名学生的分数都加4， 则新样本的平均数为，A正确； 对于B，将这50名学生的分数都加4，由A知新样本的平均数也加4， 则新样本的标准差 ，B错误； 对于C，原样本共50个数据，排序后中位数是第25个数和第26个数的平均值； 去掉1个最高分、1个最低分后，剩余48个数据，新中位数是新样本的第24个数和新第25个数的平均值， 这两个数恰好对应原排序的第25、26个数，因此中位数不变，C正确； 对于D，去掉一个最高分和一个最低分，则新样本的平均数为， 而，只有当时，， 当时，， 即去掉一个最高分和一个最低分，则新样本的平均数可能改变，D错误. 10. 已知抛物线 的焦点为F，过点F的直线交C于A，B两点，点A在第一象限，过点A，B作C的准线l的垂线，垂足分别为，，则（ ） A. l的方程为 B. 为正三角形 C. D. 的面积为 【答案】ABD 【解析】 【详解】抛物线 的焦点在直线上，则，解得， 对于A，抛物线 的准线l的方程为，A正确； 对于B，由，解得或，， ，为正三角形，B正确； 对于C，由选项B得，，，C错误； 对于D，点到直线的距离，，，D正确. 11. 设数列，，，各项均为正整数，其所有项的和为S，该数列为单调不减数列，若对于任意正整数m，，m为数列中的某一项或若干项的和，则（ ） A. 可能为2 B. 当时，n的最小值为4 C. 当该数列为递增的等比数列时，其公比为2 D. 对任意的，都有 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题中数列可表示不超过的任意正整数这一条件，逐一验证选项中关于首项、项数最小值、等比数列及项间不等式的结论是否成立. 【详解】选项A：若 ，根据定义，正整数，但数列各项均为正整数且，后续项均不小于2，无法用任何项或项的和表示，与条件矛盾，选项A 错误； 选项B：当时：为使能表示的正整数范围最大，数列应取，，， 此时可表示的最大数为故无法满足； 当时：数列取，其和为且取中若干项之和可表示到 的所有整数（二进制原理）， 因此满足条件，故的最小值为4，选项B 正确； 选项C：设数列首项为，公比为（ 且为正整数），数列单调递增， 由条件可知，必须能被表示，故，数列变为， 要表示，则 （若，无法表示），验证公比为2时，可通过项的和表示任意正整数，符合条件，选项C 正确； 选项D：记，假设， 由于数列单调递增，，则， 此时正整数，但无法用前 项的和表示（最大值为），也无法包含及后续项（均大于），与题设矛盾， 故假设不成立，即，选项D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 二项式的展开式的第2项的系数为_________. 【答案】 【解析】 【详解】展开式第2项为. 所以展开式的第2项的系数为. 13. 已知函数既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围为_________. 【答案】 【解析】 【分析】求出函数的导数，利用有两个不等的正根求出范围并验证即可. 【详解】函数的定义域为 ，求导得， 由函数既有极大值又有极小值，得方程有两个不等的正根， 则，解得，令是的两个正根， ，则，当或时，； 当时，，函数在处取得极大值，在处取得极小值，符合题意， 所以实数a的取值范围为. 14. 设函数，若存在常数，使得对任意 ，有，则当取最小值时，在上的值域为_________. 【答案】 【解析】 【分析】利用余弦函数的最大值求出，利用周期函数的性质求出函数的周期，并求出的最小值，再利用余弦函数性质求出值域. 【详解】函数，则，其最大值为2， 的最大值为，由，得 ， 因此对任意，有，，即函数的周期为4， 又函数的最小正周期为，于是，解得， 又，因此为正奇数， 则，，当时，， 当时，；当时，， 所以，在上的值域为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求A； （2）若，，求AB边上中线的长. 【答案】（1） （2）5 【解析】 【分析】（1）将已知三角等式通过内角和与二倍角公式转化为关于 的二次方程，求解角； （2）先利用正弦定理求出三角形各边长度，再通过余弦定理计算边上的中线长. 【小问1详解】 在中，，故. 由，得， 即， 即，(舍去，因). 由， ，得. 【小问2详解】 由，，得. . 由正弦定理得， 同理，. 设的中点为，则. 在中， ， 故，即边上的中线长为. 16. 如图，四棱锥的底面是平行四边形，侧面 是正三角形，且 ． （1）求证：； （2）若， ，求与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）连接和，通过线面垂直判定定理和等腰三角形三线合一求解. （2）通过三线合一、勾股定理证明，，两两垂直，建立空间直角坐标系，计算直线的方向向量和平面法向量，用线面夹角的公式计算求解. 【小问1详解】 取 中点，连接，， 因为是正三角形，所以， 因为底面是平行四边形，所以，已知 ，所以， 又，且，平面，所以平面， 因为 平面，所以， 在中，是 中点，且 ，所以是 的垂直平分线， 所以. 【小问2详解】 由，，为 中点， 得 ，， 设，则，， 在正中，， 又，在 中，，故， 以为原点，为轴，为轴，为 轴建立空间直角坐标系， ，，，，，， ，，， 设平面的法向量为， 则，令，得，，即， 设与平面所成角为 ，则， 所以与平面所成角的正弦值为. 17. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）设且，若，求a的最小值. 【答案】（1）当时，函数在R上单调递减；当时，函数在上单调递减，在上单调递增. （2）5. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，再按 分类讨论求出函数单调区间. （2）由（1）求出的最小值，进而建立不等式，利用导数确定函数单调性求解不等式. 【小问1详解】 函数的定义域为R， 求导得， 当时，，函数在R上单调递减； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数在R上单调递减； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 由（1）得，当时，， 由，得，整理得， 令，由，得 ，令函数， 求导得，函数在上单调递减， 而 ，则由，得 ，因此，解得 ，又， 所以的最小值为5. 18. 将一枚质地均匀的硬币重复抛掷，按如下规则从左至右依次生成一个由数字“1”和“0”组成的字符序列：若硬币正面朝上，则在当前序列的末尾添加一个字符“1”；若硬币反面朝上，则在当前序列的末尾添加两个连续的“0”，称这两个“0”中前一个为“前0”，后一个为“后0”．例如，抛掷5次硬币的结果依次是：正、反、正、正、反，那么得到的字符序列为1001100，共7个字符，此时从左向右第4个字符为1，第6个字符为0． （1）若抛掷3次硬币，记得到的字符序列中字符总数为 ，求； （2）对，记为从左向右第n个字符是“前0”的概率，为从左向右第n个字符是0的条件下，第n+1个字符是1的概率. （ⅰ）证明：为等比数列； （ⅱ）求的最大值. 【答案】（1）； （2）（ⅰ）若第个字符是“前0”，则第 个字符必须是“后0”， 若第个字符是“后0”或 “1”，则第 个字符是“前0”的概率为，是“1” 的概率为， 则有 ，即， 即 ， 第1个字符是“前0”的概率为，则， 则 是首项为，公比为的等比数列. （ⅱ）. 【解析】 【分析】（1）求出 的取值可能为 .分别求出 的取值的概率，利用期望的公式求出期望； （2）（ⅰ）通过题中条件得到 ，利用等比数列的定义得到证明；（ⅱ）为从左向右第个字符是0的条件下，第 个字符是1的概率，通过题意得到，利用等比数列的通项公式求出，求出，求出，求出，设，得到，设，利用导数法得到的单调性，结合的取值范围得到的最大值. 【小问1详解】 掷3次硬币，每次硬币正面朝上时添加1个字符，反面朝上时添加2个字符，所以 的取值可能为 . 当 时，即3次都是正面朝上，概率， 当 时，即2次正面朝上，1次反面朝上，从3次中选1次反面朝上，概率， 当 时，即1次正面朝上，2次反面朝上，从3次中选1次正面朝上，概率 ， 当 时，即3次都是反面朝上，概率， . 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）若第个字符是“0”，则第 个字符是“0”的概率为，是“1” 的概率为， 又第个字符是“前0”的概率为，第个字符是“后0”的概率为，则第个字符是0的概率为， 若保证第 个字符是1，则第个字符一定是“后0”，其概率为， 所以可得， 是首项为，公比为的等比数列， ，， ， ， ， 设，则 ， ， ， 设， ， 在定义域内是单调递增函数， 的最大值为，即当时，， 当时，的绝对值逐渐减小，逐渐趋近于， 故的最大值为. 19. 已知椭圆的离心率为，短轴长为2． （1）求椭圆的方程； （2）若动直线l与椭圆有且仅有一个公共点，过原点O作l的垂线，垂足为M，设点M的轨迹为E． （ⅰ）求轨迹E的方程； （ⅱ）以坐标原点O为公共端点作两条互相垂直的射线，，分别与E交于点P，Q，与椭圆交于点，，求以P，，Q，为顶点的四边形的面积的最大值. 【答案】（1） （2）（i）（ii） 【解析】 【分析】（1）根据短轴长求出，再由离心率得到与的关系，最后结合椭圆的基本关系式解出，从而确定椭圆方程； （2）（i）先设出直线方程并与椭圆联立，利用相切条件得到参数关系，再结合垂足在直线上且与直线垂直的条件，消去参数后得到轨迹方程，最后验证斜率不存在的情况；（ii）先设两互相垂直的射线斜率为与，分别求出四条线段长度的平方，利用发现的倒数关系表示四边形面积，再通过换元法转化为二次函数最大值，进而得到面积的最大值. 【小问1详解】 已知椭圆，离心率，短轴长， 由短轴长得 ，由离心率，得， 结合，得，解得 ， 因此，椭圆的方程为： . 【小问2详解】 （i）若动直线 的斜率存在，设其方程为， 联立直线与椭圆方程：，得， 直线与椭圆相切，故判别式，即，可得， 因为，所以直线的斜率为，设点的坐标为，则有：，即， 点也在直线 上，所以，即 代入， ， 整理得轨迹的方程：（当时，，，代入上式也成立）； 若动直线 的斜率不存在，切线方程为，过原点作垂线，垂线即轴，垂足的坐标为，满足， 综上，轨迹的方程：. （ii）点在轨迹上，将代入得： ，即，则， 同理可得， 点在椭圆上，代入得，即， 则，同理可得， 因为，四边形面积 因为，令，则， 因为与在时都是增函数，所以是增函数. 因为，令，则 ，， 则， 令，，则当时，即时，取得最大值， 最大值为，此时， . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $