专题1.3.3 三次函数的性质：单调区间和极值（高效培优讲义）高二数学湘教版选择性必修第二册

专题1.3.3 三次函数的性质：单调区间和极值 教学目标 1.明确三次函数的定义，知晓三次函数的导函数为二次函数的基本特征。 2.熟练掌握利用导数求三次函数单调区间的步骤和方法，能根据导函数的符号判断三次函数的单调性。 3.理解三次函数极值的概念，掌握极值的求解方法，能准确求出三次函数的极大值和极小值。 4.能结合二次函数的零点分布，分析三次函数单调性与极值的关联，解决简单的三次函数单调性、极值相关问题。 教学重难点 1.重点： （1）利用导数的符号判定三次函数的单调区间，掌握求三次函数单调区间的规范步骤。 （2）理解三次函数极值的判定条件，熟练求出三次函数的极值。 （3）建立三次函数的导函数（二次函数）的零点、符号与原函数单调性、极值的对应关系。 2.难点： （1）根据导函数（二次函数）的判别式进行分类讨论，分析三次函数在Δ>0、Δ=0、Δ<0三种情况下的单调性和极值情况。 （2）理解 “导函数的零点不一定是原函数的极值点”，能准确判断三次函数导函数零点是否为极值点。 （3）运用分类讨论和数形结合思想，解决含参数的三次函数的单调性、极值问题。 知识点01 三次函数的单调性与极值 1.三次函数的单调性与极值 （1）情形 1 函数F′(x)没有零点： F′(x)在(−∞,+∞)上不变号， （2）情形 2 函数F′(x)有一个零点x=w： （3） 情形 3 函数F′(x)有两个零点x=u和x=v，设u<v，根据二次函数的性质可得： 2.闭区间上函数的最值 （1）一般地，如果在闭区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么该函数在[a,b]上必有最大值和最小值。 （2）求函数y=f(x)在区间[a,b]上的最值的步骤为： ①求函数y=f(x)在(a,b)内的极值； ②求函数y=f(x)在端点处的函数值f(a),f(b)； ③将函数y=f(x)的各极值与f(a),f(b)比较，其中最大者是最大值，最小者是最小值。 【即学即练】（24-25高二下·河南洛阳·期末）函数的图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】函数与导函数图象之间的关系 【分析】先求解出，再根据的图象分析的取值情况，由此判断出结果. 【详解】因为，所以， 由图象可知：先增后减再增，所以先为正，再为负，最后又为正，所以， 因为为的两个极值点，且，所以，所以， 又因为，所以. 由结合图象可知的一正一负两根中，正根的绝对值大于负根的绝对值， 故两根之和大于0，即. 由可知. 综上可知：，，，. 故选：C. 题型01 利用导数求三次函数的单调区间 【典例1】（24-25高二下·山东菏泽·期末）已知函数． (1)若在点处的切线方程为，求的值； (2)求的单调区间． 【答案】(1) (2)答案见解析 【知识点】已知切线（斜率）求参数、导数的运算法则、用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】（1）把点代入构建关于的方程，求解得到的值，对求导，将代入导函数得切线斜率，再把点和代入切线方程求，即可得的值； （2）对求导并因式分解，令导函数为0，得到两根和，分、、三种情况，根据导函数正负判断的单调区间． 【详解】（1）因为，所以， 因为过点，所以解得， 又因为，在点处的切线方程为， 所以，， 所以. （2）因为，令， 解得，， ①当即时， 当时，，为增函数， 当时，，为减函数， 当时，，为增函数； ②当即时，， 在上为增函数； ③当即时， 当时，，为增函数； 当时，，为减函数； 当时，，为增函数； 综上：当时，的单调递增区间为和，递减区间为； 当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递增区间为和，递减区间为. 【变式1-1】（24-25高二下·福建莆田·期末）函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】求导，即可求解. 【详解】由，得， 令，解得， 所以函数的单调递减区间为. 故选：B. 【变式1-2】（多选）（2025高二·全国·专题练习）（多选）已知函数，则其单调递减区间可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】先求函数定义域，求导，令导数小于，得到函数递减区间，看选项是否符合即可. 【详解】函数的定义域为， 对求导得：，令得且, 即函数在和内单调递减. 对A、B、C、D选项，只有C、D选项符合条件， 故选：CD 【变式1-3】（2024高三·全国·专题练习）设函数,求的单调区间. 【答案】答案见解析 【知识点】利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】先求导，根据判别式的正负讨论参数范围，最后求出单调区间. 【详解】， ， 若，则， 则恒成立，此时在上单调递增. 当或,由解得， 当时，列表如下： 当时，列表如下： 综上, 当时,在递减，在递增，在递减； 当时，在上单调递增； 当时，在递增，在递减，在递增. 题型02 根据三次函数的单调性求参数 【典例2】（25-26高二上·河北沧州·期末）已知函数在定义域上不是单调函数，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数 【分析】分析可知导函数的函数值既有正值又有负值，结合判别式运算求解即可. 【详解】因为， 若函数在定义域上不是单调函数， 可知导函数的函数值既有正值又有负值，则，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 【变式2-1】（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）函数在上单调递增的必要不充分条件为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】必要条件、由函数在区间上的单调性求参数 【分析】由函数在上单调递增，则在上恒成立，再根据二次函数恒成立的等价条件求解即可. 【详解】由函数在上单调递增，得在上恒成立， 则，解得， 因此A是充分条件，B是充要条件，C是既不充分也不必要条件，D是必要不充分条件. 故选：D 【变式2-2】（24-25高二下·北京大兴·期末）已知函数在定义域上不是单调函数，则实数不可能是（   ） A．0 B． C．1 D． 【答案】C 【知识点】根据函数的单调性求参数值、由函数在区间上的单调性求参数、已知二次函数单调区间求参数值或范围 【分析】先求导根据原函数的单调性确定导函数的正负情况结合二次函数图象的性质确定即可求出的取值范围. 【详解】对函数求导得：， 因为函数在定义域上不是单调函数，所以导函数的函数值既有正值又有负值， 故，即，所以，所以实数不可能是. 故选：C 【变式2-3】（24-25高二下·新疆喀什·期末）若函数在R上单调递增，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数 【分析】由题意可知，对任意的，，可得出，即可解得实数的取值范围. 【详解】因为，所以， 由于函数在R上单调递增，对任意的，， 所以，解得， 故实数的取值范围是. 故答案为：. 题型03 根据三次函数的单调区间求参数 【典例3】（24-25高二下·广东东莞·期末）已知函数，若在上单调递增，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、根据函数的单调性求参数值 【分析】在上单调递增转化为在上恒成立，即，令借助导数求出最小值，即得答案. 【详解】， 因为在上单调递增， 所以在上恒成立， 即在上恒成立，即， 设，，则， 令，则或（舍）， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以当时，有最小值，最小值为， 所以， 故答案为：. 【变式3-1】（2025·吉林松原·模拟预测）若函数的减区间为，则的值为（    ） A．3 B．1 C． D． 【答案】A 【知识点】由函数的单调区间求参数 【分析】根据题意，求得，结合的解集为，列出方程组，即可求解. 【详解】由函数，可得， 因为函数的减区间为，即不等式的解集为， 所以，且，解得， 所以且，解得. 故选：A. 【变式3-2】（24-25高二下·吉林·期末）已知函数，若函数在上单调递减，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数 【分析】求出函数的导函数，由已知可得，在上恒成立，方法一：只需，计算即可求实数的范围；方法二：分离变量后利用函数的单调性求实数的范围. 【详解】解法一，因为在上单调递减， 所以在上恒成立． 所以，即，解得， 即实数的取值范围为． 解法二，由题意知在上恒成立， 所以在上恒成立． 记，当时， （由对勾函数的单调性可得），所以， 即实数的取值范围为． 【变式3-3】（24-25高二下·上海黄浦·月考）若在上单调递增，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】由函数的单调区间求参数 【分析】求得导函数，根据导函数在给定区间上大于等于0恒成立，求得的取值范围. 【详解】∵，∴，     ∵函数在区间上单调递增， ∴在区间上恒成立， 由于在区间上单调递增， ∴必须且只需 解得， 故答案为：. 题型04 三次函数的极值问题 【典例4】（24-25高二下·上海静安·期中）已知函数． (1)当时，直线过点与曲线有且仅有1个公共点，求直线的方程． (2)若函数在处有极值，求函数的极值． 【答案】(1)、、； (2)极大值为；极小值为. 【知识点】根据极值点求参数、求抛物线的切线方程、求已知函数的极值 【分析】（1）分两种情况讨论，直线斜率不存在和斜率存在，斜率不存在时写出直线方程再检验，斜率存在时联立方程组，解即可； （2）先求导，解得出的值，再求导研究的单调性即可求极值. 【详解】（1）当时，， 当直线斜率不存在时，与曲线有且仅有1个公共点，符合题意； 当直线斜率存在时，设， 联立，得， 因直线与曲线有且仅有1个公共点， 则，得或， 则直线的方程为：或 综上，符合条件的直线方程为、、. （2）由，得， 因函数在处有极值，则，得， 则，， 则得或；得， 则在上单调递增，在上单调递减， 则极大值为，极小值为． 【变式4-1】（24-25高二上·江苏连云港·期末）已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)求函数的极大值与极小值. 【答案】(1)增区间为和，减区间为 (2)极大值为，极小值为 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、求已知函数的极值 【分析】（1）根据题意，求得，结合和的解集，即可得到函数的单调区间； （2）由（1）中，函数的单调性，列表，求得函数的极值. 【详解】（1）由函数，可得， 令，可得或；令，可得， 则函数的增区间为和，减区间为. （2）解：由（1）可得 + 0 0 ↑ 极大值 ↓ 极小值 ↑ 所以函数的极大值为，极小值为. 【变式4-2】（25-26高二上·广东·期末）已知函数，（）. (1)当时，求函数的单调区间； (2)若函数在区间内有极值，求a的取值范围. 【答案】(1)在上单调递增，无单调递减区间. (2) 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、根据极值求参数 【分析】（1）先对进行求导，然后根据导数的正负来确定函数的单调区间； （2）先对进行求导，将函数在区间内有极值转化为二次函数在区间上有变号零点即可求出. 【详解】（1）当时，函数，则， 恒成立，当且仅当时，， 在上单调递增，无单调递减区间. （2）已知函数，， 令，对称轴， 函数在区间内有极值，则在区间内有变号零点， 则或，解得， 故a的取值范围为. 【变式4-3】（24-25高二下·江苏常州·期末）已知函数. (1)若在其定义域内单调递减，求实数的取值范围； (2)是否存在实数，使得函数为偶函数？若存在，求的值，若不存在，说明理由； (3)函数在区间上有且仅有一个极值点，求正数的取值范围. 【答案】(1) (2)存在； (3) 【知识点】根据极值点求参数、由奇偶性求参数、由函数在区间上的单调性求参数 【分析】（1）由导数小于零恒成立结合二次函数的性质可得； （2）由偶函数的性质比较系数可得； （3）换元令，求导后转化为在有且仅有一个变号零点，结合端点效应分析. 【详解】（1），则， 因为在其定义域内单调递减，所以恒成立， 结合二次函数的性质，开口向下，令可得. （2）设存在， 则，即， 代入展开可得， 比较的系数可得，即， 验证其它项也满足，故. （3） ， 令，因为，所以， 则原函数可变为，则， 因为函数在区间上有且仅有一个极值点， 所以在上有且仅有一个极值点，即在有且仅有一个变号零点， ，， 所以， 所以正数的取值范围为. 题型05 求三次函数的最值 【典例5】（24-25高二下·河南信阳·期中）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间； (3)求函数在区间上的最大值与最小值． 【答案】(1) (2)单调递增区间为，单调递减区间为 (3)最大值为3，最小值为. 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数求函数的单调区间（不含参）、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）求，再利用点斜式即可； （2）解不等式，即可得出单调区间； （3）利用第（2）问的单调性即可求出最值. 【详解】（1）由题意得，则， 又，则切线方程为，即， 即曲线在点处的切线方程为． （2）由（1）知， 令，得或，令，得3， 则函数的单调递增区间为，单调递减区间为. （3）由（2）可知，在，上单调递增，在上单调递减， 因， 则在上的最大值为，最小值为. 【变式5-1】（24-25高二下·江苏镇江·期末）已知函数在点处的切线方程为． (1)求实数a，b的值： (2)求函数在上的最大值． 【答案】(1) (2)最大值为19 【知识点】已知切线（斜率）求参数、求已知函数的极值、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】（1）利用导数的几何意义可得，同时点在切线上，即，联立方程即可求解. （2）利用导数判断在上的单调性，先求出极大值，再求出端点值，比较后得到最大值即可. 【详解】（1）， 且，解得. （2）由（1）得，， 令，解得， 当或时，，当时，， 所以在和单调递增，在单调递减； 所以时，取到极大值，极大值为， 又， 所以函数在上的最大值为19. 【变式5-2】（24-25高二下·重庆南岸·期中）已知函数在处取得极值． (1)求实数a，b的值； (2)求在区间上的最大值和最小值． 【答案】(1) (2)最大值为59，最小值为 【知识点】根据极值求参数、由导数求函数的最值（不含参）、根据极值点求参数 【分析】（1）求出函数的导数，根据和，求出，的值； （2）利用导数判断函数的在上的单调性，求出最值. 【详解】（1），则， 因函数在处取得极值， 则，得， 经检验，符合题意； （2）由（1）可知，， 得或，得， 所以在和上单调递增，在上单调递减， 故在处取得极大值，在处取得极小值， ，，，， 则在区间上的最大值为59和最小值. 【变式5-3】（24-25高二下·北京通州·期中）已知函数，若是的极值点. (1)求实数的值及函数的单调区间； (2)求函数在上的最大值与最小值. 【答案】(1)，单调递增区间是和，单调减区间是 (2)最小值为，最大值为. 【知识点】根据极值点求参数、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】（1）利用求出，再解不等式、即可得出单调区间； （2）根据（1）求出的单调性即可求出. 【详解】（1）由题意可得， 因为时，函数取得极值，所以，解得， 所以，， 由，得或；由，得， 所以函数的单调递增区间是和，单调减区间是， 则在处取极小值，符合题意. 故符合条件. （2）由（1）知：函数在单调递减，单调递增， 因，， 所以函数在区间上的最小值为，最大值为. 题型06 根据三次函数的最值情况求参数 【典例6】（24-25高二下·北京东城·期末）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的极值； (3)若函数在上存在最小值，求的取值范围 【答案】(1)； (2)极大值为，极小值为； (3) 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、用导数判断或证明已知函数的单调性、求已知函数的极值、已知函数最值求参数 【分析】（1）计算出，求导，得到，利用导数的几何意义求出切线方程； （2）求导，得到函数单调性，进而求出极值情况； （3）由（2）得到函数单调性，结合，得到的取值范围. 【详解】（1）， ， 故， 故在点处的切线方程为， 即； （2）令，得或， 令得， 故在上单调递增，在上单调递减， 故在处取得极大值，在处取得极小值， 极大值为，极小值为； （3）由（2）知，在上单调递增，在上单调递减， 且， 要想在上存在最小值，故 【变式6-1】（24-25高二下·安徽安庆·期末）已知函数在处的切线与直线平行，且在区间内存在最小值，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】已知切线（斜率）求参数、用导数判断或证明已知函数的单调性、求已知函数的极值、已知函数最值求参数 【分析】求导，利用导数几何意义得到方程，求出，进而得到函数单调性，在处取得极小值，且计算出，要想在区间上存在最小值，需满足，从而得到答案. 【详解】，由题意得，解得， ，， 令得或，令得， 故在上单调递减，在，上单调递增， 所以在处取得极小值， 又，令， 即，变形得到，即， 故或，即， 要想在区间上存在最小值，需满足， 解得. 故选：C 【变式6-2】（24-25高二下·上海·月考）已知函数在区间上有最大值，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知函数最值求参数 【分析】求导研究函数的单调性，结合即可得出范围. 【详解】由得， 则得或；得， 则在和上单调递增，在上单调递减， 又， 则在区间上有最大值时有，， 得， 则实数的取值范围是. 故选：B 【变式6-3】（多选）（24-25高二下·四川成都·期中）已知函数，下列说法正确的是（     ） A．函数的图象是中心对称图形 B．有两个零点 C．过点只能做一条直线与相切 D．在上最大值为2，则 【答案】AD 【知识点】利用导数研究函数的零点、由导数求函数的最值（不含参）、用导数判断或证明已知函数的单调性、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】根据三次函数对称中心求法可得关于成中心对称，即A正确，再利用导函数求得其单调性画出图象可知B错误，利用导数的几何意义设出切点坐标解方程可知过点能做两条切线，即C错误，结合其图象可求得当在上最大值为2时，即D正确. 【详解】对于A，易知，则， 令，可知，又， 所以函数的图象关于成中心对称，即A正确； 对于B，令，解得或， 因此当时，，即在上单调递增， 当时，，即在上单调递减； 当时，，即在上单调递增； 因此在处取得极小值，在处取得极小大值； 画出函数图象如下图所示： 由图易知有三个零点，即B错误； 对于C，设过点与相切的切点坐标为； 易知切线斜率为， 此时切线方程为，即； 将点代入切线可得， 即，解得或； 因此过点能做两条直线与相切，即C错误； 对于D，由B选项分析可知在上的最大值为2， 又，因此当时，在上最大值为2，即D正确. 故选：AD 题型07 三次函数的零点问题 【典例7】（24-25高二下·浙江杭州·月考）已知函数， (1)当时，求的对称中心； (2)证明：有唯一零点 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【知识点】利用导数研究函数的零点、零点存在性定理的应用、判断或证明函数的对称性 【分析】（1）设对称中心为，利用中心对称则公式即可求对称中心； （2）由得到，设，求出的单调性，结合零点存在定理即可判断. 【详解】（1）当时，， 设的对称中心为， 则， 所以， 整理得， 所以，解得， 所以的对称中心为 （2）由于，所以等价于， 设，则， 仅当时，因此在单调递增， 即至多有一个零点，从而至多有一个零点 又因为，， 故在内存在零点， 综上所述，可知有唯一零点 【变式7-1】（24-25高二下·江苏苏州·期末）函数的零点个数为 ． 【答案】2 【知识点】利用导数研究函数的零点、求函数零点或方程根的个数 【分析】当时，利用导数研究其单调性得，即函数只有一个零点1，当时，利用导数法得函数在上单调递增，由零点存在性定理可知有一个零点，即可得解. 【详解】， 当时，，则， 当时，，即函数单调递增， 当时，，即函数单调递减， 又，所以函数只有一个零点1， 当时，，则， 故函数在上单调递增，又，，所以由零点存在性定理可知，函数在上有一个零点， 所以函数的零点个数为2. 故答案为：2 【变式7-2】（24-25高二下·北京海淀·期末）已知函数在区间上没有零点，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、利用导数研究函数的零点 【分析】本题可以求并讨论其在上的正负，根据在上的单调性判断函数的值域，从而求出在上没有零点时的取值范围. 【详解】由题得，令，即， 解得或. 根据与大小进行分类讨论如下： (1)当，即时，在区间上，， 所以在上单调递增，又，所以在上没有零点，满足条件； (2)当，即时，在区间上，，即单调递减， 在上，，即单调递增， 所以在处取得极小值，也即是区间上的最小值. 因为在上没有零点，所以， 又，于是， 解得，结合，此时. 综上所述. 故答案为：. 【变式7-3】（24-25高二下·四川·期末）已知三次项为且不含常数项的三次函数的两个极值点分别为和3． (1)求的解析式； (2)若直线与曲线有且仅有两个公共点，求的值． 【答案】(1) (2)或 【知识点】根据极值点求参数、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）由题设，由韦达定理可得，然后由导数运算法则可得答案； （2）由（1）可得有2根，设，随后由极大值等于0，极小值小于0或极大值大于0，极小值等于0可得答案. 【详解】（1）由题设，则. 由题意，得和3是关于的方程的两根， 由韦达定理，得，解得， 此时． 当时，；当时，；当时，， 所以在和上单调递增，在上单调递减， 所以是的极大值点，是的极小值点，符合题意． 综上，． （2）直线与曲线有且仅有两个公共点，等价于关于的方程仅有两个实根， 即关于的方程仅有两个实根． 设，则． 当时，；当时，；当时，， 所以在和上单调递增，在上单调递减， 所以是的极大值点，是的极小值点， 且，． 根据题意，得或， 解得或． 题型08 三次函数性质的综合问题 【典例8】（25-26高二上·全国·单元测试）已知为正实数，函数． (1)当时，讨论的单调性； (2)若函数有且仅有2个零点，求的值； (3)当时，函数的最小值为0，求的取值范围． 【答案】(1)在上单调递增，在上单调递减 (2)或3． (3)． 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、已知函数最值求参数、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）求出导函数，解不等式即可求解单调区间. （2）求出导函数，按照和和分类讨论，利用函数的单调性结合零点个数求解即可. （3）求出导函数，按照和和分类讨论，判断函数的单调性，利用最小值列不等式求解即可. 【详解】（1）当时，，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减． （2）． ①当时，在上单调递增， 只有一个零点，则不成立． ②当时，令，则或，且． 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增． 函数有且仅有2个零点，且， 所以，即，解得． ③当时，令，则或，且． 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增． 函数有且仅有2个零点，且，所以，即，解得． 综上所述，的值为或3． （3）由（2）可知： ①当时，在上单调递增，则，故成立． ②当时，分为如下两种情况， 当时，在上单调递增，在上单调递减，则，即，可得，故； 当时，在上单调递增，在上单调递减， 则，即，可得，故． ③当时，在上单调递增，在上单调递减， 则，即，可得，所以． 综上可得，的取值范围为． 【变式8-1】（24-25高二上·广东深圳·期末）已知函数. (1)求函数的单调区间和极值； (2)若对恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)增区间为，，减区间为，极大值为，极小值为 (2) 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、求已知函数的极值、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）求导，根据导数判断函数单调性； （2）根据函数单调性可得函数的最值，即可得参数范围. 【详解】（1）由已知，则， 令，解得或， 则 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 即函数的单调递增区间为，，单调递减区间为， 函数的极大值为，极小值为； （2）由（1）得函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 又，， 所以当时，的最小值为， 即，解得， 即实数的取值范围是. 【变式8-2】（24-25高二下·北京东城·期末）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求在区间上的最大值与最小值； (3)求证：在轴右侧（不含轴），除切点之外，曲线在（1）中切线的上方． 【答案】(1) (2)最大值为181，最小值为-27. (3)证明见解析 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数证明不等式、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）对函数求导，求出切线的斜率，利用导数几何意义得到切线的方程. （2）对函数求导，判断函数在区间上的单调性，计算端点处的函数值，最后得到最值. （3）利用作差法构造新函数，然后对新函数求导，判断单调性求出最小值，即可证明结论. 【详解】（1）对函数求导得：. 所以. 因为. 所以切线方程为：，即. （2）因为， 所以当时，，当或时，， 函数在上单调递减，在上单调递增. 所以在区间上，函数在上单调递减，在上单调递增. 所以函数在处取最小值为， 而，. 所以函数在处取最大值为. （3）证明：由（1）可知切线方程为：. 令， 根据题目要求，要证明除去切点之外，在时恒成立. . 所以当时，，当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减. 所以函数在处取得最小值，. 所以除去切点之外，当时，，即. 所以在轴右侧（不含轴），除切点之外，曲线在（1）中切线的上方. 【变式8-3】（24-25高二下·吉林松原·期中）已知函数. (1)若函数在处取得极小值，求实数a，b的值； (2)已知，且函数的极大值是1，讨论函数的零点个数. 【答案】(1) (2)答案见解析 【知识点】根据极值点求参数、利用导数研究函数的零点、函数单调性、极值与最值的综合应用 【分析】（1）求导，由题意可知，解得a，b，并验证即可； （2）求导，即可得到时，函数的单调区间，可求出函数的极值，通过讨论极值即可判断零点个数. 【详解】（1）因为，所以， 因为函数在处取得极小值， 所以，解得， 此时，由，得到或， 当或时，，当时，， 则在和上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取到极小值，符合题意. 所以. （2），令，则或， 若，当或时，，当时，， 所以的单调递增区间为，；单调递减区间为， 当时，函数取到极大值，即，所以， 当时，函数取到极小值， 即， 又当时，，当时，， 所以当，即时，有1个零点； 当，即时，有2个零点； 当，即时，有3个零点. 1．（24-25高二下·河南·月考）函数的零点的个数为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】C 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、求已知函数的极值、利用导数研究函数的零点 【分析】利用导数确定单调性，再利用零点存在性定理求得答案. 【详解】函数的定义域为，求导得， 函数在上单调递减，而， 所以函数有唯一零点，即零点个数为1. 故选：C 2．（25-26高二上·广东·期末）函数的极值点个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【知识点】求已知函数的极值 【分析】对求导，通过分析的符号即可判断单调性，从而可求极值点. 【详解】根据题意知，则， 令，则可得或， 当或时，，则单调递增； 当时，，则单调递减， 所以当时取极大值，当时，取极小值，则有两个极值点. 故选： 3．（24-25高二下·四川成都·月考）已知是定义域为的函数的导函数，的图象如图所示，且有3个零点，则下列结论正确的是（    ） A．在单调递增 B．有3个极大值点 C． D．可以同时小于0 【答案】C 【知识点】函数极值点的辨析、利用导数研究函数的零点、函数与导函数图象之间的关系、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】根据的图象，得到的单调性，再逐一分析即可. 【详解】由题图知，在和上单调递减，在和上单调递增， 所以有2个极小值点和1个极大值点，故A错误，B错误， 又因为有3个零点，则的极大值必大于等于0，故C正确， 若同时小于0，则，结合， 至多有2个零点，不符合题意，故D错误. 4．（24-25高二下·天津南开·期末）已知函数，若对任意，恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】利用分离参数法求解不等式恒成立，构造函数，利用导数求出函数的最值，即可得到结果. 【详解】由题知，当，恒成立， 即恒成立， 令，， 则， 令，得，令，得， 所以在上递增，在上递减， 所以， 所以. 故选：A 5．（24-25高二下·新疆喀什·期末）若函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】基本不等式求和的最小值、根据函数的单调性求参数值 【分析】根据函数的单调性与导函数的关系得到含参不等式，通过参变分离转化成不等式恒成立，求解函数的最值即得参数范围. 【详解】因为在区间上单调递增， 所以在上恒成立， 在上恒成立， 令，. (当且仅当时等号成立). 所以. 故选：D. 6．（2025·四川泸州·一模）若函数在单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由函数的单调区间求参数、由函数在区间上的单调性求参数 【分析】先对函数求导，根据导数的函数性质结合零点取值得出已知条件恒成立时需满足的条件，再讨论的符号得出的取值范围． 【详解】函数，求导得， 当时，，在R上单调递增，不合题意； 令，解得或， 若函数在单调递减，则在恒成立， 当时，，， 当时，，， 的取值范围为. 故选：C． 7．（24-25高二下·北京大兴·期中）若函数有且仅有一个零点，则实数c的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用导数研究函数的零点、求已知函数的极值、用导数判断或证明已知函数的单调性、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】求定义域，求导，得到函数单调性，结合函数走势，得到或，求出答案. 【详解】定义域为R， ， 令得或，令得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 故在处取得极大值，在处取得极小值， 且当趋向于时，趋向于，当趋向于时，趋向于， 要想函数有且仅有一个零点，需满足或， 即或，解得或. 故选：D 8．（24-25高二下·四川成都·期末）函数恰有一个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围 【分析】分析三次函数的性质，根据三次函数零点个数求参数的取值范围. 【详解】因为，所以. 若，则在上恒成立，结合三次函数的图象和性质，函数只有一个零点. 若，由或；由. 所以函数在，上单调递增，在上单调递减. 因为函数只有一个零点. 所以或. 由； 由，在上无解. 综上可知：. 故选：C 二、多选题 9．（24-25高二下·广东韶关·期末）已知函数，则（   ） A．可能没有零点 B．有两个极值点 C．，在有最大值 D．，在单调递增 【答案】BC 【知识点】求函数零点或方程根的个数、函数单调性、极值与最值的综合应用、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】根据极值点和零点的性质以及区间最值和单调性的计算方法依次判断即可. 【详解】选项A，三次函数，当时，，当时，，所以函数至少有一个零点，选项A错误； 选项B，，，判别式，故导数恒有两个不同的零点，对应原函数有两个极值点，选项B正确； 选项C，，根据韦达定理，导函数的两个零点之积为，所以两个零点一正一负，故在内仅有一个极值，由于导函数二次项系数为正，该极值为极大值，也为最大值，选项C正确； 选项D，在单调递增需恒成立，但开口向上，且必有一个正的变号零点，导致原函数在存在递减区间，选项D错误. 故选：BC. 10．（24-25高二下·重庆沙坪坝·期末）已知，则（   ） A．当时，既有极大值，又有极小值 B．若在处取到极大值，则实数的取值范围为 C．时，在区间内取到最大值，则实数的取值范围为 D．不存在实数，使得在区间内既有最大值又有最小值 【答案】ABD 【知识点】根据极值求参数、已知函数最值求参数、函数单调性、极值与最值的综合应用 【分析】先求导，按、、三种情况讨论的单调性，再逐一判断即可. 【详解】由题意得， 若，即时，得或；得， 则在和上单调递增，在上单调递减； 若，即时，得或；得， 在和上单调递增，在上单调递减； 若，即时，，则在上单调递增； A选项，当时，在处取极大值，在处取极小值，故A正确； B选项，若在处取到极大值，则，故B正确； C选项，当时，在和上单调递增，在上单调递减， 则在处取极大值，在处取极小值， 又，则， 又在区间内取到最大值，则且， 即，故C错误； D选项，若，则欲使在区间内既有最大值又有最小值， 则需，，， 即，， 当时，，故，故这样的不存在； 若，则欲使在区间内既有最大值又有最小值， 则需，，， 即，， 则，故，故这样的不存在； 若，则在区间内既无最大值又无最小值； 综上可知，不存在实数，使得在区间内既有最大值又有最小值，故D正确. 故选：ABD 11．（24-25高二下·浙江杭州·期末）设函数，则（   ） A．时，有两个极值点 B．当时，有三个零点 C．若在上单调递增，则 D．若满足，则 【答案】ABD 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、求已知函数的极值、利用导数研究函数的零点 【分析】对A，对求导，利用极值点的求法，直接求出极值点，即可求解；对B，令，根据条件可得，构造函数，，将问题转化成求两函数图象交点，对求导，求出其单调区间和极值，进而得其图象，数形结合，即可求解；对C，根据条件，将问题转化成在区间上恒成立，即可求解；对D，根据条件得恒成立，从而得到关于的方程组，即可求解. 【详解】对于A，当时，，则， 令，得到或，当或时，，当，， 所以是的极大值点，是的极小值点，故A正确， 对于B，令，得到，显然不满足方程，所以， 令，，则，令，得到， 由，得以，且，由，得或， 即的增区间为，减区间为， 又，当时，， 当（从左侧）时，，当（从右侧）时，， 当时，，图象如图， 由图知，当或时，与有三个交点， 即有三个零点，所以B正确， 对于C，因为，由题知在区间上恒成立， 即在区间上恒成立，易知在区间上单调递减， 所以，即，故C错误， 对于D，因为，所以， 整理得到，所以，解得，故D正确， 故选：ABD. 三、填空题 12．（24-25高二下·天津东丽·月考）函数在上的最小值为 . 【答案】1 【知识点】由导数求函数的最值（不含参） 【分析】应用导数求区间上的最小值即可. 【详解】由题设， 当，，即在上单调递减， 当，，即在上单调递增， 所以在上的最小值为. 故答案为：1 13．（22-23高二下·黑龙江鸡西·期中）已知方程的解在内，是的整数倍，则实数的值是 ． 【答案】1 【知识点】判断零点所在的区间、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】把方程变化为对应的函数，然后对函数求导，得到导函数一定大于零，由此原函数是一个递增的函数，若有零点一定有一个，检验和时的函数值，即可得到结果. 【详解】令，则， 所以在定义域上是增函数，如果有零点，只能有一个， 又因为， 所以函数必然有一根在上，即. 故答案为：1 14．（24-25高二下·北京西城·期末）已知曲线，点A在曲线上，则在点A处切线斜率的最小值为 ；若点为轴的一个动点，且曲线上至少有两条不同的切线经过点，则动点的轨迹的长度为 . 【答案】 -1 8 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、求过一点的切线方程、求已知函数的极值 【分析】设，求导，得到在点A处切线斜率为，得到最小值；将代入切线方程，整理得到至少有两个根，构造函数，求导得到其单调性和极值情况，得到，求出轨迹长度. 【详解】设，， 故在点A处切线斜率为， 当时，等号成立，故在点A处切线斜率的最小值为-1， 点为轴的一个动点，设为， 在处的切线方程为 ， 将代入切线方程得， 整理得， 曲线上至少有两条不同的切线经过点， 故至少有两个根， 令，则， 令得，令得或， 所以在上单调递增，在上单调递减， 极小值为，极大值为， 故时，至少两个根， 动点的轨迹的长度为. 故答案为：-1，8 四、解答题 15．（24-25高二下·江苏南京·期末）已知曲线在点处的切线的斜率为3，且当时，函数取得极值. (1)求函数的极值； (2)若存在，使得不等式成立，求的取值范围. 【答案】(1)极大值是，极小值是； (2) 【知识点】根据极值点求参数、利用导数研究能成立问题、由导数求函数的最值（不含参）、求已知函数的极值 【分析】（1）由题意可得，，求得函数的解析式，再利用导数判断函数的单调性，求函数的极值； （2）根据（1）的结果求函数的最值，不等式可得，即可求解得到取值范围. 【详解】（1），由导数的几何意义可知，， 且，得， 所以，，得或， ，得或，，得， 所以的增区间是和，减区间是， 所以的极大值是，极小值是； （2）由（1）可知，在区间单调递增，在区间单调递减，， 所以在区间的最大值为，， 若存在，使得不等式成立，则， 所以. 16．（24-25高二下·天津滨海新·期中）已知函数 (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数在上的单调区间、最值. (3)设在上有两个零点，求a的范围. 【答案】(1)； (2)答案见解析； (3). 【知识点】利用导数研究函数的零点、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数求函数的单调区间（不含参）、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）应用导数的几何意义求切线方程； （2）应用导数研究函数的单调区间，进而求出最值； （3）根据（2）得到各单调区间的值域，再由零点的个数确定参数范围. 【详解】（1）由题设，则，又， 所以曲线在点处的切线方程， 所求切线方程为； （2）由， 时，，在上单调递增， 时，，在上单调递减， 由，，， 所以在上的增区间为，减区间为， 且最大值、最小值分别为2，. （3）由（2）知，在上值域为，在上值域为， 所以，要使在上有两个零点，只需. 17.（24-25高二下·北京东城·期末）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求在区间上的最大值与最小值； (3)求证：在轴右侧（不含轴），除切点之外，曲线在（1）中切线的上方． 【答案】(1) (2)最大值为181，最小值为-27. (3)证明见解析 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数证明不等式、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）对函数求导，求出切线的斜率，利用导数几何意义得到切线的方程. （2）对函数求导，判断函数在区间上的单调性，计算端点处的函数值，最后得到最值. （3）利用作差法构造新函数，然后对新函数求导，判断单调性求出最小值，即可证明结论. 【详解】（1）对函数求导得：. 所以. 因为. 所以切线方程为：，即. （2）因为， 所以当时，，当或时，， 函数在上单调递减，在上单调递增. 所以在区间上，函数在上单调递减，在上单调递增. 所以函数在处取最小值为， 而，. 所以函数在处取最大值为. （3）证明：由（1）可知切线方程为：. 令， 根据题目要求，要证明除去切点之外，在时恒成立. . 所以当时，，当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减. 所以函数在处取得最小值，. 所以除去切点之外，当时，，即. 所以在轴右侧（不含轴），除切点之外，曲线在（1）中切线的上方. 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.3.3 三次函数的性质：单调区间和极值 教学目标 1.明确三次函数的定义，知晓三次函数的导函数为二次函数的基本特征。 2.熟练掌握利用导数求三次函数单调区间的步骤和方法，能根据导函数的符号判断三次函数的单调性。 3.理解三次函数极值的概念，掌握极值的求解方法，能准确求出三次函数的极大值和极小值。 4.能结合二次函数的零点分布，分析三次函数单调性与极值的关联，解决简单的三次函数单调性、极值相关问题。 教学重难点 1.重点： （1）利用导数的符号判定三次函数的单调区间，掌握求三次函数单调区间的规范步骤。 （2）理解三次函数极值的判定条件，熟练求出三次函数的极值。 （3）建立三次函数的导函数（二次函数）的零点、符号与原函数单调性、极值的对应关系。 2.难点： （1）根据导函数（二次函数）的判别式进行分类讨论，分析三次函数在Δ>0、Δ=0、Δ<0三种情况下的单调性和极值情况。 （2）理解 “导函数的零点不一定是原函数的极值点”，能准确判断三次函数导函数零点是否为极值点。 （3）运用分类讨论和数形结合思想，解决含参数的三次函数的单调性、极值问题。 知识点01 三次函数的单调性与极值 1.三次函数的单调性与极值 （1）情形 1 函数F′(x)没有零点： F′(x)在(−∞,+∞)上不变号， （2）情形 2 函数F′(x)有一个零点x=w： （3） 情形 3 函数F′(x)有两个零点x=u和x=v，设u<v，根据二次函数的性质可得： 2.闭区间上函数的最值 （1）一般地，如果在闭区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么该函数在[a,b]上必有最大值和最小值。 （2）求函数y=f(x)在区间[a,b]上的最值的步骤为： ①求函数y=f(x)在(a,b)内的极值； ②求函数y=f(x)在端点处的函数值f(a),f(b)； ③将函数y=f(x)的各极值与f(a),f(b)比较，其中最大者是最大值，最小者是最小值。 【即学即练】（24-25高二下·河南洛阳·期末）函数的图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 题型01 利用导数求三次函数的单调区间 【典例1】（24-25高二下·山东菏泽·期末）已知函数． (1)若在点处的切线方程为，求的值； (2)求的单调区间． 【变式1-1】（24-25高二下·福建莆田·期末）函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（多选）（2025高二·全国·专题练习）（多选）已知函数，则其单调递减区间可以为（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2024高三·全国·专题练习）设函数,求的单调区间. 题型02 根据三次函数的单调性求参数 【典例2】（25-26高二上·河北沧州·期末）已知函数在定义域上不是单调函数，则实数的取值范围是 ． 【变式2-1】（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）函数在上单调递增的必要不充分条件为（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25高二下·北京大兴·期末）已知函数在定义域上不是单调函数，则实数不可能是（   ） A．0 B． C．1 D． 【变式2-3】（24-25高二下·新疆喀什·期末）若函数在R上单调递增，则实数的取值范围是 . 题型03 根据三次函数的单调区间求参数 【典例3】（24-25高二下·广东东莞·期末）已知函数，若在上单调递增，则实数a的取值范围为 ． 【变式3-1】（2025·吉林松原·模拟预测）若函数的减区间为，则的值为（    ） A．3 B．1 C． D． 【变式3-2】（24-25高二下·吉林·期末）已知函数，若函数在上单调递减，则实数的取值范围为 ． 【变式3-3】（24-25高二下·上海黄浦·月考）若在上单调递增，则的取值范围是 ． 题型04 三次函数的极值问题 【典例4】（24-25高二下·上海静安·期中）已知函数． (1)当时，直线过点与曲线有且仅有1个公共点，求直线的方程． (2)若函数在处有极值，求函数的极值． 【变式4-1】（24-25高二上·江苏连云港·期末）已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)求函数的极大值与极小值. 【变式4-2】（25-26高二上·广东·期末）已知函数，（）. (1)当时，求函数的单调区间； (2)若函数在区间内有极值，求a的取值范围. 【变式4-3】（24-25高二下·江苏常州·期末）已知函数. (1)若在其定义域内单调递减，求实数的取值范围； (2)是否存在实数，使得函数为偶函数？若存在，求的值，若不存在，说明理由； (3)函数在区间上有且仅有一个极值点，求正数的取值范围. 题型05 求三次函数的最值 【典例5】（24-25高二下·河南信阳·期中）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间； (3)求函数在区间上的最大值与最小值． 【变式5-1】（24-25高二下·江苏镇江·期末）已知函数在点处的切线方程为． (1)求实数a，b的值： (2)求函数在上的最大值． 【变式5-2】（24-25高二下·重庆南岸·期中）已知函数在处取得极值． (1)求实数a，b的值； (2)求在区间上的最大值和最小值． 【变式5-3】（24-25高二下·北京通州·期中）已知函数，若是的极值点. (1)求实数的值及函数的单调区间； (2)求函数在上的最大值与最小值. 【变式6-1】（24-25高二下·安徽安庆·期末）已知函数在处的切线与直线平行，且在区间内存在最小值，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式6-2】（24-25高二下·上海·月考）已知函数在区间上有最大值，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】（多选）（24-25高二下·四川成都·期中）已知函数，下列说法正确的是（     ） A．函数的图象是中心对称图形 B．有两个零点 C．过点只能做一条直线与相切 D．在上最大值为2，则 题型07 三次函数的零点问题 【典例7】（24-25高二下·浙江杭州·月考）已知函数， (1)当时，求的对称中心； (2)证明：有唯一零点 【变式7-1】（24-25高二下·江苏苏州·期末）函数的零点个数为 ． 【变式7-2】（24-25高二下·北京海淀·期末）已知函数在区间上没有零点，则实数的取值范围是 ． 【变式7-3】（24-25高二下·四川·期末）已知三次项为且不含常数项的三次函数的两个极值点分别为和3． (1)求的解析式； (2)若直线与曲线有且仅有两个公共点，求的值． 题型08 三次函数性质的综合问题 【典例8】（25-26高二上·全国·单元测试）已知为正实数，函数． (1)当时，讨论的单调性； (2)若函数有且仅有2个零点，求的值； (3)当时，函数的最小值为0，求的取值范围． 【变式8-1】（24-25高二上·广东深圳·期末）已知函数. (1)求函数的单调区间和极值； (2)若对恒成立，求实数的取值范围. 【变式8-2】（24-25高二下·北京东城·期末）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求在区间上的最大值与最小值； (3)求证：在轴右侧（不含轴），除切点之外，曲线在（1）中切线的上方． 【变式8-3】（24-25高二下·吉林松原·期中）已知函数. (1)若函数在处取得极小值，求实数a，b的值； (2)已知，且函数的极大值是1，讨论函数的零点个数. 1．（24-25高二下·河南·月考）函数的零点的个数为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 2．（25-26高二上·广东·期末）函数的极值点个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．（24-25高二下·四川成都·月考）已知是定义域为的函数的导函数，的图象如图所示，且有3个零点，则下列结论正确的是（    ） A．在单调递增 B．有3个极大值点 C． D．可以同时小于0 4．（24-25高二下·天津南开·期末）已知函数，若对任意，恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·新疆喀什·期末）若函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 6．（2025·四川泸州·一模）若函数在单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二下·北京大兴·期中）若函数有且仅有一个零点，则实数c的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二下·四川成都·期末）函数恰有一个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高二下·广东韶关·期末）已知函数，则（   ） A．可能没有零点 B．有两个极值点 C．，在有最大值 D．，在单调递增 10．（24-25高二下·重庆沙坪坝·期末）已知，则（   ） A．当时，既有极大值，又有极小值 B．若在处取到极大值，则实数的取值范围为 C．时，在区间内取到最大值，则实数的取值范围为 D．不存在实数，使得在区间内既有最大值又有最小值 11．（24-25高二下·浙江杭州·期末）设函数，则（   ） A．时，有两个极值点 B．当时，有三个零点 C．若在上单调递增，则 D．若满足，则 三、填空题 12．（24-25高二下·天津东丽·月考）函数在上的最小值为 . 13．（22-23高二下·黑龙江鸡西·期中）已知方程的解在内，是的整数倍，则实数的值是 ． 14．（24-25高二下·北京西城·期末）已知曲线，点A在曲线上，则在点A处切线斜率的最小值为 ；若点为轴的一个动点，且曲线上至少有两条不同的切线经过点，则动点的轨迹的长度为 . 四、解答题 15．（24-25高二下·江苏南京·期末）已知曲线在点处的切线的斜率为3，且当时，函数取得极值. (1)求函数的极值； (2)若存在，使得不等式成立，求的取值范围. 16．（24-25高二下·天津滨海新·期中）已知函数 (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数在上的单调区间、最值. (3)设在上有两个零点，求a的范围. 17.（24-25高二下·北京东城·期末）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求在区间上的最大值与最小值； (3)求证：在轴右侧（不含轴），除切点之外，曲线在（1）中切线的上方． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $