东北师大附中、哈尔滨师大附中、辽宁省实验中学2026届高三第一次联合模拟考试数学试卷

东北师大附中 哈尔滨师大附中 辽宁省实验中学 2026年高三第一次联合模拟考试 数学试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 3. 样本数据，，，，的第百分位数是（ ） A. B. C. D. 4. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 5. 设，是两条不同的直线， ，是两个不同的平面，以下说法正确的是（ ） A. 若 ，，则 B. 若，，则 C. 若 ，，，则 D. 若，，，则 6. 已知抛物线 的焦点为，准线为为抛物线上一点，作于点 ，若为等边三角形，则点的横坐标为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 已知数列，为等差数列，其前项和分别为，，且满足 ， 则 （ ） A. B. C. D. 8. 若定义在上的函数满足，是奇函数，，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列关于函数.的说法正确的是（ ） A. 为奇函数 B. 是图象的一条对称轴 C. 为周期函数，且最小正周期为 D. 的值域为 10. 已知，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知双曲线的离心率为，其左、右焦点分别为，，点在的右支上，直线与交于另一点 ， 的中点为 ，为坐标原点，则下列说法错误的是（ ） A. 存在点，使得直线的斜率为2 B. 存在点，使得 C. 存在点，使得 D. 存在点，使得点 的横坐标为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若向量，满足，，且，则在方向上的投影向量的坐标为_____. 13. 圆台母线长为3，上、下底面半径比为，当圆台体积最大时，以此圆台的上、下底面为截面的球的表面积为________． 14. 有个编号分别为1，2，…，n的盒子，第1个盒子中有2个红球1个白球，其余盒子中均为1个红球1个白球，现从第1个盒子中任取一球放入第2个盒子，再从第2个盒子中任取一球放入第3个盒子，以此类推，则从第2个盒子中取到白球的概率是______，从第个盒子中取到白球的概率是______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求A的大小； （2）若为锐角三角形，求的取值范围． 16. 截至2025年底，我国新能源汽车保有量达到4397万辆，占汽车总产量的12%．某城市研究小组调查了300名汽车驾驶员对新能源汽车和燃油汽车的偏好程度，将调查结果整理成如下列联表.现统计得出样本中偏好燃油汽车的人数占样本总数的50%，女性驾驶员的样本占样本总数的，偏好燃油汽车的男性驾驶员的样本有120人． 偏好燃油汽车 偏好新能源汽车 合计 男性驾驶员 120 女性驾驶员 合计 300 （1）请根据已知条件将上述列联表补充完整，并依据小概率值的独立性检验，分析对燃油汽车和新能源汽车的偏好是否与驾驶员性别有关联.如果有关联，解释它们之间如何影响. （2）现从女性驾驶员中按对燃油汽车和新能源汽车的偏好用分层抽样法抽取8人做进一步访谈，然后从这8人中随机抽取3人填写调查问卷，记抽取的3人中偏好新能源汽车的人数为X，求X的分布列及数学期望． 参考公式及数据：，． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 17. 在中，， ，，，分别是， 上的点，满足，且．将沿折起到 的位置，使，存在动点 使，如图所示． （1）求证：平面平面 ； （2）当时，求平面与平面夹角的余弦值； （3）设直线与平面 所成角为 ，当 取得最大值时，求三棱锥的体积． 18. 已知椭圆的离心率为，短轴长为． （1）求椭圆的方程； （2）设， ，均为椭圆上的动点． （ⅰ）若直线、直线分别过的左右焦点，记直线、 、的斜率分别为，，，当，，成等差数列时，求点的坐标； （ⅱ）若的重心是坐标原点，证明：的面积是定值． 19. 已知函数． （1）若函数过原点的切线为，求实数的值； （2）若函数的图象与相交于两个不同点， ，记直线 的斜率为． （i）当时，求实数取值范围； （ii）当时，证明：． 东北师大附中 哈尔滨师大附中 辽宁省实验中学 2026年高三第一次联合模拟考试 数学试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 【9题答案】 【答案】AD 【10题答案】 【答案】AD 【11题答案】 【答案】ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 ①. ②. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1） （2） 【16题答案】 【答案】（1）列联表为 偏好燃油汽车 偏好新能源汽车 合计 男性驾驶员 120 100 220 女性驾驶员 30 50 80 合计 150 150 300 有关联，女性驾驶员偏好新能源汽车的概率更大． （2）随机变量 的分布列为 0 1 2 3 期望为 【17题答案】 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）． 【18题答案】 【答案】（1） （2）（i）； （ii）证明：设，，， 当直线 的斜率不存在时，易得，直线 的方程为，或，直线 的方程为， 将 代入椭圆的方程，可得， 所以的面积， 当直线 的斜率存在时，有 的中点，则， 因为，在椭圆上，则，相减得， 整理得，所以可得， 所以直线 的方程为， 即， 令，可得直线 在轴上的截距为，则， 将代入椭圆的方程，得， 即，则，， 所以， 所以， 又因为是的重心，所以， 综上，的面积是定值． 【19题答案】 【答案】（1） （2）（i） ； （ii）设，，不妨设 则，即， 令， 则，是方程两个根． 又 欲证，只需证 设 则 ∴当时， ；当时， ； 在递减，递增， 设 下面证明 ， 设，，则 故 ． 在递增，， ，， 又在递减，，故． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $