精品解析：江西赣州市龙南市阳明中学2025-2026学年高一下学期开学测试数学试题

江西赣州市龙南市阳明中学2025-2026学年高一下学期开学测试数学试题 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知命题，则是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题，即可求解. 【详解】命题，则是. 故选：B. 2. 设集合，函数的定义域为，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】函数的定义域由解得，进而运用交集定义运算即可. 【详解】要使有意义，需满足，解得， 所以， 又集合，所以. 故选：D． 3. 函数零点存在的区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】应用零点存在定理计算判断. 【详解】函数单调递增， 且，， 函数在连续不断， 所以函数零点存在的区间为. 4. 某校高一组建了演讲，舞蹈，合唱，绘画，英语协会五个社团，高一1500名学生每人都参加且只参加其中一个社团，学校从这1500名学生中随机选取部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如图不完整的两个统计图： 则估计该校参加舞蹈社团的学生人数为（ ） A. 300 B. 225 C. 150 D. 40 【答案】A 【解析】 【分析】结合两个统计图直接求解即可； 【详解】由条形图得合唱人数为70，演讲人数为30，由饼状图得合唱人数占比， 因此演讲人数占比为，舞蹈人数占比为， 用样本估计总体，估计该校参加舞蹈社团的人数为. 故选：A. 5. 设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由指数复合函数的区间单调性有，即可求参数范围. 【详解】函数在上单调递减，且在区间上单调递减， 函数在区间上单调递增， ，即， 的取值范围是. 故选：A 6. 已知函数且的值域为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设的值域为，可知，分和两种情况，结合指数函数性质运算求解. 【详解】当时，可知的值域为， 设的值域为，依题意得. 当时，在上单调递减， 即当时，，不符合题意； 当时，在上单调递增， 即当时，，可得，解得； 综上所述：实数的取值范围是. 故选：C. 7. 若函数在上是单调函数，且满足对任意，都有，则（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 【答案】D 【解析】 【分析】利用函数在上是单调函数可知为常数，利用换元可得到关于的方程，可解出的值，从而求解. 【详解】对任意，都有，且函数在上是单调函数， 为常数， 设，则， ， 与在上单调递增， 有唯一解，解得， ，. 故选：D. 8. 已知，则以下关于的大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据零点存在性定理可求解，进而根据指数对数的运算性质结合基本不等式求解的范围，即可比较大小． 【详解】由，令，则在定义域内单调性递增，且， 由零点存在性定理可得， ， 又，因此， ，可得， ，， ， ，，， ． 故选：D 【点睛】方法点睛：比较大小问题，常常根据： （1）结合函数性质进行比较； （2）利用特殊值进行估计，再进行间接比较； （3）根据结构特征构造函数，利用导数分析单调性，进而判断大小. 二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分，在每个给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 从装有大小和形状完全相同的2个红球和3个黑球的口袋内任取2个球，下列各对事件中，互斥而不对立的是 A. “至少一个红球”和“都是红球” B. “恰有一个红球”和“都是红球” C. “恰有一个红球”和“都是黑球” D. “至少一个红球”和“都是黑球” 【答案】BC 【解析】 【分析】利用对立事件、互斥事件的定义直接求解． 【详解】解：从装有大小和形状完全相同的2个红球和3个黑球的口袋内任取2个球， 在中，“至少一个红球”和“都是红球”能同时发生，不是互斥事件，故错误； 在中，“恰有一个红球”和“都是红球”不能同时发生，是互斥而不对立事件，故正确； 在中，“恰有一个红球”和“都是黑球”不能同时发生，是互斥而不对立事件，故正确； 在中，“至少一个红球”和“都是黑球”是对立事件，故错误． 故选：． 【点睛】本题考查命题真假的判断，考查对立事件、互斥事件的定义等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题． 10. 已知定义在上的函数在上单调递增，且为偶函数，则（ ） A. 在上单调递增 B. 图象的对称轴为直线 C. D. 不等式的解集为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由题意可得图象的一条对称轴为直线，即可判断A，B；结合对称性及单调性即可判断C；由不等式结合的对称性及单调性，可得，解不等式即可判断D． 【详解】因为为偶函数，所以， 所以图象关于直线对称，又函数在上单调递增， 所以在上单调递减，故A错误，B正确； 因为在上单调递减，所以，故C正确； 由不等式结合的对称性及单调性，得， 即，即，解得或， 所以不等式的解集为，故D正确， 故选：BCD． 11. ，下列说法正确的有（ ） A. 的减区间为 B. 的值域为 C. 若有3个零点，则 D. 若有5个零点，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据函数的解析式，可画出函数草图，利用函数草图，可轻松判断ABC的真假；再结合分类讨论思想的应用，判断D的真假. 【详解】函数的草图如下： 由图象可知： 函数的减区间为和两个，不能用“并集”符号连接，故A错误； 函数值域为，故B正确； 若有3个零点，则，故C正确； 对D：结合函数草图：由或； 由或，解得：或或. 设，由题意方程有5个不同的根. 由， 若，则只有1解，且，此时方程有3个解； 若，则有2解，且或， 此时方程有3个解，方程也有3个解，所以方程有6个解； 若，则有3解，且，，， 此时方程有1个解，方程有3个解，方程也有3个解，所以方程有7个解； 若，则有3解，且或或， 此时方程有1个解，方程有3个解，方程有和两个解，所以方程有6个解； 若，则有3解，且，，， 此时方程有1个解，方程有3个解，方程有1个解，所以方程有5个解； 若，则有2解，且或， 此时方程有，共2个解，方程有1个解，所以方程有3个解； 若，则有1解，且，此时方程至多有1个解. 综上：若有5个零点，则.故D正确. 故选：BCD 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分) 12. 当且时，函数的图象一定经过定点___________ 【答案】 【解析】 【分析】令可求出定点. 【详解】令，可得当时，，所以图象一定经过定点. 故答案为：. 13. 已知，若，则______. 【答案】 【解析】 【分析】先求出，然后分和两种情况，得到方程，求解即可. 【详解】由得，所以， 所以或，解得. 故答案为： 14. 若函数在区间有且仅有一个零点，则实数的取值范围是_______. 【答案】或 【解析】 【分析】原问题可转化为在区间有且仅有一个零点，所以在区间没有解或恰有一解，按的取值范围分类讨论即可. 【详解】因为函数在区间有且仅有一个零点，即在区间有且仅有一个零点， 所以在区间没有解或恰有一解， ①时，在区间无解，合题意； ②且时，需满足，即； ③时，在区间恰有一解，满足题意. 综上可知，实数的取值范围是或， 故答案为：或 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. （1）求值：； （2）已知，求的值. 【答案】（1）；（2）1 【解析】 【分析】（1）利用对数的概念、对数运算性质及换底公式，指数幂的运算性质化简计算； （2）结合指对互化，利用对数运算性质及换底公式求解即可. 【详解】（1）原式 ； （2）因为，所以 ， 所以， 则. 16. 设命题，不等式恒成立；命题，使得不等式成立. （1）若为真命题，求实数的取值范围. （2）若命题p、q有且只有一个是真命题，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将问题转化为恒成立，解不等式即可； （2）分类讨论结合集合的关系计算即可. 【小问1详解】 要使，恒成立，需. 函数在上单调递增，当时，. 因此有，即，解得. 即 【小问2详解】 当为真命题时，对于二次函数，其图象对称轴为， 在区间上有， 则， 故，成立等价于， 即， 若命题真假，结合（1）可知且，故， 若命题真假，结合（1）可知且，故， 综上，. 17. （1）下表为12名毕业生的起始月薪： 毕业生 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 起始月薪 2850 2950 3050 2880 2775 2710 2890 3130 2940 3325 2920 2880 根据表中所给的数据，求这组数据的分位数； （2）从某企业的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图，求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差（同一组数据用该区间的中点值作代表）． 【答案】（1）3000；（2）200；150 【解析】 【分析】（1）根据分位数的概念计算求解； （2）根据频率分布直方图样本平均数和样本方差计算公式计算求解. 【详解】（1）因为，第九个数是2950，第十个数是3050， 所以75%分位数是； （2）抽取产品质量指标值的样本平均数和样本方差分别为 ， . 18. 已知定义在R上的函数满足，且，． （1）求的值； （2）若不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）设，若对任意的，存在，使得，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据结合对数运算可得，即可得； （2）进而可得函数，根据函数的单调性可得，分离参数求最值即可； （3）分析可知在上的最小值不小于在上的最小值，由题意可得，进而可得，参变分离可得，求函数的最值即可得结果. 【小问1详解】 由题意可得：， 整理可得， 根据的任意性可得，所以. 【小问2详解】 由（1）可得，则， 因为函数，在定义域上单调递增，且， 则单调递增，且在定义域上单调递增， 可知函数在上单调递增， 则不等式恒成立等价于，即恒成立， 设，则，可得， 当且仅当，即时取等号， 可得，所以实数的取值范围是. 【小问3详解】 因为对任意的，存在，使得， 可知在上的最小值不小于在上的最小值， 因为在上单调递增，则在内的最小值为， 可得，即存在，使成立， 令，， 因为，在上单调递增，可知在上单调递增， 则在上的最小值为， 可得，所以实数的取值范围是． 19. 若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使成立，则称该函数为“依赖函数”. （1）判断函数是否为“依赖函数”，并说明理由； （2）若函数在定义域上为“依赖函数”，求的取值范围； （3）已知函数在定义域上为“依赖函数”.若存在实数，使得对任意的，不等式都成立，求的最大值. 【答案】（1）不是“依赖函数”，理由见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）通过特例说明函数不是“依赖函数”. （2）根据“依赖函数”的概念探索，的关系，再结合二次函数求的取值范围. （3）先根据“依赖函数”的概念确定的值，再结合二次函数在给定区间上恒成立的问题和函数的单调性求实数的最大值. 【小问1详解】 对于函数的定义域内存在， 则，故不是“依赖函数”. 【小问2详解】 设函数的定义域内的值域为， 若该函数为“依赖函数”，则对任意的，且，可得， 因为在上单调递增，则在上的值域为， 故， 则，所以， 由，则，解得， 则， 设，可知函数在内单调递增， 且，，即， 所以的取值范围为. 【小问3详解】 若，可知在上单调递增，则在上的值域为， 可得，即，解得或（舍去）. 若存在，使得对任意的，有不等式都成立， 即恒成立， 则，可得， 因为，可得， 且在单调递增， 故当时，， 则，解得， 综上所述：故实数的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江西赣州市龙南市阳明中学2025-2026学年高一下学期开学测试数学试题 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知命题，则是（ ） A. B. C. D. 2. 设集合，函数的定义域为，则为（ ） A. B. C. D. 3. 函数零点存在的区间为（ ） A. B. C. D. 4. 某校高一组建了演讲，舞蹈，合唱，绘画，英语协会五个社团，高一1500名学生每人都参加且只参加其中一个社团，学校从这1500名学生中随机选取部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如图不完整的两个统计图： 则估计该校参加舞蹈社团的学生人数为（ ） A. 300 B. 225 C. 150 D. 40 5. 设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数且的值域为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 若函数在上是单调函数，且满足对任意，都有，则（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 8. 已知，则以下关于的大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分，在每个给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 从装有大小和形状完全相同的2个红球和3个黑球的口袋内任取2个球，下列各对事件中，互斥而不对立的是 A. “至少一个红球”和“都是红球” B. “恰有一个红球”和“都是红球” C. “恰有一个红球”和“都是黑球” D. “至少一个红球”和“都是黑球” 10. 已知定义在上的函数在上单调递增，且为偶函数，则（ ） A. 在上单调递增 B. 图象的对称轴为直线 C. D. 不等式的解集为 11. ，下列说法正确的有（ ） A. 的减区间为 B. 的值域为 C. 若有3个零点，则 D. 若有5个零点，则 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分) 12. 当且时，函数的图象一定经过定点___________ 13. 已知，若，则______. 14. 若函数在区间有且仅有一个零点，则实数的取值范围是_______. 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. （1）求值：； （2）已知，求的值. 16. 设命题，不等式恒成立；命题，使得不等式成立. （1）若为真命题，求实数的取值范围. （2）若命题p、q有且只有一个是真命题，求实数的取值范围. 17. （1）下表为12名毕业生的起始月薪： 毕业生 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 起始月薪 2850 2950 3050 2880 2775 2710 2890 3130 2940 3325 2920 2880 根据表中所给的数据，求这组数据的分位数； （2）从某企业的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图，求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差（同一组数据用该区间的中点值作代表）． 18. 已知定义在R上的函数满足，且，． （1）求的值； （2）若不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）设，若对任意的，存在，使得，求实数的取值范围． 19. 若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使成立，则称该函数为“依赖函数”. （1）判断函数是否为“依赖函数”，并说明理由； （2）若函数在定义域上为“依赖函数”，求的取值范围； （3）已知函数在定义域上为“依赖函数”.若存在实数，使得对任意的，不等式都成立，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $