1.3.4 导数的应用举例-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套课件PPT（湘教版）

1.3.4 导数的应用举例 [教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学] 课时目标 1.体会导数与函数单调性、最大(小)值的关系. 2.掌握导数在实际问题中的应用. 3.感悟利用导数解决与不等式、函数零点有关的问题. CONTENTS 目录 1 2 3 题型(一)　用料最省、费用最低问题 题型(二) 利润最大、效率最高问题　 题型(三) 面积、容积的最值问题　 4 课时跟踪检测 题型(一)　用料最省、费用最低 问题 01 [例1]　如图，某工厂拟建一座平面图为矩形，且面积为200 m2的三级污水处理池，由于地形限制，长、宽都不能超过16 m，如果池外周壁建造单价为每米400元，中间两条隔墙建造单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元(池壁厚度忽略不计，且池无盖). (1)写出总造价y(元)与污水处理池长x(m)的函数关系式，并指出其定义域.       解：设长为x m，则宽为 m.据题意解得≤x≤16， y=×400+×248+16 000 =800x++16 000. (2)污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低?并求出最低总造价. 解：令y'=800-=0，解得x=18. 当x∈(0，18)时，函数y为减函数； 当x∈(18，+∞)时，函数y为增函数. 又∵≤x≤16.∴当x=16时，ymin=45 000. ∴当且仅当长为16 m、宽为12.5 m时，总造价y最低，为45 000元. |思|维|建|模| 　　实际生活中用料最省、费用最低、损耗最小、最节省时间等都需要利用导数求解相应函数的最小值，此时根据f'(x)=0求出极值点(注意根据实际意义舍去不合适的极值点)后，函数在该点附近满足左减右增，则此时唯一的极小值就是所求函数的最小值. 针对训练 1.已知A，B两地相距200千米，一只船从A地逆水航行到B地，水速为8千米/时，船在静水中的航行速度为v千米/时(8<v≤v0).若船每小时航行所需的燃料费与其在静水中的航行速度的平方成正比，当v=12(千米/时)时，船每小时航行所需的燃料费为720元.为了使全程燃料费最省，船的实际航行速度应为多少? 解：设船每小时航行所需的燃料费为y1元，比例系数为k(k>0)， 则y1=kv2. ∵当v=12时，y1=720，∴720=k·122，得k=5. 设全程燃料费为y元，由题意，得y=y1·=， ∴y'==. 令y'=0，解得v=0(舍去)或v=16. ∴当v0≥16时，v∈(8，16)，y'<0，即y单调递减； v∈(16，v0]，y'>0，即y单调递增， 故v=16(千米/时)时，y取得极小值，也是最小值，此时全程燃料费最省； 当v0<16时，v∈(8，v0]，y'<0，即y在(8，v0]上单调递减， 故当v=v0时，ymin=，此时全程燃料费最省. 综上可得，若v0≥16， 则当v=16(千米/时)时，全程燃料费最省，为32 000元； 若v0<16，则当v=v0时，全程燃料费最省，为元. 题型(二)　利润最大、效率最 高问题 02 [例2]　某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量x(单位：吨)与每吨产品的价格p(单位：元/吨)之间的关系式为：p=24 200-x2，且生产x吨的成本为：R=50 000+200x(单位：元).问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大?最大利润是多少? 解：依题意，每月生产x吨时的利润为 f(x)=x-(50 000+200x)=-x3+24 000x-50 000(x≥0). 由f'(x)=-x2+24 000，令f'(x)=0，解得x1=200，x2=-200(舍去). 因为f(x)在[0，+∞)内有意义，则有且只有当x=200时f'(x)=0，且它就是最大值点，最大值为f(200)=-×2003+24 000×200-50 000=3 150 000. 故每月生产200吨产品时利润达到最大，最大利润为315万元. |思|维|建|模| 　　实际生活中利润最大，效率最高，流量、流速最大等问题都需要利用导数求解相应函数的最大值，此时根据f'(x)=0求出极值点(注意根据实际意义舍弃不合适的极值点)，函数满足左增右减，此时唯一的极大值就是所求函数的最大值. 针对训练 2.某产品按质量分为10个档次，生产第1档次(即最低档次)的利润是每件8元，每提高一个档次，利润每件增加2元，但在一天内产量减少3件.在一天内，最低档次的产品可生产60件.问在一天内，生产第几档次的产品的总利润最大?最大利润是多少? 解：设在一天内，生产第x(1≤x≤10，x∈N+)档次的产品的总利润为y.依题意，得y=[8+2(x-1)][60-3(x-1)] =-6x2+108x+378(1≤x≤10，x∈N+)，y'=-12x+108， 令y'=-12x+108=0，解得x=9. 因为x=9符合题意，且y只有一个极值点，所以它是最值点，即在一天内，生产第9档次的产品的总利润最大，最大利润为864元. 题型(三)　面积、容积的最值问题 03 [例3]　请你设计一个包装盒.如图所示，四边形ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒.E，F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点.设AE=FB=x(cm). (1)若广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值? 解：设包装盒的高为h(cm)，底面边长为a(cm). 由已知得a=x，h==(30-x)，0<x<30. S=4ah=8x(30-x)=-8(x-15)2+1 800，所以当x=15时，S取得最大值. (2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值?并求出此时包装盒的高与底面边长的比值. 解：V=a2h=2(-x3+30x2)，V'=6x(20-x).由V'=0得x=0(舍)或x=20. 当x∈(0，20)时，V'>0；当x∈(20，30)时，V'<0. 所以当x=20时，V取得极大值，也是最大值. 此时=.即包装盒的高与底面边长的比值为. |思|维|建|模| 　　一般地，通过函数的极值来求得函数的最值.如果函数f(x)在给定区间内只有一个极值点或函数f(x)在开区间上只有一个点使f'(x)=0，则只需要根据实际意义判断该值是最大值还是最小值即可，不必再与端点处的函数值进行比较. 针对训练 3.如图，某小区拟在空地上建一个占地面积为2 400 m2的矩形休闲广场，按照设计要求，休闲广场中间有两个完全相同的矩形绿化区域，周边及绿化区域之间是道路(图中阴影部分)，道路的宽度均为2 m.怎样设计矩形休闲广场的长和宽，才能使绿化区域的总面积最大?并求出最大面积. 解：设休闲广场的长为x m，则宽为 m，绿化区域的总面积为 S(x) m2.则S(x)=(x-6)=2 424- =2 424-4，x∈(6，600). ∴S'(x)=-4=，令S'(x)<0，得60<x<600； 令S'(x)>0，得6<x<60. ∴S(x)在(6，60)上单调递增，在(60，600)上单调递减，∴当x=60时，S(x)取得极大值，也是最大值，∴S(x)max=S(60)=1 944. ∴当休闲广场的长为60 m，宽为40 m时， 绿化区域的总面积最大，最大面积为1 944 m2. 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2 1.某箱子的体积V与底面边长x的关系为V(x)=x2(0<x<60)，则当箱子的体积最大时，箱子的底面边长为(　　) A.30 B.40 C.50 D.55 √ 解析：由题意得V'(x)=-x2+60x=-x(x-40)，因为0<x<60，所以当0<x<40时，V'(x)>0，V(x)单调递增；当40<x<60时，V'(x)<0，V(x)单调递减.所以V(40)是V(x)的最大值，即当箱子的体积最大时，箱子的底面边长为40. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 2.现要做一个容积为256 m3的方底无盖水箱，所用材料最省时，它的高为 (　　) A.6 m B.8 m C.4 m D.2 m √ 解析：设水箱的底面边长为x m，高为h m，则有x2h=256， 所以h=.设所用材料的面积为S m2， 则有S=4x·h+x2=4x·+x2=+x2， 所以S'=2x-，令S'=0，得x=8，当x∈(0，8)时，S'<0， 当x∈(8，+∞)时，S'>0，即x=8时S取得最小值.因此当h==4， 即高为4 m时，所用材料最省. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 3.张师傅欲将一球形的石材工件削砍加工成一圆柱形的新工件.已知原球形工件的半径为R，则张师傅的材料利用率的最大值等于(　　) A. B. C. D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 解析：设圆柱形工件的高为h，底面半径为r，则圆柱形工件的体积为V(h)=πr2h=πh，则V'(h)=π，令V'(h)=0得h=R或- R(舍).当0<h<R时，V'(h)>0，当h>R时，V'(h)<0，所以当h=R时，圆柱的体积最大，最大值为π· R·= R3，所以材料利用率为=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 4.“如意金箍棒”是神话小说《西游记》中孙悟空所使用的兵器，大小可随意变化.假设其变化时形状始终保持为圆柱体，底面半径原为12 cm，且以1 cm/s等速率缩小，而长度以20 cm/s等速率增长.若“如意金箍棒”的底面半径从12 cm缩到4 cm的过程中，底面半径为10 cm时，体积最大，则其体积最小时底面半径为 (　　) A.7 cm B.6 cm C.5 cm D.4 cm √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 解析：设“如意金箍棒”变化前的长度为a cm，t s时的体积为V(t)，则V(t)=π(12-t)2(a+20t)，0≤t≤8.所以V'(t)=[-2(12-t)(a+20t)+20(12-t)2]π.令12-t=10，解得t=2，因为当底面半径为10 cm时，V(t)最大，所以V'(2)=0，得a=60.所以V(t)=20π(12-t)2(3+t)，0≤t≤8，V'(t)=60π(t-12) (t-2).当V'(t)>0，即t∈(0，2)时，V(t)单调递增；当V'(t)<0，即t∈(2，8)时，V(t)单调递减.因为V(0)=8 640π，V(8)=3 520π，所以当t=8时，V(t)有最小值3 520π，此时“如意金箍棒”的底面半径为4 cm. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 5.某厂生产x件产品的总成本为C万元，产品单价为P万元，且满足C=1 200+x3，P=，则总利润最大时，x=(　　) A.25 B.26 C.24 D.28 √ 解析：总利润L(x)=x·-1 200-x3=-x3+500-1 200(x>0)， 由L'(x)=-x2+=0，得x=25. 令L'(x)>0，得0<x<25，令L'(x)<0，得x>25.所以L(x)在(0，25)上单调递增，在(25，+∞)上单调递减，故当x=25时，总利润最大. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 6.[多选]已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产 1 000件需另投入2.7万元.设该公司一年内生产该品牌服装x千件并全部销售完，每千件的销售收入为R(x)万元，且R(x)=当该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大时，则有(　　) A.年产量为9 000件 B.年产量为10 000件 C.年利润最大值为38万元 D.年利润最大值为38.6万元 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 解析：设年利润为W.当0<x≤10时，W=xR(x)-(10+2.7x)=8.1x--10， W'=8.1-.令W'=0，得x=9(舍负)， 且当x∈(0，9)时，W'>0；当x∈(9，10]时，W'<0； 所以当x=9时，年利润W取得最大值38.6； 当x>10时，W=xR(x)-(10+2.7x)=98--2.7x，W'=-2.7. 令W'=0，得x=(舍负)，所以当x=时，年利润W取得最大值38. 因为38.6>38，所以当年产量为9 000件时， 该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大，且年利润最大值为38.6万元. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 7.(5分)做一个无盖的圆柱形水桶，若要使水桶的容积是27π，且用料最省，则水桶的底面半径为__________.  解析：不妨设该圆柱形水桶的底面半径为r，其高为h， 则由其容积为27π可得27π=πr2×h，即h=， 故该无盖圆柱形水桶的表面积S=πr2+2πrh=πr2+， 令y=πr2+(r>0)，则y'=，当0<r<3时，y'<0， 此时该函数单调递减，当r>3时，y'>0，该函数单调递增， 故当r=3时，y=πr2+(r>0)取得最小值，也即该水桶用料最省. 3 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 8.(5分)某银行准备设一种新的定期存款业务，经预测，存款额与存款利率的平方成正比，比例系数为k(k>0)，贷款的利率为4.8%，假设银行吸收的存款能全部放贷出去.若存款利率为x(x∈(0，4.8%))，则使银行获得最大收益的存款利率为___________.  解析：依题意知，存款额是kx2，银行应支付的存款利息是kx3，银行应获得的贷款利息是0.048kx2，所以银行的收益是y=0.048kx2-kx3(x∈ (0，4.8%))，故y'=0.096kx-3kx2，令y'=0，解得x=0.032或x=0(舍去)，当0<x<0.032时，y'>0，当0.032<x<0.048时，y'<0.因此，当x=0.032时，y取得极大值，也是最大值，即当存款利率为3.2%时，银行可获得最大收益. 3.2% 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 9.(5分)某中学开展劳动实习，学习加工制作模具，有一个模具的毛坯直观图如图所示，是由一个圆柱体与两个半球对接而成的组合体，其中圆柱体的底面半径为1，高为2，半球的半径为1.现要在该毛坯的内部挖出一个中空的圆柱形空间，该中空的圆柱形空间的上下底面与毛坯的圆柱体底面平行，挖出中空的圆柱形空间后模具制作完成，则该模具体积的最小值为________.  1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 解析：设中空圆柱的底面半径为r， 圆柱的高为2+h(0<h<2)，则r2+=1，r2=1-， ∴中空圆柱的体积V=πr2(2+h)=π(2+h). V'=-π，可得当h∈时，V'>0， 当h∈时，V'<0，则当h=时，V取得最大值为π， 又毛坯的体积为π×12×2+π×13=， ∴该模具体积的最小值为-π=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 10.(10分)将一条长为l的铁丝截成两段，分别弯成两个正方形，要使两个正方形的面积和最小，两段铁丝的长度分别是多少? 解：设一个正方形的边长为x，则另一个正方形的边长为-x， ∴两个正方形的面积和S=x2+=2x2-+，则S'=4x-， ∴x=时S'=0，故当0<x<时，S'<0，S单调递减； 当<x<时，S'>0，S单调递增； ∴当x=时，S的极小值也是最小值为，此时另一个正方形的边长也为.综上，当两段铁丝的长度都为时，它们的面积和最小. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 11.(15分)蒙古包是蒙古族牧民居住的一种房子，建造和搬迁都很方便，适于游牧生活.其结构如图所示，上部分是侧棱长为3的正六棱锥，下部分是高为1的正六棱柱，P，Q分别为正六棱柱上底面与下底面的中心. (1)若OP长为x，把蒙古包的体积V表示为x的函数；(7分) 解：正六边形的边长a=(0<x<3)，底面积S=6×a2×sin 60° =(9-x2)，于是V=V柱+V锥=(9-x2)+×(9-x2)x =-(x3+3x2-9x-27)，其中0<x<3. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 (2)求蒙古包体积的最大值.(8分) 解：∵V(x)=-(x3+3x2-9x-27)，0<x<3， ∴V'(x)=-(3x2+6x-9)=-(x2+2x-3)=-(x+3)(x-1)， 当x∈(0，1)时，V'(x)>0，V(x)单调递增， 当x∈(1，3)时，V'(x)<0，V(x)单调递减， 所以当x=1时，V(x)max=16. 综上，当x=1时，蒙古包体积最大，且最大体积为16. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 12.(15分)如图，工厂A到铁路专用线的距离AB=20 km，在铁路专用线上距离B 100 km的地方有一个配件厂C，现在准备在专用线的BC段选一处D铺设一条公路(向着A)，为了使得配件厂到工厂A的运费最省，那么D处应如何选址?(已知每千米的运费铁路是公路的60%) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 解：设BD=x，AD=，CD=100-x，设公路每千米的运费为a，则铁路每千米的运费为a，则配件厂到工厂A所需的总运费为y=a+a(100-x)(0≤x≤100)，y'=-a=. 令y'=0，即=0，得5=3，解得x1=15，x2=-15(不合题意，舍去).当0≤x<15时，y'<0；当15<x≤100时，y'>0，即当x=15时，函数y=a+a(100-x)取最小值. 故D处选在距点B处15 km时运费最省. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $