1.3.3 三次函数的性质：单调区间和极值 课件-2025-2026学年高二下学期数学湘教版选择性必修第二册

1.3.3 三次函数的性质： 单调区间和极值 说一说：对于二次函数y=x2-4x+4，要研究它的单调性，你能想到哪些方法？ 分析函数图像： 在（－∞，2）内，曲线切线斜率为负，即y’>0, f(x)单调递减； 在x=2处，曲线切线斜率为零，即y’=0, f(x)不变； 在（2，＋∞）内，曲线切线斜率为正，即y’<0, f(x)单调递增. 配方法、导数法 用配方法和导数法都可以探讨二次函数的性质,其中导数法最为简便快捷,而且具有一般性．只要能算出函数的导数并求出导函数的零点，便能把该函数的单调区间和极值点一一列出，做到一目了然． 三次函数的导数是二次函数,二次函数的零点是容易求出的,所以用导数方法可以彻底了解三次函数的增减变化和极值点. 如何研究一般的三次多项函数F(x)=ax3＋bx2＋cx＋d (a≠0)的性质呢？ 3 想一想1：对于一般的三次函数，如F(x)=ax3＋bx2＋cx＋d (a≠0)，如何求它的极值呢？ F ′ (x)=3ax2＋2bx＋c是二次函数．可能有以下三种情形： 情形1 函数F′ (x)没有零点，F′ (x)在(－∞，＋∞)上不变号，如图． （1）若a > 0，则F′ (x)恒为正，F(x)在(－∞，＋∞)上递增． （2）若a < 0，则F′ (x)恒为负，F(x)在(－∞，＋∞)上递减． 4 情形2 函数F′ (x)有一个零点x = w，如图． （1）若a > 0，则F′ (x)在(－∞，w)∪(w，＋∞)恒为正， F(x)在(－∞，＋∞)上递增． （2）若a < 0，则F′ (x)在(－∞，w)∪(w，＋∞)恒为负， F(x)在(－∞，＋∞)上递减． 5 情形3 函数F′ (x)有两个零点x = u和x = v，如图． （1）若a > 0，则F′ (x)在(－∞，u)和(v，＋∞)为正，在(u，v)为负， 对应地， F(x)在(－∞，u)上递增，在(u，v)上递减，在(v，＋∞)上递增． 由此可见F(x)在x = u处取得极大值，在x = v处取得极小值． 6 情形3 函数F′ (x)有两个零点x = u和x = v，如图． （2）若a < 0，则F′ (x)在(－∞，u)和(v，＋∞)为负，在(u，v)为正， 对应地， F(x)在(－∞，u)上递减，在(u，v)上递增，在(v，＋∞)上递减． 由此可见F(x)在x = u处取得极小值，在x = v处取得极大值． 7 例1 求下列函数的单调区间和极值． （1）f (x) =x3－x2＋2x＋1； 单调函数没有极值 从图象上能得到直观的验证. 8 （2）h (x) =－2x3＋9x2－12x＋5． x (－∞，1) 1 (1，2) 2 (2，＋∞) h′ (x) h (x) － 0 ＋ 0 － 递减↘ 极小值0 递增↗ 极大值1 递减↘ 9 以上结论，从图象上能得到直观的验证. 1.求函数f (x) =－x3＋27x＋7的单调区间和极值． 练一练 如图，一般地，如果在闭区间[a，b]上函数y = f (x)的图象是一条连续不断的曲线，那么该函数在[a，b]上必有最大值和最小值． 想一想2：利用导数可以求出函数在某区间上的极值，如果我们要确定函数在某个区间上，哪个值最大，哪个值最小，有什么办法呢？ 12 显然，函数y = f (x)在[a，b]上的最值（最大值和最小值的统称）必在 极值点或区间端点处取得． 因此在实际计算中，我们只要把函数y = f (x)的所有极值连同端点的函 数值求出并进行比较，就可以求出函数在该闭区间上的最大值与最小值． 13 x f′ (x) f(x) 例2 求函数 在区间[－2，1]的最大值和最小值． ＋ 0 － 0 ＋ 递增↗ 递减↘ 递增↗ 你还能想到其他方法吗？ 14 把函数y=f(x)的所有极值连同端点的函数值进行比较： 15 求函数y = f (x)在闭区间[a，b]上最值的一般步骤： 归纳总结 (1)求函数y=f(x)在(a,b)内的极值; (2)求函数y=f(x)在端点处的函数值f(a),f(b)（不在定义域内的要舍去）; (3)将函数y=f(x)的各极值与f(a),f(b)比较,其中最大者是最大值,最小者是最小值. 16 2.求函数 在区间[－3，2]的最大值和最小值． 练一练 [变式]求函数 只有一个零点，求实数a的取值范围． 练一练 F(x)=ax3＋bx2＋cx＋d (a >0) 推广 设F(x)=ax3＋bx2＋cx＋d (a >0)，则F′ (x)=3ax2＋2bx＋c是二次函数． 方程F(x)=0解的个数： （1）方程F(x)=0恰有一个解的情形： 设F(x)=ax3＋bx2＋cx＋d (a >0)，则F′ (x)=3ax2＋2bx＋c是二次函数． 方程F(x)=0解得个数： （2）方程F(x)=0有两个解的情形： 设F(x)=ax3＋bx2＋cx＋d (a >0)，则F′ (x)=3ax2＋2bx＋c是二次函数． 方程F(x)=0解得个数： （3）方程F(x)=0有三个解的情形： 1． 下列结论正确的是(　 　) A．若f(x)在[a，b]上有极大值，则极大值一定是[a，b]上的最大值 B．若f(x)在[a，b]上有极小值，则极小值一定是[a，b]上的最小值 C．若f(x)在[a，b]上有极大值，则极小值一定是在x＝a和x＝b处取得 D．若f(x)在[a，b]上连续，则f(x)在[a，b]上存在最大值和最小值 解析: 函数f(x)在[a，b]上的极值不一定是最值， 最值也不一定是极值，极值一定不会在端点处取得， 而在[a，b]上一定存在最大值和最小值．故选D. D 2.函数f(x)＝x3－3x＋1在闭区间[－3,0]上的最大值和最小值分别是( ) A.1，－1 B.1，－17 C.3，－17 D.9，－19 C 解析: f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)，令f′(x)＝0，得x＝±1. 又f(－3)＝－27＋9＋1＝－17，f(0)＝1， f(－1)＝－1＋3＋1＝3,1∉[－3,0]. 所以最大值为3，最小值为－17.故选C. 3.已知函数f(x)＝x3－ax2－a2x.求函数f(x)在[0，＋∞)上的最小值． 解：f′(x)＝3x2－2ax－a2＝(3x＋a)(x－a)， 令f′(x)＝0，得x1＝－，x2＝a. ①当a>0时，f(x)在[0，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增，所以f(x)min＝f(a)＝－a3. ②当a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，f(x)在[0，＋∞)上单调递增，所以f(x)min＝f(0)＝0. ③当a<0时，f(x)在上单调递减，在上单调递增， 所以f(x)min＝f＝a3. 三次函数的单调性与极值： 设F(x)=ax3＋bx2＋cx＋d (a≠0)，则F′ (x)=3ax2＋2bx＋c是二次函数． F′ (x)的判别式为∆． ∆ F′ (x)的图像 F(x)的图像 F(x)的单调性 F(x)的极值 a>0 ∆≤0 在(－∞，＋∞)上递增 无极值 ∆>0 在(－∞，u)上递增，在(u，v)上递减， 在(v，＋∞)上递增 极大值f (u) 极小值f (v) 26 三次函数的单调性与极值： 设F(x)=ax3＋bx2＋cx＋d (a≠0)，则F′ (x)=3ax2＋2bx＋c是二次函数． F′ (x)的判别式为∆． ∆ F′ (x)的图像 F(x)的图像 F(x)的单调性 F(x)的极值 a<0 ∆≤0 在(－∞，＋∞)上递减 无极值 ∆>0 在(－∞，u)上递减，在(u，v)上递增， 在(v，＋∞)上递减 极大值f (v) 极小值f (u) 27 求函数y = f (x)在闭区间[a，b]上最值的一般步骤： （1）求 f′ (x)； （2）求方程 f′ (x)= 0的解x1，x2，……（不在定义域内的要舍去）； （3）求f (x1)，f (x2)，……及f (a)，f (b)； （4）比较上述函数值的大小，最大的为最大值，最小的为最小值． 28 $