精品解析：东北师大附中、哈尔滨师大附中、辽宁省实验中学2026届高三第一次联合模拟考试数学试卷

东北师大附中 哈尔滨师大附中 辽宁省实验中学 2026年高三第一次联合模拟考试 数学试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 3. 样本数据，，，，的第百分位数是（ ） A. B. C. D. 4. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 5. 设，是两条不同的直线， ，是两个不同的平面，以下说法正确的是（ ） A. 若 ，，则 B. 若，，则 C. 若 ，，，则 D. 若，，，则 6. 已知抛物线 的焦点为，准线为为抛物线上一点，作于点 ，若为等边三角形，则点的横坐标为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 已知数列，为等差数列，其前项和分别为，，且满足 ， 则 （ ） A. B. C. D. 8. 若定义在上的函数满足，是奇函数，，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列关于函数.的说法正确的是（ ） A. 为奇函数 B. 是图象的一条对称轴 C. 为周期函数，且最小正周期为 D. 的值域为 10. 已知，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知双曲线的离心率为，其左、右焦点分别为，，点在的右支上，直线与交于另一点 ， 的中点为 ，为坐标原点，则下列说法错误的是（ ） A. 存在点，使得直线的斜率为2 B. 存在点，使得 C. 存在点，使得 D. 存在点，使得点 的横坐标为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若向量，满足，，且，则在方向上的投影向量的坐标为_____. 13. 圆台母线长为3，上、下底面半径比为，当圆台体积最大时，以此圆台的上、下底面为截面的球的表面积为________． 14. 有个编号分别为1，2，…，n的盒子，第1个盒子中有2个红球1个白球，其余盒子中均为1个红球1个白球，现从第1个盒子中任取一球放入第2个盒子，再从第2个盒子中任取一球放入第3个盒子，以此类推，则从第2个盒子中取到白球的概率是______，从第个盒子中取到白球的概率是______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求A的大小； （2）若为锐角三角形，求的取值范围． 16. 截至2025年底，我国新能源汽车保有量达到4397万辆，占汽车总产量的12%．某城市研究小组调查了300名汽车驾驶员对新能源汽车和燃油汽车的偏好程度，将调查结果整理成如下列联表.现统计得出样本中偏好燃油汽车的人数占样本总数的50%，女性驾驶员的样本占样本总数的，偏好燃油汽车的男性驾驶员的样本有120人． 偏好燃油汽车 偏好新能源汽车 合计 男性驾驶员 120 女性驾驶员 合计 300 （1）请根据已知条件将上述列联表补充完整，并依据小概率值的独立性检验，分析对燃油汽车和新能源汽车的偏好是否与驾驶员性别有关联.如果有关联，解释它们之间如何影响. （2）现从女性驾驶员中按对燃油汽车和新能源汽车的偏好用分层抽样法抽取8人做进一步访谈，然后从这8人中随机抽取3人填写调查问卷，记抽取的3人中偏好新能源汽车的人数为X，求X的分布列及数学期望． 参考公式及数据：，． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 17. 在中，， ，，，分别是， 上的点，满足，且．将沿折起到 的位置，使，存在动点 使，如图所示． （1）求证：平面平面 ； （2）当时，求平面与平面夹角的余弦值； （3）设直线与平面 所成角为 ，当 取得最大值时，求三棱锥的体积． 18. 已知椭圆的离心率为，短轴长为． （1）求椭圆的方程； （2）设， ，均为椭圆上的动点． （ⅰ）若直线、直线分别过的左右焦点，记直线、 、的斜率分别为，，，当，，成等差数列时，求点的坐标； （ⅱ）若的重心是坐标原点，证明：的面积是定值． 19. 已知函数． （1）若函数过原点的切线为，求实数的值； （2）若函数的图象与相交于两个不同点， ，记直线 的斜率为． （i）当时，求实数取值范围； （ii）当时，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 东北师大附中 哈尔滨师大附中 辽宁省实验中学 2026年高三第一次联合模拟考试 数学试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】 2. 复数的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为， 且，故选项C正确. 3. 样本数据， ，，，的第百分位数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据百分位数计算公式计算即可. 【详解】因为，所以这组数据的第60百分位数是 . 故选：B 4. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题判断可得. 【详解】根据存在量词命题的否定为全称量词命题， 则命题“”的否定为“”， 故选：A. 5. 设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，以下说法正确的是（ ） A. 若 ，，则 B. 若，，则 C. 若 ，，，则 D. 若，，，则 【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】对于A，若 ，，则或或l与相交，故A错误； 对于B，若，，则或或l与相交，故B错误； 对于C，若 ，，，则或或l与相交不垂直或l与垂直，故C错误； 对于D，若，，则，又因为，则，故D正确. 6. 已知抛物线 的焦点为，准线为为抛物线上一点，作于点，若为等边三角形，则点的横坐标为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】利用抛物线的标准方程先确定F坐标，结合定义与正三角形的性质计算即可. 【详解】由抛物线的定义可知，且，过作， 可知D为 的中点， 则，即，所以点的横坐标为3. 故选：C 7. 已知数列，为等差数列，其前 项和分别为，，且满足 ， 则 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列前 项和公式及等差数列性质将转化为，再利用求出的值即可. 【详解】等差数列前 项和，， 所以， 由等差数列性质知，， 所以. 又， 当 时，，即， 当时，，即， 当时，，即， 令等差数列的公差为，等差数列的公差为， 则①，②，③， 由②得，，由③得，， 代入①中，整理得，，所以，故. 故选：C. 8. 若定义在上的函数满足，是奇函数，，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】由是奇函数可得关于中心对称，结合，利用赋值法计算可得，即可得该函数周期，再利用，则可计算出为到时的的值，即可得解. 【详解】由是奇函数，则，故关于中心对称， 由，令，则，即， 由，令，则， 故，则， 故，即有，故以为周期， 由，则， ，， ，， 则 . 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列关于函数.的说法正确的是（ ） A. 为奇函数 B. 是图象的一条对称轴 C. 为周期函数，且最小正周期为 D. 的值域为 【答案】AD 【解析】 【分析】利用奇偶性定义判断A，利用函数对称性与周期性的定义判断BC；利用导数判断D. 【详解】对于A，，为奇函数，故A正确. 对于B，， ， ，不是图象的一条对称轴，故B错误； 对于C， ，，不是的周期，故C错误， 对于D，， 令，即，解得或， 当时，， ， 当时，，，故函数极值为. 的值域为，故D正确. 10. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】结合赋值法、导数运算以及二项式展开式的通项公式求得正确答案. 【详解】由， 令得，A选项正确. 令得，B选项错误. 二项式展开式的通项公式为， 由此可知是负数，为正数， 所以令得， ， 即，C选项错误 由， 两边求导得， 令得，所以D选项正确. 故选：AD 11. 已知双曲线的离心率为，其左、右焦点分别为，，点在的右支上，直线与交于另一点，的中点为，为坐标原点，则下列说法错误的是（ ） A. 存在点，使得直线的斜率为2 B. 存在点，使得 C. 存在点，使得 D. 存在点，使得点的横坐标为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，找到渐近线斜率即可判断；对于B，利用，求出A点的横坐标，然后结合条件检验即可判断；对于C，将转化成两点间距离公式，求出A点的横坐标在符合题目范围内即可判断；对于D，利用点差法得，进而判断出不存在点使得等式成立. 【详解】设点 ，，，， 由题知离心率，解得， 故有，双曲线C的渐近线为， 对于A选项，如果存在点，使得直线的斜率为2， 直线与渐近线平行，不会与双曲线有两个交点，故A错误； 对于B选项： ，，若，即， 可得，即：（①）， 而 位于双曲线右支上，其中， 故有：，即：（②）， 联立①②两个等式可得：，又，此时，由选项A可知不合题意，故B选项错误； 对于C选项：由，即：，化简得：，由点在的右支上可知：，故存在点，使得，故C选项正确； 对于D选项：设，，， 而，带入化简得：，而， 故，可知不存在这样的点M使等式成立， 故不存在点，使得点的横坐标为，故D选项错误. 下面为证明：， 的中点为，根据中点坐标公式可知，故， ，故， 而 ，两点均位于双曲线上，故： （③） （④），用③减④得：， 化简得，故，证毕. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若向量，满足，，且，则在方向上的投影向量的坐标为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据，求出，再结合投影向量的定义得出答案. 【详解】因为，则，解得， 由于，所以在方向上的投影向量即为， 则在方向上的投影向量的坐标为. 故答案为：. 13. 圆台母线长为3，上、下底面半径比为，当圆台体积最大时，以此圆台的上、下底面为截面的球的表面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用圆台的结构特征求出圆台体积与其高的函数关系，再利用导数求出取最大值的条件，再按外接球球心在两平行平面间或外分类求出球半径即可. 【详解】设圆台上底半径为，则其下底半径为 ，高， 此圆台的体积，， 求导得，当时，；当时，， 函数在 上单调递增，在上单调递减， 则当，即时，此圆台体积取得最大值， 设球的半径为，则球心到两个截面距离分别为， 显然此圆台的外接球球心在两底圆心确定的直线上， 则或， 解，无解；解，得， 所以此圆台的外接球的表面积为. 14. 有 个编号分别为1，2，…，n的盒子，第1个盒子中有2个红球1个白球，其余盒子中均为1个红球1个白球，现从第1个盒子中任取一球放入第2个盒子，再从第2个盒子中任取一球放入第3个盒子，以此类推，则从第2个盒子中取到白球的概率是______，从第 个盒子中取到白球的概率是______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】设事件表示“从第i个盒子中取到白球”（），利用全概率公式列式求解；当时，由全概率公式得，再通过构造等比数列求. 【详解】设事件表示“从第i个盒子中取到白球”（）， 则，， 所以； 当时， ， 所以，又， 则数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 所以， 即从第2个盒子中取到白球的概率是，从第 个盒子中取到白球的概率是. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求A的大小； （2）若为锐角三角形，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理可得到，进而得到，即可求出A的大小； （2）根据三角形内角和为，且为锐角三角形，从而可得出的取值范围，再将转化为关于的函数即可求解． 【小问1详解】 由， 则根据正弦定理有，即， 又由余弦定理有 ，得， 所以在中，得； 【小问2详解】 由为锐角三角形，且， 则有，得，即，即， 所以根据正弦定理有． 16. 截至2025年底，我国新能源汽车保有量达到4397万辆，占汽车总产量的12%．某城市研究小组调查了300名汽车驾驶员对新能源汽车和燃油汽车的偏好程度，将调查结果整理成如下列联表.现统计得出样本中偏好燃油汽车的人数占样本总数的50%，女性驾驶员的样本占样本总数的，偏好燃油汽车的男性驾驶员的样本有120人． 偏好燃油汽车 偏好新能源汽车 合计 男性驾驶员 120 女性驾驶员 合计 300 （1）请根据已知条件将上述列联表补充完整，并依据小概率值的独立性检验，分析对燃油汽车和新能源汽车的偏好是否与驾驶员性别有关联.如果有关联，解释它们之间如何影响. （2）现从女性驾驶员中按对燃油汽车和新能源汽车的偏好用分层抽样法抽取8人做进一步访谈，然后从这8人中随机抽取3人填写调查问卷，记抽取的3人中偏好新能源汽车的人数为X，求X的分布列及数学期望． 参考公式及数据：，． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）列联表为 偏好燃油汽车 偏好新能源汽车 合计 男性驾驶员 120 100 220 女性驾驶员 30 50 80 合计 150 150 300 有关联，女性驾驶员偏好新能源汽车的概率更大． （2）随机变量 的分布列为 0 1 2 3 期望为 【解析】 【分析】（1）根据已知数据可计算得到补全列联表所需的数据，进而补全列联表，并计算得到 ，由此可得结论； （2）根据分层抽样原则可确定样本中偏好新能源汽车的人数和偏好燃油车的人数，由此可得所有可能的取值，根据超几何分布概率公式可求得每个取值对应的概率，由此可得分布列；由数学期望计算公式可求得期望值. 【小问1详解】 因为样本中偏好燃油汽车的人数占样本总数的50%，故样本中偏好燃油汽车的人数为 ， 因为样本中女性驾驶员的样本占样本总数的，故样本中女性驾驶员的人数为 ， 由题意，列联表补充如下： 偏好燃油汽车 偏好新能源汽车 合计 男性驾驶员 120 100 220 女性驾驶员 30 50 80 合计 150 150 300 零假设为：对燃油汽车和新能源汽车的偏好与驾驶员的性别无关联． 根据列联表数据，计算得． 根据小概率值的独立性检验，可以推断不成立，即认为对燃油汽车和新能源汽车的偏好与驾驶员的性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.01． 男性驾驶员中偏好新能源汽车的频率为 ，女性驾驶员中偏好新能源汽车的频率为 ，前者明显小于后者．根据频率稳定于概率的原理，我们可以认为女性驾驶员偏好新能源汽车的概率更大． 【小问2详解】 由题意，抽取的8人中偏好燃油汽车的人数为 人，偏好新能源汽车的人数为 人． 随机变量的可能值为0，1，2，3． ，， ，． 所以，随机变量的分布列为 0 1 2 3 的数学期望． 17. 在中，， ，，， 分别是，上的点，满足，且．将沿折起到 的位置，使，存在动点使，如图所示． （1）求证：平面平面 ； （2）当时，求平面与平面夹角的余弦值； （3）设直线与平面 所成角为，当 取得最大值时，求三棱锥的体积． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）借助线面垂直判定定理及其性质定理可得 平面 ，再利用面面垂直判定定理即可得证； （2）建立适当空间直角坐标系后，可求出平面与平面的法向量，再利用空间向量夹角公式计算即可得； （3）求出平面 的法向量后，利用空间向量夹角公式可求出 取最大值时的，则可得三棱锥的高与底面积，再利用体积公式计算即可得解. 【小问1详解】 因为，则，且，可得 ， 将沿折起到 的位置，始终有， 因为平面 ，所以 平面 ， 由 平面 ，可得， 且， ， ， 平面 ， 所以 平面 ，又 平面，所以平面平面 ； 【小问2详解】 由（1）可知，两两垂直，翻折前，因为，且， 所以，，所以， 翻折后，由勾股定理得， 故可以为原点，直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 当时，，，，，， ，可得，，， 设平面 的法向量，则， 令，则，可得， 设平面 的法向量，则， 令 ，则 ，，可得， 设平面与平面夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为； 【小问3详解】 由（2）可知，，， 设平面 的法向量，则， 令 ，则，，可得， 且，， 因为直线与平面 所成角为， 则 ， 当且仅当时，等号成立， 取最大值， 则，故点到平面 的距离为， 又，则， 所以三棱锥的体积为． 18. 已知椭圆的离心率为，短轴长为． （1）求椭圆的方程； （2）设，，均为椭圆上的动点． （ⅰ）若直线、直线分别过的左右焦点，记直线、、的斜率分别为，，，当，，成等差数列时，求点的坐标； （ⅱ）若的重心是坐标原点，证明：的面积是定值． 【答案】（1） （2）（i）； （ii）证明：设，，， 当直线的斜率不存在时，易得，直线的方程为，或，直线的方程为， 将 代入椭圆的方程，可得， 所以的面积， 当直线的斜率存在时，有的中点，则， 因为，在椭圆上，则，相减得， 整理得，所以可得， 所以直线的方程为， 即， 令，可得直线在轴上的截距为，则， 将代入椭圆的方程，得， 即，则，， 所以， 所以， 又因为是的重心，所以， 综上，的面积是定值． 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的离心率、短轴长、的关系列方程组求解的值，可得椭圆的方程； （2）（ⅰ）设，则根据斜率关系可得，设，，，，其中，，联立直线与椭圆确定交点坐标关系，再由，，成等差数列，得，结合斜率的坐标运算列方程即可得的值，从而得所求；（ⅱ）若的重心是坐标原点，讨论直线的斜率不存在与存在两种情况，当直线的斜率存在时结合点差法得，从而得直线的方程，联立直线与椭圆，利用的面积公式得，结合三角形重心性质即可证得结论. 【小问1详解】 由题意可得，解得 ，， 所以椭圆方程为； 【小问2详解】 （ⅰ）设，则，， 所以， 设，，，，其中，， 由，消去 ，得， 则 从而， 同理，可得，， 则， 由，，成等差数列，得，即， 解得 ，，或（舍），（舍）， 所以点的坐标为． （ⅱ）略 19. 已知函数． （1）若函数过原点的切线为，求实数的值； （2）若函数的图象与相交于两个不同点，，记直线的斜率为． （i）当时，求实数取值范围； （ii）当时，证明：． 【答案】（1） （2）（i） ； （ii）设，，不妨设 则，即， 令， 则，是方程两个根． 又 欲证，只需证 设 则 ∴当时， ；当时， ； 在递减，递增， 设 下面证明 ， 设，，则 故 ． 在递增，， ，， 又在递减，，故． 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求解； （2）（ⅰ）法一：设，分析的单调性，求出的范围； 法二：，通过分析的单调性与零点，结合的取值范围，求出的范围； （ⅱ）将参数化为圆上的点，代入得，利用三角恒等式得，构造分析单调性，证得，从而推出的取值范围. 【小问1详解】 设切点为，，所以，所以， 所以函数在处的切线为， 将代入得，解得 ， 【小问2详解】 （ⅰ）当时，原问题有两个不等实根． 法一：设， 则 ∴当时，，当时， 在递减，递增， ，，， 法二： ，令， 则，在 上递增， ，使得 ， 当时，，当时， 在上单调递减，在上单调递增， ， 又， 设，则 当时，，当时，， ，． （ⅱ）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $