1.3.4 导数的应用举例课件-2025-2026学年高二下学期数学湘教版选择性必修第二册

第1章 导数及其应用 1.3.4 导数的应用举例 你是否注意过，市场上有些小包装的物品一般比大包装的要贵一些？这是为什么呢？ 生活原理：小包装虽然容量小，但包装成本可能更高，加上超市上架费和运输成本，使得单价更高。对于饮料公司而言，饮料瓶大小会影响制造成本、运输成本以及最终售价，从而影响利润。 问题：饮料瓶的大小对饮料公司利润的有怎样的影响，是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？如何从数学上解释呢？ 将其转化为求函数的最值问题，导数是解决这类问题的有效工具． 例1 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料. 瓶子的制造成本是0.8πr2分，其中r(单位: cm)是瓶子的半径. 已知每出售1 mL的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为6 cm. (1) 瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大? (2) 瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小? 解： 例2 某企业要生产容积为 V m³的圆柱形密闭容器（如图1.3），已知该容器侧面耗材为1元/m²，上下底面的耗材为1.5元/m²．问：如何设计圆柱的高度h m和上下底面的半径 r m，使得费用最少? 问题1：请你用高度h和半径 r，表示制作容器的总费用C. 问题2：你能把上面的总费用C，用容积V和半径 r表示吗？ 问题3：如何求函数 的最小值？ 说一说：根据两个例题，你能总结用导数解决实际问题中的最值的方法步骤吗？ 利用导数解决实际生活中的有关最大（小）值问题，一般要先建立目标函数，然后将问题转化为运用导数研究函数最值的问题: 方法归纳 例3 江轮逆水上行 300 km，水速为v km/h，船在静水中的速度为x km/h 已知行船时每小时的耗油量为cx² L，即与船在静水中的速度的平方成正比．问：x 多大时，全程的耗油量 H(x)最小? 问题：如何用x表示全程的耗油量 H(x)？ （1）在实际生活中，为使经营利润最大，生产效率最高，或为使用力最省，用料最少，消耗最省等，寻求相应的最佳方案，这些都是优化问题 . （2）求实际问题的最大（小）值，导数是解决方法之一，要建立实际问题的 数学模型 ，写出实际问题中变量之间的函数关系，再利用导数研究函数的极值. 知识归纳 1.炼油厂某分厂将原油精炼为汽油,需对原油进行冷却和加热,如果第x小 时,原油温度(单位：℃)为f(x)=x3-x2+8(0≤x≤5),那么原油温度的瞬时变化 率的最小值是（ ） A.8 B. C.-1 D.-8 解：由题意得,f'(x)=x2-2x=(x-1)2-1, ∵0≤x≤5, ∴当x=1时,f'(x)取最小值,最小值为-1, 即原油温度的瞬时变化率的最小值是-1. C 解：由题意,知0<x<200, 利润为S(x)=(x-30)(200-x)=-x2+230x-6 000, S' (x)=-2x+230,令S'(x)=0,得x=115, 当0<x<115时,S'(x)>0,S(x)单调递增; 当115<x<200时,S'(x)<0,S(x)单调递减, 故当x=115时利润最大. 2.某商品一件的成本为30元,在某段时间内,若以每件x元出售,可卖出(200-x)件,则当利润最大时,每件商品的定价为（ ） A.105元 B.110元 C.115元 D.120元 C 解： 3.如图，用铁丝围成一个上面是半圆，下面是矩形的图形，其面积为a m2.为使所用 材料最省，圆的直径应为多少? 4.为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)=(0≤x≤10),若不建隔热层,每年能源消耗费用为8万元.设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和. (1)求k的值及f(x)的表达式; 解：由题设,每年能源消耗费用为C(x)=(0≤x≤10),再由C(0)=8,得k=40, 因此C(x)=.而建造费用为6x. 最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f(x)=20C(x)+6x=20×+6x=+6x(0≤x≤10). 与同学交流完成求解 15 (2)隔热层修建多厚时,总费用f(x)达到最小?并求出最小值. （2）f'(x)=6-,令f'(x)=0,即=6, 解得x=5或x=-(舍去). 当0<x<5时,f'(x)<0,f(x)单调递减, 当5<x<10时,f'(x)>0,f(x)单调递增, 故x=5是f(x)的极小值点,也是最小值点,对应的最小值为 f(5)=+6×5=70. 故当隔热层修建5 cm厚时,总费用达到最小,最小值为70万元. 16 求实际问题中的最大值或最小值时,一般是先设自变量、因变量,建立函数关系式,并确定其定义域,然后利用求函数最值的方法求解,注意结果与实际情况相结合. 用导数求解实际问题中的最大(小)值时,如果函数在开区间内只有一个极值点,那么依据实际意义,该极值点也就是最值点. 利用导数解决实际生活中的优化问题的思路 解决应用题需要以下几个环节：建模—解模—验模.在解模时，我们可以借助导数更加快捷地找到最优解，这就是生活中的优化问题. 本节课你学到了哪些知识与方法？ $