精品解析：广西南宁市东盟中学2025-2026学年高一年级下学期6月月考数学试卷

南宁市东盟中学2025级高一年级春季学期6月月考试 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数满足（是虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，求得，根据题意求得的值，即可求解. 【详解】设，可得 因为，所以 解得，所以. 故选：A. 2. 已知是不同的直线是不重合的平面，若则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为，所以，又因， 所以，因此. 3. 设向量，且，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【详解】向量，且， 所以，，得，则. 4. 如图，已知某频率分布直方图形成“左拖尾”形态，则下列结论正确的是（ ） A. 众数平均数中位数 B. 众数中位数平均数 C. 众数平均数中位数 D. 中位数平均数众数 【答案】B 【解析】 【详解】平均数受极端值影响，中位数，众数不受极端值影响， 由于图象“左拖尾”，众数最大，平均数小于中位数，B项满足. 5. 随着生活水平的不断提高，旅游已经成为人们生活的一部分．某地旅游部门从年月到该地旅游的游客中随机抽取部分游客进行调查，得到各年龄段游客的人数比例和各年龄段中自助游的比例，如图，则下列说法错误的是（ ） A. 若调查的游客中青年人有人，则一共调查了人 B. 估计年月到该地旅游的游客中选择自助游的青年人占总游客人数的 C. 用分层随机抽样的方法对所调查游客进行抽样，若老年人有人，则中年人有人 D. 估计年月到该地旅游且选择自助游的游客中青年人不超过一半 【答案】D 【解析】 【详解】设年月到该地旅游的游客总人数为． 由题意，游客中老年人、中年人、青年人的人数分别为， 其中选择自助游的老年人、中年人、青年人的人数分别为． 对于A，，解得，即一共调查的游客人数是人，故A正确； 对于B，估计年月到该地旅游的游客中选择自助游的青年人占总游客人数的，故B正确； 对于C，设中年人应抽取人，依题意得，解得，即中年人应抽取人，故C正确； 对于D，因为年月到该地旅游且选择自助游的游客的人数为，其中青年人的人数为，所以选择自助游的游客中青年人超过一半，故D错误． 6. 已知向量满足，，，则（ ） A. 17 B. 5 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，求出，再利用数量积的运算律计算即得. 【详解】由，得，由，得，解得，又， 所以. 故选：D 7. 在四边形中，，，为的中点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】. 则 . 8. 在三棱锥中，，均为等边三角形，，，则该三棱锥外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先确定三棱锥外接球球心的位置，进而求出外接球半径，再利用球的表面积公式求球的表面积. 【详解】如图，取的中点E，连接， 因为，所以，， 所以，又，所以． 分别取与的外心，易知点分别在上， 过点G，F分别作两平面的垂线，两垂线交于点O，则点O为三棱锥外接球的球心． 由已知可得，，连接OE，易得， 所以，则，则， 所以在中，， 即三棱锥外接球的半径为， 所以三棱锥外接球的表面积为． 二、多选题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9. 已知是不重合的三点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 与共线的单位向量是 C. 若，则共线 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】A根据相反向量的定义判断；B利用向量的单位化可判断；C由共线定理可判断；D利用向量的减法运算可得即可判断. 【详解】由相反向量的定义可知A正确； 与共线的单位向量是，故B错误； 由向量共线定理可知，共线，又有公共点，则共线，则C正确； 由可得，所以，D正确. 故选：ACD. 10. 在中，，，，则（ ） A. B. 边上的中线长 C. 边上的角平分线长 D. 外接圆的面积为 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A：根据向量的数量积求解即可；对于B：根据向量加法的平行四边形法则、向量数量积的运算律及向量的模求解即可；对于C：根据三角形面积关系及三角形面积公式求解即可；对于D：根据正余弦定理求解即可. 【详解】选项A：向量与的夹角为， 所以，A错误. 选项B：设中点为，则，则 ， 故边上的中线长，B正确. 选项C：设角的角平分线交于，利用面积关系， 即， 也即，解得，C正确. 选项D：由余弦定理得，即， 设外接圆半径为，由正弦定理，则. 所以外接圆的面积，D错误. 11. 如图，若正方体的棱长为，点是正方体的侧面上的一个动点（含边界），是棱的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 沿正方体的表面从点到点的最短路程为 B. 过三点作正方体的截面，则截面面积为 C. 三棱锥的体积最大值为 D. 若保持，则点在侧面内运动路径的长度为 【答案】ACD 【解析】 【分析】作出正方体相邻两个侧面的展开图，对比线段的长度即可得到最短路程，知A正确；作出截面，由矩形面积公式可求得B错误；利用体积桥可知当与重合时，体积最大，利用割补法可求得C正确；分析可知点轨迹是以中点为圆心，为半径的圆在正方形内的部分，结合扇形弧长公式可求得D正确. 【详解】对于A，将侧面和侧面沿展成平面，如下图所示， 此时； 将底面和侧面沿展成平面，如下图所示， 此时； ，沿正方体的表面从点到点的最短路程为，A正确； 对于B，取中点，连接， ，四点共面， 则过三点作正方体的截面，截面即为四边形，如下图阴影部分所示， 平面，平面，， ，，四边形为矩形， 又，，，B错误； 对于C，，为定值， 当点到平面距离最大时，取得最大值， 又点为侧面（含边界）上的一个动点， 当点与点重合时，点到平面距离最大， ，C正确； 对于D，若，则点在以为球心，为半径的球面上， 取中点，则，， 点的轨迹是以为圆心，为半径的圆在正方形内的部分，即劣弧，如下图所示， ，，劣弧的长度为：， 即点在侧面内运动路径的长度为，D正确. 故选：ACD. 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 先后抛掷一枚质地均匀的骰子次，记录向上一面的点数，若已知个点数的中位数为，唯一的众数为，则平均数最大为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意将符合要求的个数据由小到大排列出来，再结合平均数公式求解即可. 【详解】将个数据由小到大进行排列，前个数依次为、、，要使得这个数据的平均数最大， 则后面两个数分别为、，即这个数据由小到大依次为、、、、， 所以这个点数的平均数的最大值为. 13. 某船行驶到甲地看1号灯塔时，在甲地的北偏东75°方向上，两地相距海里；在甲地看2号灯塔时，在甲地的南偏西60°方向上，两地相距4海里．该船由甲地向正南航行到乙地时，再看1号灯塔，则1号灯塔在乙地的北偏东30°方向上，则2号灯塔与乙地之间的距离是________海里． 【答案】 【解析】 【分析】根据方位角确定四边形中相关内角，借助正余弦定理计算即可. 【详解】由题意可知， 在中，利用正弦定理可知， 在中，由余弦定理可知， 即2号灯塔与乙地之间的距离是海里. 14. 如图，已知二面角为，与所成的角为，则异面直线与所成角的余弦值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】过点作于点，在平面内，作于点，连接，证明，即得，设，依次求出，作，得，在内求出，可得为异面直线与所成角或其补角，结合，利用余弦定理即可求得与所成角余弦值. 【详解】 过点作于点，在平面内，作于点，连接， 因，则，因平面，故平面， 又平面，则，因二面角为，故， 设，因，则， 在中，， 在平面内，过点在的同侧作，连接， 则得，故，易得，则， 因，故，则为异面直线与所成角或其补角， 在中，，由余弦定理，， 故异面直线与所成角的余弦值为. 故答案为：. 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 如图，已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，点C在底面圆周上，点D为BC的中点． （1）证明：平面PAC； （2）证明：平面平面PBC． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由题设易得，进而根据线面平行的判定定理求证即可； （2）由题设可得，，结合可得，进而得到平面POD，再根据面面垂直的判定定理求证即可. 【小问1详解】 因为O为底面圆心，AB为底面直径，所以点O为AB的中点， 又因为点D为BC的中点，所以， 因为平面PAC，平面PAC，所以平面PAC； 【小问2详解】 因为点C在底面圆周上，所以， 又因为点D为BC的中点，所以， 因为AB为底面直径，所以， 又因为，所以， 而，PD，平面POD，所以平面POD， 因为平面PBC，所以平面平面PBC． 16. 某校法联社团组织高一年级所有学生参加“感受法治内涵，争做法治宣传人”的主题知识比赛，旨在引导同学们深入学习法治知识，争当法治精神的传播者.比赛分为初赛和决赛两个环节，现从所有初赛成绩（满分分，最低分分）中，随机调查了位同学的测试成绩，按、、、、分组，并绘制出了如图所示的频率分布直方图. （1）若规定成绩排名前的同学可入围决赛，请估计进入决赛的同学成绩应不低于多少分？ （2）已知落在内的平均成绩是分，方差是分，落在内的平均成绩是分，方差是分，求两组成绩合并后的平均数和方差. 附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为、、；、、，记两组数据总体的样本平均数为，则总体样本方差. 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图计算样本数据的第百分位数即可； （2）先求出总体平均数，再利用分层抽样的方差公式求解即可. 【小问1详解】 由题意可知，进入决赛的同学成绩的分数线为样本数据的第百分位数， 设样本数据的第百分位数为， 由频率分布直方图中所有矩形的面积之和为可得， 解得， 前三个矩形的面积之和为， 前四个矩形的面积之和为，所以， 由百分位数的定义可得，解得， 故进入决赛的同学成绩应不低于分. 【小问2详解】 由题意可知，成绩落在的频率为， 成绩落在的频率为， 所以，， . 17. 如图，在三棱锥中，平面PAB，E，F分别为BC，PC的中点，且，，． （1）证明：； （2）求二面角的余弦值． 【答案】（1）证明：分别为的中点， 平面， 平面， 平面，平面，. （2） 【解析】 【分析】（1）先根据勾股定理逆定理证得，再根据，即可证出. （2）取的中点，过作交于，连接，由几何关系证明为二面角的平面角，再由勾股定理和等面积求出即可求出结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 根据题意，取的中点，过作交于，连接， 因为为中点，为的中点，则，且， 又平面， 平面， 平面，而平面，， 又，平面， 所以平面， 平面，，即为二面角的平面角， 所以在中，，则， 由等面积可得， 所以，则， 即二面角的余弦值为. 18. 已知的内角，，所对的边分别为，，，面积为，，． （1）求； （2）已知，求三角形面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合三角形的内角和定理和两角和的正弦公式，可求的值. （2）先利用三角形的面积，结合余弦定理，可求角，再结合求得，利用正弦定理求边，最后利用三角形的面积求得三角形的面积. 【小问1详解】 因为，由正弦定理可得． 且， 即， 可得，且，则，所以． 【小问2详解】 由（1）可知，，则， 因为，且， 则，可得， 且，则， 因为， 由正弦定理可得， 所以的面积． 19. 《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑．如图，三棱锥为鳖臑，平面，，，且三棱锥的外接球表面积为． （1）求三棱锥体积的最大值； （2）在中，，． （i）当时，求证：； （ii）若与面所成角的正弦值为，求实数的值． 【答案】（1） （2）（i）证明见解析；（ii）或 【解析】 【分析】（1）把三棱锥放入长方体中，根据长方体外接球半径的求法列出相应方程，得 ，由棱锥的体积公式结合基本不等式可得三棱锥体积的最大值； （2）由（1）的结论，结合题意可得，（i）易得，由线面垂直的判定定理可证得平面，从而证得.（ii）利用等体积法可求得点到平面的距离，根据线面角的正弦值列出关于的方程，求解可得的值． 【小问1详解】 因为平面，平面， 所以. 因为，所以. 又 平面，所以平面. 因为平面，所以. 如图，把三棱锥放入长方体中，可得其外接球为长方体的外接球. 设该外接球半径为，则 ，得 . 又长方体的外接球半径为， 所以 ，所以 . 三棱锥的体积为 ， 当且仅当时，等号成立. 所以三棱锥体积的最大值为. 【小问2详解】 由（1）知， ，即，. 由，得 ，所以. （i）当时，，所以为的中点. 所以. 又平面，平面， 所以. 因为 平面， 所以平面. 因为平面，所以. （ii）三棱锥的体积等于的体积，记点到平面的距离为， 则 ， 得. 因为， 所以点到平面的距离为， 又， 所以与面所成角的正弦值为， 化简得， ， 所以或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南宁市东盟中学2025级高一年级春季学期6月月考试 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数满足（是虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 2. 已知是不同的直线是不重合的平面，若则（ ） A. B. C. D. 3. 设向量，且，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 4. 如图，已知某频率分布直方图形成“左拖尾”形态，则下列结论正确的是（ ） A. 众数平均数中位数 B. 众数中位数平均数 C. 众数平均数中位数 D. 中位数平均数众数 5. 随着生活水平的不断提高，旅游已经成为人们生活的一部分．某地旅游部门从年月到该地旅游的游客中随机抽取部分游客进行调查，得到各年龄段游客的人数比例和各年龄段中自助游的比例，如图，则下列说法错误的是（ ） A. 若调查的游客中青年人有人，则一共调查了人 B. 估计年月到该地旅游的游客中选择自助游的青年人占总游客人数的 C. 用分层随机抽样的方法对所调查游客进行抽样，若老年人有人，则中年人有人 D. 估计年月到该地旅游且选择自助游的游客中青年人不超过一半 6. 已知向量满足，，，则（ ） A. 17 B. 5 C. D. 7. 在四边形中，，，为的中点，则等于（ ） A. B. C. D. 8. 在三棱锥中，，均为等边三角形，，，则该三棱锥外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9. 已知是不重合的三点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 与共线的单位向量是 C. 若，则共线 D. 若，则 10. 在中，，，，则（ ） A. B. 边上的中线长 C. 边上的角平分线长 D. 外接圆的面积为 11. 如图，若正方体的棱长为，点是正方体的侧面上的一个动点（含边界），是棱的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 沿正方体的表面从点到点的最短路程为 B. 过三点作正方体的截面，则截面面积为 C. 三棱锥的体积最大值为 D. 若保持，则点在侧面内运动路径的长度为 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 先后抛掷一枚质地均匀的骰子次，记录向上一面的点数，若已知个点数的中位数为，唯一的众数为，则平均数最大为_____. 13. 某船行驶到甲地看1号灯塔时，在甲地的北偏东75°方向上，两地相距海里；在甲地看2号灯塔时，在甲地的南偏西60°方向上，两地相距4海里．该船由甲地向正南航行到乙地时，再看1号灯塔，则1号灯塔在乙地的北偏东30°方向上，则2号灯塔与乙地之间的距离是________海里． 14. 如图，已知二面角为，与所成的角为，则异面直线与所成角的余弦值为______． 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 如图，已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，点C在底面圆周上，点D为BC的中点． （1）证明：平面PAC； （2）证明：平面平面PBC． 16. 某校法联社团组织高一年级所有学生参加“感受法治内涵，争做法治宣传人”的主题知识比赛，旨在引导同学们深入学习法治知识，争当法治精神的传播者.比赛分为初赛和决赛两个环节，现从所有初赛成绩（满分分，最低分分）中，随机调查了位同学的测试成绩，按、、、、分组，并绘制出了如图所示的频率分布直方图. （1）若规定成绩排名前的同学可入围决赛，请估计进入决赛的同学成绩应不低于多少分？ （2）已知落在内的平均成绩是分，方差是分，落在内的平均成绩是分，方差是分，求两组成绩合并后的平均数和方差. 附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为、、；、、，记两组数据总体的样本平均数为，则总体样本方差. 17. 如图，在三棱锥中，平面PAB，E，F分别为BC，PC的中点，且，，． （1）证明：； （2）求二面角的余弦值． 18. 已知的内角，，所对的边分别为，，，面积为，，． （1）求； （2）已知，求三角形面积． 19. 《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑．如图，三棱锥为鳖臑，平面，，，且三棱锥的外接球表面积为． （1）求三棱锥体积的最大值； （2）在中，，． （i）当时，求证：； （ii）若与面所成角的正弦值为，求实数的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $