1.3.3 三次函数的性质：单调区间和极值课件-2025-2026学年高二下学期数学湘教版选择性必修第二册

第1章 导数及其应用 1.3.3 三次函数的性质： 单调区间和极值 若在区间(a，b)内， ，则函数 f (x) 在此区间内单调递增，(a，b)为 f (x) 的单调递增区间； 若在区间(a，b)内， ，则函数 f (x) 在此区间内单调递减，(a，b)为 f (x) 的单调递减区间． 1.函数的导数与函数的单调性的关系： f ′ (x) > 0 f ′ (x) < 0 正增,负减. （1）确定函数 f (x)的定义域． （2）求出函数的导数 f ′ (x) ． （3）在定义域内 解不等式 f′ (x)>0，得函数单增区间； 解不等式 f′ (x)<0，得函数单减区间． 2.利用导数确定函数的单调性步骤： o a x0 b x y x x0左侧 x0 x0右侧 f (x) f(x) o a x0 b x y x x0左侧 x0 x0右侧 f (x) f (x) 增 f (x) >0 f (x) =0 f (x) <0 极大值 减 f (x) <0 f (x) =0 增 减 极小值 f (x) >0 在x0两侧“左正右负”为极大，“右正左负”为极小 3.函数极值与导数的关系 4.求可导函数极值的一般步骤： 对于三次函数，如何确定它的单调性和极值呢？ （1）求导数 f ′ (x)． （2）求f (x)的驻点，即求方程f ′ (x)=0的解． （3）对于方程f ′ (x)=0的每一个解x0，分析f ′ (x)在x0左右两侧的符号 （即讨论f (x)的单调性），确定极值点： ①若f (x)在x0两侧的符号为“左正右负”，则x0为极大值点； ②若f (x)在x0两侧的符号为“左负右正”，则x0为极小值点． （4）求出各极值点的函数值，就得到函数 y = f (x)的全部极值． 5 转化为二次函数,研究二次函数在相应区间上的正、负,可以得到三次函数的单调性,进而确定函数的极值. 问题1：如何确定三次函数的单调性和极值呢? 求导 想一想1：对于一般的三次函数，如F(x)=ax3＋bx2＋cx＋d (a≠0)，如何求它的极值呢？ F ′ (x)=3ax2＋2bx＋c是二次函数．可能有以下三种情形： 情形1 函数F′ (x)没有零点，F′ (x)在(－∞，＋∞)上不变号，如图． （1）若a > 0，则F′ (x)恒为正，F(x)在(－∞，＋∞)上递增． （2）若a < 0，则F′ (x)恒为负，F(x)在(－∞，＋∞)上递减． 7 情形2 函数F′ (x)有一个零点x = w，如图． （1）若a > 0，则F′ (x)在(－∞，w)∪(w，＋∞)恒为正， F(x)在(－∞，＋∞)上递增． （2）若a < 0，则F′ (x)在(－∞，w)∪(w，＋∞)恒为负， F(x)在(－∞，＋∞)上递减． 8 情形3 函数F′ (x)有两个零点x = u和x = v，如图． （1）若a > 0，则F′ (x)在(－∞，u)和(v，＋∞)为正，在(u，v)为负， 对应地， F(x)在(－∞，u)上递增，在(u，v)上递减，在(v，＋∞)上递增． 由此可见F(x)在x = u处取得极大值，在x = v处取得极小值． 9 情形3 函数F′ (x)有两个零点x = u和x = v，如图． （2）若a < 0，则F′ (x)在(－∞，u)和(v，＋∞)为负，在(u，v)为正， 对应地， F(x)在(－∞，u)上递减，在(u，v)上递增，在(v，＋∞)上递减． 由此可见F(x)在x = u处取得极小值，在x = v处取得极大值． 10 单调函数没有极值 从图象上能得到直观的验证. 例1 求下列函数的单调区间和极值． （1）f (x) =x3－x2＋2x＋1； （2）h (x) =－2x3＋9x2－12x＋5． 与同学交流完成， 并画出图象验证结果是否正确. 11 （2）h (x) =－2x3＋9x2－12x＋5． x (－∞，1) 1 (1，2) 2 (2，＋∞) h′ (x) h (x) － 0 ＋ 0 － 递减↘ 极小值0 递增↗ 极大值1 递减↘ 12 以上结论，从图象上能得到直观的验证. 问题2：利用导数可以求出函数在某区间上的极值，如果要求函数在某区间上哪个值最大，哪个值最小．应该如何操作呢？ 说一说：如图是y=f(x)在闭区间[a,b]上的函数图象.显然f(x1),f(x3),f(x5)为极大值,f(x2),f(x4),f(x6)为极小值.你能找到函数的最大值和最小值吗? 最大值y=M=f(x3)=f(b)分别在x=x3 及x=b处取得, 最小值y=m=f(x4)在x=x4处取得. 显然，函数的最值是函数的整体性质,且要求函数是连续不断的,而最值不同于极值,如果有最大(小)值,则唯一存在. 想一想：结合下图，你认为开区间上的连续函数有最值吗? 容易发现,开区间上的连续函数不一定有最大值和最小值,若有最值,则一定是在极值点处取到. 在实际计算中，只要把函数y = f (x)的所有极值连同端点的函数值求出并进行比较，即可以求出函数在该闭区间上的最大值与最小值． 函数y = f (x)在[a，b]上的最值（最大值和最小值的统称）必在极值点或区间端点处取得． x f′ (x) f(x) 例2 求函数 在区间[－2，1]的最大值和最小值． 递增↗ 递减↘ 递增↗ ＋ 0 － 0 ＋ 方法一： 你准备如何求解？ 与同学的思路是否相同. 18 把函数y=f(x)的所有极值连同端点的函数值进行比较： 方法二： 19 求函数y = f (x)在闭区间[a，b]上最值的一般步骤： 方法归纳 (1)求函数y=f(x)在(a,b)内的极值; (2)求函数y=f(x)在端点处的函数值f(a),f(b).（不在定义域内的要舍去）; (3)将函数y=f(x)的各极值与f(a),f(b)比较,其中最大者是最大值,最小者是最小值. 20 1.如图所示,函数f(x)的导函数的图象是一条直线,则（ ） A.函数f(x)没有最大值,也没有最小值 B.函数f(x)有最大值,没有最小值 C.函数f(x)没有最大值,有最小值 D.函数f(x)有最大值,也有最小值 C 解：由导函数图象可知,函数f(x)只有一个极小值点1,即f(x)在x=1处取得最小值,没有最大值. 解：f'(x)=x2-4, 由f'(x)>0,得x<-2或x>2; 由f'(x)<0,得-2<x<2. 又x∈[0,3], 所以f(x)在[0,2)上单调递减,在(2,3]上单调递增, 所以f(x)min=f(2)=-8+3=-. 2.函数f(x)=x3-4x+3在[0,3]上的最小值为（ ） A.- B.- C.0 D.3 A 3.求函数 只有一个零点，求实数a的取值范围． 1.知识清单： (1)三次函数的性质：单调区间、最值、极值. (2)求三次函数的极值、最值的步骤方法. 2.方法归纳：转化化归、数形结合、分类讨论. 3.常见误区：忽视函数的最值与极值的区别与联系. 本节课你学到了哪些知识与方法？ 注意： (1)开区间上的函数不一定有最值,闭区间上的连续函数一定有最值. (2)函数f(x)在闭区间[a,b]上连续是f(x)在闭区间[a,b]上有最大值和最小值的充分而不必要条件. $