精品解析：广西南宁市东盟中学2025-2026学年高一年级下学期6月月考数学试卷

南宁市东盟中学2025级高一年级春季学期6月月考试 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数满足（是虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 2. 已知是不同的直线是不重合的平面，若则（ ） A. B. C. D. 3. 设向量，且，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 4. 如图，已知某频率分布直方图形成“左拖尾”形态，则下列结论正确的是（ ） A. 众数平均数中位数 B. 众数中位数平均数 C. 众数平均数中位数 D. 中位数平均数众数 5. 随着生活水平的不断提高，旅游已经成为人们生活的一部分．某地旅游部门从年 月到该地旅游的游客中随机抽取部分游客进行调查，得到各年龄段游客的人数比例和各年龄段中自助游的比例，如图，则下列说法错误的是（ ） A. 若调查的游客中青年人有人，则一共调查了人 B. 估计年 月到该地旅游的游客中选择自助游的青年人占总游客人数的 C. 用分层随机抽样的方法对所调查游客进行抽样，若老年人有 人，则中年人有人 D. 估计年 月到该地旅游且选择自助游的游客中青年人不超过一半 6. 已知向量满足，，，则（ ） A. 17 B. 5 C. D. 7. 在四边形 中，，， 为 的中点，则等于（ ） A. B. C. D. 8. 在三棱锥中，， 均为等边三角形，，，则该三棱锥外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9. 已知是不重合的三点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 与共线的单位向量是 C. 若，则共线 D. 若，则 10. 在 中，，， ，则（ ） A. B. 边上的中线长 C. 边上的角平分线长 D. 外接圆的面积为 11. 如图，若正方体的棱长为 ，点 是正方体的侧面上的一个动点（含边界），是棱的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 沿正方体的表面从点 到点的最短路程为 B. 过三点作正方体的截面，则截面面积为 C. 三棱锥的体积最大值为 D. 若保持，则点 在侧面内运动路径的长度为 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 先后抛掷一枚质地均匀的骰子 次，记录向上一面的点数，若已知 个点数的中位数为 ，唯一的众数为 ，则平均数最大为_____. 13. 某船行驶到甲地看1号灯塔时，在甲地的北偏东75°方向上，两地相距海里；在甲地看2号灯塔时，在甲地的南偏西60°方向上，两地相距4海里．该船由甲地向正南航行到乙地时，再看1号灯塔，则1号灯塔在乙地的北偏东30°方向上，则2号灯塔与乙地之间的距离是________海里． 14. 如图，已知二面角为，与 所成的角为 ，则异面直线与所成角的余弦值为______． 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 如图，已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，点C在底面圆周上，点D为BC的中点． （1）证明：平面PAC； （2）证明：平面平面PBC． 16. 某校法联社团组织高一年级所有学生参加“感受法治内涵，争做法治宣传人”的主题知识比赛，旨在引导同学们深入学习法治知识，争当法治精神的传播者.比赛分为初赛和决赛两个环节，现从所有初赛成绩（满分分，最低分分）中，随机调查了位同学的测试成绩，按、、、、分组，并绘制出了如图所示的频率分布直方图. （1）若规定成绩排名前的同学可入围决赛，请估计进入决赛的同学成绩应不低于多少分？ （2）已知落在内的平均成绩是分，方差是 分，落在内的平均成绩是分，方差是分，求两组成绩合并后的平均数和方差. 附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为、、；、、，记两组数据总体的样本平均数为，则总体样本方差. 17. 如图，在三棱锥中，平面PAB，E，F分别为BC，PC的中点，且，，． （1）证明：； （2）求二面角的余弦值． 18. 已知 的内角 ， ， 所对的边分别为，，，面积为， ，． （1）求； （2）已知，求三角形面积． 19. 《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑．如图，三棱锥为鳖臑，平面，，，且三棱锥的外接球表面积为． （1）求三棱锥体积的最大值； （2）在 中，，． （i）当时，求证： ； （ii）若 与面所成角的正弦值为，求实数 的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南宁市东盟中学2025级高一年级春季学期6月月考试 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数满足（是虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，求得，根据题意求得的值，即可求解. 【详解】设，可得 因为，所以 解得，所以. 故选：A. 2. 已知是不同的直线是不重合的平面，若则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为，所以，又因， 所以，因此. 3. 设向量，且，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【详解】向量，且， 所以，，得，则. 4. 如图，已知某频率分布直方图形成“左拖尾”形态，则下列结论正确的是（ ） A. 众数平均数中位数 B. 众数中位数平均数 C. 众数平均数中位数 D. 中位数平均数众数 【答案】B 【解析】 【详解】平均数受极端值影响，中位数，众数不受极端值影响， 由于图象“左拖尾”，众数最大，平均数小于中位数，B项满足. 5. 随着生活水平的不断提高，旅游已经成为人们生活的一部分．某地旅游部门从年 月到该地旅游的游客中随机抽取部分游客进行调查，得到各年龄段游客的人数比例和各年龄段中自助游的比例，如图，则下列说法错误的是（ ） A. 若调查的游客中青年人有人，则一共调查了人 B. 估计年 月到该地旅游的游客中选择自助游的青年人占总游客人数的 C. 用分层随机抽样的方法对所调查游客进行抽样，若老年人有 人，则中年人有人 D. 估计年 月到该地旅游且选择自助游的游客中青年人不超过一半 【答案】D 【解析】 【详解】设年 月到该地旅游的游客总人数为． 由题意，游客中老年人、中年人、青年人的人数分别为， 其中选择自助游的老年人、中年人、青年人的人数分别为． 对于A，，解得，即一共调查的游客人数是人，故A正确； 对于B，估计年 月到该地旅游的游客中选择自助游的青年人占总游客人数的，故B正确； 对于C，设中年人应抽取 人，依题意得，解得，即中年人应抽取人，故C正确； 对于D，因为年 月到该地旅游且选择自助游的游客的人数为，其中青年人的人数为，所以选择自助游的游客中青年人超过一半，故D错误． 6. 已知向量满足，，，则（ ） A. 17 B. 5 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，求出，再利用数量积的运算律计算即得. 【详解】由，得，由，得，解得，又， 所以. 故选：D 7. 在四边形中，，， 为 的中点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】. 则 . 8. 在三棱锥中，， 均为等边三角形，，，则该三棱锥外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先确定三棱锥外接球球心的位置，进而求出外接球半径，再利用球的表面积公式求球的表面积. 【详解】如图，取BD的中点E，连接AE，CE， 因为，所以，， 所以，又，所以． 分别取与 的外心G，F，易知点G，F分别在AE，CE上， 过点G，F分别作两平面的垂线，两垂线交于点O，则点O为三棱锥外接球的球心． 由已知可得，，连接OE，易得， 所以，则，则， 所以在中，， 即三棱锥外接球的半径为， 所以三棱锥外接球的表面积为． 二、多选题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9. 已知是不重合的三点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 与共线的单位向量是 C. 若，则共线 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】A根据相反向量的定义判断；B利用向量的单位化可判断；C由共线定理可判断；D利用向量的减法运算可得即可判断. 【详解】由相反向量的定义可知A正确； 与共线的单位向量是，故B错误； 由向量共线定理可知，共线，又有公共点 ，则共线，则C正确； 由可得，所以，D正确. 故选：ACD. 10. 在 中，，，，则（ ） A. B. 边上的中线长 C. 边上的角平分线长 D. 外接圆的面积为 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A：根据向量的数量积求解即可；对于B：根据向量加法的平行四边形法则、向量数量积的运算律及向量的模求解即可；对于C：根据三角形面积关系及三角形面积公式求解即可；对于D：根据正余弦定理求解即可. 【详解】选项A：向量与的夹角为， 所以，A错误. 选项B：设 中点为 ，则，则 ， 故 边上的中线长，B正确. 选项C：设角 的角平分线交 于 ，利用面积关系， 即， 也即，解得，C正确. 选项D：由余弦定理得，即， 设 外接圆半径为，由正弦定理，则. 所以 外接圆的面积，D错误. 11. 如图，若正方体的棱长为 ，点 是正方体的侧面上的一个动点（含边界），是棱的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 沿正方体的表面从点 到点的最短路程为 B. 过三点作正方体的截面，则截面面积为 C. 三棱锥的体积最大值为 D. 若保持，则点 在侧面内运动路径的长度为 【答案】ACD 【解析】 【分析】作出正方体相邻两个侧面的展开图，对比线段的长度即可得到最短路程，知A正确；作出截面，由矩形面积公式可求得B错误；利用体积桥可知当 与重合时，体积最大，利用割补法可求得C正确；分析可知点 轨迹是以中点为圆心， 为半径的圆在正方形内的部分，结合扇形弧长公式可求得D正确. 【详解】对于A，将侧面和侧面沿展成平面，如下图所示， 此时； 将底面和侧面沿 展成平面，如下图所示， 此时； ， 沿正方体的表面从点 到点的最短路程为，A正确； 对于B，取中点，连接， ，四点共面， 则过三点作正方体的截面，截面即为四边形，如下图阴影部分所示， 平面，平面，， ，， 四边形为矩形， 又，，，B错误； 对于C，，为定值， 当点 到平面距离最大时，取得最大值， 又点 为侧面（含边界）上的一个动点， 当点 与点重合时，点 到平面距离最大， ，C正确； 对于D，若，则点 在以为球心，为半径的球面上， 取中点，则，， 点 的轨迹是以为圆心， 为半径的圆在正方形内的部分，即劣弧，如下图所示， ，， 劣弧的长度为：， 即点 在侧面内运动路径的长度为，D正确. 故选：ACD. 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 先后抛掷一枚质地均匀的骰子 次，记录向上一面的点数，若已知 个点数的中位数为 ，唯一的众数为 ，则平均数最大为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意将符合要求的 个数据由小到大排列出来，再结合平均数公式求解即可. 【详解】将 个数据由小到大进行排列，前 个数依次为 、 、 ，要使得这 个数据的平均数最大， 则后面两个数分别为 、，即这 个数据由小到大依次为 、 、 、 、， 所以这 个点数的平均数的最大值为. 13. 某船行驶到甲地看1号灯塔时，在甲地的北偏东75°方向上，两地相距海里；在甲地看2号灯塔时，在甲地的南偏西60°方向上，两地相距4海里．该船由甲地向正南航行到乙地时，再看1号灯塔，则1号灯塔在乙地的北偏东30°方向上，则2号灯塔与乙地之间的距离是________海里． 【答案】 【解析】 【分析】根据方位角确定四边形中相关内角，借助正余弦定理计算即可. 【详解】由题意可知， 在中，利用正弦定理可知， 在 中，由余弦定理可知， 即2号灯塔与乙地之间的距离是海里. 14. 如图，已知二面角为，与 所成的角为 ，则异面直线 与 所成角的余弦值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】过点 作于点 ，在平面内，作于点 ，连接，证明，即得，设，依次求出，作，得，在内求出，可得为异面直线 与 所成角或其补角，结合，利用余弦定理即可求得 与 所成角余弦值. 【详解】 过点 作于点 ，在平面内，作于点 ，连接， 因，则，因平面，故平面， 又平面，则，因二面角为，故， 设，因，则， 在中，， 在平面内，过点 在 的同侧作，连接， 则得，故，易得，则， 因，故，则为异面直线 与 所成角或其补角， 在中，，由余弦定理，， 故异面直线 与 所成角的余弦值为. 故答案为：. 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 如图，已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，点C在底面圆周上，点D为BC的中点． （1）证明：平面PAC； （2）证明：平面平面PBC． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由题设易得，进而根据线面平行的判定定理求证即可； （2）由题设可得，，结合可得，进而得到平面POD，再根据面面垂直的判定定理求证即可. 【小问1详解】 因为O为底面圆心，AB为底面直径，所以点O为AB的中点， 又因为点D为BC的中点，所以， 因为平面PAC，平面PAC，所以平面PAC； 【小问2详解】 因为点C在底面圆周上，所以， 又因为点D为BC的中点，所以， 因为AB为底面直径，所以， 又因为，所以， 而，PD，平面POD，所以平面POD， 因为平面PBC，所以平面平面PBC． 16. 某校法联社团组织高一年级所有学生参加“感受法治内涵，争做法治宣传人”的主题知识比赛，旨在引导同学们深入学习法治知识，争当法治精神的传播者.比赛分为初赛和决赛两个环节，现从所有初赛成绩（满分分，最低分分）中，随机调查了位同学的测试成绩，按、、、、分组，并绘制出了如图所示的频率分布直方图. （1）若规定成绩排名前的同学可入围决赛，请估计进入决赛的同学成绩应不低于多少分？ （2）已知落在内的平均成绩是分，方差是 分，落在内的平均成绩是分，方差是分，求两组成绩合并后的平均数和方差. 附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为 、、；、、，记两组数据总体的样本平均数为，则总体样本方差. 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图计算样本数据的第百分位数即可； （2）先求出总体平均数，再利用分层抽样的方差公式求解即可. 【小问1详解】 由题意可知，进入决赛的同学成绩的分数线为样本数据的第百分位数， 设样本数据的第百分位数为 ， 由频率分布直方图中所有矩形的面积之和为 可得， 解得， 前三个矩形的面积之和为， 前四个矩形的面积之和为，所以， 由百分位数的定义可得，解得， 故进入决赛的同学成绩应不低于分. 【小问2详解】 由题意可知，成绩落在的频率为， 成绩落在的频率为， 所以，， . 17. 如图，在三棱锥中，平面PAB，E，F分别为BC，PC的中点，且，，． （1）证明：； （2）求二面角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先根据勾股定理逆定理证得，再根据，即可证出. （2）取 的中点 ，过 作交 于 ，连接，由几何关系证明为二面角的平面角，再由勾股定理和等面积求出 即可求出结果. 【小问1详解】 分别为的中点， 平面， 平面， 平面，平面，. 【小问2详解】 根据题意，取 的中点 ，过 作交 于 ，连接， 因为 为中点， 为 的中点，则，且， 又平面 ， 平面 ， 平面 ，而平面 ，， 又，平面， 所以平面， 平面，，即为二面角的平面角， 所以在中，，则， 由等面积可得， 所以，则， 即二面角的余弦值为. 18. 已知 的内角 ， ， 所对的边分别为，，，面积为， ，． （1）求； （2）已知，求三角形面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合三角形的内角和定理和两角和的正弦公式，可求的值. （2）先利用三角形的面积，结合余弦定理，可求角 ，再结合求得，利用正弦定理求边，最后利用三角形的面积求得三角形的面积. 【小问1详解】 因为，由正弦定理可得． 且， 即， 可得，且，则，所以． 【小问2详解】 由（1）可知，，则， 因为，且， 则，可得， 且，则， 因为， 由正弦定理可得， 所以 的面积． 19. 《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑．如图，三棱锥为鳖臑，平面，，，且三棱锥的外接球表面积为． （1）求三棱锥体积的最大值； （2）在 中，，． （i）当时，求证： ； （ii）若 与面所成角的正弦值为，求实数 的值． 【答案】（1） （2）（i）证明见解析；（ii） 或 【解析】 【分析】（1）把三棱锥放入长方体中，根据长方体外接球半径的求法列出相应方程，得 ，由棱锥的体积公式结合基本不等式可得三棱锥体积的最大值； （2）由（1）的结论，结合题意可得，（i）易得，由线面垂直的判定定理可证得平面，从而证得 .（ii）利用等体积法可求得点 到平面的距离，根据线面角的正弦值列出关于 的方程，求解可得 的值． 【小问1详解】 因为平面，平面， 所以. 因为，所以. 又 平面 ，所以平面 . 因为平面 ，所以. 如图，把三棱锥放入长方体中，可得其外接球为长方体的外接球. 设该外接球半径为，则 ，得 . 又长方体的外接球半径为， 所以 ，所以 . 三棱锥的体积为 ， 当且仅当时，等号成立. 所以三棱锥体积的最大值为 . 【小问2详解】 由（1）知， ，即，. 由，得 ，所以. （i）当时，，所以 为 的中点. 所以. 又平面 ，平面 ， 所以. 因为 平面， 所以平面. 因为平面，所以 . （ii）三棱锥的体积等于的体积，记点 到平面的距离为， 则 ， 得. 因为， 所以点 到平面的距离为， 又， 所以 与面所成角的正弦值为， 化简得， ， 所以或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $